精品解析：四川省达州市达州铁路中学2024-2025学年高二上学期11月期中检测数学试卷

达州铁路中学2024年秋季学期 高2023级11月期中 数学（试题卷） 一.单选题（一个5分） 1. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用空间向量的加法运算求解. 【详解】因为空间向量，， 所以， 故选：A 2. 已知{}为空间的一组基底，对下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】由基底概念逐项判断即可 【详解】对于A：，不能构成基底，故错误； 对于C：，不能构成基底，故错误； 对于D：，不能构成基底，故错误； 对于B：令，可得， 因为{}为空间的一组基底，所以不存在使得等式成立，B正确 故选：B 3. 若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r，根据轴截面面积求出r，结合圆锥侧面积公式，即可求得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为r， 由于圆锥的轴截面是等边三角形，则该圆锥的高为，母线长为2r， 又轴截面面积为，故， 则该圆锥的表面积为， 故选：B 4. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面，以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，，，则或者异面，故A错误， 对于B，若，，且与，的交线垂直，才有，否则与不一定垂直，故B错误， 对于C，若，，则或者，故C错误， 对于D，若，，则，D正确， 故选：D 5. 在空间中，设，为两条不同直线， ，为两个不同平面，则下列命题正确的是（     ） A. 若且，则 B. 若是异面直线，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】A中或； B中结合线面平行的性质定理与面面平行的判定定理即可；C中，可能平行、相交或异面； D中或. 【详解】对于A，若且，则或，故A错误； 对于B，若是异面直线，，， 则在直线上任取一点，过直线与点确定平面，设， 又，则，，，所以， 又，，，，所以，故B正确； 对于C，若，，，则，可能平行、相交或异面，故C错误； 对于D，若，，，则或，故D错误. 故选：B. 6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出截面，过点作，结合等腰梯形的性质得到高，再计算体积即可. 【详解】过作出截面如图所示，过点作，垂足为， 易知为正四棱台的高，    因为， 所以由勾股定理得， 又， 则在等腰梯形中，， 所以， 所以所求体积为 . 故选：. 7. 已知三棱柱中，侧面底面，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由面面垂直的性质定理可证明“”是“”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“”不是“”的充分条件. 【详解】①已知侧面底面，且侧面底面， 又平面， 若，则由面面垂直的性质定理可得平面， 平面，则， 所以则“”是“”的必要条件； ②若三棱柱是直三棱柱，底面是正三角形， 则底面，平面，则满足条件侧面底面. 又平面，则，但与不垂直. 所以“”不是“”的充分条件. 综上所述，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出外接圆半径，球心到平面的距离，再利用球的截面圆性质计算即可. 【详解】在三棱锥中，球心在棱的中垂面上，由平面，得平面， 则球心到平面的距离为，在中，由余弦定理得： ， 因此外接圆半径，球的半径， 所以球O的表面积. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间向量夹角公式判断A，根据空间向量垂直的坐标表示判断B，根据空间向量平行的坐标关系判断C，根据空间向量的模的公式判断D． 【详解】由已知，，D正确； ，与不垂直．B错误； ，A正确； 设，则，，，满足条件的不存在，因此与不共线，C错误； 故选：AD． 10. 已知是空间内两条不同的直线，是空间内两个不同的平面，则下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间线线，线面，面面的位置关系判断. 【详解】对于A，因为是两个不同的平面，是两个不同的直线，，则，故A为真命题； 对于B，若，则与可能平行，相交，异面，故B为假命题； 对于C，若，则，故C为真命题； 对于D，若，则与可能平行，相交，故D为假命题. 故选：BD. 11. 在三棱锥中，两两垂直，平面于点，设的面积分别为，下列命题中正确的是（ ） A. 可能为直角三角形 B. 点为的垂心 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】假设，，，求出，，，根据长度和三角形形状的关系判断A选项，根据垂心的定义判断B选项，根据海伦公式求出判断C选项，求出和、、的关系判断D选项. 【详解】假设，，， 所以，，， 因为任何两边的平方和大于第三边的平方， 所以是锐角三角形，故A选项错误； 由两两垂直易证平面， 所以，因为， 所以易证平面，所以， 同理可得，， 所以点为的垂心，故B选项正确； 设的面积为，因为四面体体积为， 所以，等式两边平方可得， 由海伦公式可得，其中， 所以 ， 所以代回可得，故C选项正确； ，，，， 因为，所以， 所以， 因为，，， 所以，故D选项正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据海伦公式求出判断C选项，求出和、、的关系判断D选项. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，，若，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可得，由向量的数量积公式求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知点关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】依次写出，，，利用空间两点间距离公式求出答案. 【详解】由题意得，，， 故. 故答案为： 14. 把正方形ABCD沿对角线AC折成的二面角，E、F分别是BC、AD的中点，O是原正方形ABCD的中心，则的余弦值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据空间向量的夹角公式，结合数量积的运算即可求解. 【详解】由于,所以, 不妨设正方形的边长为2，则,, , 所以, 故 , 所以, 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长度为，且．设，求： （1）用基底表示向量，并求向量的长度； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，结合数量积运算求模长； （2）根据题意可得，根据数量积运算结合夹角公式求异面直线夹角. 【小问1详解】 由题意可知：， 因为， 则 ， 即，所以的长度为. 【小问2详解】 因为， 可得， 且，， 设直线与所成角为 可得， 所以直线与所成角的余弦值为． 16. 