第十一章全等三角形 找全等（四）等量代换证和差2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十二章全等三角形 找全等（四）等量代换证和差 【方法技巧】 要证明线段的和、差问题,经常用图中相等的线段来代换,将要证明的问题转化成证明线段相等的问题.目标是要将分散的线段集中到同一条直线上,便于进行线段的和、差运算. 【题型剖析】 1.（24-25八年级·重庆巫山·期中）在中，，求证：． 2.（24-25八年级·天津东丽·期中）如图，已知，点为上一点，，分别平分，． 求证：； 求证：． 3.（24-25八年级·江苏南京·期中）已知在中，，点为左侧一动点，如图所示，点在的延长线上，交于，且． 求证：； 求证：平分； 若在点运动的过程中，始终有，在此过程中，的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，则_________ 说明：三边相等的三角形的每个内角均为 4.（24-25八年级·江苏苏州·期中）如图，中，，，点为的中点，交于，连接，求证：． 5.（24-25八年级·江苏盐城·期中）如图，的角平分线、、交于点，，，． 求的度数； 若，，求的长． 6.（24-25八年级·湖南怀化·期中）如图，已知：在正方形中，的平分线交于，试说明：．  7.（24-25八年级·辽宁抚顺·期中）如图，中，，，平分交于，交于，垂足为． 8.（24-25八年级·河南洛阳·期中）如图，中，，点为的中点，交于，连，求证：．  9.（24-25八年级·江苏盐城·期中）已知在中，，点为左侧一动点，如图所示，点在的延长线上，交于，且． 求证：； 求证：平分； 若在点运动的过程中，始终有，在此过程中，的度数是否变化如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数． 10.（24-25八年级·天津东丽·期中）如图，已知四边形中， ，若的平分线交于，连接，且恰好平分，求证：． 11.（24-25八年级·湖北黄冈·期中）如图，为等边外一点，垂直平分于点，的平分线交于点． 求证：； 求证：； 12.（24-25八年级·天津东丽·期中）如图，中，，，点为的中点，交于． 求证：； 求证：． 13.（24-25八年级·湖南永州·期中）如图，已知，、分别平分和，点在线段上． 求的度数； 求证：． 14.（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，四边形中，，，，若、分别在、的延长线上． 找出与间的数量关系，并说明理由； 若，找出线段，，之间的数量关系并证明． 15.（24-25八年级·江苏泰州·期中）阅读课本材料，解答后面的问题． 折纸与证明 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，图，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以，点落在上的点处图于是，由，可得． 在中，，点为线段上一动点，当满足某种条件时，探讨在线段、、、四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系． 如图，当时，求证：； 如图，当是的角平分线时，写出、、的数量关系，并证明． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章全等三角形 找全等（四）等量代换证和差 【方法技巧】 要证明线段的和、差问题,经常用图中相等的线段来代换,将要证明的问题转化成证明线段相等的问题.目标是要将分散的线段集中到同一条直线上,便于进行线段的和、差运算. 【题型剖析】 1.（24-25八年级·重庆巫山·期中）在中，，求证：． 【答案】证明：在边上截取，使得，连接在与中， ， ≌ ，， ， ， 又 ， ， ， ．  2.（24-25八年级·天津东丽·期中）如图，已知，点为上一点，，分别平分，． 求证：； 求证：． 【答案】证明：延长  、  交于  ，  ，  ，  平分  ，  ，  ，  ，  平分  ，  ； ，平分， ， 在和中， ， ， ． 3.（24-25八年级·江苏南京·期中）已知在中，，点为左侧一动点，如图所示，点在的延长线上，交于，且． 求证：； 求证：平分； 若在点运动的过程中，始终有，在此过程中，的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，则_________ 说明：三边相等的三角形的每个内角均为 【答案】证明：，， 又， ； 证明：如图，过点作于点，作于点． 则． ，， ， ， ≌， ． 平分到角的两边距离相等的点在角的平分线上； ．  【解析】解：的度数不变化． 如图，在上截取，连接． ， ． ，，， ≌． ；． ，即是等边三角形， ． ． 故答案为． 4.（24-25八年级·江苏苏州·期中）如图，中，，，点为的中点，交于，连接，求证：． 【答案】证明：延长至，使，连接，记为，为，与交点为， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， ．  5.（24-25八年级·江苏盐城·期中）如图，的角平分线、、交于点，，，． 求的度数； 若，，求的长． 【答案】解：平分， ， ， ， ， ， ， ，， 平分，平分， ，， ； 如图所示，在上截，连接，，， 在和中， ， ≌， ，， ， ，则是等腰三角形， ， ．  6.（24-25八年级·湖南怀化·期中）如图，已知：在正方形中，的平分线交于，试说明：． 【答案】证：方法一：补短法如图，延长至，使，连接． 在和中，    所以≌，  所以，  所以是等腰直角三角形，  所以，  所以． 方法二：截长法如图，在上截取，连接． 在和中，    所以≌，  所以，  因为，  所以是等腰直角三角形，  所以，  所以．  7.（24-25八年级·辽宁抚顺·期中）如图，中，，，平分交于，交于，垂足为． 求证：  若，求的值． 【答案】解：证明：连接， ， ， 平分， ， 在和中 ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 在上截，连接， ，平分， ， ， ， ， ， 在和中，  ， ≌， ， ， ， ．  8.（24-25八年级·河南洛阳·期中）如图，中，，点为的中点，交于，连，求证：． 【答案】证明：延长至，使，连接，如下图所示， ，    ，  ， ， ，， ； 由可知：，， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ≌， ， ．  9.（24-25八年级·江苏盐城·期中）已知在中，，点为左侧一动点，如图所示，点在的延长线上，交于，且． 求证：； 求证：平分； 若在点运动的过程中，始终有，在此过程中，的度数是否变化如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数． 【答案】证明：，， 根据三角形的内角和可知； 证明：如图，过点作于点，作于点． 则． 又，即， 在和中， ， ． 平分在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上； 解：的度数不变，且． 如图，在上截取，连接． ， ． 在和中， ． ，． ，即是等边三角形， ． ．  10.（24-25八年级·天津东丽·期中）如图，已知四边形中， ，若的平分线交于，连接，且恰好平分，求证：． 【答案】证：补短法： 如图，延长至点，使，连接 因为  ，所以 因为平分，平分， 所以，， 所以， 所以  在和中，   所以≌， 所以，， 所以，，三点共线． 因为  ， 所以  在和中，    所以≌， 所以， 所以． 截长法：如图，在上截取，连接 因为  ，所以 又因为平分，平分， 所以  ， 所以， 即  在和中，   所以≌， 所以  又因为， 所以， 所以  在和中，     所以≌， 所以， 所以． 11.（24-25八年级·湖北黄冈·期中）如图，为等边外一点，垂直平分于点，的平分线交于点． 求证：； 求证：； 【答案】证明：是的垂直平分线， ， 平分， ， 在和中，， ≌， ； 证明：在上截取，连接，如图所示： ， ， 在和中，， ≌， ，， ， 为等边三角形， ， ， 即．  12.（24-25八年级·天津东丽·期中）如图，中，，，点为的中点，交于． 求证：； 求证：． 【答案】证明：，  ，  ， 设与的交点为点， ， ，， ； 延长至，使，连接，如下图所示， 在和中， ≌， ，， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ≌， ， ． 法二：如图， 在上截取， 在和中， ≌， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ．  13.（24-25八年级·湖南永州·期中）如图，已知，、分别平分和，点在线段上． 求的度数； 求证：． 【答案】证明：， ， 平分， ， 同理可得， ， ； 如图，在上截取，连接， 在和中， ≌， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ．  14.（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，四边形中，，，，若、分别在、的延长线上． 找出与间的数量关系，并说明理由； 若，找出线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】解：． 证明：，四边形的内角和为， ， ， ； ． 证明：在上截取，连接，如图， 在和中， ， ≌， ， ，由知， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ．  15.（24-25八年级·江苏泰州·期中）阅读课本材料，解答后面的问题． 折纸与证明 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，图，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以，点落在上的点处图于是，由，可得． 在中，，点为线段上一动点，当满足某种条件时，探讨在线段、、、四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系． 如图，当时，求证：； 如图，当是的角平分线时，写出、、的数量关系，并证明． 【答案】解：如图，在上截取，连接， ， ，， ， ， ， ， ， ； ． 如图，在上截取，连接， 是的角平分线， ， 在和中 ， ≌， ，， ， ， ， ．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$