精品解析：江西省上饶市广信区信芳学校2024-2025学年高一上学期11月检测数学试卷

江西省上饶市广信区信芳学校 2024-2025学年高一上学期11月检测数学卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 14 D. 18 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数若，则（ ） A. 2 B. 或2 C. 0或2 D. 或0或2 4. 若关于的方程，有一个正实数根和一个负实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数，，，则a、b、c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量是（ ） 每户每月用水量 水价 不超过12的部分 3元 超过12但不超过18的部分 6元 超过18的部分 9元 A. 24 m3 B. 22m3 C. 20m3 D. 15 m3 8. 某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，频率分布直方图中a的值是（ ） A. 0.017 B. 0.018 C. 0.020 D. 0.023 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个结论中，正确的结论是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 定义在R上的偶函数满足：，且对任意，都有，则的解集是 C. 设函数，则对，恒成立 D. 已知，则的取值范围是 10. 下列运算结果正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后每组为左闭右开的区间，画出频率分布直方图如图所示，以下选项正确的有（ ） A. B. 本组样本的众数为250 C. 本组样本的第45百分位数是300 D. 用电量落在区间内的户数为82 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的最小值为_________. 13. 已知函数在上单调递增，则的值为__________. 14. 已知函数恰有2个零点，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知关于x的不等式 的解集为不等式的解集为A （1）求集合A; （2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件， 求实数a的取值范围. 16. 已知函数. （1）证明：函数在区间上单调递增； （2）设，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数是奇函数．（是自然对数的底） （1）求实数的值； （2）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，对任意，若以，，为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数的最大值． 18. 中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力．中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入108万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入100万元 （1）求该芯片公司买该套生产设备产生的前年的总盈利额； （2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以54万元的价格处理，哪种方案较为合理?并说明理由(注：年平均盈利额=总盈利额使用年限) 19. 某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； （2）成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； （3）已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上饶市广信区信芳学校 2024-2025学年高一上学期11月检测数学卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 14 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】由得，再利用基本不等式即可求最小值. 【详解】由，得，则， 则， 当且仅当，时，等号成立， 故的最小值为18． 故选：D. 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的范围，得到，求解即可. 【详解】因为的定义域为， 所以在中，有，则， 则在中，有，解得， 故的定义域为． 故选：C 3. 已知函数若，则（ ） A. 2 B. 或2 C. 0或2 D. 或0或2 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论求分段函数对应函数值的自变量值即可. 【详解】若，则，解得； 若，则，解得或（舍去）． 综上所述，或. 故选：B. 4. 若关于的方程，有一个正实数根和一个负实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令,得到有两个根，其中，，令，得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】令，， 设关于的方程有一个正实数根和一个负实数根， 故有两个根，其中，， 令，则， 解得， 故实数的取值范围是. 故选：A 5. 已知实数，，，则a、b、c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质判断即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合对数的运算，化简可得，得到并解出方程组即可. 【详解】由题可得：， 即， 所以，解得：. 所以. 故选：B. 7. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量是（ ） 每户每月用水量 水价 不超过12的部分 3元 超过12但不超过18的部分 6元 超过18的部分 9元 A. 24 m3 B. 22m3 C. 20m3 D. 15 m3 【答案】C 【解析】 【分析】分段计算不同用水量的水费即可得到问题答案. 【详解】由题意：当用水量不超过12时，水费小于或等于元； 当用水量超过12但不超过18时，水费不超过：元； 交纳水费为90元时，用水量为：. 故选：C 8. 某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，频率分布直方图中a的值是（ ） A. 0.017 B. 0.018 C. 0.020 D. 0.023 【答案】C 【解析】 【分析】由频率之和为1得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个结论中，正确的结论是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 定义在R上的偶函数满足：，且对任意，都有，则的解集是 C. 设函数，则对，恒成立 D. 已知，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，求出两函数的定义域相同，对应法则相同，为同一函数；B选项，根据函数的奇偶性和单调性得到时，，当时，，从而解不等式，求出解集；C选项，作差法比较大小；D选项，求出，利用同号可乘性得到，求出的取值范围是. 【详解】A选项，中，令，解得， 中，令，解得， 故两函数定义域相同，又， 故两函数对应法则相同，所以两函数为同一函数，A正确； B选项，由题意得在上单调递减， 偶函数满足，则，且在上单调递增， 所以当时，，当时，， ，若，则且，得到， 若，则且，解得， 综上，不等式解集为，B错误； C选项，，对， ， 当且仅当时，等号成立， 故恒成立，C正确； D选项，已知，所以，， 又，故，即， 所以，的取值范围是，D正确. 故选：ACD 10. 