精品解析：海南省省直辖县级行政单位临高县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年秋季九年级数学期中达标检测题 时间：100分钟 内容：九年级（21-23章）满分120分 一、选择题（本答题满分36分，每小题3分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 平行四边形 B. 正三角形 C. 菱形 D. 等腰三角形 4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 临高教育局要组织一次篮球联赛，赛制为单循环（每两队都赛一场），计划安排36场比赛，则参加比赛的球队有（　　）支 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 方程的解是（　　） A. B. C. ， D. ， 7. 若二次函数的图像经过点，则该图像必经过点（　　） A. B. C. D. 8. 下列关于抛物线的说法，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标是 C. 有最小值1 D. 对称轴是直线 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 11. 如图，菱形的顶点O与原点重合，点C在x轴上，点A的坐标为，将菱形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，已知，P为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，，，分别是对角线，的中点．当点在线段上移动时，点之间的距离最短为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题（本答题满分12分，每小题3分） 13. 若关于的方程的一个根为3，则的值为______． 14. 已知一次函数，若随着的增大而减小，则的值为_______. 15. 对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为___________． 16. 如图，将边长为2cm的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），若两正方形重叠部分的面积为，则这个旋转角度为_____度． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 为何值时，关于的二次方程． （1）有两个不等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）无实数根？ 19. 已知点，，，根据下列条件分别求a，b的值． （1）A，B两点关于x轴对称； （2）A，B两点关于y轴对称； （3）A，B两点关于坐标原点对称； （4）轴； （5）A，B两点在第二，四象限的角平分线上． 20. 临高县某店经销一种建筑材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需成本及其它费用100元．设每吨材料售价为（元），该经销店的月利润为（元）． （1）求出与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； （2）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元． 21. 如图，已知抛物线经过两点．与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标； （3）在对称轴上是否存在点Q，使周长最小，若存在，求出点Q坐标和周长，若不存在，请说明理由． 22. 在中，，，点在边上，且，将线段绕着点A顺时针旋转，得到线段，连接； （1）如图，求证：； （2）如图，过点作交延长线于点，与交于点，探究线段与的数量关系； （3）如图，连接，点分别是、的中点，，，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季九年级数学期中达标检测题 时间：100分钟 内容：九年级（21-23章）满分120分 一、选择题（本答题满分36分，每小题3分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别．本题根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A、当时，是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项符合题意； C、变形为不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：形如( a≠0)的函数叫二次函数，直接判断即可． 【详解】解：A、符合二次函数的定义，本选项符合题意； B、是一次函数，不符合题意； C、是反比例函数，不符合题意； D、不是二次函数，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 平行四边形 B. 正三角形 C. 菱形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记定义是解题关键．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； B、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； C、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意； D、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：C． 4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 5. 临高教育局要组织一次篮球联赛，赛制为单循环（每两队都赛一场），计划安排36场比赛，则参加比赛的球队有（　　）支 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设参加比赛的球队有支，根据赛制、安排36场比赛建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设参加比赛的球队有支， 由题意得：， 解得或舍去， 则参加比赛的球队有9支， 故选：C． 6. 方程的解是（　　） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、公式法、因式分解法、换元法、配方法等）是解题关键．利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】解：， ， ， 或， 所以方程的解为，， 故选：C． 7. 