棱长为2的正方体中，分别是的中点，在棱上，且是的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： （1）求证：； （2）求直线与所成的角的余弦值； （3）求的长. 【答案】（1）证明见详解； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，首先求出相应点的坐标，再证明即可; （2）求出的坐标，再根据即可求得答案; （3）转化为求即可. 【小问1详解】 如图，以为原点，分别为轴,建立空间直角坐标系 则 因为, 所以 所以,故; 【小问2详解】 因为，所以, 因为, 且, 所以; 所以直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 因为是的中点，所以,又因为, 所以 即. 17. 三棱柱中，底面，且各棱长均相等，为的中点．F为AB的中点. （1）证明：平面平面； （2）证明：平面平面． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的判断定理，转化为证明两组线面平行； （2）根据面面垂直的判断定理转化为证明线面垂直，即可证明平面. 【小问1详解】 如图，连结， 因为点分别是和的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，且平面，平面， 所以平面， 因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 且平面，平面， 所以平面，且，平面 所以平面平面 【小问2详解】 因为平面，且平面， 所以平面平面，平面平面， 因为是等边三角形，且点是的中点， 所以，且平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面. 18. 如图，正方体的棱长为，为的中点，点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点唯一确定，并解答问题.条件①：；条件②：；条件③：平面. （1）求证：为的中点； （2）求点到平面的距离. （3）求直线与平面所成角的大小； 【答案】（1）选择条件②或③，证明如下： 选条件②，，连接，在正方体中， 由平面，平面，得， 又，， 则， 而平面，于是，又为的中点， 所以为的中点. 选择条件③：平面，连接，平面， 平面平面，则，而为的中点， 所以为的中点． （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）分别选条件①②③，结合线面平行位置关系的判定定理和性质定理，即可得证. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，再利用点到平面距离的向量求法求解. （3）求出向量，再利用向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 选条件①，，由正方体的对称性，知点可为上的任意一点，不唯一. 选条件②，证明略； 选择条件③：证明略； 【小问2详解】 在正方体中，直线两两互相垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则， 令，得， 所以点到平面的距离. 【小问3详解】 由（2）知，平面的法向量，， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的大小为. 19. 如图所示，直角梯形中，，四边形为矩形，，平面平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因为四边形为矩形，平面平面， 平面平面， 所以，则平面， 根据题意可以以为原点，所在直线为轴， 所在直线为轴建立空间直角坐标系， 如图，易知，， 设平面的法向量， 不妨令，则， 又，， 又平面平面． （2） （3）存在；2 【解析】 【分析】（1）根据条件先判定垂直关系再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面关系即可； （2）利用空间向量结合（1）的结论计算面面夹角即可； （3）利用空间向量研究线面夹角计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由上可知，设平面的法向量， ，令，则， ， 平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 设， ， 又平面的法向量， 由直线与平面所成角的余弦值为， ， ，或． 当时，； 当时，． 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达州铁路中学2024年秋季学期 高2023级11月期中 数学（试题卷） 一.单选题（一个5分） 1. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知{}为空间的一组基底，对下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 在空间中，设，为两条不同直线， ，为两个不同平面，则下列命题正确的是（     ） A. 若且，则 B. 若是异面直线，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱柱中，侧面底面，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若向量，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是空间内两条不同的直线，是空间内两个不同的平面，则下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 在三棱锥中，两两垂直，平面于点，设的面积分别为，下列命题中正确的是（ ） A. 可能为直角三角形 B. 点为的垂心 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，，若，则______. 13. 已知点关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则______． 14. 把正方形ABCD沿对角线AC折成的二面角，E、F分别是BC、AD的中点，O是原正方形ABCD的中心，则的余弦值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长度为，且．设，求： （1）用基底表示向量，并求向量的长度； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 16. 棱长为2的正方体中，分别是的中点，在棱上，且是的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： （1）求证：； （2）求直线与所成的角的余弦值； （3）求的长. 17. 三棱柱中，底面，且各棱长均相等，为的中点．F为AB的中点. （1）证明：平面平面； （2）证明：平面平面． 18. 如图，正方体的棱长为，为的中点，点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点唯一确定，并解答问题.条件①：；条件②：；条件③：平面. （1）求证：为的中点； （2）求点到平面的距离. （3）求直线与平面所成角的大小； 19. 如图所示，直角梯形中，，四边形为矩形，，平面平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $