专题02 不等式（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【学考必备】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（广东专用）

专题02 不等式 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 2 考点精讲讲练 4 考点一：不等式的性质 4 考点二：和定求积和积定求和 7 考点三：配凑法 11 考点四：“1”的代换 14 考点五：解不含参数的一元二次不等式 18 考点六：由二次不等式的解确定参数 21 考点七：不等式的实际应用 24 实战能力训练 29 明晰学考要求 1、了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景； 2、会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型； 3、通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系； 4、会解一元二次不等式； 5、了解基本不等式的证明过程； 6、会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 基础知识梳理 一、不等式的性质 1.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 双向性 传递性 单向性 可加性 双向性 同向可加性 单向性 可乘性 单向性，注意的符号 同向同正可乘性 单向性 可乘方性 单向性 可开方性 单向性 2.倒数以及分数的有关性质 倒数的性质 . . . . 分数的性质（） ； ； 二、基本不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 三、一元二次不等式及其解法 1．三个“二次”之间的关系 判别式 的图象 一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集 2．一元二次不等式恒成立问题 （1）恒成立的充要条件是：或 （2）恒成立的充要条件是：或 考点精讲讲练 考点一：不等式的性质 利用不等式判断正误的方法： ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 【典型例题】 例1．（2024高二上·北京·学业考试）已知，则下面不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于ABD:取，满足，显然和，都不成立； 对于C：由可得，故成立. 故选：C 例2．（2024高二下·湖北·学业考试）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为， 则有. 故选：C 例3．（2022高二下·河北·学业考试）若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于ABC，令，显然满足，同时，，，故ABC错误； 对于D，若，则，故D正确. 故选：D. 例4．（2022高二下·河北·学业考试）若实数a，b，c满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 由不等式性质可知，，故AC错误； 由，可得，不等式性质可知，故B错误； 由可知，所以，即， 又，所以，故D正确. 故选：D 例5．（2024高二下·福建·学业考试）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，A正确； ，因此，B错； 时，，但，，CD错； 故选：A． 【即时演练】 1．下列不等式性质哪个是错误的（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，由不等式的传递性知，若，则，因此A正确； 对于B，由不等式的可加性知，，则，因此B正确； 对于C，若，则，因此C不正确； 对于D，由不等式的可乘性知，若，则，因此D正确； 故选：C. 2．若，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，当时，则，又因为，所以，故A不正确； 对于B，当时，由，得，故B不正确； 对于C，因为，所以，由，得，故C正确； 对于D，当时，则，由，可得，故D不正确. 故选：C. 3．下面不等式成立的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】B 【详解】对于A，取，满足，，而，A错误； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，由，得，则，而， 于是，，D错误. 故选：B 4．如果，那么下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若时，，，，即A、B、C错； 由，则恒成立，D对. 故选：D 5．下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于A,当时，显然不成立，故A错误； 对于B，由，利用不等式的性质易得，故B正确； 对于C，当时，取，则，故C错误； 对于D，当时，，由不等式的性质，可得，故D错误. 故选：B. 考点二：和定求积和积定求和 （1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 注意：应用不等式需满足“一正二定三相等” 【典型例题】 例1．（2022高二下·河北·学业考试）已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，当且仅当时取等号， 故选：C. 例2．（2024高二下·安徽·学业考试）已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】A 【详解】因为，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为1， 而，且，故无最小值. 故选：A 例3．（2023高三·河北·学业考试）若，，且，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由题知，，，且 因为， 所以， 所以，即， 当且仅当，即时，取等号， 故答案为： 例4．已知正实数m，n满足，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】由于， 所以， 即，当且仅当时等号成立． 故选:B． 例5．已知x､，且，则的最大值为 【答案】或 【详解】因为且， 所以，即， 当且仅当，即且时取等号， 此时取最大值为. 故答案为：. 【即时演练】 1．若正数满足：，则当取最大值时的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】根据基本不等式，解得 当且仅当时等号成立， 故选：A. 2．已知为正实数，且满足，则的最大值是 ． 【答案】100 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 即的最大值为. 故答案为： 3．已知函数，则当且仅当 时，有最小值 ． 【答案】 /0.5 2 【详解】,当且仅当，即时取等号，且的最小值为2， 故答案为：，2 4．已知正数，满足则的最大值为 . 【答案】/ 【详解】因为，所以， 因为，为正数，故，所以， 所以， 当且仅当即，此时，取到最大值为. 故答案为： 5．已知，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为. 故答案为： 考点三：配凑法 添项配凑出“和为定值”或“积为定值”，使用基本不等式； 【典型例题】 例1．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）若，则函数的最小值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为15. 故选：D. 例2．已知，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．2 【答案】B 【详解】由于，故，所以， 当且仅当，即时等号成立，故最小值为4. 故选：B 例3．（2023高二·湖南衡阳·学业考试）函数（）的最小值是 ． 【答案】6 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数（）的最小值是. 故答案为： 例4．（2022高二下·辽宁·学业考试）已知，则函数的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为, 故答案为：. 例5．若，则的最小值是 . 【答案】/ 【详解】因为，则， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为： 【即时演练】 1．函数的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【详解】， 故最小值是4,当且仅当，解得.时,取得最小值. 故选：A 2．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】解：因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以函数的最小值是 故选：A 3．已知，，，则的最大值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】由，，，得，当且仅当时取等号， 所以的最大值是1. 故选：D 4．已知，则的最小值为（   ） A． B．0 C．4 D．8 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为0. 故答案为：B. 5．若，则的最小值为 . 【答案】8 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8． 故答案为：. 考点四：“1”的代换 出现分式相加模型，可进行以下步骤： ①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式； ②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值． 【典型例题】 例1．（2022高三下·广东·学业考试）已知，且，，则的最小值是（     ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】B 【详解】， 当且仅当时等号成立，又，解得. 故选：B. 例2．若正实数，满足．则的最小值为（   ） A．12 B．25 C．27 D．36 【答案】C 【详解】解：因为，所以． 因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立， 所以，的最小值为27． 故选：C 例3．若，，，则的最小值为 . 【答案】4 【详解】易知， 当且仅当时，等号成立； 即的最小值为4； 故答案为：4 例4．（2023高二下·浙江·学业考试）正实数x，y满足，则的最小值是（    ） A．3 B．7 C． D． 【答案】C 【详解】由得，所以， 由于， 由于 为正数，所以，当且仅当 时等号成立， 故选：C 例5．（2023高三上·重庆·学业考试）已知，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，所以， 故， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以，则的最小值为. 故答案为：. 【即时演练】 1．若，，，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【详解】根据题意可得 当且仅当 即时，等号成立，此时最小值为3. 故选：B. 2．已知，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 3．若正实数a， b满足则有（   ） A．最小值，且最小值为 B．最小值，且最小值为 C．最大值，且最大值为 D．最大值，且最大值为 【答案】B 【详解】已知，，且满足， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 4．已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，且， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 5．已知，，且. (1)证明： (2)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【详解】（1）因为，，所以， 当且仅当时，等号成立. 因为，所以 所以，所以. （2）因为，所以. 因为，，所以 当且仅当，即时，等号成立， 则， 故，即的最小值是2 考点五：解不含参数的一元二次不等式 解一元二次不等式的一般步骤： （1）通过对不等式变形，使二次项系数大于零； （2）计算对应方程的判别式； （3）求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； （4）根据函数图象与轴的相关位置写出不等式的解集． 【典型例题】 例1．（2024高二上·北京·学业考试）在下列各数中，满足不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解不等式得. 故选：B. 例2．（2024高二下·福建·学业考试）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】解不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：A 例3．（2024高二上·北京·学业考试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由题意知，或， 所以原不等式的解集为或. 故选：D 例4．（2021高二上·新疆·学业考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式，解得. 所以原不等式的解集为. 故选：A 例5．（2023高三上·广西·学业考试）二次函数的图象如图所示，不等式的解集为（    ）    A．R B． C． D． 【答案】B 【详解】根据函数的图象可得的解集为. 故选：B. 【即时演练】 1．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】因为，所以，解得， 所以的解集为. 故选：A. 2．不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【详解】由不等式可化为， 由， 所以的解集为空集， 故选：D 3．不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【详解】，解得或. 故选：B. 4．不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由，得，即， 所以不等式的解集为R. 故答案为：R. 5．不等式的解集为 ． 【答案】. 【详解】， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 考点六：由二次不等式的解确定参数 （1）一元二次不等式的解集的端点值是一元二次方程的根，也是函数的图象与轴交点的横坐标． （2）二次函数的图象在轴上方的部分，是由不等式的的值构成的；图象在轴下方的部分，是由不等式的的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． 【典型例题】 例1．（2024高三上·广东·学业考试）若不等式的解集为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，是方程的两个根，且， 则，解得， 所以. 故选：D. 例2．（2019高二·湖南·学业考试）若关于的不等式的解集为，则 . 【答案】6 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以2,4是方程的根， 故， 故答案为：6 例3．（2011高二上·山东潍坊·学业考试）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】关于的不等式的解集为， 则的图象在轴上方， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，考查分析能力以及逻辑推理能力，属基础题. 例4．（2023高三·广东·学业考试）已知关于x的不等式的解集中的一个元素为2，则实数a的取值范围为 【答案】 【详解】由题意可知:是不等式的解，所以，即，解得． 故答案为： 例5．（2022高二下·宁夏吴忠·学业考试）已知不等式，若不等式的解集为或，求的值. 【答案】 【详解】∵不等式的解集为{x|x<-3或x>-2} ∴k<0且是方程 的两根. 由韦达定理得 所以， 即 【即时演练】 1．已知不等式的解集是，则实数（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】A 【详解】由题知，是方程的根， 根据韦达定理得，解得. 故选：. 2．已知1，是方程的两个根，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由一元二次方程根与系数的关系可得，即可得. 故选：C 3．已知不等式的解集非空，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，解之得. 故选：B 4．若关于的不等式 的解集为空集，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】由题意得，关于的不等式 的解集为空集， 当时，，符合题意； 当时，则须满足，即，解得， 综上所述，的取值范围是， 故答案为： 5．关于的不等式的解集为，则 ． 【答案】 【详解】由于不等式的解集为， 所以，解得， 所以. 故答案为： 考点七：不等式的实际应用 【典型例题】 例1．（2024高二下·安徽·学业考试）某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备 台． 【答案】400 【详解】每台设备的平均成本， 当且仅当，时，等号成立， 故答案为：400. 【点睛】方法点睛：均值不等式常用结论 1、如果，，则，当且仅当时取等号； 推论：； 2、如果，那么，当且仅当时取等号； 推论：； 3、 例2．（2021高二上·广西·学业考试）某中学计划在劳动实习基地的空地上用篱笆围出一个面积为的矩形菜地，则需要的篱笆长度至少是 m. 【答案】 【详解】设矩形的长为，宽为，则， 因为，当且仅当时，取等号， 所以需要的篱笆长度至少是. 故答案为：. 例3．（2024高二下·湖北·学业考试）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 【答案】A 【详解】由题意得：，令， 即，解得， 所以排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为. 故选：A. 例4．（2020高二·广西·学业考试）用长度为的铁丝围成一个矩形，该矩形面积的最大值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，设矩形的长为，宽为， 由条件可得，所以， 则， 当且仅当时等号成立， 故矩形面积的最大值等于. 故选：B. 例5．（2023高二·湖北·学业考试）为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设花卉带的宽度为，则， 所以，即，可得， 又，故，而，则可能取值为2. 故选：B 【即时演练】 1．某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设这批削笔器的销售价格定为元/个， 由题意得，即， ∵方程的两个实数根为,， 解集为，又，， 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)， 才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入. 故选：B 2．已知某商品每件的成本为8元，每月销量（万件）与每件售价（元）的函数关系近似为：，若使每月的净利润最高，则每件售价应定为（    ）（注：净利润销售总额总成本） A．10元 B．12元 C．15元 D．16元 【答案】B 【详解】设每月的净利润为， 由题意， ， 当且仅当，即时，等号成立， 则每件售价应定为元. 故选：B. 3．某校为了让学生感受生命的奥秘，培养学生热爱自然、探索大自然的意识，开展了“种植当岁初，滋荣及春暮”的活动.学校打算在宿舍后面的空地上开设一块面积为50m2的矩形田地让学生种植自己喜欢的植物，四周留有宽度分别为1m和2m的过道，如图所示，则该矩形田地的边长为 m时，过道占地面积最小，最小面积为 m2. 【答案】 【详解】设矩形田地的边长为，过道占地面积为， 由题意可得， 当且仅当时，即时，最小，且， 所以矩形田地的边长为时，过道占地面积最小，最小面积为. 故答案为：； 4．如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周斜线部分铺设宽度相同的观赏通道已知三块花卉的面积均为平方米．若矩形花卉的长比宽至少多米，则花卉宽的取值范围为 . 【答案】 【详解】设矩形花卉的宽为米， 因为三块花卉的面积均为平方米，则长为米， 又矩形花卉的长比宽至少多米，所以， 即，即， 解得， 所以花卉宽的取值范围是. 故答案为：. 5．某地方政府准备建造一个面积为平方米的矩形运动场地（如图所示，包括阴影部分和中间三个矩形区域），其中阴影部分为走道，走道宽度均为米，中间的三个矩形区域设计铺设塑胶地面（其中两个小场地形状大小相同），塑胶地面总面积为平方米． (1)设矩形相邻的两边分别米和米（如图），试写出关于的关系式，并给出的取值范围； (2)怎样设计能使取得最大值，并求出最大值． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值为 【详解】（1）依题意，，，得， ，而，所以. ，， （2）由（1）得， 所以 ， 当且仅当，时等号成立. 所以当时，取得最大值为. 实战能力训练 1．已知，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，， 若，则， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 2．已知0＜x＜1，则的最小值是（   ） A．16 B．25 C．27 D．34 【答案】B 【详解】由，得 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值25． 故选：B. 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】不等式，可化为， 因为不等式的解集为， 所以不等式的解集为. 故选：A. 4．已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，当时，，故A错误， 对于B，取，满足，但，故B错误， 对于C，由于， 故时，由于不同时为0，故不可能同时为0，故，因此，反之也成立，故C正确， 对于D，若为负数，则无意义，故D错误， 故选：C 5．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：当时，，选项A错误； 对于B：因为，令，则，选项B错误； 对于C：，因为，，若，则，选项C错误； 对于D：由，得，则，选项D正确， 故选：D. 6．若正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为正数满足， 所以， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为. 故答案为：. 7．函数的最小值是 . 【答案】 【详解】由基本不等式可得，等号成立当且仅当， 所以函数的最小值是. 故答案为：. 8．已知，，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由，得，当且仅当时等号成立， 所以， 即的最小值为. 故答案为： 9．已知正实数满足，则的最小值是 . 【答案】 【详解】解：因为正实数满足， 所以，由基本不等式可知，，当且仅当时等号成立， 所以，的最小值是. 故答案为： 10．当时，函数的最小值为 . 【答案】 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 11．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值等于每次的购买吨数数值，则每次购买该种货物的吨数是 时，一年的总运费与总存储费用（单位：万元）之和最小，最小值是 万元. 【答案】 【详解】设每次购买该种货物的吨数为吨，则共买次，其中， 故一年的总运费与总存储费用（单位：万元）之和为， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 故每次购买该种货物的吨数为吨时， 一年的总运费与总存储费用（单位：万元）之和最小，最小值是（万元） 故答案为：. 12．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为： 13．“不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为不等式对一切实数都成立， 所以，即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为:. 14．若关于x的不等式的解集是，则的解集为 . 【答案】 【详解】∵不等式的解集是， ∴方程的两个根为 则. 由得，即， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 不等式 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 1 考点精讲讲练 3 考点一：不等式的性质 3 考点二：和定求积和积定求和 5 考点三：配凑法 6 考点四：“1”的代换 7 考点五：解不含参数的一元二次不等式 8 考点六：由二次不等式的解确定参数 9 考点七：不等式的实际应用 10 实战能力训练 12 明晰学考要求 1、了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景； 2、会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型； 3、通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系； 4、会解一元二次不等式； 5、了解基本不等式的证明过程； 6、会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 基础知识梳理 一、不等式的性质 1.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 双向性 传递性 单向性 可加性 双向性 同向可加性 单向性 可乘性 单向性，注意的符号 同向同正可乘性 单向性 可乘方性 单向性 可开方性 单向性 2.倒数以及分数的有关性质 倒数的性质 . . . . 分数的性质（） ； ； 二、基本不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 三、一元二次不等式及其解法 1．三个“二次”之间的关系 判别式 的图象 一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集 2．一元二次不等式恒成立问题 （1）恒成立的充要条件是：或 （2）恒成立的充要条件是：或 考点精讲讲练 考点一：不等式的性质 利用不等式判断正误的方法： ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 【典型例题】 例1．（2024高二上·北京·学业考试）已知，则下面不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2024高二下·湖北·学业考试）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 例3．（2022高二下·河北·学业考试）若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 例4．（2022高二下·河北·学业考试）若实数a，b，c满足，，则（    ） A． B． C． D． 例5．（2024高二下·福建·学业考试）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．下列不等式性质哪个是错误的（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．若，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．下面不等式成立的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 4．如果，那么下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点二：和定求积和积定求和 （1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 注意：应用不等式需满足“一正二定三相等” 【典型例题】 例1．（2022高二下·河北·学业考试）已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 例2．（2024高二下·安徽·学业考试）已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 例3．（2023高三·河北·学业考试）若，，且，则的最大值为 ． 例4．已知正实数m，n满足，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 例5．已知x､，且，则的最大值为 【即时演练】 1．若正数满足：，则当取最大值时的值为（   ） A．1 B． C． D． 2．已知为正实数，且满足，则的最大值是 ． 3．已知函数，则当且仅当 时，有最小值 ． 4．已知正数，满足则的最大值为 . 5．已知，则的最小值为 . 考点三：配凑法 添项配凑出“和为定值”或“积为定值”，使用基本不等式； 【典型例题】 例1．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）若，则函数的最小值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 例2．已知，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．2 例3．（2023高二·湖南衡阳·学业考试）函数（）的最小值是 ． 例4．（2022高二下·辽宁·学业考试）已知，则函数的最小值为 ． 例5．若，则的最小值是 . 【即时演练】 1．函数的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 3．已知，，，则的最大值是（   ） A． B． C． D．1 4．已知，则的最小值为（   ） A． B．0 C．4 D．8 5．若，则的最小值为 . 考点四：“1”的代换 出现分式相加模型，可进行以下步骤： ①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式； ②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值． 【典型例题】 例1．（2022高三下·广东·学业考试）已知，且，，则的最小值是（     ） A．24 B．25 C．26 D．27 例2．若正实数，满足．则的最小值为（   ） A．12 B．25 C．27 D．36 例3．若，，，则的最小值为 . 例4．（2023高二下·浙江·学业考试）正实数x，y满足，则的最小值是（    ） A．3 B．7 C． D． 例5．（2023高三上·重庆·学业考试）已知，则的最小值为 . 【即时演练】 1．若，，，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 2．已知，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 3．若正实数a， b满足则有（   ） A．最小值，且最小值为 B．最小值，且最小值为 C．最大值，且最大值为 D．最大值，且最大值为 4．已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．已知，，且. (1)证明： (2)求的最小值. 考点五：解不含参数的一元二次不等式 解一元二次不等式的一般步骤： （1）通过对不等式变形，使二次项系数大于零； （2）计算对应方程的判别式； （3）求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； （4）根据函数图象与轴的相关位置写出不等式的解集． 【典型例题】 例1．（2024高二上·北京·学业考试）在下列各数中，满足不等式的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2024高二下·福建·学业考试）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 例3．（2024高二上·北京·学业考试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 例4．（2021高二上·新疆·学业考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 例5．（2023高三上·广西·学业考试）二次函数的图象如图所示，不等式的解集为（    ）    A．R B． C． D． 【即时演练】 1．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 2．不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 3．不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 4．不等式的解集为 ． 5．不等式的解集为 ． 考点六：由二次不等式的解确定参数 （1）一元二次不等式的解集的端点值是一元二次方程的根，也是函数的图象与轴交点的横坐标． （2）二次函数的图象在轴上方的部分，是由不等式的的值构成的；图象在轴下方的部分，是由不等式的的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． 【典型例题】 例1．（2024高三上·广东·学业考试）若不等式的解集为，则（    ） A．1 B． C． D． 例2．（2019高二·湖南·学业考试）若关于的不等式的解集为，则 . 例3．（2011高二上·山东潍坊·学业考试）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 例4．（2023高三·广东·学业考试）已知关于x的不等式的解集中的一个元素为2，则实数a的取值范围为 例5．（2022高二下·宁夏吴忠·学业考试）已知不等式，若不等式的解集为或，求的值. 【即时演练】 1．已知不等式的解集是，则实数（   ） A． B． C．6 D．7 2．已知1，是方程的两个根，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 3．已知不等式的解集非空，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若关于的不等式 的解集为空集，则实数的取值范围是 5．关于的不等式的解集为，则 ． 考点七：不等式的实际应用 【典型例题】 例1．（2024高二下·安徽·学业考试）某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备 台． 例2．（2021高二上·广西·学业考试）某中学计划在劳动实习基地的空地上用篱笆围出一个面积为的矩形菜地，则需要的篱笆长度至少是 m. 例3．（2024高二下·湖北·学业考试）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 例4．（2020高二·广西·学业考试）用长度为的铁丝围成一个矩形，该矩形面积的最大值等于（   ） A． B． C． D． 例5．（2023高二·湖北·学业考试）为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（    ）    A． B． C． D． 【即时演练】 1．某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知某商品每件的成本为8元，每月销量（万件）与每件售价（元）的函数关系近似为：，若使每月的净利润最高，则每件售价应定为（    ）（注：净利润销售总额总成本） A．10元 B．12元 C．15元 D．16元 3．某校为了让学生感受生命的奥秘，培养学生热爱自然、探索大自然的意识，开展了“种植当岁初，滋荣及春暮”的活动.学校打算在宿舍后面的空地上开设一块面积为50m2的矩形田地让学生种植自己喜欢的植物，四周留有宽度分别为1m和2m的过道，如图所示，则该矩形田地的边长为 m时，过道占地面积最小，最小面积为 m2. 4．如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周斜线部分铺设宽度相同的观赏通道已知三块花卉的面积均为平方米．若矩形花卉的长比宽至少多米，则花卉宽的取值范围为 . 5．某地方政府准备建造一个面积为平方米的矩形运动场地（如图所示，包括阴影部分和中间三个矩形区域），其中阴影部分为走道，走道宽度均为米，中间的三个矩形区域设计铺设塑胶地面（其中两个小场地形状大小相同），塑胶地面总面积为平方米． (1)设矩形相邻的两边分别米和米（如图），试写出关于的关系式，并给出的取值范围； (2)怎样设计能使取得最大值，并求出最大值． 实战能力训练 1．已知，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知0＜x＜1，则的最小值是（   ） A．16 B．25 C．27 D．34 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 4．已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．若正数满足，则的最小值为 . 7．函数的最小值是 . 8．已知，，且，则的最小值为 . 9．已知正实数满足，则的最小值是 . 10．当时，函数的最小值为 . 11．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值等于每次的购买吨数数值，则每次购买该种货物的吨数是 时，一年的总运费与总存储费用（单位：万元）之和最小，最小值是 万元. 12．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 13．“不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为 ． 14．若关于x的不等式的解集是，则的解集为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$