下列运算结果正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，由指数幂的运算以及对数运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，原式，故A错误； 对于B，原式 ，故B错误； 对于C，原式，故C正确； 对于D，原式，故D正确； 故选：CD 11. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后每组为左闭右开的区间，画出频率分布直方图如图所示，以下选项正确的有（ ） A. B. 本组样本的众数为250 C. 本组样本的第45百分位数是300 D. 用电量落在区间内的户数为82 【答案】ACD 【解析】 【分析】由频率分布直方图中矩形面积之和为1计算可得A正确；根据众数以及百分位数定义计算可得B错误，C正确；由频率估计对应频数计算可得D正确. 【详解】对于A，因为， 解得，故A正确； 对于B，样本的众数位于内，但不一定是250，故B错误； 对于C，前2组的频率之和为，前3组的频率之和为， 故第45百分位数位于内，设其为， 则，解得，故C正确； 对于D，的频率为， 故用电量落在区间内的户数为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由基本不等式求得两数和的最小值. 【详解】∵，∴， ∴， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 13. 已知函数在上单调递增，则的值为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分析可知：在内单调递增，且，分和两种情况，结合单调性分析求解即可. 【详解】因为在上单调递增，且， 由题意可知：在内单调递增， 且，解得， 若，则， 结合单调性可得，解得，可得； 若，注意到，结合单调性可知， 此时，其图像如图所示 可得在内单调递增，符合题意； 综上所述：或. 故答案为：或. 14. 已知函数恰有2个零点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由二次函数和指数函数的性质，讨论与1的关系得到零点的个数即可； 【详解】由题意可得当，即两个零点分别为和， 令，解得， 当时，，只有一个零点，不符合题意； 当时，，只有一个零点，不符合题意； 当时，无零点，要使函数恰有两个零点，需满足，即； 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知关于x的不等式 的解集为不等式的解集为A （1）求集合A; （2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件， 求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）或或， 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与二次方程根的关系可得，即可利用因式分解求解， （2）根据充分不必要条件转化为,即可求解. 【小问1详解】 由不等式 的解集为可知是的两个实数根，故且，解得， 所以为，变形为， 解得， 故不等式的解为，即 【小问2详解】 由于“”是“”的充分不必要条件，故, 若，则，满足， 若，则，则， 则，解得或， 综上可得或或 16. 已知函数. （1）证明：函数在区间上单调递增； （2）设，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 设， 则， 因为，所以，，， 所以， 所以函数在区间上单调递增， （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义按照步骤进行证明即可； （2）将问题转化为在上的最大值小于等于在上的最小值的问题，解不等式可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，函数在区间上单调递增， 所以当时，， 则问题转化为，当时，恒成立 又函数在上单调递减，所以， 所以，解得， 故实数的取值范围为 17. 已知函数是奇函数．（是自然对数的底） （1）求实数的值； （2）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，对任意，若以，，为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据求出，再检验的奇偶性. （2）若，将关于的不等式恒成立，转化为恒成立，利用基本不等式得，从而可得. （3）化简，设，得，且，根据题意得恒成立，根据基本不等式得，由求出的最大值即为的最大值. 【小问1详解】 因为是奇函数，且定义域为，所以， 即，解得．经检验，此时是奇函数 所以． 【小问2详解】 由（1）知， 由时，恒成立，得， 因为，所以， 设， 因为，当且仅当时，等号成立，又，所以， 故， 所以． 【小问3详解】 由题意得： 不妨设，则， 由，，为长度的线段可以构成三角形，则， 以，，为长度的线段也能构成三角形， 则恒成立，得恒成立 即时，恒成立， 又，仅当时前一个等号成立， 所以，即，于是的最大值为． 18. 中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力．中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入108万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入100万元 （1）求该芯片公司买该套生产设备产生的前年的总盈利额； （2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以54万元的价格处理，哪种方案较为合理?并说明理由(注：年平均盈利额=总盈利额使用年限) 【答案】（1）， （2）方案二更合理，理由如下： 方案一：总盈利额， 又， 所以当或时，取得最大值，此时处理掉设备，则总利额为万元； 方案二：年平均盈利额为， 当且仅当，即时，等号成立； 即时，年平均盈利额最大，此时， 此时处理掉设备：总利润为万元； 综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要年即可，故方案二更合适． 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得到解析式； （2）根据二次函数的性质求出方案一的总利额，再由，利用基本不等式求出年平均盈利额达到最大值时的值，即可求出方案二的总利额，即可判断. 【小问1详解】 依题意可得，； 【小问2详解】 方案二更合适，理由略. 19. 某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； （2）成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； （3）已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差． 【答案】（1）平均数为71，众数为75． （2）88 （3）平均数为76，方差为12． 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是最高矩形横坐标的中点，据此求解. （2）依题意可知题目所求是第分位数，先判断第分位数落在哪个区间再求解即可； （3）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可. 【小问1详解】 一至六组的频率分别为0.10，0.15，0.15，0.30，0.25，0.05， 平均数 由图可知，众数为75. 以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分. 【小问2详解】 前4组的频率之和为， 前5组的频率之和为， 第90%分位数落在第5组，设为x，则，解得． “防溺水达人”的成绩至少为88分． 【小问3详解】 的频率为0.15，的频率为0.30， 所以的频率与的频率之比为 的频率与的频率之比为 设内的平均成绩和方差分别为，， 依题意有，解得， ，解得， 所以内的平均成绩为76，方差为12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $