精品解析：河南省三门峡市渑池县第二高级中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

渑池二高2024-2025学年上学期期中考试 高二数学试题 注意事项： 考试时间120分钟，满分150分.答案写在答题卡，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A B. C. ， D. ， 3. 已知直线与直线平行,则它们之间的距离是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 4 4. 如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 直线上到点距离最近的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 平面直角坐标系内，与点距离为1且与圆相切的直线有（ ） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 0条 7. 已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线，圆，当直线l被圆C截得的弦最短时，l的方程为（ ） A B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（ ） A. 若斜率相等，则平行 B. 若平行，则的斜率相等 C. 若的斜率乘积等于，则垂直 D. 若垂直，则的斜率乘积等于． 10. 过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法正确的有（ ） A. 圆上恰有两个点到直线的距离为 B. 切线长最小值为 C. 当四边形PACB面积最小时，直线方程为 D. 直线恒过定点 三、填空题 12. 已知直线，，且，则实数__________. 13. 如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________． 14. 已知空间向量，，，若，，共面，则的最小值为__________． 四、解答题 15. 已知三角形的三个顶点是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求三角形的面积； 16. 求符合下列条件的直线方程： （1）直线过点，且斜率为； （2）直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 17. 已知平面直角坐标系中的点的坐标x，y满足，记的最大值为M，最小值为m. （1）请说明P的轨迹是怎样的图形； （2）求值. 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为时，求点到平面的距离． 19. 已知点，圆 （1）若过点A只能作一条圆C切线，求实数a的值及切线方程； （2）设直线l过点A但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线l被圆C截得的弦长为2，求实数a的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 渑池二高2024-2025学年上学期期中考试 高二数学试题 注意事项： 考试时间120分钟，满分150分.答案写在答题卡，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得直线的斜率为，由垂直得垂直直线的斜率，然后由点斜式写出直线方程，化为一般式可得结果． 【详解】解：由题意可得直线的斜率为， 则过点且垂直于直线的直线斜率为， 直线方程为， 化为一般式为． 故选：A． 2. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直可得，故可求参数的值. 【详解】因为，故， 故存在实数，使得，故，故， 故选：D. 3. 已知直线与直线平行,则它们之间的距离是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行求出值,再利用两直线的距离公式求出距离即可. 【详解】解:由题知两条直线平行, 故有, 解得, 即, 由两条平行线间的距离公式得. 故选:A 4. 如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，再利用数量积运算性质即可得出． 【详解】解：，，，， ，． ， ， ， 即的长为. 故选：A． 5. 直线上到点距离最近的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何意义可知，直线上到点距离最近的点就是过点作直线的垂线，垂足就是所求的点. 【详解】由直线可得：，则该直线的斜率， 所以过点作与该直线垂直的垂线斜率为， 则过点的垂线方程为：，整理得：， 联立方程组，解得：， 故选：C. 6. 平面直角坐标系内，与点的距离为1且与圆相切的直线有（ ） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 0条 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，判断以点为圆心，1为半径的圆与已知圆的位置关系即可得解. 【详解】依题意，与点的距离为1的直线始终与以点为圆心，1为半径的圆相切， 而此直线与圆相切，因此该直线是圆与圆的公切线， 又圆的圆心，半径为2，显然， 所以两圆外切，它们有3条公切线，即所求切线条数是3. 故选：B 7. 已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可看成是两点连线的斜率，数形结合求解. 【详解】可以看成是线段上的点与点连线的斜率， 如图，易求得，， 所以得取值范围为. 故选：C. 8. 已知直线，圆，当直线l被圆C截得的弦最短时，l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线过的定点及圆的圆心的坐标，再结合已知求出直线的斜率即可得解. 【详解】依题意，直线，由，解得， 于是直线过的定点，圆的圆心，半径， 显然，即点在圆内，直线斜率， 当时，直线l被圆C截得的弦最短，此时直线的斜率为，方程为，即. 故选：D 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（ ） A. 若斜率相等，则平行 B. 若平行，则的斜率相等 C. 若的斜率乘积等于，则垂直 D. 若垂直，则的斜率乘积等于． 【答案】AC 【解析】 【分析】利用两直线平行或垂直与斜率之间的关系逐项判断即可得出结论. 【详解】根据两直线的位置关系可知若斜率相等，则平行； 若平行，当都与轴平行时，的斜率不存在，即可得A正确，B错误； 易知若的斜率乘积等于，则垂直； 若垂直,当与轴平行，与轴平行时，直线的斜率为，的斜率不存在，即可得C正确，D错误； 故选：AC 10. 过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】求出已知圆圆心、半径，再按切线斜率存在与否分类求解即得. 【详解】依题意，圆圆心，半径， 过点斜率不存在的直线，显然点到直线的距离为1， 即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 于是，解得，此时切线方程为， 所以直线l的方程为或. 故选：BC 11. 已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法正确的有（ ） A. 圆上恰有两个点到直线的距离为 B. 切线长最小值为 C. 当四边形PACB面积最小时，直线方程为 D. 直线恒过定点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，可判断A选项，根据切线长的几何意义可判断B选项，再根据两圆公共弦方程求法可判断CD选项. 【详解】 由圆，得圆心，圆半径， A选项：点到直线的距离为，又，即， 所以圆上恰有两个点到直线的距离为，A选项正确； B选项：切线长， 所以当取最小值时，切线长最小，，所以，B选项错误； D选项：由切线的性质可知，在以为直径的圆上，设， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 圆的方程为，即， 又，在圆上，则， 得，则，解得， 所以恒过定点，D选项错误； C选项：由已知， 所以， 所以当取最小值时最小，此时， 所以，直线方程为，即， 联立，解得，故，则， 所以，即，C选项正确； 故选：AC. 三、填空题 12. 已知直线，，且，则实数__________. 【答案】或. 【解析】 【分析】根据垂直关系列出关于的方程，由此求解出结果即可. 【详解】因为，所以， 化简可得，解得或， 故答案为：或. 13. 如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以A为坐标原点，在平面ABC内作垂直于AC的直线Ax为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， 所以，， 所以， 则直线与所成角的余弦值为， 故答案为：. 14. 已知空间向量，，，若，，共面，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量共面定理列方程组得到，再结合二次函数的性质解出最值即可； 【详解】因，，共面， 所以， 即， 即，解得， 所以， 所以， 所以最小值为， 故答案为：. 四、解答题 15. 已知三角形的三个顶点是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求三角形的面积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得中点坐标，再由两点式方程，即可得到结果； （2）由点斜式可得直线的方程，再由点到直线的距离公式以及两点间距离公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由已知边的中点坐标为， 所以直线的方程为，化简得； 【小问2详解】 直线的方程为，即， 点到直线的距离为，又， 所以的面积为； 16. 求符合下列条件的直线方程： （1）直线过点，且斜率为； （2）直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由直线的点斜式方程求解即可. （2）分截距为0和不为0两种情况求解. 【小问1详解】 因为直线过点，且斜率为， 所以，化简可得：. 【小问2详解】 当横、纵截距都是0时，设直线的方程为. ∵直线过点， ∴，即直线的方程为. 当截距均不为0时，设直线的方程为. ∵直线过点， ∴，解得，即直线方程为. 综上，所求直线方程为或. 17. 已知平面直角坐标系中的点的坐标x，y满足，记的最大值为M，最小值为m. （1）请说明P的轨迹是怎样的图形； （2）求值. 【答案】（1）以为圆心，3为半径的圆；（2）72 【解析】 【分析】（1）将方程配成标准式，即可得到P的轨迹； （2）将配方即可得到，设，则， 而，即可得解； 【详解】解：（1）由知，.因此，点P的轨迹是以为圆心，3为半径的圆. （2）， 设，则. ∵ ，. ∴ ，，. 【点睛】本题考查圆的标准方程，点与圆的位置关系，属于中档题； 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为时，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用已知条件求出的值，然后利用空间向量法可求得点C到平面AEF的距离. 【小问1详解】 证明：底面，，， ，， 又，平面，平面， 平面，平面平面． 【小问2详解】 根据题意建立如图所示的空间直角坐标系， 又，，为棱的中点，是线段上一动点， 则，，，，，， 设，，． 设，得，故，又， 设直线与平面所成角为，则，得， 则，，，． 设平面的法向量为， 则有， 取，则，，所以， 所以点到平面的距离为． 19. 已知点，圆 （1）若过点A只能作一条圆C的切线，求实数a的值及切线方程； （2）设直线l过点A但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线l被圆C截得的弦长为2，求实数a的值. 【答案】（1），切线方程：或，切线方程：；（2）或 【解析】 【分析】（1）由切线条数可确定在圆上，代入圆的方程可求得；根据在圆上一点处的切线方程的结论可直接写得结果； （2）设直线方程，代入点坐标得到；利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，根据直线被圆截得的弦长可构造方程求得. 【详解】（1）过点只能作一条圆的切线 在圆上 ，解得： 当时，，则切线方程为：，即 当时，，则切线方程为：，即 （2）设直线方程为： 直线方程为： 圆的圆心到直线距离 ，解得：或 【点睛】本题考查过圆上一点的切线方程的求解、根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题；关键是能够熟练掌握直线与圆问题的常用结论： 1.过圆上一点的切线方程为：； 2.直线被圆截得的弦长等于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$