专题12 角解答题按梯度分类训练（7种类型58道）-2024-2025学年七年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版2024）

专题12 角解答题按梯度分类训练 （7种类型58道） 目录 【题型1 补全证明过程】 1 【题型2 利用互余或互补求角度】 12 【题型3 利用角平方线求角度】 23 【题型4 利用比例求角度】 36 【题型5 定值问题】 46 【题型6 探究数量关系】 57 【题型7 证明题】 66 【题型1 补全证明过程】 1．补全解题过程 如图，两个直角三角板的直角顶点重合，，求的度数． 解：∵__________（已知） _________（已知） ∴___________（____________） ∵（已知） ∴_________（____________） 【答案】90，90，，同角的余角相等，39，等量代换 【分析】此题主要考查了三角板中角的计算，同角的余角相等，正确掌握角之间的关系是解题关键． 根据同角的余角相等和角的关系求解即可． 【详解】解：∵（已知） （已知） ∴（同角的余角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） 2．如图，，平分，交边于点D，平分，交边于点E． (1)依题意补全图形； (2)①________； ②补全证明过程． 证明：∵平分，平分， ∴， ________．（理由：________） ∵， ∴_____． 【答案】(1)见解析 (2)①45°；②；角平分线定义；45° 【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． （1）根据题意画出图形即可； （2）根据角平分线的定义得出，根据得出即可． 【详解】（1）解：如图， （2）①； ②补全证明过程． 证明：∵平分，平分， ∴， ．（理由：角平分线的定义） ∵， ∴． 故答案为：①45°；②；角平分线定义；45°． 3．已知，平分，平分． (1)如图，在外部，求的度数． ①依题意补全图形； ②完成下面的解答过程． 解：∵平分，平分， ∴ ， （理由： ）． ∵， ∴ °， °， ∴ (2)若在内部，则的度数是 ． 【答案】(1)①见解析②角平分线的定义， (2) 【分析】本题考查的是角平分线的有关计算，根据角平分线的定义及角的和差计算即可． （1）①根据题意补全图形，②根据角平分线定义及角的和差计算即可； （2）根据题意画图，根据角平分线定义及角的和差计算即可； 【详解】（1）解：①补全图形如图所示； ②完成下面的解答过程． 解：∵平分，平分， ∴ ， （理由：角平分线的定义）． ∵， ∴ ， ， ∴ ， 故答案为：角平分线的定义，； （2）解：如图： 解：∵平分，平分， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ， ∴ ， 故答案为： ； 4．如图①，是直线上的一点，是直角，平分． (1)若时，则的度数为______； (2)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究和的度数之间的关系．小明同学提供的解法如下，请补全证明过程： 解：∵平分（已知） ∴______（） ∵是直角（已知） ∴______（直角的定义） ∴______ ∴ ∴______． (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变．直接写出和的度数之间的关系：______． 【答案】(1)； (2)，角平分线的定义，，，； (3) 【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、及角的和差计算，解题的关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差倍分． （1）由已知可求出，再由是直角，平分求出的度数； （2）由是直角，平分可得出，则得，从而得出和的度数之间的关系； （3）根据（2）的解题思路，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又是直角，平分， ； （2）∵平分（已知）， ∴ （角平分线的定义）， ∵是直角（已知）， ∴ （直角的定义）， ∴ ， ∴， ∴； （3），理由如下： ， ， ， ， ； 5．补全解题过程： 如图，，，为的平分线，求的度数． 解：∵，， ∴________， ∴________， ∵为的平分线， ∴________________ ∴________________． 【答案】；；；；； 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义．先根据角之间的关系得到，进而求出，由角平分线的定义得到，则由角的和差可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴ ∴． 故答案为：；；；；；． 6．补全解题过程． 如图，，，平分，求的度数． 解：，， 　　　　， 平分 　　（依据：　　）， ， 　　． 【答案】；100；；角平分线的定义；10． 【分析】本题主要考查了角平分线定义的应用以及角的计算，利用已知和图形，根据交的和差关系恰当填空即可． 【详解】解：，， , 平分， （角平分线的定义）, , , 故答案为：；100；；角平分线的定义；10． 7．如图，平分． (1)若，求的度数． 请你补全下列解题过程． _____________________ 平分， ______________ ________． ________． (2)若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)，，，，，， (2) 【分析】本题考查了几何图中角度的计算、角平分线的定义，采用数形结合的思想，找准角直角的关系是解此题的关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义得出，最后根据，计算即可； （2）先求出，再根据角平分线的定义得出，最后根据，计算即可． 【详解】（1）解： ， 平分， ， ， ， 故答案为：，，，，，，； （2）解： ， 平分， ， ， ． 8．补全解题过程： 如图，，，为的平分线，求的度数． 解：∵，， ∴________， ∴________， ∵为的平分线， ∴________________（依据：________） ∴________________． 【答案】；；；；角平分线的定义；； 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先根据角之间的关系得到，进而求出，由角平分线的定义得到，则由角的和差可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴（依据：角平分线的定义） ∴． 故答案为：；；；；角平分线的定义；；． 9．补全解题过程 已知：如图，O是直线上的一点，，平分．若，求的度数； 解：∵O是直线上的一点，（已知） ∴______． ，（已知） ______． 平分，（已知） ______． _____°． ∵，且， ______°． 【答案】，，，， 【分析】根据题意，结合图形，读懂每一步推理过程，即可完成补充． 【详解】解：∵O是直线上的一点，（已知） ． ，（已知） ． 平分，（已知） ． ，且， ． 故答案为：，，，，． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，互余、互补关系等知识，结合题意读懂每步推理是解题的关键． 10．如图，平分，． (1)若，求的度数． 请你补全下列解题过程． 平分， ____________（理由：________________________） ， ___________． ________________________，， ____________． (2)若，直接写出的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1)，角平分线的定义；30；，；120； (2) 【分析】（1）先根据角平分线的定义求出的值，再根据计算即可； （2）仿造（1）的步骤求解即可． 【详解】（1）平分， （理由：角平分线的定义） ， ． ，， ． 故答案为：，角平分线的定义；30；，；120； （2）平分， ． ， ． ，， ． 【题型2 利用互余或互补求角度】 11．如图，已知内部有三条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数（写出求解过程）； (3)若将条件中“平分，平分．平分”改为“，”，且，求的度数（写出求解过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求得的度数，然后，再依据角平分线的定义求得、的度数，最后，再依据求解即可； （2）按照（1）的思路先求得的度数，然后再求得、的度数，最后，再依据求解即可； （3）先求得的度数，然后，依据题意求得、的度数，最后，再依据求解即可． 本题主要考查的是角的计算，熟练掌握图形中相关角之间的和、差、倍、分关系是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ； 平分，平分， ，， ． （2）解：，平分，平分， ． （3）解：，，， ． 12．已知点O为直线上一点，，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的意义、互补、互余的意义，正确表示各个角，理清各个角之间的关系是得出正确结论的关键． （1）先根据余角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据计算即可； （2）根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：如图： ， ， 平分， ， ； （2）解：，平分， ， ， ， ， ， ． 13．如图，点O在直线上，． (1)图中除外，还有哪些角是直角？ (2)图中有哪些相等的角？ (3)指出图中与互余的角、与互补的角． 【答案】(1) (2)； (3)与互余的角有：；与互补的角有： 【分析】本题考查了角的余角、补角的概念，仔细看图找到角之间的关系是解题的关键． （1）根据直角的定义即可求解； （2）根据直角都相等，等角的余角相等即可求解； （3）根据余角和补角的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴图中除外，还有是直角； （2）解：； ； （3）解：∵， ∴与互余的角有：； ∵， 又， ∴， ∴与互补的角有：． 14．如图，已知点为直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知角度结合平角的定义可求解，的度数，再利用角平分线的定义可求解； （2）根据余角的定义，平角的定义可求解的度数，再利用角平分线的定义结合角的和差可求解． 本题主要考查余角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ， ， ； （2）解：∵， ∴， 与互余， ， ， ， 平分， ， ． 15．如图，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，直接写出的度数．（用含α的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的相关知识，解此题的关键是掌握角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义求出，再由角的和差关系可得结论； （2）同（1）的思路可得结论． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 16．新定义：若的度数是的度数的n倍，则叫做的n倍角． (1)若，请直接写出的4倍角的度数； (2)如图1所示，若，请直接写出图中所有的2倍角； (3)如图2所示，若是的3倍角，是的4倍角，且，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了角的计算，度分秒的换算． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意得出即可； （3）设，则，得到；根据，求得，于是结论可得． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； ∴图中的所有2倍角有：； （3）∵是的3倍角，是的4倍角， 设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．如图，已知平分，平分．    (1)如图①，求的度数； (2)如图②，如果，那么是多少度？ (3)如图②，如果，那么是多少度？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，准确得到角与角间的关系是解题的关键． （1）根据角平分线的概念求解即可； （2）首先求出，然后根据角平分线的概念求解即可； （3）首先求出，然后根据角平分线的概念求解即可． 【详解】（1）解：，平分，平分， ； （2）， ， 平分， ； （3）， ， 平分， ， ． 18．如图，，请你根据图形，求解下列问题： (1)在中，哪些角是锐角？哪些角是直角？哪些角是钝角？哪些角是平角？并用“”把它们连接起来； (2)是哪两个角的和？ (3)写出中某些角之间的两个等量关系； (4)如果，则的度数为_________． 【答案】(1)是锐角，是直角，是钝角，是平角， (2) (3)，（答案不唯一） (4)90 【分析】本题考查锐角、直角、钝角、平角的定义，角度之间的和差关系，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）根据锐角、直角、钝角、平角的定义，结合图形即可求解； （2）根据图形即可求解； （3）根据图形即可求解； （4）由题意可知，结合，即可得． 【详解】（1）解：由图可知，是锐角，是直角，是钝角，是平角， 则； （2）由图可知，； （3）由图可知，，（答案不唯一） （4）∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：90． 19．如图所示，已知平分平分． (1)如图， ___________； (2)将绕O点向下旋转，使，其他条件不变，能否求出的度数？若能，求出其值，若不能，请说明理由； (3)若，仍然分别作的平分线，，能否求出的度数？若能，求的度数；若不能，试说明理由． 【答案】(1)45 (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的以求出与的度数，然后相减即可求出的度数； （2）根据（1）的求解思路，先利用角平分线的定义表示出与的度数，然后相减即可得到的度数； （3）根据前两题的求解思路把具体数据换为、，然后整理即可得出规律． 本题考查了角的计算，角平分线的定义，读懂题意，看懂题目图形找准解题思路是解题的关键，此类题目通常都是各小题都用同一个解题思路，所以准确确定思路比较关键． 【详解】（1）解： ，， ， 平分，平分， ， ， ； （2）解：能．过程如下： ，， ， 、分别平分，， ， ， ； （3）解：能．过程如下： ，， ， 、分别平分，， ， ， ， 即 20．已知：如图，O是直线上一点，，作射线． (1)如图1，若平分，，则＝______°(直接写出答案)； (2)如图2，若平分，比大36°，求的度数 (3)如图3，若平分，当时，能否求出的度数？若可以，求出度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)30 (2)18° (3)不能求出的度数；理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的计算．灵活应用角平分线的定义是解题的关键． （1）利用角平分线的定义和邻补角的意义解答即可； （2）设，利用角平分线的定义与已知条件列出方程即可求解； （3）设，利用角平分线的定义和已知条件列出式子即可说明理由． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：30． （2）∵平分， ∴， ∵， ∴． 设，则，， ∵比大36°， ∴． ∴． ∴． （3）不能求出的度数． 理由：∵平分， ∴．设，则，， ∴， ∴， 即．就是说，无论等于多少度，总等于它的一半，而不确定，故不能求出的度数． 【题型3 利用角平方线求角度】 21．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用． （1）先求出度数，根据角平分线定义求出和度数，求和即可得出答案； （2）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可； （3）分两种情况：①射线，只有1个在外面，根据角平分线定义得出，，求出；②射线，个都在外面，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）解： 是 的平分线，， 是 的平分线， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解： 是 的平分线，是 的平分线， ，， ①延长至点，当在 的内部， ； ②延长至点，延长至点，当在内部， ， ； ③延长至点，当在 内部， ， ， ， 综上，度数为 或． 22．如图，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，，求． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差倍分关系，能够根据定义正确表达出关系式是解决此题的关键．根据角平分线可得，，进而得出，即可求解． 【详解】解∶∵是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 23．如图，已知O为直线上一点，是内部一条射线且满足与互补，，分别为，的角平分线． (1)与相等吗？请说明理由； (2)若，试求与的度数； (3)若，试求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， (3) 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是根据图形，理清角之间的关系． （1）由题意可得，，可以根据同角的补角相等得到； （2）根据与互补，及可求出的度数，根据角平分线的定义求出、的度数，即可求出的度数； （3）根据角平分线的定义得出，，再根据得出，结合与互补即可求出的度数． 【详解】（1）解：；理由如下： 与互补， ， ， ； （2）解：∵与互补，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的角平分线，， ∴， ∴； （3）解：∵，分别为，的角平分线， ∴，， ∴， ∴①， ∵②， 得． 24．如图，已知，射线在内部，射线逆时针旋转得到，是的角平分线． (1)如图，若是的角平分线，且时，求． (2)如图，若是的角平分线，则 ．（用含有的代数式表示） (3)在（1）的条件下，若射线从OE出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，若射线、同时开始旋转直至重合后停止运动，多少时间后得到，请直接写出答案． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，角的旋转定义的理解，一元一次方程的应用，理解题意，利用方程思想解决问题是解本题的关键． （1）证明，求解，结合，可得，求解，再利用角的和差关系可得答案； （2）证明，，结合，从而可得答案； （3）如图，分两种情况讨论，当在内部时，当在外部时，由题意可得：，，再利用建立方程可得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， 平分， ， （2）解：平分， ， 平分， ， （3）解：如图，当在内部时， 由题意可得，，， ， ， ， 解得：； 当在外部时， ，， ， ， ， 解得：， 综上，当或时， 25．如图，已知为直线上一点，与互余，，分别为，的角平分线． (1)与相等吗？请说明理由； (2)若，试求的度数． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2) 【分析】本题考查角度问题，涉及互余概念、角平分线定义、角度和差倍分关系、邻补角等知识，数形结合，准确表示出角度之间的和差倍分关系是解决问题的关键． （1）数形结合，利用互余及角平分线定义，结合角度之间的和差倍分关系列式即可得到答案； （2）由角度的倍分关系，借助角的互余及邻补角互补关系列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：相等． 理由如下： 与互余， ， ，分别为，的角平分线， ，， ， ； （2）解：， ， 与互余， ，即，， ，即． 26．如图，已知，是的角平分线，是的平分线，且，求的度数． 【答案】 【分析】先根据角平分线的性质设，再用表示出、、和，根据，得出关于的方程，解得，则可求得答案．本题考查几何图形的角的计算，熟练运用角平分线的定义及正确表示出相关角，是解题的关键． 【详解】解：是的角平分线 设 是的平分线，且， ， ， 解得： 的度数为． 27．如图，已知，是的角平分线，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，正确求得x是关键． 首先设，，根据角平分线的定义求得，然后根据，求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∴． 28．已知分别是和的角平分线． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，则______（用含的代数式表示）． 【答案】(1)90度 (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算．找准角度之间的数量关系，是解题的关键． （1）先求出的度数，根据角平分线的性质，得到的度数，进一步求出的度数即可； （2）先求出，根据根据角平分线的性质，得到，进而推出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵分别是和的角平分线， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵分别是和的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴ 故答案为：． 29．如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和差运算等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，进而得到，再由角平分线的定义可得最后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线的定义可得，进而得到，再由角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴ ∴． （2）解：∵是的平分线， ∴， ∴． ∵OD是的平分线， ∴， ∴． 30．已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②； (2)或或或． 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，解题的关键是理解题意，分情况讨论，进而求解． （1）①根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解；②根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解； （2）根据“三等分线”的定义，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：是的角平分线，是的角平分线 ∴， ∵均为直角 ∴ ①由可得， ∴； ②由可得， ∴； （2）是的三等分线，是的三等分线，分以下四种情况， 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 综上：的度数为或或或． 【题型4 利用比例求角度】 31．如图，直线交于点O，平分平分：，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差运算，方程思想的应用．由角平分线知；设，由建立方程即可求得x的值，从而得；再角平分线的定义及和角关系即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 32．已知，，平分． (1)如图，若，求的度数； (2)将顺时针旋转至如图的位置，若平分，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）由，得，即得，进而得，最后利用角的和差关系即可求解； （）由平分，可得，设，则，可得，进而可得，即得，得到，最后根据角的和差关系即可求解； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，一元一次方程的几何应用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， 设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴． 33．如图1，O是直线上的一点，是直角，． (1)若时，则的度数为 ； (2)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变．若，直接写出 ． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，平角的定义，数形结合是解题的关键． （1）根据平角的定义，得出，继而得出，根据，即可求解； （2）依题意得出，根据，求得，由平角的定义即可求解； （3）根据平角的定义得出，得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直角， ∴， ∵， ∴， （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 34．如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图，若，，分别是的角平分线，求的度数； (2)如图，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（）利用角平分线的定义分别求得，，据此求解即可； （）设，则，设，求得，根据题意列出等式，即可求解； 本题考查了角平分线的定义，角度的计算，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 【详解】（1）∵，，分别是的角平分线， ∴，， ∴； （2），理由如下， ∵， ∴设，则， 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴． 35．如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数： (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，熟练掌握对顶角、角平分线的定义，利用角的和差关系准确计算是解题的关键． （1）利用对顶角和角平分线的定义可得，，； （2）设，，则有，求出，再求即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 平分， ； （2）， 设，， ， ， ， ， ， ． 36．如图，直线相交于点，，平分． (1)填空：__________（填“>”“=”“<”），数学依据是 __________． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，对顶角相等 (2) 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线，邻补角等知识．熟练掌握对顶角相等，角平分线，邻补角是解题的关键． （1）由对顶角相等判断作答即可； （2）由，可得，则，由平分，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知， ，数学依据是对顶角相等， 故答案为：，对顶角相等； （2）解：解：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∴的度数为． 37．如图，直线，相交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、邻补角和垂直定义、解一元一次方程，理解相关定义并正确进行角的运算是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义求得，再根据邻补角定义求得，然后利用垂直定义求解即可； （2）设，则，利用角平分线的定义求得，再根平角定义得出x的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ， 解得：， ∴． 38．如图，直线，相交于点O，，平分．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，垂直的定义，掌握角平分线的定义和角之间的关系是解题的关键．利用垂直定义得出，根据，求出，根据邻补角求出，最后根据角平分线定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 39．如图，直线相交于点平分，且． (1)求的大小； (2)在的内部画射线，使，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)相等，见解析 【分析】本题主要考查了邻补角的性质，一元一次方程的应用，角平分线的定义等知识： （1）设，则．根据邻补角的性质可得x的值，再结合对顶角相等可得，然后根据角平分线的定义，可得，即可解答； （2）根据，可得，，即可解答． 【详解】（1）解：设，则． 平分， （2）解：平分，理由如下： 平分 40．如图，已知直线相交于点，，点为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角之间的关系，准确找出角存在的关系是解题的关键． （1）根据平分即可得到，求出即可得到答案； （2）根据比例关系找出等式即可得到答案． 【详解】（1）解： 平分，， ， ， ， ． （2）解：设， 平分， ， ， ， ， ， ． 【题型5 定值问题】 41．已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不变，是定值，见解析． 【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键． ∠AOE-∠BOF的值是定值， （1）首先根据角平分线的定义求得，，然后求解即可； （2）首先由题意可得，再根据角平分线的定义得出，，然后由角平分的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：是定值．理由如下： 由题意：， 则，， ∵平分，平分， ∴， ， ． ∴的值是定值，定值为． 42．如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转． (1)当射线，重合时，______， (2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 【答案】(1) (2)或或 (3)①；②度数不发生变化，为定值，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）直接根据角之间的关系进行求解即可； （2）分当是的角平分线时，当是的角平分线时，当是的角平分线时，三种情况讨论求解即可； （3）①，则；②先由角平分线的定义得到，再由即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴当射线，重合时，， 故答案为：； （2）解：如图2-1所示，当是的角平分线时，则； 如图2-2所示，当是的角平分线时，则； 如图2-3所示，当是的角平分线时，则； 综上所述，的度数为或或； （3）解：①如图所示，∵，， ∴， ∴； ②度数不发生变化，为定值，理由如下： ∵，， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴． 43．问题情境：如图，直线，相交于点．把分成两个角，且． 问题提出： (1)若，求的度数． (2)如果，平分，那么是的平分线吗？试说明理由． 问题解决： (3)若，则是否为定值？若是，请求出定值：若不是，求说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)定值， 【分析】（1）由对角相等，先求出．然后根据即可求解； （2）结合（1）的结论，求出，然后再求即可作出判断； （3）设，则，然后用的代数式把，表示出来，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 又， ； （2）由（1）知当时，， ， 平分， ， ， 是的平分线； （3）是定值，理由如下： 设， 则， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角度的和差倍分关系，角平分线的定义，关键是掌握对顶角相等，角平分线的意义，用代数式表示角的和差倍分关系． 44．在数学活动课上，某学习小组用三角尺拼出了如下图案： (1)图①中，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起．若，则______，______． (2)图②中，将两个同样的三角尺角顶点O叠放在一起，试判断与的和是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)65，115． (2)定值， 【分析】（1）根据角的和差即可求得． （2）两个同样的三角尺角顶点O叠放在一起，重叠部分是2个，是定值． 【详解】（1）∵， ∴， ， 故答案为：65，115． （2）是定值， ∵两个同样的三角尺角顶点O叠放在一起， ∴重叠部分是2个， ∴一个与是， 另一个与是 ∴， 【点睛】此题考查了三角板角度问题，解题的关键是熟知三角板各个角的度数． 45．如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）． (1)如图，当，重合时，求的度数； (2)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由． (3)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？ 【答案】(1) (2)为定值，理由见解析 (3)当时， ；当时，；当时， 【分析】(1)根据角平分线的定义知、，再根据可得答案； (2)由题意知、，根据角平分线的定义得、，代入计算可得答案； (3)分情况计算，利用n表示出，，再根据角之间的关系即可求解． 【详解】（1）解：，，射线平分，射线平分， 、， ； （2）解：的值为定值， 理由如下：如图： 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 ，，点C、D在直线的右侧， 射线平分，射线平分， ，， ， 的值为定值； （3）解：当时，如图2：由(2)知，； 当时，如图3所示， ， ， 射线平分，射线平分， ，， ； 当时，如图4所示， ，， 射线平分，射线平分， ，， ； 综上，与具有的数量关系为：当时， ；当时，；当时，． 【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 46．定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角， (1)如图1，点O在直线AB上，射线OE是∠BOC的角平分线，若∠COE是∠AOC的差余角，求∠BOE的度数； (2)如图2，点O在直线AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC与∠BOE有什么数量关系； (3)已知，点O在直线AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE与OC在直线AB的同侧，请你探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)∠BOE＝30° (2)∠BOC＋∠BOE＝90° (3)是定值， 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠COE＝∠BOE＝∠BOC，根据题意得到∠AOC−∠COE＝∠AOC−∠BOC＝90°，于是得到结论； （2）根据角的和差即可得到结论； （3）如图3，由∠COE是∠AOC的差余角，得到∠AOC＝90°＋∠COE，∠BOC＝90°−∠COE，如图4，由∠COE是∠AOC的差余角，得到∠AOC＝90°＋∠COE，于是得到结论． 【详解】（1）解：∵OE是∠BOC的角平分线， ∴∠COE＝∠BOE＝∠BOC， ∵∠COE是∠AOC的差余角， ∴∠AOC−∠COE＝∠AOC−∠BOC＝90°， ∵∠AOC＋∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝60°， ∴∠BOE＝30°； （2）∵∠BOC是∠AOE的差余角， ∴∠AOE−∠BOC＝∠AOC＋∠COE−∠COE−∠BOE＝∠AOC−∠BOE＝90°， ∵∠AOC＋∠BOC＝180°， ∴∠BOC＋∠BOE＝90°； （3）是定值2， 理由：如图3，∵∠COE是∠AOC的差余角， ∴∠AOC−∠COE＝∠AOE＝90°， ∴∠AOC＝90°＋∠COE，∠BOC＝90°−∠COE， ∴＝＝2（定值）； 如图4，∵∠COE是∠AOC的差余角， ∴∠AOC−∠COE＝90°， ∴∠AOC＝90°＋∠COE， ∵∠BOC＝180°−∠AOC＝180°−（90°＋∠COE）＝90°−∠COE， ∴＝＝2（定值）， 综上所述，为定值． 【点睛】本题考查了新定义，角平分线的定义，角的和差的计算，正确的理解题意是解题的关键． 【题型6 探究数量关系】 47．【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了角度和差的计算，角平分线的定义， （1）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相加即可求解； （2）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相减即可求解； （3）角含有的式子表示出，再计算出和的数量关系． 【详解】解：（1），， ． 又平分，平分， ，， ； ， ； （2），， ； ． ． 又平分， ， ； （3）设，则． ， ， ． ， ， ． 48．已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用： （1）由补角及角平分线的定义可求得的度数，结合直角的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，进而可求解； （3）可分两种情况：①时，时，分别计算可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当时，由题意得， ∴ ， ∴； ②当时， 由题意得， ∴ ， ∴； 综上所述，，． 49．已知，顶点O在直线上，，是的平分线． (1)当点A，B在直线的同侧时，如图1： ①若，则 ； 若，则 ； ②若，则 （用n表示）； (2)当A，B在直线的异侧时，如图2： ①猜想与之间的数量关系，并说明理由； ②若，直接写出的度数． 【答案】(1)①20，40；② (2)①，理由见解析；② 【分析】本题考查了角的计算及角平分线的定义，熟记这些知识点并灵活运用是解题的关键． （1）①根据，再利用角平分线的定义求解即可； ②先求出，再根据是的平分线，得到，最后求即可； （2）①分别写出与可得其数量关系； ②由①的结论即可得的度数． 【详解】（1）解：①，， ， 是的平分线， ， ， 当时， ∵， ， 是的平分线， ， ， 故答案为：20，40， ②，， ， 是的平分线， ， ， 故答案为：； （2）解：①，理由如下： 平分， ， ， ， ， ②若， ∴． 50．已知，射线在的内部，．将射线绕点O逆时针旋转形成射线． (1)如图1，若，那么和的度数相等吗？为什么？ (2)作射线，使射线为的平分线． ①如图2，当射线恰好平分时，求的度数； ②如图3，设，试探究与之间有何数量关系？说明理由． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算． （1）根据，，即可确定和两个角的大小； （2）①根据角平分线的定义可得，再由，可得，然后根据，即可求解； ②根据角平分线的定义可得，再由，可得，即可． 【详解】（1）解：和的度数相等．理由如下： ， ， ， ， ， 即和的度数相等； （2）解：如图， 射线恰好平分， ， 射线恰好平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的度数是； ②答：数量关系是．理由如下： ， ， 射线平分， ， ， ， ， ， 即． 51．已知O为直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，，． (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)点F在射线上，若射线绕点O逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 【答案】(1) (2)不改变，，理由见解析 【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算． （1）利用角平分线和图形寻找出角之间的关系即可得到结论； （2）分两种情况，找出角之间的关系即可求出结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴； （2）解：①在内部时． 令，则，， ∴， ∴； ②的两边在射线的两侧时．令， 则，，， ∴， ∴． 综上可得，和的数量关系不改变，． 52．已知是直线上的一点，是直角，平分． 初步尝试：（1）如图①，若．求的度数； 类比探究：（2）在图①中，若，求的度数（用含的式子表示）； 解决问题：（3）如图②，是直线上的一点，是直角，平分，探究和的度数之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了角度的计算，角平分线等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键 ． （1）解：由题意知，，，根据，计算求解即可； （2）求解过程同（1）； （3）由题意知，，，，进而可得． 【详解】（1）解：由题意知，， ∵平分， ∴， ∴ ， ∴的度数为； （2）解：由题意知，， ∵平分， ∴， ∴ ， ∴的度数为； （3）解：； ∵平分， ∴， ∴， 由题意知，， ∴． 【题型7 证明题】 53．如图，为直线上一点，为射线，，分别为，的平分线．    (1)判断的大小，说明理由； (2)若，求证：为的平分线； (3)若，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）依据，分别为，的平分线，即可得出； （2）依据，即可得出，，进而得到，可得为的平分线； （3）根据，即可得到，再根据，即可得出． 【详解】（1）解：；理由如下： ∵，分别为，的平分线， ∴，， ∴； （2）证明：∵，为的平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； （3）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算．解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． 54．如图，O在直线AB上，射线OD平分∠AOC，射线OE在∠BOC内． （1）若∠DOE＝90°，求证：射线OE是∠BOC的平分线； （2）若∠COE＝∠EOB，∠DOE＝72°，求∠EOB的度数． 【答案】（1）见解析；（2）54° 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再由∠DOE=90°，得到∠AOD+∠BOE=180°-∠DOE=90°，∠COD+∠COE=90°，即可推出∠BOE=∠COE，则射线OE是∠BOC的平分线； （2）由角平分线的定义可得，由∠DOE=72°，可以推出，再由，可得，根据∠AOC+∠BOC=180°，可得，由此求解即可． 【详解】解：∵射线OD平分∠AOC， ∴， ∵∠DOE=90°， ∴∠AOD+∠BOE=180°-∠DOE=90°，∠COD+∠COE=90°， ∴∠BOE=∠COE，射线OE是∠BOC的平分线； （2）射线OD平分∠AOC， ∴， ∵∠DOE=72°， ∴∠COD+∠COE=72°，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵∠AOC+∠BOC=180°， ∴∠AOC+4∠COE=180°， ∴， ∴∠COE=18°， ∴∠EOB=54°． 【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键． 55．如图，直线上有一定点O，射线在直线上方，且． (1)如图1，当平分时，试证明平分； (2)如图2，分别作的平分线，当时，求的度数； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）先根据平角的定义得到，，由角平分线的定义得到，由此即可证明，即平分； （2）分当在内部时，当在内部时，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图所示，当在内部时， ∵分别是的平分线， ∴， ∴； 如图所示，当在外部时， ∵， ∴ ∵分别是的平分线， ∴， ∴； 综上所述，． 56．已知，在∠AOB内部作射线OC，OD平分∠BOC，∠AOD+∠COD＝120°． （1）如图1，求∠AOB的度数； （2）如图2，在∠AOB的外部和∠BOD的内部分别作射线OE、OF，已知∠COD＝2∠BOF+∠BOE，求证：OF平分∠DOE； （3）如图3，在（2）的条件下，在∠COD内部作射线OM，当∠BOM＝4∠COM，∠BOE∠AOC时，求∠MOF的度数． 【答案】（1）∠AOB＝120°；（2）见解析；（3）∠MOF＝66° 【分析】（1）根据OD平分∠BOC，得∠BOD＝∠COD，再由∠AOD+∠COD＝120°，得∠AOD+∠BOD＝120°，即∠AOB＝120°； （2）根据OD平分∠BOC，得∠BOD＝∠COD，再由∠COD＝2∠BOF+∠BOE，得∠BOD＝2∠BOF+∠BOE，可得∠DOF＝∠BOD﹣∠BOF＝2∠BOF+∠BOE﹣∠BOF＝∠BOF+∠BOE＝∠EOF，即可得出结论； （3）设∠AOC＝10α，则∠BOE＝11α，由∠AOB＝120°得∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣10α，根据OD平分∠BOC，得∠COD＝∠BOD∠BOC＝60°﹣5α，再由∠BOM＝4∠COM，得∠COM∠BOC（120°﹣10α）＝24°﹣2α，可得∠DOM＝∠COD﹣∠COM＝36°﹣3α，∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝60°+6α，根据OF平分∠DOE可得∠DOF∠DOE（60°+6α）＝30°+3α，由∠MOF＝∠DOM+∠DOF可得结果． 【详解】（1）解：∵OD平分∠BOC， ∴∠BOD＝∠COD ∵∠AOD+∠COD＝120° ∴∠AOD+∠BOD＝120° 即∠AOB＝120°； （2）证明：∵OD平分∠BOC ∴∠BOD＝∠COD ∵∠COD＝2∠BOF+∠BOE ∴∠BOD＝2∠BOF+∠BOE ∴∠DOF＝∠BOD﹣∠BOF＝2∠BOF+∠BOE﹣∠BOF＝∠BOF+∠BOE＝∠EOF ∴OF平分∠DOE； （3）解：设∠AOC＝10α，则∠BOE＝11α ∵∠AOB＝120° ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣10α ∵OD平分∠BOC ∴∠COD＝∠BOD∠BOC＝60°﹣5α ∵∠BOM＝4∠COM ∴∠COM∠BOC（120°﹣10α）＝24°﹣2α ∴∠DOM＝∠COD﹣∠COM＝（60°﹣5α）﹣（24°﹣2α）＝36°﹣3α ∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝（60°﹣5α）+11α＝60°+6α ∵OF平分∠DOE ∴∠DOF∠DOE（60°+6α）＝30°+3α ∴∠MOF＝∠DOM+∠DOF＝（36°﹣3α）+（30°+3α）＝66°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及角的计算．解题的关键是掌握角平分线的定义以及角的计算方法.容易出错的地方是解（3）小题角之间的和差计算． 57．已知：直线和相交于点O（为锐角），点E在直线上方，，平分． (1)如图，若，求的度数；    (2)如图，求证：；    (3)若，过点O作射线，使，求的度数．    【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据角平分线的意义求出，再由求解即可； （2）先由角平分线的定义得出，再求出，利用等式的性质即可证明； （3）先由角平分线的意义和角的和差得出，再分两种情况进行讨论：①当在直线下方时，②当在直线上方时，进行求解即可． 【详解】（1）∵平分，， ∴， ∵， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当在直线下方时，； ②当在直线上方时，； 综上所述，的度数是或． 【点睛】本题考查了角平分线的意义和角的和差，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键． 58．如图，在平面内的五条射线中，射线是逆时针方向排列，，射线平分．    (1)当射线都在内部，且时，如图1． ①若，则______； ②若射线平分，则______； (2)当射线分别在内、外部时，如图2，求证：； (3)当射线都在外部时，如图3，若，则______（用含的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算： （1）根据角平分线的定义可得，①根据题意可得，从而得到，即可求解；②根据射线平分，可得，进而得到，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，从而得到，，即可求证； （3）根据，可得 ，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：射线平分 ， ①∵，， ， ， ， ∴， 故答案为： ②射线平分， ， ， ； 故答案为： （2）解：射线平分， ， ， ∴， ； （3）解：， ， ， ． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 角解答题按梯度分类训练 （7种类型58道） 目录 【题型1 补全证明过程】 1 【题型2 利用互余或互补求角度】 6 【题型3 利用角平方线求角度】 9 【题型4 利用比例求角度】 12 【题型5 定值问题】 15 【题型6 探究数量关系】 17 【题型7 证明题】 19 【题型1 补全证明过程】 1．补全解题过程 如图，两个直角三角板的直角顶点重合，，求的度数． 解：∵__________（已知） _________（已知） ∴___________（____________） ∵（已知） ∴_________（____________） 2．如图，，平分，交边于点D，平分，交边于点E． (1)依题意补全图形； (2)①________； ②补全证明过程． 证明：∵平分，平分， ∴， ________．（理由：________） ∵， ∴_____． 3．已知，平分，平分． (1)如图，在外部，求的度数． ①依题意补全图形； ②完成下面的解答过程． 解：∵平分，平分， ∴ ， （理由： ）． ∵， ∴ °， °， ∴ (2)若在内部，则的度数是 ． 4．如图①，是直线上的一点，是直角，平分． (1)若时，则的度数为______； (2)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究和的度数之间的关系．小明同学提供的解法如下，请补全证明过程： 解：∵平分（已知） ∴______（） ∵是直角（已知） ∴______（直角的定义） ∴______ ∴ ∴______． (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变．直接写出和的度数之间的关系：______． 5．补全解题过程： 如图，，，为的平分线，求的度数． 解：∵，， ∴________， ∴________， ∵为的平分线， ∴________________ ∴________________． 6．补全解题过程． 如图，，，平分，求的度数． 解：，， 　　　　， 平分 　　（依据：　　）， ， 　　． 7．如图，平分． (1)若，求的度数． 请你补全下列解题过程． _____________________ 平分， ______________ ________． ________． (2)若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 8．补全解题过程： 如图，，，为的平分线，求的度数． 解：∵，， ∴________， ∴________， ∵为的平分线， ∴________________（依据：________） ∴________________． 9．补全解题过程 已知：如图，O是直线上的一点，，平分．若，求的度数； 解：∵O是直线上的一点，（已知） ∴______． ，（已知） ______． 平分，（已知） ______． _____°． ∵，且， ______°． 10．如图，平分，． (1)若，求的度数． 请你补全下列解题过程． 平分， ____________（理由：________________________） ， ___________． ________________________，， ____________． (2)若，直接写出的度数．（用含的式子表示） 【题型2 利用互余或互补求角度】 11．如图，已知内部有三条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数（写出求解过程）； (3)若将条件中“平分，平分．平分”改为“，”，且，求的度数（写出求解过程）． 12．已知点O为直线上一点，，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 13．如图，点O在直线上，． (1)图中除外，还有哪些角是直角？ (2)图中有哪些相等的角？ (3)指出图中与互余的角、与互补的角． 14．如图，已知点为直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 15．如图，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，直接写出的度数．（用含α的式子表示） 16．新定义：若的度数是的度数的n倍，则叫做的n倍角． (1)若，请直接写出的4倍角的度数； (2)如图1所示，若，请直接写出图中所有的2倍角； (3)如图2所示，若是的3倍角，是的4倍角，且，求的度数． 17．如图，已知平分，平分．    (1)如图①，求的度数； (2)如图②，如果，那么是多少度？ (3)如图②，如果，那么是多少度？ 18．如图，，请你根据图形，求解下列问题： (1)在中，哪些角是锐角？哪些角是直角？哪些角是钝角？哪些角是平角？并用“”把它们连接起来； (2)是哪两个角的和？ (3)写出中某些角之间的两个等量关系； (4)如果，则的度数为_________． 19．如图所示，已知平分平分． (1)如图， ___________； (2)将绕O点向下旋转，使，其他条件不变，能否求出的度数？若能，求出其值，若不能，请说明理由； (3)若，仍然分别作的平分线，，能否求出的度数？若能，求的度数；若不能，试说明理由． 20．已知：如图，O是直线上一点，，作射线． (1)如图1，若平分，，则＝______°(直接写出答案)； (2)如图2，若平分，比大36°，求的度数 (3)如图3，若平分，当时，能否求出的度数？若可以，求出度数；若不可以，请说明理由． 【题型3 利用角平方线求角度】 21．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 22．如图，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，，求． 23．如图，已知O为直线上一点，是内部一条射线且满足与互补，，分别为，的角平分线． (1)与相等吗？请说明理由； (2)若，试求与的度数； (3)若，试求的度数． 24．如图，已知，射线在内部，射线逆时针旋转得到，是的角平分线． (1)如图，若是的角平分线，且时，求． (2)如图，若是的角平分线，则 ．（用含有的代数式表示） (3)在（1）的条件下，若射线从OE出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，若射线、同时开始旋转直至重合后停止运动，多少时间后得到，请直接写出答案． 25．如图，已知为直线上一点，与互余，，分别为，的角平分线． (1)与相等吗？请说明理由； (2)若，试求的度数． 26．如图，已知，是的角平分线，是的平分线，且，求的度数． 27．如图，已知，是的角平分线，若，求的度数． 28．已知分别是和的角平分线． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，则______（用含的代数式表示）． 29．如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 30．已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【题型4 利用比例求角度】 31．如图，直线交于点O，平分平分：，求的度数． 32．已知，，平分． (1)如图，若，求的度数； (2)将顺时针旋转至如图的位置，若平分，，求的度数． 33．如图1，O是直线上的一点，是直角，． (1)若时，则的度数为 ； (2)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变．若，直接写出 ． 34．如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图，若，，分别是的角平分线，求的度数； (2)如图，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 35．如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数： (2)若，求的度数． 36．如图，直线相交于点，，平分． (1)填空：__________（填“>”“=”“<”），数学依据是 __________． (2)若，求的度数． 37．如图，直线，相交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 38．如图，直线，相交于点O，，平分．若，求的度数． 39．如图，直线相交于点平分，且． (1)求的大小； (2)在的内部画射线，使，试判断与的数量关系，并说明理由． 40．如图，已知直线相交于点，，点为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【题型5 定值问题】 41．已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 42．如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转． (1)当射线，重合时，______， (2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 43．问题情境：如图，直线，相交于点．把分成两个角，且． 问题提出： (1)若，求的度数． (2)如果，平分，那么是的平分线吗？试说明理由． 问题解决： (3)若，则是否为定值？若是，请求出定值：若不是，求说明理由． 44．在数学活动课上，某学习小组用三角尺拼出了如下图案： (1)图①中，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起．若，则______，______． (2)图②中，将两个同样的三角尺角顶点O叠放在一起，试判断与的和是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 45．如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）． (1)如图，当，重合时，求的度数； (2)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由． (3)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？ 46．定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角， (1)如图1，点O在直线AB上，射线OE是∠BOC的角平分线，若∠COE是∠AOC的差余角，求∠BOE的度数； (2)如图2，点O在直线AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC与∠BOE有什么数量关系； (3)已知，点O在直线AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE与OC在直线AB的同侧，请你探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【题型6 探究数量关系】 47．【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 48．已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 49．已知，顶点O在直线上，，是的平分线． (1)当点A，B在直线的同侧时，如图1： ①若，则 ； 若，则 ； ②若，则 （用n表示）； (2)当A，B在直线的异侧时，如图2： ①猜想与之间的数量关系，并说明理由； ②若，直接写出的度数． 50．已知，射线在的内部，．将射线绕点O逆时针旋转形成射线． (1)如图1，若，那么和的度数相等吗？为什么？ (2)作射线，使射线为的平分线． ①如图2，当射线恰好平分时，求的度数； ②如图3，设，试探究与之间有何数量关系？说明理由． 51．已知O为直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，，． (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)点F在射线上，若射线绕点O逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 52．已知是直线上的一点，是直角，平分． 初步尝试：（1）如图①，若．求的度数； 类比探究：（2）在图①中，若，求的度数（用含的式子表示）； 解决问题：（3）如图②，是直线上的一点，是直角，平分，探究和的度数之间的数量关系． 【题型7 证明题】 53．如图，为直线上一点，为射线，，分别为，的平分线．    (1)判断的大小，说明理由； (2)若，求证：为的平分线； (3)若，求的度数． 54．如图，O在直线AB上，射线OD平分∠AOC，射线OE在∠BOC内． （1）若∠DOE＝90°，求证：射线OE是∠BOC的平分线； （2）若∠COE＝∠EOB，∠DOE＝72°，求∠EOB的度数． 55．如图，直线上有一定点O，射线在直线上方，且． (1)如图1，当平分时，试证明平分； (2)如图2，分别作的平分线，当时，求的度数； 56．已知，在∠AOB内部作射线OC，OD平分∠BOC，∠AOD+∠COD＝120°． （1）如图1，求∠AOB的度数； （2）如图2，在∠AOB的外部和∠BOD的内部分别作射线OE、OF，已知∠COD＝2∠BOF+∠BOE，求证：OF平分∠DOE； （3）如图3，在（2）的条件下，在∠COD内部作射线OM，当∠BOM＝4∠COM，∠BOE∠AOC时，求∠MOF的度数． 57．已知：直线和相交于点O（为锐角），点E在直线上方，，平分． (1)如图，若，求的度数；    (2)如图，求证：；    (3)若，过点O作射线，使，求的度数．    58．如图，在平面内的五条射线中，射线是逆时针方向排列，，射线平分．    (1)当射线都在内部，且时，如图1． ①若，则______； ②若射线平分，则______； (2)当射线分别在内、外部时，如图2，求证：； (3)当射线都在外部时，如图3，若，则______（用含的式子表示）． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$