若二次函数的图像经过点，则该图像必经过点（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．先求出二次函数的对称轴是直线，再利用二次函数的对称性求解即可得． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线，即其图像关于轴对称，且其图像经过点， ∴该图像必经过点， 故选：B． 8. 下列关于抛物线的说法，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标是 C. 有最小值1 D. 对称轴是直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：抛物线中， ∴抛物线的开口向上，抛物线的顶点坐标为，有最小值1，对称为直线，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：由图象开口向下可知， 由对称轴，得． ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大． 10. 已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得两个抛物线与x轴的交点坐标，据此求解即可． 【详解】解：令，则和， 解得或或或， 不妨设， ∵和关于原点对称，又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， ∴与原点关于点对称， ∴， ∴或（舍去）， ∵抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为， ∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2， 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 11. 如图，菱形的顶点O与原点重合，点C在x轴上，点A的坐标为，将菱形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作轴于H．利用勾股定理求出，可得点B的坐标，再由旋转的角度，可知旋转4次是一个循环，则第次旋转结束时与菱形顺时针旋转的位置一样，求出菱形顺时针旋转时B点坐标即可． 【详解】解：如图，过点A作轴于H． 点A的坐标为， ， 在中，， ， 点B的坐标为， ， 故第次旋转结束时，与菱形顺时针旋转的位置一样， 第次旋转结束时，点B的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，图形的旋转，解题的关键是学会添加常用辅助线（一般作x轴或y轴的垂线，这种方法叫铅锤法）解决问题，属于中考常考题型． 12. 如图，已知，P为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，，，分别是对角线，的中点．当点在线段上移动时，点之间的距离最短为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，,通过给出的条件得出直角三角形，假设出未知量，通过勾股定理列出二次函数，求出最值即可． 【详解】解：如图，连接，， 四边形，四边形是菱形，， ，， ，分别是对角线，的中点， ，， ， 设，则，，，由勾股定理得， ， 时，有最小值，最小值为． 二、填空题（本答题满分12分，每小题3分） 13. 若关于的方程的一个根为3，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键． 14. 已知一次函数，若随着的增大而减小，则的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的定义及增减性即可解题． 【详解】∵是一次函数， 解得或 ∵随着的增大而减小 解得 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数的定义及性质，掌握一次函数的定义及性质是解题的关键． 15. 对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．先将抛物线化成顶点式，再设点在抛物线上，求出的值，由此即可得． 【详解】解：抛物线化成顶点式为， 设点在抛物线上， ∵， ∴或（此时，不符合题意，舍去）， ∴抛物线“开口大小”为， 故答案为：2． 16. 如图，将边长为2cm的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），若两正方形重叠部分的面积为，则这个旋转角度为_____度． 【答案】30° 【解析】 【详解】分析：设A′D′与CD的交点为E，连接BE；由于A′B=BC，易证得△A′BE≌△CBE，因此两者的面积相等，即可根据△CBE的面积求得CE的值，从而通过解直角三角形求出∠CBE、∠CBA′的度数，进而可求得旋转角的度数． 详解：设A′D′与CD的交点为E，连接BE． ∵A′B=BC，BE=BE， ∴Rt△A′BE≌Rt△CBE．（HL） ∴∠A′BE=∠EBC，且S△BA′E=S△BCE=． 在Rt△BCE中，BC=2，则： S△BCE=×2×CE=， ∴CE=． ∴tan∠EBC=，即∠EBC=30°． ∴∠A′BC=2∠EBC=60°，∠ABA′=90°-∠A′BC=30°． 故旋转的角度为30°． 点睛：此题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的面积、解直角三角形等相关知识，综合性较强． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等）是解题关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可得； （2）先将方程的左边因式分解为，再利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 所以方程的解为． 【小问2详解】 解：， ， 或， 或， 所以方程的解为． 18. 为何值时，关于的二次方程． （1）有两个不等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）无实数根？ 【答案】（1）且 （2）k=1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（-6）2-4k•9＞0，然后解不等式可得到k的取值范围； （2）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（-6）2-4k•9=0，然后解不等式和方程可得到k的取值； （3）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（-6）2-4k•9＜0，然后解不等式可得到k的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意得且， 解得且； 【小问2详解】 解：根据题意得且， 解得； 【小问3详解】 解：根据题意得且， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，熟练掌握方程根与根的判别式△的关系是解题的关键．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 19. 已知点，，，根据下列条件分别求a，b的值． （1）A，B两点关于x轴对称； （2）A，B两点关于y轴对称； （3）A，B两点关于坐标原点对称； （4）轴； （5）A，B两点在第二，四象限的角平分线上． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， （5）， 【解析】 【分析】（1）关于x轴对称的两点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，； （2）关于轴对称的两点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，； （3）关于原点对称的两点的横坐标和纵坐标都互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，； （4）与轴平行的直线上的点的横坐标相同，纵坐标不同，据此结合，两点的坐标可求出，； （5）在第二、四象限两条坐标轴夹角的平行线上的点的横坐标和纵坐标互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，． 【小问1详解】 解： ∵、关于x轴对称，则这两点的横坐标不变，纵坐标互为相反数， 又∵， ∴，． 【小问2详解】 解： ∵、关于轴对称，则这两点的纵坐标不变，横坐标互为相反数， 又∵， ∴，． 【小问3详解】 解：、关于原点对称，则这两点的横、纵坐标均互为相反数， ∵， ∴，． 【小问4详解】 解：直线轴，则、两点的横坐标相等，纵坐标不相等， ∵， ∴，． 【小问5详解】 解：、在第二、四象限两条坐标轴夹角的平分线上，则点、点的横坐标和纵坐标互为相反数， ∵， ∴，． 【点睛】本题考查了关于x轴、轴对称点的坐标，关于原点对称的点的坐标，熟记关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，关于轴对称的点的纵坐标相等，横纵标互为相反数；关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，是解题关键． 20. 临高县某店经销一种建筑材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需成本及其它费用100元．设每吨材料售价为（元），该经销店的月利润为（元）． （1）求出与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； （2）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元． 【答案】（1） （2）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨210元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先求出当每吨材料售价为元时的月销量，再根据月利润（每吨材料售价每吨建筑材料共需成本及其它费用）月销量建立函数关系式即可得； （2）将二次函数化成顶点式，利用二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：由题意，当每吨材料售价为元时，月销量为吨， 则该经销店的月利润，即． 【小问2详解】 解： ， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值， 答：该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨210元． 21. 如图，已知抛物线经过两点．与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标； （3）在对称轴上是否存在点Q，使周长最小，若存在，求出点Q坐标和周长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点P的坐标为或； （3）的周长最小为，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）将两点代入求得a、b的值即可解答； （2）先求出，设点P的纵坐标为，再列绝对值方程可求得；然后再分和两种情况求解即可； （3）先确定抛物线的对称轴为，连接交直线于点，易得，则此时的周长最小，据此求解即可． 【小问1详解】 解：将两点代入可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线经过两点， ∴， 设点P的纵坐标为m， ∵， ∴，即，解得：； 当，有，解得：或4； ∴点P的坐标为或； 当，有，即， ∵， ∴方程无解． 综上，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵抛物线经过两点， ∴两点关于对称轴直线对称， 令，则， ∴， 连接交直线于点， ∴， ∴周长为，此时的周长最小， ∵，，， ∴， ∴的周长最小为； 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 令，可得，即点； 综上，的周长最小为，点的坐标为． 22. 在中，，，点在边上，且，将线段绕着点A顺时针旋转，得到线段，连接； （1）如图，求证：； （2）如图，过点作交延长线于点，与交于点，探究线段与的数量关系； （3）如图，连接，点分别是、的中点，，，请直接写出的面积． 【答案】（1） 证明：，， ， 又由旋转可得，，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （2） 解：过点E作，交于点H， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和图形旋转的性质，可证明，可得，进一步可证结论； （2）过点E作，交于点H，可证明，，，由此可得，所以可得，即得，同时又可证明，因此可得； （3）取的中点P，连结，先根据三角形的中位线定理和等腰直角三角形的性质，证明点M在边上的高上，然后根据勾股定理分别求出和的值，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为．理由如下： 取的中点P，连结， 点M是的中点，， ，， ， ， ， ， 点M在边上的高上， ，， ， ， ， ， ， ， 同时可得， 点N是的中点， ， ， 的面积为． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $