精品解析：黑龙江省大庆市大庆靓湖学校2024-2025学年九年级上学期11月月考数学试题

大庆市靓湖学校九年级堂测数学试题 考试时间：2024.10.15 答题时间：120分钟 总分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算结果为7的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值，熟练掌握相反数与绝对值的意义是解题的关键． 利用相反数的意义和绝对值的意义对每个选项的结论进行判断即可得出结论． 【详解】A、 ，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功，航天员江新林、汤洪波、唐胜杰将与神舟十六号航天员会师太空．空间站距离地球约为，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A中不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求； B中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合要求； C中既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求； D中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； 故选：C． 4. 在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图画法．熟练掌握简单几何体的三视图画法是解题的关键． 根据主视图、左视图、俯视图的画法画出相应的图形进行判断即可． 【详解】解：选项A：如图，三视图不相同，故不符合题意． 选项B：如图，三视图不相同，故不符合题意． 选项C：如图，球体的三视图都相同，都是圆形，故正确． 选项D：如图，三视图不相同，故不符合题意． 故选C． 5. 不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着数字“”，“”，“3”，除数字外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为4的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用树状图列举出所有等可能的情况，确定两次记录的数字之和为4的次数，根据概率公式计算得出答案． 【详解】列树状图如下： 共有9种等可能的情况，其中两次记录的数字之和为4的有3种， ∴P（两次记录的数字之和为4）=， 故选：B． 【点睛】此题考查树状图法求事件的概率，概率的计算公式，根据题意正确列举出事件发生的所有可能的情况是解题的关键． 6. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 一个正数的算术平方根一定比这个数小 C. 点关于x轴的对称点坐标是 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假以及矩形的性质、算术平方根、轴对称以及正方形性质，据此相关性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，故原说法是错误的，不符合题意； B、1的算术平方根是1，故一个正数的算术平方根不一定比这个数小，故该选项是错误的，不符合题意； C、点关于x轴的对称点坐标是，故该选项是正确的，符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原说法是错误的，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，点E、F分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得四边形，交于点G，则的周长为（　　） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定，根据平行四边形的性质得到，由平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，推出是等边三角形，于是得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折，得到，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长， 故选：D． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（其中）的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数与反比例函数的性质，判断图象经过的象限即可得出结果． 【详解】解：时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合题意； 时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项A符合题意． 故选：A． 【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数的图象判断，熟练掌握一次函数与反比例函数的基本性质是解题关键． 9. 已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法错误的是（ ） A. 极差是5 B. 众数是8 C. 中位数是9 D. 方差是2.8 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平均数求出x的值，然后分别根据极差、众数、中位数以及方差的定义求解即可． 【详解】一组数据8，5，x，8，10的平均数是8， ， 解得， 这组数据为：5，8，8，9，10， 极差为10-5=5，故A选项正确，不符合题意； 众数是8，故B选项正确，不符合题意； 中位数是8，故C选项错误，符合题意； 方差=， D选项正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】此题考查了极差、众数、中位数以及方差的定义，熟练掌握并运用平均数、众数、中位数以及极差的概念是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中条件确定出点的轨迹是线段，则线段的最小值就转化为定点到点的轨迹线段的距离问题． 【详解】解：与固定夹角是，，点的轨迹是线段， 的轨迹也是一条线段． 两点确定一条直线，取点分别与重合时，所对应两个点Q， 来确定点的轨迹，得到如下标注信息后的图形： 求的最小值，转化为点到点的轨迹线段的距离问题， , 在中，, ,， 将逆时针绕点转动后得到， 为等边三角形，, 为的中点，根据三线合一知， , 过点作的垂线交于点, 在中，对应的边等于斜边的一半， ， 的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题中，两点间距离的最小值问题，解题的关键是：需要确定动点的轨迹，才能方便找到解决问题的突破口． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 计算的结果是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂，根据运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须． 13. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 14. 若m+=3，则m2+=_____． 【答案】7 【解析】 【详解】分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案． 详解：把m+=3两边平方得：（m+）2=m2++2=9， 则m2+=7， 故答案为7 点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 15. 一次函数的图像不经过第__________象限. 【答案】二 【解析】 【分析】根据k、b的正负即可确定一次函数经过或不经过的象限． 【详解】解： 一次函数的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限. 故答案为：二 【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数的系数是判断其图像经过象限的关键，，图像经过第一、二、三象限；，图像经过第一、三、四象限；，图像经过第一、二、四象限；，图像经过第二、三、四象限． 16. 不等式的最小整数解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，进而得到最小整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∴不等式的最小整数解是； 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，正确的计算，是解题的关键． 17. 如图，图1是由6块完全相同的三角形地砖铺成，图2是由10块完全相同的三角形地砖铺成，图3是由14块完全相同的三角形地砖铺成，…，按图中所示规律，图n所需三角形地砖数量为482块，则n的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，每一个图所需地砖数量比它前面一个图所需地砖数量多4块，归纳类推出一般规律，由此即可得，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 【详解】解：由图可知，图（1）所需地砖数量为块， 图（2）所需地砖数量为块， 图（3）所需地砖数量为块， 归纳类推的：图（）所需地砖数量为块，其中为正整数， 根据题意得：块， 解得： 故答案为：． 18. 定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若点满足，我们把点称作“半分点”，例如点与都是“半分点”．下列说法正确的序号为___． ①一次函数的图象上的“半分点”是； ②若双曲线上存在“半分点”，且经过另一点，则的值为； ③若关于的二次函数的图象上恰好有唯一的“半分点”，则的值为； ④若点是二次函数的半分点，若点的坐标为，则的最小值为． 【答案】① 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．设一次函数的图象上的“半分点”是，代入函数解析式求出的值，由此即可判断①正确；先根据“半分点”的定义可求出的值，再将点代入双曲线的解析式求解即可判断②错误；设“半分点”的坐标为，则，利用一元二次方程根的判别式即可判断，结合时成立，可得③错误；先根据“半分点”的定义可得，再利用两点之间的距离公式可得，利用二次函数的性质可判断④错误． 【详解】解：设一次函数的图象上的“半分点”是， 则， 解得， 则， 所以一次函数的图象上的“半分点”是，说法①正确； ∵双曲线上存在“半分点”， ∴， 将点代入得：， ∴双曲线的解析式为， 将点代入得：， 解得或，则说法②错误； 由题意，设“半分点”的坐标为， 则，即， ∵“半分点”是关于的二次函数的图象上唯一的一个， ∴关于的方程只有一个实数根， ∴， 解得， 特别地当时，抛物线为上也存在唯一的半分点， 综上：或， 则说法③错误； ∵点是二次函数的半分点， ∴，即， ∴二次函数的解析式为， ∵点的坐标为， ∴ ， 由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，最小值为，则说法④错误； 综上，说法正确的序号为①， 故答案为：①． 三．解答题（共10小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，然后计算加减． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算分式的乘法，再计算分式的减法，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 将代入得：原式． 21. 已知关于x的不等式组有三个整数解，求实数a的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】先求出各个不等式的解集，然后依据题意得出，求解即可． 【详解】解： ∵解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， ∵原不等式组有三个整数解：， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查求不等式组的解集及已知解集求参数，熟练掌握求不等式组解集的方法是解题关键． 22. 习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？ 【答案】型汽车的进价为每辆10万元 【解析】 【分析】设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元，列出分式方程，解方程即可； 【详解】解：设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解且符合实际意义， 答： 型汽车的进价为每辆10万元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确列出方程是解决本题的关键． 23. 一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点M处测得正前方水平地面上某建筑物的顶端A的俯角为，面向方向继续飞行8米到达点N，测得该建筑物底端B的俯角为，已知建筑物的高为4米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：，） 【答案】无人机飞行的高度约为20米 【解析】 【分析】延长，，相交于点E，根据可设，进而可分别表示出，，再根据，即可列出方程，由此求解即可． 【详解】解：如图，延长，，相交于点E， 由题意可得：，， 又∵， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得： ， 答：无人机飞行的高度约为20米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，解决问题的关键是能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形． 24. 某校为了解学生的课外阅读情况，对部分学生进行了调查，并统计他们平均每天的课外阅读时间（单位：），然后利用所得数据绘制如下两幅不完整的统计图． 请你根据以上信息解答下列问题： （1）本次调查活动采取了　　　调查方式，样本容量是　　　． （2）图2中C的圆心角度数为　　　度，补全图1的频数分布直方图． （3）该校有900名学生，估计该校学生平均每天的课外阅读时间不少于的人数． 【答案】（1）抽样，50 （2）144， 补全条形图如图， （3）684名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，由样本估计总体．根据条形统计图和扇形统计图得出必要的信息和数据是解题关键． （1）由题意可知本次调查活动采取抽样调查的方式，用A除以A所占百分比即可求出样本容量； （2）用样本容量减其它时间人数，得出C的人数，即可补全统计图，用乘C的人数所占比例即可求出C的圆心角度数； （3）先求出样本中平均每天的课外阅读时间不少于的人数，即可求出其所占比例，再乘该校总人数即可． 【小问1详解】 解：本次调查活动采取了抽样调查方式，样本容量是， 故答案为：抽样，50； 【小问2详解】 解：∵C时间段的人数为（人）， ∴图2中C的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：样本中平均每天的课外阅读时间不少于的人数为（名）， （名）． 答：估计该校有684名学生平均每天的课外阅读时间不小于． 25. 如图，在四边形中， 为对角线的中点，过点O作直线分别与四边形的边交于两点，连接，使得平分． （1）求证：四边形为菱形； （2）当四边形是矩形时，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为对角线的中点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）的长为3 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，可得平行四边形，再根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，得到，根据菱形的判定定理得到平行四边形为菱形； （2）根据菱形的性质得到，根据勾股定理得到即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， 解得 ． 故的长为3． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是证明． 26. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/ ） 7 8 9 y（） （1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ （3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为元时，日获利w最大，最大利润为元 （3） 【解析】 【分析】（1）设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式，将，，代入得，，计算求解，进而可得结果； （2）依题意得，，由，，可知当时，日获利w最大，最大利润为元； （3）令，则，可求或，由，可得，由，可得． 【小问1详解】 解：设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式， 将，，代入得，， 解得，， ∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； 【小问2详解】 解：依题意得，， ∵，， ∴当时，日获利w最大，最大利润为元； 【小问3详解】 解：令，则， 解得，或， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 27. 如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，2）B（2，1）两点，平行于x轴的直线交y轴于点C（0，﹣1）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）直接写出关于x的不等式kx+b﹣＜0的解集； （3）求△ABC的面积． 【答案】（1）一次函数的关系式为y＝﹣x+3，反比例函数的关系式为y＝；（2）0＜x＜1或x＞2；（3）2 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求出两个函数关系式； （2）根据两个函数的图象以及交点坐标直观可以得出不等式kx＋b−＜0的解集； （3）分别作高AM，BN，根据直线y＝−1与直线y＝−x＋3的交点D的坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象过A（1，2）B（2，1）两点， ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为y＝﹣x+3， 又∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过A（1，2），B（2，1）， ∴m＝1×2＝2×1＝2， ∴反比例函数的关系式为y＝， 答：一次函数的关系式为y＝﹣x+3，反比例函数的关系式为y＝； （2）不等式kx+b﹣＜0，即不等式kx+b＜， 也就是一次函数值小于反比例函数值时相应的x的取值范围，由图象可知， 0＜x＜1或x＞2， 即不等式kx+b﹣＜0的解集为：0＜x＜1或x＞2； （3）如图，过点A、B分别作y轴的平行线交直线y＝﹣1于点M、N， 当y＝﹣1时，﹣1＝﹣x+3，即x＝4， ∴D（4，﹣1）， ∴CD＝4，AM＝3，BN＝2， ∴S△AOB＝S△ACD﹣S△BCD ＝×4×3﹣×4×2 ＝6﹣4 ＝2， 答：△ABC的面积为2． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的交点坐标，将点的坐标代入函数关系式是确定函数关系式常用的方法，理解交点坐标与不等式解集之间的关系是解决问题的关键． 28. 已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值； （3）若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）先求出点坐标，再求出直线的解析式，设，其中，则，可得是等腰直角三角形，得到，进而求出周长，最后根据二次函数的性质解答即可求解； （）设点坐标为，点坐标为，分三种情况：①当为对角线时；②当为对角线时；当为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分列出方程组解答即可求解； 本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用及性质，平行四边形的性质，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的表达式为， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，其中，则， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长 ， ， ， ∴当时，的周长有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，，， 设点坐标为，点坐标为， ①当为对角线时，， 解得， ∴， ②当为对角线时，， 解得， ∴； ③当为对角线时，， 解得， 解得； 综上所述，存在点，以为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市靓湖学校九年级堂测数学试题 考试时间：2024.10.15 答题时间：120分钟 总分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算结果为7的是（ ） A. B. C. D. 2. 2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功，航天员江新林、汤洪波、唐胜杰将与神舟十六号航天员会师太空．空间站距离地球约为，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是（　　） A. B. C. D. 5. 不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着数字“”，“”，“3”，除数字外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为4的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 一个正数的算术平方根一定比这个数小 C. 点关于x轴的对称点坐标是 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 7. 如图，点E、F分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得四边形，交于点G，则的周长为（　　） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（其中）的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法错误的是（ ） A. 极差是5 B. 众数是8 C. 中位数是9 D. 方差是2.8 10. 如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 计算的结果是_______． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 13. 分解因式：________． 14. 若m+=3，则m2+=_____． 15. 一次函数的图像不经过第__________象限. 16. 不等式的最小整数解是_______． 17. 如图，图1是由6块完全相同的三角形地砖铺成，图2是由10块完全相同的三角形地砖铺成，图3是由14块完全相同的三角形地砖铺成，…，按图中所示规律，图n所需三角形地砖数量为482块，则n的值为____． 18. 定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若点满足，我们把点称作“半分点”，例如点与都是“半分点”．下列说法正确的序号为___． ①一次函数的图象上的“半分点”是； ②若双曲线上存在“半分点”，且经过另一点，则的值为； ③若关于的二次函数的图象上恰好有唯一的“半分点”，则的值为； ④若点是二次函数的半分点，若点的坐标为，则的最小值为． 三．解答题（共10小题，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 已知关于x的不等式组有三个整数解，求实数a的取值范围． 22. 习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？ 23. 一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点M处测得正前方水平地面上某建筑物的顶端A的俯角为，面向方向继续飞行8米到达点N，测得该建筑物底端B的俯角为，已知建筑物的高为4米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：，） 24. 某校为了解学生的课外阅读情况，对部分学生进行了调查，并统计他们平均每天的课外阅读时间（单位：），然后利用所得数据绘制如下两幅不完整的统计图． 请你根据以上信息解答下列问题： （1）本次调查活动采取了　　　调查方式，样本容量是　　　． （2）图2中C的圆心角度数为　　　度，补全图1的频数分布直方图． （3）该校有900名学生，估计该校学生平均每天的课外阅读时间不少于的人数． 25. 如图，在四边形中， 为对角线的中点，过点O作直线分别与四边形的边交于两点，连接，使得平分． （1）求证：四边形为菱形； （2）当四边形是矩形时，若，求的长． 26. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/ ） 7 8 9 y（） （1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ （3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 27. 如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，2）B（2，1）两点，平行于x轴的直线交y轴于点C（0，﹣1）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）直接写出关于x的不等式kx+b﹣＜0的解集； （3）求△ABC的面积． 28. 已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值； （3）若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $