2024—2025学年人教版数学八年级上册专题05 全等三角形全章期考真题专项复习（3大考点14种题型）（培优篇）

专题05 全等三角形全章期考真题专项复习 （培优篇） 【人教版】 知识网络构建 考点一•全等三角形 知识点一：全等形的定义和性质 1. 能够完全重合的两个图形叫做全等形． 2. 全等形的形状和大小都相同. 知识点二：全等三角形的概念及表示方法 1. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点 ,重合的边叫做对应角,重合的角叫做对应角. 如图所示，△ABC和△DEF 全等，记作△ABC≌△DEF. 其中，点A与点D,点B与点E, 点C与点F 是对应顶点，AB与DE，AC 与 DF，BC与 EF 是对应边，∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F是对应角. 3.寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法 (1)图形特征法 最长边对最长边，最短边对最短边； 最大角对最大角，最小角对最小角. (2)位置关系法 公共角(对顶角)为对应角，公共边为对应边； 对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角. (3)字母顺序法 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角. 知识点三：全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等,对应角相等. 2. 用数学语言表示 ∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，∠B=∠E, ∠C=∠F. 3. 全等三角形的其他性质 (1)全等三角形的周长相等； (2)全等三角形的面积相等； (3)全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等. 题型1 图形的全等 【例1】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）下列各组图形中不是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级·湖北省直辖县级单位·期末）下列说法正确的是（    ） A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同 C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形 【变式1-2】（23-24八年级·山东枣庄·期末）下列四个图形中，通过旋转和平移能够全等图形的是(　　) A．③和④ B．②和③ C．②和④ D．①②③④ 【变式1-3】（23-24八年级·湖南衡阳·期末）如图所示的是两个全等的五边形，，，，，，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的 ， °． 题型2 由全等三角形的性质求值 【例2】（23-24八年级·全国·期末）已知，的三边长分别为、、，的三边长分别为、、．若的三边长均为整数，则的最大值为 ． 【变式2-1】（23-24八年级·河北邯郸·期中）如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌，△AEB≌，且，BE、CD交于点F，若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（    ）    A．105° B．100° C．110° D．115° 【变式2-2】（23-24八年级·云南昆明·期中）如图，全等于，E在边 上，与交于点 F．若， (1)求线段的长． (2)求 的度数． 【变式2-3】（23-24八年级·广东清远·期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．已知，，则的面积为 ． 考点二•三角形全等的判定 知识点一：判定两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS） （1）基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”． （2）这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因． 知识点二：判定两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS） （1）基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”． （2）此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系． 【注意】（1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等． （2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件． 知识点三：判定两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA） （1）基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”． （2）用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识． 知识点四：判定两个三角形全等的基本事实：角角边（AAS） （1）基本事实：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”． （2）这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等． 知识点五：直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL） （1）基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”． （2）“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立． 【归纳】判定两个三角形全等常用的思路方法如下： 题型3 一次全等 【例3】（23-24八年级·全国·期中）如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【变式3-1】（23-24八年级·江苏南通·期中）如图，在四边形中，是对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式3-2】（23-24八年级·甘肃陇南·期中）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，中，，，，为上一点，当 时，与是偏等积三角形； (2)如图2，，是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点，求的长． 【变式3-3】（23-24八年级·江西宜春·期中）如图，小明和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高于 于．小明在自家阳台处测得办公楼顶部的视线与水平线的夹角，小华在自家阳台处测得办公楼顶部的视线与水平线的夹角．已知三点共线，与互余，且，求办公楼的高度． 题型4 两次全等 【例4】（23-24八年级·全国·期中）如图，已知，平分的外角，为上一动点． (1)若，求证：． (2)在点运动过程中，试比较与的大小，并说明理由． (3)若，于，且，，求长． 【变式4-1】（23-24八年级·甘肃武威·期中）如图，已知，，；求证：． 【变式4-2】（23-24八年级·全国·单元测试）如图，，点、分别在、上，，、垂足分别为、，且．求证：． 【变式4-3】（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：． (3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比． 题型5 连接法构造全等 【例5】（23-24八年级·河南开封·期中）如图，，，过点，，求证：． 【变式5-1】（23-24八年级·安徽安庆·阶段练习）如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 3. 【变式5-2】（23-24八年级·贵州毕节·期末）已知：如图所示，，，、分别是、的中点，求证：． 【变式5-3】（23-24八年级·广东广州·阶段练习）在中，，，点在的延长线上，是的中点，是射线上一动点，且，连接，作，交延长线于点． (1)如图1，当点在上时，求证：． (2)如图2，当点在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系并证明． 题型6 延长法构造全等 【例6】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，在的上方作，使，且，与交于点，连接． (1)若平分，求证：． (2)求的度数． 【变式6-1】（23-24八年级·河北廊坊·期中）如图1，线段，连接，，取的中点E，连接，平分． (1)线段，，之间存在怎样的等量关系？ 请写出并证明你的结论． (2)如图2，如果点C在 的左侧，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？ 如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新的结论，并给予证明． 【变式6-2】（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（    ） A．3 B．2 C．1.5 D． 【变式6-3】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，在中，为的平分线，于E，连接，若的面积为，，，则的面积为 ． 题型7 作垂线法构造全等 【例7】（23-24八年级·河北廊坊·阶段练习）【提出问题】（1）如图1，在和中，，点B，C，D在一条直线上，且．，，求的长度； 【解决问题】（2）如图2，在中，，，过点C作，且，求点D到直线的距离； 【拓展应用】（3）某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境，如图3，在河流段的周边规划一个面积为的四边形森林公园，按设计要求，在四边形中，，，，点E在边上，且，，的面积为，请直接写出河流段的另一边森林公园的面积． 【变式7-1】（23-24八年级·福建宁德·期末）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是 ． 【变式7-2】（2024八年级·全国·专题练习）如图，在中，，，，，延长交于.求证：. 【变式7-3】（23-24八年级·江苏连云港·阶段练习）如图，线段AB=8cm，射线AN⊥AB，垂足为点A，点C是射线上一动点，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为 ．    题型8 作平行线法构造全等 【例8】（23-24八年级·陕西渭南·阶段练习）如图，已知． 【初步探究】（1）如图1，为边的中点，连接并延长到点，使，连接，求与的数量关系和位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（2）如图2，若，过点作于点，为边上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，若，试说明：． 【变式8-1】（23-24八年级·山东淄博·期末）如图，在四边形中，，． 求的度数 求证：． 【变式8-2】（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）阅读并填空： 如图，是等腰三角形，，是边延长线上的一点，在边上，且连接交于，如果，那么，为什么？ 解：过点作交于， 所以两直线平行，同位角相等， ______， 在与中， 所以______， 所以______， 因为已知， 所以______， 所以等量代换， 所以， 所以． 【变式8-3】（23-24八年级·山东临沂·期末）如图，在中，为边上一点不与点，重合，点关于直线的对称点为，连接，将线段绕点旋转，使点的对应点恰好在线段的延长线上． 求证：； 连接，过点作的垂线，分别交于点，． 依题意补全图形； 用等式表示与的数量关系，并证明． 题型9 倍长中线法构造全等 【例9】（23-24八年级·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 【变式9-1】（2024八年级·上海·专题练习）在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24八年级·江西新余·阶段练习）如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC．求证：CD=2CE． 【变式9-3】（23-24八年级·江西宜春·阶段练习）阅读理解： （1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______． （2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． （3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：． 题型10 截长补短法构造全等 【例10】（23-24八年级·福建泉州·期末）如图，四边形ABCD中，,,,对角线BD平分交AC于点P.CE是的角平分线,交BD于点O. （1）请求出的度数; （2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由; 【变式10-1】（23-24八年级·安徽淮北·阶段练习）如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24八年级·辽宁抚顺·期末）如图，交于，交于平分平分，直线经过点并与分别交于点．    (1)如图①，求证：； (2)如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【变式10-3】（23-24八年级·北京东城·期中）已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 考点三•角的平分线的性质 知识点一：作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 知识点二：．角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 知识点三：．证明几何命题的一般步骤 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行： （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 知识点四：．角的平分线的判定 （1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 题型11 由角平分线的性质求线段长度 【例11】（23-24八年级·天津和平·期中）如图所示，平分，，于点E，，，那么的长度为 cm． 【变式11-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图：已知在中，，，，为的角平分线，，则的长度是（    ） A． B． C． D．4 【变式11-2】（23-24八年级·浙江宁波·期末）角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：    【知识回顾】 （1）如图1，是的平分线上的一点，于点，作于点，试证： 【深入探究】 （2）如图2，在中，为的角平分线交于于点，其中，求． 【应用迁移】 （3）如图3，中，的角平分线与的中线交于点为中点，连接，若，则的长度为__________． 【变式11-3】（23-24八年级·江苏·期中）如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 题型12 由角平分线的性质求面积 【例12】（23-24八年级·辽宁大连·期末）如图，在中，是它的角平分线，，，，则 （     ） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24八年级·北京西城·期中）如图，点O是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是 ． 【变式12-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知在中，，，平分，平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接，作，，，求的面积． 【变式12-3】（23-24八年级·重庆铜梁·期中）如图，平分，交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 题型13 角平分线的作图 【例13】（23-24八年级·河南漯河·期末）如图，的面积是，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点C作于点D，连接，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（23-24八年级·江苏镇江·期末）如图，点、在的两边上，且． (1)请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 (2)作图后，该图中有 对全等三角形． 【变式13-2】（23-24八年级·河北保定·期末）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N； ②再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O； ③作射线，交于点E． 已知，，则的面积为（    ） A．5 B．7 C．9 D．14 【变式13-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）下面是数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：如图①，（1）分别在射线，上截取，，使；（2）分别以，为圆心、以的长为半径作弧，两弧在内交于点；（3）作射线．射线就是的平分线． 简述理由如下： 由作图知：，，，所以，则．即射线是的平分线． 小军：我认为小明的作图方法很好，但我有不一样的作图方法．如图②，（1）在的边上任取一点；（2）尺规作，使；（3）在射线上截取，使；（4）作射线．射线即为的平分线． …… 任务： (1)小明得出的依据是_______（填序号）； ①    ②    ③    ④ (2)根据小军的作图痕迹，应填______； (3)小军作图得到的射线是的平分线吗？请说明理由． 题型14 角平分线的性质应用—确定位置 【例14】（23-24八年级·山东青岛·期末）如图，直线表示相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等．则可供选择的地址有几处？请画出一种方案． 【变式14-1】（23-24八年级·山东青岛·期末）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 在公园中有一块四边形的空地，需要规划栽种不同品种的植物，空地图纸如图所示，已知四边形，，在边上求作一点M，在边上求作一点N，使得、、的面积都相等．    【变式14-2】（23-24八年级·湖南郴州·期末）如图，107国道和320国道在湘潭市相交于点O，在的内部有一个工厂C和D，现在要修建一个货站P，使点P到的距离相等，且使，用尺规作出货站P的位置． 【变式14-3】（23-24八年级·浙江温州·期末）如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 实战演练 1．（23-24八年级·山西临汾·期末）如图，的两条高相交于点F，若，，，则的面积为（    ） A．48 B．24 C．18 D．12 2．（23-24八年级·安徽合肥·阶段练习）如图，用无刻度的直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，平分，若，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．（23-24八年级·山东德州·阶段练习）如图，中，，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024八年级·全国·专题练习）如图，在中，分别延长，边上的中线，到，，使，，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级·浙江金华·期末）在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，另一个三角形有一个角为，则 ． 7．（23-24八年级·全国·期末）如图，垂直于 的平分线交于点D，交于点E，，若 的面积为2，则 的面积为 ． 8．（23-24八年级·全国·课后作业）如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ．    9．（23-24八年级·浙江台州·期末）如图，在中，，，点是外角平分线上的一点，连接、，若，则 度．    10．（23-24八年级·山西阳泉·期末）有些数学题，表面上看起来无从下手，但根据图形的特点，可补全成为特殊的图形，然后根据特殊几何图形的性质去考虑，常常可以获得简捷解法．根据阅读，请解答问题：如图所示，已知△ABC的面积为16cm2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积为 cm2． 11．（23-24八年级·山西临汾·期末）如图，已知． (1)作，使得，且和在同一侧（不写作图过程，保留作图痕迹）； (2)连接，已知，，求的度数． 12．（23-24八年级·甘肃定西·期中）在中，，直线经过点C，且于D，于E．求证： (1)； (2) ． 13．（23-24八年级·山东青岛·期末）如图，等腰中，是腰上的高，在底边上截取，过点E作交于F． (1)求证： (2)若，求的度数． 14．（23-24八年级·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 15．（23-24八年级·云南玉溪·期末）数学探究： (1)如图一，在平面直角坐标系中点，，连接，以为直角边在第一象限内作等腰直角，则点B的坐标是________________． (2)如图二，，．当点C在x轴负半轴上运动，点在y轴正半轴上运动，点在第三象限时，作轴于点D，试判断a，m，n之间的关系，请证明你的结论． 16．（23-24八年级·山西·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务： 如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 全等三角形全章期考真题专项复习 （培优篇） 【人教版】 知识网络构建 考点一•全等三角形 知识点一：全等形的定义和性质 1. 能够完全重合的两个图形叫做全等形． 2. 全等形的形状和大小都相同. 知识点二：全等三角形的概念及表示方法 1. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点 ,重合的边叫做对应角,重合的角叫做对应角. 如图所示，△ABC和△DEF 全等，记作△ABC≌△DEF. 其中，点A与点D,点B与点E, 点C与点F 是对应顶点，AB与DE，AC 与 DF，BC与 EF 是对应边，∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F是对应角. 3.寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法 (1)图形特征法 最长边对最长边，最短边对最短边； 最大角对最大角，最小角对最小角. (2)位置关系法 公共角(对顶角)为对应角，公共边为对应边； 对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角. (3)字母顺序法 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角. 知识点三：全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等,对应角相等. 2. 用数学语言表示 ∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，∠B=∠E, ∠C=∠F. 3. 全等三角形的其他性质 (1)全等三角形的周长相等； (2)全等三角形的面积相等； (3)全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等. 题型1 图形的全等 【例1】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）下列各组图形中不是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解． 【详解】解：观察发现，A、C、D选项的两个图形都可以完全重合， ∴是全等图形， B选项中两个图形不可能完全重合， ∴不是全等形． 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题． 【变式1-1】（23-24八年级·湖北省直辖县级单位·期末）下列说法正确的是（    ） A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同 C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意； B：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意； C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意； D：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等图形，熟练运用“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是本题的关键． 【变式1-2】（23-24八年级·山东枣庄·期末）下列四个图形中，通过旋转和平移能够全等图形的是(　　) A．③和④ B．②和③ C．②和④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案 【详解】①、②、③和④都可通过平移或旋转完全重合． 故选D． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念． 【变式1-3】（23-24八年级·湖南衡阳·期末）如图所示的是两个全等的五边形，，，，，，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的 ， °． 【答案】 11 115 【分析】此题考查了全等多边形的性质，根据全等多边形对应边相等，对应角相等求解即可． 【详解】∵五边形和五边形全等 ∴， 故答案为：11，115． 题型2 由全等三角形的性质求值 【例2】（23-24八年级·全国·期末）已知，的三边长分别为、、，的三边长分别为、、．若的三边长均为整数，则的最大值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质是解题的关键，根据全等三角形对应边相等可得、中有一边为，、有一边为，剩下的两边相等，再根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长的边，然后相加即可． 【详解】解：， 、中有一边为， 、中有一边为， 、与、中剩余两边相等， ， 两三角形剩余两边最大为， 的最大值为：． 故答案为∶． 【变式2-1】（23-24八年级·河北邯郸·期中）如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌，△AEB≌，且，BE、CD交于点F，若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（    ）    A．105° B．100° C．110° D．115° 【答案】B 【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC=∠C′+∠AHC′+∠CAD，再求出∠C′+∠AHC′即可解决问题． 【详解】解：延长C′D交AB′于H．    ∵△AEB≌△AEB′， ∴∠ABE=∠B′，∠EAB=∠EAB′=40°， ∵C′H∥EB′， ∴∠AHC′=∠B′， ∵△ADC≌△ADC′， ∴∠C′=∠ACD，∠DAC=∠DAC′=40°， ∵∠BFC=∠DBF+∠BDF，∠BDF=∠CAD+∠ACD， ∴∠BFC=∠AHC′+∠C′+∠CAD， ∵∠DAC=∠DAC′=∠CAB′=40°， ∴∠C′AH=120°， ∴∠C′+∠AHC′=60°， ∴∠BFC=60°+40°=100°， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握基本性质是解题的关键． 【变式2-2】（23-24八年级·云南昆明·期中）如图，全等于，E在边 上，与交于点 F．若， (1)求线段的长． (2)求 的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点， （1）先根据图形和已知判定出全等三角形的对应边，然后根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可得解； 掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 【详解】（1）∵ ， ∴， 如图所示，为中的最短边，为中的最短边， ∵， ∴和不可能是全等三角形的对应边， ∵E在边上， ∴， ∵全等于， ∴， ∴，， ∴； （2）∵，，， ∴，， ∴， ∴． 【变式2-3】（23-24八年级·广东清远·期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．已知，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的面积等知识点，读懂图形中的信息是解题的关键． 由题意可知，，于是可得，，，，进而可得，，然后根据的面积=长方形面积即可得解． 【详解】解：由题意可知： ，， ，，，，的面积=四边形面积 ， 四边形是长方形， ， ， 故答案为：． 考点二•三角形全等的判定 知识点一：判定两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS） （1）基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”． （2）这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因． 知识点二：判定两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS） （1）基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”． （2）此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系． 【注意】（1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等． （2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件． 知识点三：判定两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA） （1）基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”． （2）用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识． 知识点四：判定两个三角形全等的基本事实：角角边（AAS） （1）基本事实：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”． （2）这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等． 知识点五：直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL） （1）基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”． （2）“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立． 【归纳】判定两个三角形全等常用的思路方法如下： 题型3 一次全等 【例3】（23-24八年级·全国·期中）如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）根据证明与全等即可； （2）证明，再由可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵ ∴, 又 ∴ ∴． 【变式3-1】（23-24八年级·江苏南通·期中）如图，在四边形中，是对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)5 【分析】本题主要考查平行线的性质、全等三角形的判定和性质， （1）根据已知有，即可利用判定结论； （2）根据全等的性质得，即可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中 ∴； （2）解：由（1）知，，则， ∵， ∴． 【变式3-2】（23-24八年级·甘肃陇南·期中）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，中，，，，为上一点，当 时，与是偏等积三角形； (2)如图2，，是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点，求的长． 【答案】(1)4 (2)3 【分析】本题主要考查了三角形的面积，全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，理解等底（或同底）等高（或同高）的两个三角形的面积相等是解答此题的关键． （1）根据与同高且是偏等积三角形得，可得答案 （2）根据与同高且是偏等积三角形得，再证和全等得，， ， ，进而得，然后在中利用三角形三边之间的关系可得出，最后再根据线段的长度为正整数可求出的长． 【详解】（1）解：∵点P为上一点，如图， 与同高， 又 与是偏等积三角形， ， ， 故答案为：4． （2）如图2中与同高， ，是偏等积三角形， ， ， ，， 在和中 ， ， ，， ， ，， 在中 ，， ， ， 线段的长度为正整数， ． 【变式3-3】（23-24八年级·江西宜春·期中）如图，小明和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高于 于．小明在自家阳台处测得办公楼顶部的视线与水平线的夹角，小华在自家阳台处测得办公楼顶部的视线与水平线的夹角．已知三点共线，与互余，且，求办公楼的高度． 【答案】办公楼的高度为 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，余角的定义，三角形内角和定理，先由余角的定义得到，再由垂线的定义结合三角形内角和定理得到，则，再证明， ，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：与互余， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， 办公楼的高度为． 题型4 两次全等 【例4】（23-24八年级·全国·期中）如图，已知，平分的外角，为上一动点． (1)若，求证：． (2)在点运动过程中，试比较与的大小，并说明理由． (3)若，于，且，，求长． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)7 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质及角平分线的性质，掌握全等三角形的判定方法（、、、和）和性质全等三角形的对应边、对应角相等是解题的关键，在（1）中构造三角形全等是解题的关键． （1）在上取点，使，连接，可证明，可得，可证得，再结合三角形内角和定理可证得结论； （2）由（1）可得到，在中，可得，则有，可得出结论． （3）利用三角形全等进行转化得到，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，在上取点，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ， ； （2）解：， 理由如下： 在（1）中可得， ，， 在中，由三角形三边关系可得， ， ， 即． （3）解：如图（2），过作于点， 平分， ， 在和中，，， ， ， 在和中，，， ， ， 设，则，即，解得， ． 【变式4-1】（23-24八年级·甘肃武威·期中）如图，已知，，；求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查三角形全等的判定与性质，平行线的判定，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．先证得，得出，进一步求得，再证明，得出，可得出结论． 【详解】证明：在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ 【变式4-2】（23-24八年级·全国·单元测试）如图，，点、分别在、上，，、垂足分别为、，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了两个直角三角形全等的判定方法的运用，即：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．根据判定两个三角形全等的方法“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”可证，从而得出，进而可证得，从而得出． 【详解】证明：，， 和是直角三角形， 在和中， ， ． ． 又， ； ． 在和中， ， ． ． 【变式4-3】（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：． (3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，涉及、以及等判定方法， （1）利用“”证明即可作答； （2）结合（1）的结论，再利用“”证明即可作答； （3）分类讨论，第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，先证明，即有，，同理可证明：，再证明，可得，问题即可作答；第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，按照第一种情况作答即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； （3）分类讨论： 第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 同理可证明：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴； 第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图， 同理可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：与的面积比为 或者． 题型5 连接法构造全等 【例5】（23-24八年级·河南开封·期中）如图，，，过点，，求证：． 【答案】证明：连接， 在与中， ． ． 在 ， ．  【变式5-1】（23-24八年级·安徽安庆·阶段练习）如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】连接，如图， 在与中 ， ≌ ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键． 3. 【变式5-2】（23-24八年级·贵州毕节·期末）已知：如图所示，，，、分别是、的中点，求证：． 【答案】证明：连接， 在和中， ， ≌， ， ，，分别是、的中点， ， 在和中， ， ≌， ．  【变式5-3】（23-24八年级·广东广州·阶段练习）在中，，，点在的延长线上，是的中点，是射线上一动点，且，连接，作，交延长线于点． (1)如图1，当点在上时，求证：． (2)如图2，当点在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）连接，先证，得，再证，得，即可得出结论； （2）连接，先证，得，再证，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图1所示： ， ，      在和中， ， ，    ，， ，， ， ， 是的中点 ，         在和中， ， ，    ， ， （2）根据题意将图形补全，如图2所示： 与的数量关系：，证明如下： 连接， ，点在的延长线上， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 是的中点， ，     在和中， ， ，      ， ． 题型6 延长法构造全等 【例6】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，在的上方作，使，且，与交于点，连接． (1)若平分，求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质即角平分线性质， （1）延长，交于点，由题意得，有，由垂直得，证得，有即可证明结论； （2）过点分别作于点，于点，有，得到，可得，即可求得角度． 【详解】（1）证明：延长，交于点，如图， ，，， ， ， ． ，， ． ，， ， ， ． （2）解：过点分别作于点，于点，如图， ． ，， ， ， ∵， ∴， ． 【变式6-1】（23-24八年级·河北廊坊·期中）如图1，线段，连接，，取的中点E，连接，平分． (1)线段，，之间存在怎样的等量关系？ 请写出并证明你的结论． (2)如图2，如果点C在 的左侧，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？ 如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新的结论，并给予证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)不成立，新的结论是，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质． （1）延长，交于点，即可求证，即可求得，，即可求得； （2）不成立，新的结论为：．延长，交于点，可证和，即可解题． 【详解】（1）解：．证明如下： 如图，延长，交于点， 平分， ， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； （2）解：不成立，新结论为：． 证明：延长，交于点， 平分， ， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ． 【变式6-2】（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（    ） A．3 B．2 C．1.5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，延长，交于点G，构造，利用三角形中线的性质得出，进而求出，再由求出答案． 【详解】解：延长，交于点G， ∵在长方形中，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【变式6-3】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，在中，为的平分线，于E，连接，若的面积为，，，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质等知识，延长交于F，证明，得出，，根据三角形中线的性质得出，则求出，根据的面积为，，可求出的面积，结合，可求的面积，即可求解． 【详解】解：延长交于F， ∵为的平分线，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：8． 题型7 作垂线法构造全等 【例7】（23-24八年级·河北廊坊·阶段练习）【提出问题】（1）如图1，在和中，，点B，C，D在一条直线上，且．，，求的长度； 【解决问题】（2）如图2，在中，，，过点C作，且，求点D到直线的距离； 【拓展应用】（3）某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境，如图3，在河流段的周边规划一个面积为的四边形森林公园，按设计要求，在四边形中，，，，点E在边上，且，，的面积为，请直接写出河流段的另一边森林公园的面积． 【答案】（1）9（2）4（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三直角全等模型，是解题的关键： （1）证明，得到，，根据线段的和差关系进行求解即可； （2）过点作，交的延长线于点，证明，进而得到，即可得出结果； （3）过点作，交的延长线于点，根据的面积为，求出的长，证明，得到，进而求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （2）过点作，交的延长线于点， 则：， ∵， ∴， 同（1）可得：， ∴， ∴点D到直线的距离为4； （3）过点作，交于点， 则：， ∵， ∴， 同法（1）可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积． 【变式7-1】（23-24八年级·福建宁德·期末）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是 ． 【答案】（﹣2，3） 【分析】作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，先证明△AOD≌△COE，因为C（3，2），所以OD＝OE＝3，AD＝CE＝2，再根据点A在第二象限求出点A的坐标． 【详解】解：如图， 作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，则∠ADO＝∠CEO＝90°， ∵四边形OABC是正方形， ∴∠AOC＝∠DOE＝90°，OA＝OC， ∴∠AOD＝∠COE＝90°﹣∠COD， 在△AOD和△COE中， ， △AOD≌△COE（AAS）， ∵C（3，2）， ∴OD＝OE＝3，AD＝CE＝2， ∵点A在第二象限， ∴A（﹣2，3）， 故答案为：（﹣2，3）． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判断和性质、图形与坐标等，正确做出辅助线是解题的关键． 【变式7-2】（2024八年级·全国·专题练习）如图，在中，，，，，延长交于.求证：. 【答案】详见解析 【分析】如图，过点D作的延长线于点G，易证，再证即可得答案. 【详解】如图，过点D作的延长线于点G， ， ， ， 又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD， ∴， ， 又∵BC=BE， ， 又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG， ∴， ∴EF=DF. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 【变式7-3】（23-24八年级·江苏连云港·阶段练习）如图，线段AB=8cm，射线AN⊥AB，垂足为点A，点C是射线上一动点，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为 ．    【答案】4cm. 【分析】过点E作EF⊥AN于F，先利用AAS证出△ABC≌△FCE，从而得出AB=FC=8cm，AC=FE，然后利用AAS证出△DCM≌△EFM,从而求出CM的长. 【详解】解：过点E作EF⊥AN于F，如图所示    ∵AN⊥AB，△BCE和△ACD为等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠BCE=∠ACD=∠CFE =90°，BC=CE，AC=CD ∴∠ABC+∠ACB=90°，∠FCE+∠ACB =90°， ∴∠ABC =∠FCE， 在△ABC和△FCE中 ∴△ABC≌△FCE ∴AB=FC=8cm，AC=FE ∴CD= FE 在△DCM和△EFM中 ∴△DCM≌△EFM ∴CM=FM=FC=4cm. 故答案为：4cm. 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握用AAS证两个三角形全等是解决此题的关键. 题型8 作平行线法构造全等 【例8】（23-24八年级·陕西渭南·阶段练习）如图，已知． 【初步探究】（1）如图1，为边的中点，连接并延长到点，使，连接，求与的数量关系和位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（2）如图2，若，过点作于点，为边上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，若，试说明：． 【答案】（1），；理由见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据线段中点的定义得出，进而证明，根据全等三角形的性质，平行线的判定，即可得出结论； （2）过点作交的延长线于点，证明， 得出，，证明，得出，证明， 得出，即可得证． 【详解】（1）解：，，理由如下： 为边的中点， ， 在和中， ，，， ， ，， ． （2）证明：如图，过点作交的延长线于点， ∵， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ，， ， ． 在和中， ，， ， ， ， ∴， 即， ∴， 在和中， ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 【变式8-1】（23-24八年级·山东淄博·期末）如图，在四边形中，，． 求的度数 求证：． 【答案】解：在中，， ，， ， 又， ； 证明：由知，，，过作，交于，如图所示，   ， 在中，， ， ， 又， ， 在与中， ， ．  4. 【变式8-2】（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）阅读并填空： 如图，是等腰三角形，，是边延长线上的一点，在边上，且连接交于，如果，那么，为什么？ 解：过点作交于， 所以两直线平行，同位角相等， ______， 在与中， 所以______， 所以______， 因为已知， 所以______， 所以等量代换， 所以， 所以． 【答案】两直线平行，内错角相等；对顶角相等；；全等三角形的对应边相等；等边对等角  【解析】解：过点作交于， 所以两直线平行，同位角相等， 两直线平行，内错角相等， 在与中， 所以， 所以全等三角形的对应边相等， 因为已知， 所以等边对等角， 所以等量代换， 所以， 所以． 故答案为：两直线平行，内错角相等；对顶角相等；；全等三角形的对应边相等；等边对等角． 证，得出，由等腰三角形的性质得出，证出，得出，即可得出结论． 【变式8-3】（23-24八年级·山东临沂·期末）如图，在中，为边上一点不与点，重合，点关于直线的对称点为，连接，将线段绕点旋转，使点的对应点恰好在线段的延长线上． 求证：； 连接，过点作的垂线，分别交于点，． 依题意补全图形； 用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】证明：连接，过于点，则：， 点关于直线的对称点为， ， 又， ， ，， 旋转， ， ， ， ， ， ， ； 补全图形如图： ，证明如下： 过点作交的延长线于点，交于点， ， ， ，， ， ， 由知：， ， 点重合， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 题型9 倍长中线法构造全等 【例9】（23-24八年级·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出； ②证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， 和是兄弟三角形； （2）证明：①延长至，使， 为的中点， ， 在和中， ， ， ； ②， ， ∴， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 【变式9-1】（2024八年级·上海·专题练习）在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长至点，使得，可证，可得，，在中，根据三角形三边关系即可求得的取值范围，即可解题． 【详解】解：延长至点，使得， 在和中， ， ， ， 中，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键． 【变式9-2】（23-24八年级·江西新余·阶段练习）如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC．求证：CD=2CE． 【答案】见解析 【分析】如图，考虑到CE是△ABC的中线，我们延长CE到F，使EF=CE，这样CF=2CE，结合已知条件可证△AEC≌△BEF，并可进一步证得△CFB≌△CDB，得到CF=CD，从而可得结论CD=2CE． 【详解】解：如图，延长CE到点F，使EF=CE，则CF=2CE， 、 ∵CE是△ABC的中线， ∴  AE=BE， 在△ACE和△BFE中， ∴ △ ACE≌ △ BFE（AAS）， ∴ AC=BF，∠A=∠ABF， 又∵∠ACB=∠ABC，CB是△ADC的中线， ∴ AC=AB=BD=BF，∠DBC=∠A+∠ACB=∠ABF+∠ABC，即∠DBC=∠FBC， 在△DBC和△FBC中， ， ∴△DBC≌△FBC（SAS）， ∴DC=CF=2CE． 【点睛】在这类有关三角形中线的问题中，延长中线一倍，构造全等三角形是我们在解题中常用的一种辅助线作法，需认真去体会． 【变式9-3】（23-24八年级·江西宜春·阶段练习）阅读理解： （1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______． （2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． （3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）如图1延长到点，使得，再连接，由AD为中线，推出BD=CD，可证△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三边关系即可， （2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG由D为BC中点，BD=CD可证△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中 由三边关系， （3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，由是边上的中点，得BD=CD，可证△ACD≌△GBD（SAS）得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案， 【详解】（1）如图1延长到点，使得，再连接， ∵AD为中线， ∴BD=CD， 在△ADC和△    EDB中， ∵CD=BD， ∠ADC=∠EDB， AD=ED， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴AC=EB=6， ， ∵， ∴， ∴， （2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG， 由D为BC中点，BD=CD， 在△FDC和△GDB中， ∵CD=BD， ∠FDC=∠GDB， FD=GD， ∴△FCD≌△GBD（SAS）， ∴FC=GB， ∵，DF=DG， ∴EF=EG， 在△BEG中EG<EB+BG，即， （3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG， 由是边上的中点， ∴BD=CD， 在△ADC和△GDB中， ∵CD=BD， ∠ADC=∠GDB， AD=GD， ∴△ACD≌△GBD（SAS）， ∴AC=GB，∠DAC=∠G， ∵BE=AC， ∴BE=BG， ∴∠BED=∠G=∠CAD． 【点睛】本题考查中线加倍，三角形全等，三边关系，垂直平分线，等腰三角形，掌握中线加倍构造三角形，用三角形全等转化等量关系，用三边关系求取值范围，用垂直平分线转化线段，用等腰三角形证角是解题关键， 题型10 截长补短法构造全等 【例10】（23-24八年级·福建泉州·期末）如图，四边形ABCD中，,,,对角线BD平分交AC于点P.CE是的角平分线,交BD于点O. （1）请求出的度数; （2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由; 【答案】（1）；（2）BE+CP=BC，理由见解析． 【分析】（1）先证得为等边三角形，再利用平行线的性质可求得结论； （2）由BP、CE是△ABC的两条角平分线，结合BE=BM，依据“SAS”即可证得△BEO≌△BMO；利用三角形内角和求出∠BOC=120°，利用角平分线得出∠BOE=∠BOM=60，求出∠BOM，即可判断出∠COM=∠COP，即可判断出△OCM≌△OCP，即可得出结论； 【详解】（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴∠ACD=， ∵， ∴∠BAC=∠ACD=； （2）BE+CP=BC，理由如下： 在BC上取一点M，使BM=BE，连接OM，如图所示： ∵BP、CE是△ABC的两条角平分线， ∴∠OBE=∠OBM=∠ABC， 在△BEO和△BMO中，， ∴△BEO△BMO(SAS)， ∴∠BOE=∠BOM=60， ∵BP、CE是△ABC的两条角平分线， ∴∠OBC+∠OCB= 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180， ∵∠BAC =60， ∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=180-60=120， ∴∠BOC=180-(∠OBC+∠OCB)=180=180-×120=120， ∴∠BOE=60， ∴∠COP=∠BOE=60 ∵△BEO≌△BMO， ∴∠BOE=∠BOM=60， ∴∠COM=∠BOC-∠BOM=120-60=60， ∴∠COM=∠COP=60， ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠OCM=∠OCP， 在△OCM和△OCP中， ∴△OCM≌△OCP（ASA）， ∴CM=CP， ∴BC=CM+BM=CP+BE， ∴BE+CP=BC． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，证明∠CFM=∠CFD是解题的关键． 【变式10-1】（23-24八年级·安徽淮北·阶段练习）如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形的周长． 【详解】解：在线段AC上作AF=AB， ∵AE是的平分线， ∴∠CAE=∠BAE， 又∵AE=AE， ∴△AEF≌△AEB（SAS）， ∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB， ∵AB∥CD， ∴∠D+∠B=180°， ∵∠AFE+∠CFE=180°， ∴∠D=∠CFE， ∵， ∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠CEF=∠CED， 在△CEF和△CED中 ∵, ∴△CEF≌△CED（AAS） ∴CD=CF， ∴四边形的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 【变式10-2】（23-24八年级·辽宁抚顺·期末）如图，交于，交于平分平分，直线经过点并与分别交于点．    (1)如图①，求证：； (2)如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【答案】(1)见解析； (2)（1）中结论不成立，； 【分析】（1）在上截取，连，根据题意证明，得到，，再由证明，由平角定义得到，则有，再证明，得到，则； （2）延长交于点H，根据题意证明，得到，，再由平分，证明，得到，则． 【详解】（1）证明：如图，在上截取，连，    ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴，即， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． （2）（1）中的结论不成立，； 理由：延长交于点H，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及全等三角形的性质和判定，解答过程中，根据题意做出辅助线构造全等三角形是解题关键． 【变式10-3】（23-24八年级·北京东城·期中）已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 【答案】(1)图见解析， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）解：补全图形，如图：    解题思路为先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：； （2）成立，证明如下： 延长到点，使，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴．’ 故答案为：． 考点三•角的平分线的性质 知识点一：作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 知识点二：．角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 知识点三：．证明几何命题的一般步骤 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行： （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 知识点四：．角的平分线的判定 （1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 题型11 由角平分线的性质求线段长度 【例11】（23-24八年级·天津和平·期中）如图所示，平分，，于点E，，，那么的长度为 cm． 【答案】 【分析】通过辅助线构造全等三角形，再根据全等三角形的性质进行线段之间的转化，最后代入长度计算即可． 【详解】解：如图 作，交的延长线于点 ，平分 ， ， 故答案为 【点睛】本题考查了角平分线的性质，主要相关知识点有：全等三角形的判定、同角的补角相等、全等三角形的性质等，辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式11-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图：已知在中，，，，为的角平分线，，则的长度是（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据，得到，过点作，易得：，利用等积法，求出的长度即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 过点作，交于点， ∵为的角平分线， ∴， ∵，即：， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 【变式11-2】（23-24八年级·浙江宁波·期末）角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：    【知识回顾】 （1）如图1，是的平分线上的一点，于点，作于点，试证： 【深入探究】 （2）如图2，在中，为的角平分线交于于点，其中，求． 【应用迁移】 （3）如图3，中，的角平分线与的中线交于点为中点，连接，若，则的长度为__________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）10 【分析】（1）根据证明即可； （2）作于点，作于点，由角平分线的性质得，由三角形的面积公式可得，结合即可求解； （3）过E作于G，连接，由P为中点，设，根据是边上的中线，设，根据三角形的面积的计算得到，根据角平分线的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， （2）解：如图，过点作于点，作于点，    平分， ， ， ， 同理可证， ∴． ， ， 设，则 ， ， ； （3）解：过E作于G，连接，    ∵P为中点， ∴， 设， ∵是边上的中线， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了三角形的面积的计算，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式11-3】（23-24八年级·江苏·期中）如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积面积公式求三角形面积，是解题的关键． （1）过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E，先利用角平分线的性质定理可得，再利用角平分线判定定理，即可解答； （2）根据，，可求出，从而可得，然后再利用，进行计算即可解答． 【详解】（1）如图，过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E． ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴． ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 即． ∴， 故线段与的长度之和为20． 题型12 由角平分线的性质求面积 【例12】（23-24八年级·辽宁大连·期末）如图，在中，是它的角平分线，，，，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．利用角平分线的性质，可得出的边上的高与的上的高相等，根据三角形的面积公式，即可得出与的面积之比． 【详解】解：∵是的角平分线，设的边上的高与的上的高分别为 ∴， ∴与的面积之比 故选：B． 【变式12-1】（23-24八年级·北京西城·期中）如图，点O是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是 ． 【答案】15 【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答． 过O作于点E，根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过作于点， 平分，于点， ， 的面积， 故答案为：15． 【变式12-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知在中，，，平分，平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接，作，，，求的面积． 【答案】(1)的度数为 (2)的面积为4 【分析】本题主要考查了角平分线．熟练掌握角平分线的定义，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，是解题的关键． （1）根据角平分定义得到，，根据三角形内角和即得； （2）过点作，，垂足为分别为F,，根据角平分线性质得到， ，，即得的面积． 【详解】（1）平分， ， 平分， ， ， 的度数为； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为， 平分，，， ， 平分，，， ， 的面积 ， 故的面积为4． 【变式12-3】（23-24八年级·重庆铜梁·期中）如图，平分，交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）过点D作于点F，根据平分，，，可得，，从而证明，得到，由即可得证； （2）设，易证，则，因此，，由得到，代入求解即可解答． 【详解】（1）证明：过点D作于点F， ∵平分，，， ∴，， ∴在和中，， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）设， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 即． 题型13 角平分线的作图 【例13】（23-24八年级·河南漯河·期末）如图，的面积是，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点C作于点D，连接，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图方法，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形中线与面积的关系，熟知基本作图，角平分线、中线定义，熟练掌握全等三角形判定、性质定理是解题的关键． 延长交于，依据，即可得到，进可得到，据此可得 ． 【详解】解：如图所示，延长交于， 由作图可得，平分， ， 又， ， 又， ， ， ， ， 故选：B． 【变式13-1】（23-24八年级·江苏镇江·期末）如图，点、在的两边上，且． (1)请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 (2)作图后，该图中有 对全等三角形． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的作法，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，是基础题，难度不大． （1）作的平分线，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得，以点为圆心，以任意长为半径画弧，与、分别相交，再以交点为圆心，以大于两交点之间距离的一半为半径画弧，相交于一点，然后作出角平分线，作线段即可； （2）根据对称性找出全等三角形． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：根据对称性，，，，共3对． 故答案为：3 【变式13-2】（23-24八年级·河北保定·期末）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N； ②再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O； ③作射线，交于点E． 已知，，则的面积为（    ） A．5 B．7 C．9 D．14 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到点E到和的距离相等，点E到的距离等于的长度，利用三角形面积公式即可得到答案． 【详解】解：由基本作图得到平分B， ∴点E到和的距离相等， ∴点到的距离等于的长度，即点到的距离为， ∴． 故选：B． 【变式13-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）下面是数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：如图①，（1）分别在射线，上截取，，使；（2）分别以，为圆心、以的长为半径作弧，两弧在内交于点；（3）作射线．射线就是的平分线． 简述理由如下： 由作图知：，，，所以，则．即射线是的平分线． 小军：我认为小明的作图方法很好，但我有不一样的作图方法．如图②，（1）在的边上任取一点；（2）尺规作，使；（3）在射线上截取，使；（4）作射线．射线即为的平分线． …… 任务： (1)小明得出的依据是_______（填序号）； ①    ②    ③    ④ (2)根据小军的作图痕迹，应填______； (3)小军作图得到的射线是的平分线吗？请说明理由． 【答案】(1)① (2) (3)是，理由见解析 【分析】（1）根据全等三角形判定和题干所给条件直接得出即可； （2）根据作一个角等于已知角的作图痕迹，即可解题； （3）由作图痕迹可知，得到，由平行线性质推出，再由等腰三角形性质得到，进而推出，即可得到射线是的平分线． 【详解】（1）解：由作图知：，，， 得出的依据是①， 故答案为：①． （2）解：由作图痕迹可知， 应填， 故答案为：． （3）解：小军作图得到的射线是的平分线， 理由如下： 由作图痕迹可知， ， ， ， ， ， 即射线是的平分线． 【点睛】本题考查全等三角形判定，作一个角等于已知角，作角平分线，平行线性质和判定，等腰三角形性质，角平分线判定，解题的关键在于熟练掌握相关作图过程． 题型14 角平分线的性质应用—确定位置 【例14】（23-24八年级·山东青岛·期末）如图，直线表示相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等．则可供选择的地址有几处？请画出一种方案． 【答案】4个，图见详解 【分析】此题考查了角平分线的性质，由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件可作出第一个货物中转站点1，然后利用角平分线的性质可知三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，即点2，3，4，即可得出可供选择的地址有4个． 【详解】解：如下图所示：有点1，点2，点3，点4， 一共4个可供选择的地址．选一个点画出即可． 【变式14-1】（23-24八年级·山东青岛·期末）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 在公园中有一块四边形的空地，需要规划栽种不同品种的植物，空地图纸如图所示，已知四边形，，在边上求作一点M，在边上求作一点N，使得、、的面积都相等．    【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，根据题意可知需要，且三条高相等，根据角平分线上的点到角两边的距离相等和即可求解． 【详解】解：如图所示，点M和点N即为所求．    【变式14-2】（23-24八年级·湖南郴州·期末）如图，107国道和320国道在湘潭市相交于点O，在的内部有一个工厂C和D，现在要修建一个货站P，使点P到的距离相等，且使，用尺规作出货站P的位置． 【答案】见详解 【分析】做出的垂直平分线和的平分线，其交点即为所求．本题考查了作图应用与设计作图，熟悉角平分线和线段垂直平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：如图：交点即为所求 【变式14-3】（23-24八年级·浙江温州·期末）如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】本题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，即可得到答案． 【详解】解：∵中转站要到三条公路的距离都相等， ∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点， 而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点， 如图， ∴货物中转站可以供选择的地址有4处． 故选：D 实战演练 1．（23-24八年级·山西临汾·期末）如图，的两条高相交于点F，若，，，则的面积为（    ） A．48 B．24 C．18 D．12 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，求三角形的面积．由全等三角形面积相等、对应边相等，可得，，进而可得． 【详解】解： ，，是的高， ， ， ，， ， ， 故选B． 2．（23-24八年级·安徽合肥·阶段练习）如图，用无刻度的直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作一个角等于已知角，全等三角形的判定，根据作图痕迹可知和 满足三条边对应相等，由此可证，得，可以判定是运用了． 【详解】解：由作图可知，在和中， ， ∴ ∴， ∴能得出的依据是． 故选：D． 3．（23-24八年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，平分，若，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及角平分线的性质定理、直角三角形性质、含的直角三角形性质等知识，过点作于，如图所示，由角平分线性质得到，再由直角三角形两锐角互余得到，从而在中，由含的直角三角形性质得到，数形结合表示出线段，代值求解即可得到答案，熟记角平分线性质定理及直角三角形性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于，如图所示： 平分， ， 在中，，则， 在中，，，则， ， 故选：B． 4．（23-24八年级·山东德州·阶段练习）如图，中，，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的运用，根据题意可得，得到，根据平角的性质可得，即，根据三角形的内角和，，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故选：A ． 5．（2024八年级·全国·专题练习）如图，在中，分别延长，边上的中线，到，，使，，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，平行线的判定；由，，，根据“”证明，得，，所以，可判断②正确；同理，，所以，，，则，，可判断①正确，③正确；由，，证明、、三点在同一条直线上，则，设两条平行线与之间的距离为，则，可证明，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故②正确； 同理， ，， ，， 故①正确； ，， 、、三点在同一条直线上， ， 设两条平行线与之间的距离为， ， ， ， ， 故④正确； 在和中， ， ， ， 故③正确， 故选：D． 6．（23-24八年级·浙江金华·期末）在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，另一个三角形有一个角为，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，另一个三角形有一个角为， 或， 当， ∵， ∴这种情况不存在， 当， ∴． 故答案为：10． 7．（23-24八年级·全国·期末）如图，垂直于 的平分线交于点D，交于点E，，若 的面积为2，则 的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，掌握等高的两个三角形的面积比等于底边长度之比是解题的关键．先证明，从而可得到，然后先求得的面积，接下来，可得到的面积． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，的面积为2， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 8．（23-24八年级·全国·课后作业）如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示，    在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 9．（23-24八年级·浙江台州·期末）如图，在中，，，点是外角平分线上的一点，连接、，若，则 度．    【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质．过点D作于点E，作于点G，先根据角平分线的性质得到，然后得到，得到，然后根据等边对等角得到的度数即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E，作于点G， ∵点是平分线上的一点， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级·山西阳泉·期末）有些数学题，表面上看起来无从下手，但根据图形的特点，可补全成为特殊的图形，然后根据特殊几何图形的性质去考虑，常常可以获得简捷解法．根据阅读，请解答问题：如图所示，已知△ABC的面积为16cm2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积为 cm2． 【答案】8 【分析】延长BD、AC交于点E，由题意证得△ABD≌△AED（ASA），证得AB＝AE，BD＝DE，即可证得S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△EDC，设S△EDC＝x，利用S△ABE＝S△ABC+S△BCD＝12+2S△EDC即可求得结果． 【详解】解：延长BD、AC交于点E， ∵AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D， ∴在△ABD和△AED中， ∴△ABD≌△AED（ASA）， ∴AB＝AE，BD＝DE， ∴S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△EDC， 设S△EDC＝x， ∵△ABC的面积为16cm2， ∴S△ABE＝S△ABC+S△BCD＝16+2S△EDC＝16+2x， ∴S△ADC＝S△ADE﹣S△EDC＝ 故答案为8． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及三角形面积的求法，根据图形的特点，补全成特殊的图形是解题的关键. 11．（23-24八年级·山西临汾·期末）如图，已知． (1)作，使得，且和在同一侧（不写作图过程，保留作图痕迹）； (2)连接，已知，，求的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查了作图复杂作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）分别以，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点即可； （2）证明，可得，然后根据三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】（1）解：如图所示：即为所作， （2）解：，， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ． 12．（23-24八年级·甘肃定西·期中）在中，，直线经过点C，且于D，于E．求证： (1)； (2) ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据，，，证明即可； （2）由（1）可知，，则，由，可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴； （2）证明：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴． 13．（23-24八年级·山东青岛·期末）如图，等腰中，是腰上的高，在底边上截取，过点E作交于F． (1)求证： (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质， （1）直接利用证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）先根据直角三角形的性质求出，再根据全等三角形的性质求出，然后根据等边对等角得，进而求出，可得答案. 【详解】（1）证明：∵是腰上的高，， ∴. 又∵，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵是等腰三角形， ∴. ∵是的外角， ∴， ∴． 14．（23-24八年级·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证； （2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 在中，由三边关系可得，即， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 15．（23-24八年级·云南玉溪·期末）数学探究： (1)如图一，在平面直角坐标系中点，，连接，以为直角边在第一象限内作等腰直角，则点B的坐标是________________． (2)如图二，，．当点C在x轴负半轴上运动，点在y轴正半轴上运动，点在第三象限时，作轴于点D，试判断a，m，n之间的关系，请证明你的结论． 【答案】(1)、 (2)，证明见解析 【分析】（1）画出图形，作坐标轴的垂线，证明全等即可； （2）作轴于E，即可． 【详解】（1）∵，， ∴，， 当时，过B作于， ∵等腰直角， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴点B的坐标是 同理，当时，过B作于，此时， 点B的坐标是 综上，点B的坐标是、； 故答案为：、； （2）． 证明：作轴于E， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴， ∴，， ∵轴于E，BD⊥y轴于点D， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键． 16．（23-24八年级·山西·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务： 如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$