7.2.2同角三角函数关系2 和差积运算课件-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

苏教版·必修第一册 同角三角函数关系（2） ——和差积运算 ○ 数学探究 ▲ 数学建构 正余弦的和差积 概念辨析 注：sinθ±cosθ，sinθcosθ 知一求二 已知sinθ±cosθ，sinθcosθ求值问题，涉及的三角恒等式 (1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； (2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ； (3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2； (4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ. ◆ 数学运用 【例1】 已知sinθ＋cosθ = (0<θ<π)， 求sinθ.cosθ和sinθ -cosθ的值. 由上知θ为第二象限角， 所以sin θ－cos θ>0，所以sin θ－cos θ 在△ABC中，sin A＋cos A＝ . (1)求sin Acos A的值； (2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A的值. 钝角三角形 ★ 跟踪训练 【思路分析】 【例2】.已知函数y＝2＋2sinxcosx＋sinx＋cosx， x∈[0， ]，求函数的最大值和最小值． 题目中的未知量较多，把分散的条件联系起来，可以利用正弦与余弦之间的关系，设sinx＋cosx＝t，则2sinxcosx＝t2－1． ◆ 数学运用 例2.已知函数y＝2＋2sinxcosx＋sinx＋cosx， x∈[0， ]，求函数的最大值和最小值． 解： 所以原函数变为 对称轴是 所以函数y＝t2＋t＋1在 上单调递增． 所以t＝ 时函数有最大值ymax＝( )2＋＋1＝3＋ ； t＝1时函数有最小值ymin＝3. 若x是三角形的最小内角，则函数 y＝(sinx＋1)(cosx＋1)的最大值是 (　　) A.0 B. C. D. D ★ 跟踪训练 课堂·小结 同角三角函数关系2 整体换元 和差积运算 例．已知 是三角形的内角， 若 ，求 的值． 由于 ， 因此式子 ， ， 三者之间有密切联系 ＝ 又∵sin A>0，cos A<0，∴sin A－cos A>0，∴sin A－cos A＝.② (3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝1＋＝， 由①②可得sin A＝，cos A＝－， $$