专题4-2 相似三角形（考题猜想，单元综合提升卷）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版）

2024-2025学年九年级数学上学期单元复习卷 四、相似三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．1，1，2，3 B．2，3，6，9 C．5，6，7，8 D．3，6，9，4 2．已知：，下列图形中，与不存在位似关系的是（ ） A． B． C． D． 3．已知，则下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着黄金分割（黄金比例为），如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 5．如图，两条直线和被三条平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，若，，则的长为（    ） A． B．5 C．6 D．8 6．D、E分别是边、上的点，，若，，，则的长是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径为5尺，不知其深，立5尺长的木于井上，从木的末端E点观察井水水岸A处，测得“入径”为4寸，问井深是多少？（其中1尺寸）”根据译文信息，则井深为（　　） A．500寸 B．525寸 C．50寸 D．575寸 8．如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 9．已知直角坐标系中四点A(－2，4)、B(－2，0)、C(2，－3)、D(2，0)．若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 10．如图，正方形中，，点N为边上一点，连接，作于点P，点M为边上一点，且，连接．下列结论正确的个数有（    ） （1）                             （2） （3）                             （4）若点N为中点，则 （5） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知线段，那么线段a和b的比例中项为 ． 12．在比例尺为的地图上，相距10厘米的两地实际距离为 千米． 13．如图，在中，，连接，交于点F，，则的长为 ． 14．如图，中，，如果F是的重心，那么 ． 15．如图，已知矩形与矩形是位似图形，M是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则图中点M的坐标为 . 16．如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝2，则AB的长为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分8分）已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证：． 18．（本题满分8分）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)写出点的坐标为______； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 19．（本题满分8分）如图，若直线，它们依次交直线m、n于点A，B，C和点D，E，F． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 20．（本题满分8分）如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 21．（本题满分8分）如图，在家中的小华从离窗台A水平距离的M点望去，通过窗台A处刚好俯瞰到远处医院箱式板房的顶部远端的E点，小华又向窗户方向前进到Q点，恰好通过窗台A处看到板房的顶部近处的D点，已知、、、都垂直于地面，N、F在直线上，、都平行于地面，长，请你帮助小华计算的长度． 22．（本题满分10分）如图，在中，点、分别在边、上，且，，，．    (1)如果，求线段的长； (2)设的面积为2，求的面积． 23．（本题满分10分）如图，AM是ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：AB＝ED； （2）如图2，当点D不与M重合时，请判断四边形ABDE的形状，请说明理由； （3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．当FH＝，DM＝6时，求DH的长． 24．（本题满分12分）如图，直线与x轴交于，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B． （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）点为x轴上的动点，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线和直线于点C，D． ①若点P在线段上运动，过点C作于点M，当点P的坐标为多少时，面积最大，最大值是多少？ ②在（2）的题干条件下，若与相似，则称此时的点P为“相似点”，请直接写出“相似点”P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期单元复习卷 四、相似三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．1，1，2，3 B．2，3，6，9 C．5，6，7，8 D．3，6，9，4 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．已知：，下列图形中，与不存在位似关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键． 根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案． 【详解】解：A、与是位似关系，故此选项不合题意； B、与是位似关系，故此选项不合题意； C、与是位似关系，故此选项不合题意； D、与对应边和不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意； 故选：D． 3．已知，则下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质．根据比例的性质“如果，那么”进行解答即可得． 【详解】解：A、，则，故该选项说法正确，符合题意； B、，则，故该选项说法错误，不符合题意； C、，则，故该选项说法错误，不符合题意； D、，则，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 4．大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着黄金分割（黄金比例为），如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割的应用；由黄金分割知，由此可求得的长，进而得出的长． 【详解】解：∵P为的黄金分割点（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．如图，两条直线和被三条平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，若，，则的长为（    ） A． B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例得到，又由，即可得到答案． 【详解】解：∵两条直线和被三条平行线所截，，， ∴， ∴, 故选：A 6．D、E分别是边、上的点，，若，，，则的长是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，证明，得出，代入数据求出结果即可，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， 解得． 故选：C． 7．如图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径为5尺，不知其深，立5尺长的木于井上，从木的末端E点观察井水水岸A处，测得“入径”为4寸，问井深是多少？（其中1尺寸）”根据译文信息，则井深为（　　） A．500寸 B．525寸 C．50寸 D．575寸 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，根据相似三角形的性质，构建方程求解即可． 【详解】解：5尺寸， 设尺． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验：是分式方程的解． ∴（寸）． 故选：D． 8．如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再由题意可得只存在和这两种情况，据此分两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：D． 9．已知直角坐标系中四点A(－2，4)、B(－2，0)、C(2，－3)、D(2，0)．若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】画出平面直角坐标系，把点标出来，找到符合条件的点P，通过相似三角形的判定去证明是否成立． 【详解】解：如图，P有四种情况， ①∵， ∴， 设， ， ，（舍去）， ； ②∵， ∴， 设， ， ， ； ③∵， ∴， 设， ， ，（舍去）， ； ④∵， ∴， 设， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的存在性问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，注意分类讨论的时候把情况考虑全面． 10．如图，正方形中，，点N为边上一点，连接，作于点P，点M为边上一点，且，连接．下列结论正确的个数有（    ） （1）                             （2） （3）                             （4）若点N为中点，则 （5） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据互余角性质得，进而得，可以判断（1）；由相似三角形得，进而得，从而判断（2）；由B、C、P、M四点共圆得，进而判断（3）；过P点作，分别交相交于点E、F，由相似三角形得，进而由与的面积之差求得的面积便可判断（4）；由得，再结合，得，便可判断（5）． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故（1）正确； （2）∵， ∴， ∴， 即， 故（2）正确； （3）∵， ∴B、C、P、M四点共圆， ∴， 故（3）正确； （4）过点P作，分别交于E、F点， ∵N为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， 得， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故（4）错误； （5）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故（5）正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形和三角形综合．熟练掌握正方形性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，三角形面积公式，是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知线段，那么线段a和b的比例中项为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例中项的定义，若，那么c是a，b的比例中项，据此列式求解即可． 【详解】解：设线段a和b的比例中项为x， 由题意得，， ∴， ∴或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴线段a和b的比例中项为， 故答案为：． 12．在比例尺为的地图上，相距10厘米的两地实际距离为 千米． 【答案】1 【分析】本题考查了比例线段，根据比例尺正确进行计算并注意单位的转换是解题的关键． 根据比例尺图上距离实际距离，列出关系式即可得出实际的距离． 【详解】解：设两地实际距离为x厘米，得：， 所以相距5厘米的两地的实际距离是厘米千米， 故答案为：1． 13．如图，在中，，连接，交于点F，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，在平行四边形中找出相似三角形是解题的关键． 根据平行四边形的性质可证，再根据对应边成比例求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：6． 14．如图，中，，如果F是的重心，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了重心的性质，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握中线，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由F是的重心，，可得分别为的中点，则，，即；如图，连接并延长，交于，则，可求，然后求解作答即可． 【详解】解：∵F是的重心，， ∴分别为的中点， ∴， ∴，即； 如图，连接并延长，交于，则， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 15．如图，已知矩形与矩形是位似图形，M是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则图中点M的坐标为 . 【答案】 【分析】根据位似变换的性质得，则，然后写出点坐标． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形，M是位似中心， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似图形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行． 16．如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝2，则AB的长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接BD．由△ADG∽△GCF，设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b，可得＝，推出，可得b＝a，在Rt△GCF中，利用勾股定理求出b，即可解决问题； 【详解】如图，连接BD． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AC＝BD＝2， ∵CG＝DG，CF＝FB， ∴GF＝BD＝， ∵AG⊥FG， ∴∠AGF＝90°， ∴∠DAG+∠AGD＝90°，∠AGD+∠CGF＝90°， ∴∠DAG＝∠CGF， ∴△ADG∽△GCF， 设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b， ∴＝， ∴， ∴b2＝2a2， ∵a＞0．b＞0， ∴b＝a， 在Rt△GCF中，3a2＝3， ∴a＝1， ∴AB＝2b＝2． 故答案为2． 【点睛】本题考查三角形中位线定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分8分）已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查了比例的性质： （1）先根据已知条件得到，再分别代入进行求解即可； （2）设，则，，再代入计算即可证明结论成立． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：设，则，， ∴，， ∴． 18．（本题满分8分）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)写出点的坐标为______； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查位似图形及位似变换 （1）分别延长、、，它们的交点为点，再写出点坐标； （2）把、点的横纵坐标都乘以得到、点的坐标，然后描点并连线即可； （3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解即可． 解题的关键是掌握：当相似的两个图形的对应顶点的连线相交于一点时，就说这两个图形位似，此时的相似比称为位似比，交点称为位似中心；在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或；如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 【详解】（1）解：如图，分别延长、、，它们的交点为点， ∵与是关于点为位似中心的位似图形， 则点为所作，点坐标为； 故答案为：； （2）如图，，， 把、点的横纵坐标都乘以得：、， 连接、，， 则即为所作； （3）∵的内部一点M的坐标为， 由（1）知：与是关于原点为位似中心的位似图形，且位似比为， ∴点在中的对应点的坐标为． 故答案为：． 19．（本题满分8分）如图，若直线，它们依次交直线m、n于点A，B，C和点D，E，F． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理； （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入有关数据，即可； （2）由平行线分线段成比例定理推出，得到，即可求出长，得到的长． 【详解】（1）解：∵， ， ，，， ， ； （2）∵， ， ， ， ， ， ． 20．（本题满分8分）如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定． （1）由等边三角形性质得，，从而有；由得，由相似三角形的判定得证； （2）根据，，求出，由等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵，即：， ∴，， ∴，, ∴； （2）结论：． 证明∵， ∴； ∵， ∴，， 又∵， ∴ 21．（本题满分8分）如图，在家中的小华从离窗台A水平距离的M点望去，通过窗台A处刚好俯瞰到远处医院箱式板房的顶部远端的E点，小华又向窗户方向前进到Q点，恰好通过窗台A处看到板房的顶部近处的D点，已知、、、都垂直于地面，N、F在直线上，、都平行于地面，长，请你帮助小华计算的长度． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题， 延长交于H，延长交的延长线于T．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：如答图，延长交于H，延长交的延长线于T． 由题意得，， ． 四边形是矩形， ，， ， ． 即， 22．（本题满分10分）如图，在中，点、分别在边、上，且，，，．    (1)如果，求线段的长； (2)设的面积为2，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）通过证明，即可得到答案； （2）由线段的数量关系求出面积关系即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 且， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 23．（本题满分10分）如图，AM是ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：AB＝ED； （2）如图2，当点D不与M重合时，请判断四边形ABDE的形状，请说明理由； （3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．当FH＝，DM＝6时，求DH的长． 【答案】（1）见解析；（2）平行四边形，见解析；（3）DH＝1+ 【分析】（1）由平行线的性质可得∠EDC＝∠ABM，∠ECD＝∠ADB，由“ASA”可证△ABD≌△EDC，即可得出结论； （2）先判断出四边形DMGE是平行四边形，借助（1）的结论即可得出结论； （3）先判断出MI∥BH，MI＝BH，进而利用直角三角形的性质即可得出结论．设DH＝x，则AH＝x，AD＝2x，推出AM＝6+2x，BH＝6+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF∥AB，推出，可得，解方程即可； 【详解】（1）∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠ABM， ∵CE∥AM， ∴∠ECD＝∠ADB， ∵AM是△ABC的中线，且D与M重合， ∴BD＝DC， ∴△ABD≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED； （2）四边形ABDE是平行四边形， 理由如下：如图2，过点M作MG∥DE交CE于G， ∵CE∥AM， ∴四边形DMGE是平行四边形， ∴ED＝GM，且ED∥GM， 由（1）知，AB＝GM， ∴AB＝DE， 又∵AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形； （3）如图3取线段CH的中点I，连接MI， ∵BM＝MC， ∴MI是△BHC的中位线， ∴MI∥BH，MI＝BH， ∵BH⊥AC，且BH＝AM， ∴MI＝AM，MI⊥AC， ∴∠CAM＝30°． 设DH＝x，则AH＝x，AD＝2x， ∴AM＝6+2x， ∴BH＝6+2x， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴DF∥AB， ∴， ∴ 解得x＝1+或1﹣（负值舍去）， ∴DH＝1+． 【点睛】本题考查的是全等三角形的证明，平行四边形的判定，平行线分线段成比例，一元二次方程的求解，正确理解题意，掌握三角形的判定，平行四边形的判定和正确的做出图形，是解题的关键． 24．（本题满分12分）如图，直线与x轴交于，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B． （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）点为x轴上的动点，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线和直线于点C，D． ①若点P在线段上运动，过点C作于点M，当点P的坐标为多少时，面积最大，最大值是多少？ ②在（2）的题干条件下，若与相似，则称此时的点P为“相似点”，请直接写出“相似点”P的坐标． 【答案】（1），；（2）①当P点的坐标为时，最大，最大值为；②点P为相似点时坐标为，． 【分析】（1）把点代入求出c的值，即可得到B的坐标，把点代入求出b的值，即可求解； （2）①设，则，可得，通过，利用相似三角形面积比等于相似比的平方可得，求出CD最大时的m值即可求解；②易知，分情况讨论当时、当时即可求解． 【详解】解：（1）∵c过点， ∴，， 即， 又过， ∴， ∴， ∴； （2）设，则， ， ∵轴， ∴CD//y轴 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当取得最大值时，最大， 又， ∴当时最大，为2， 故最大为， 此时P点的坐标为． （3）∵轴， ∴， 当时，， 此时， ∴， ∴； 当时，， ∴直线BC的解析式为， 联立BC和二次函数解析式，可得：， 解得， ∴； 综上所述，点P为相似点时坐标为，． 【点睛】本题考查二次函数综合，相似三角形的判定与性质，掌握数形结合的思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$