2024年广东省江门市广雅中学自主招生数学试卷

1 2024年广东省江门市广雅自主招生数学试卷 （时间：90分钟，满分：120分） 一、填空题（第 1、2、3题每题 6分；第 4、5、6题每题 8分，共 42分） 1．意大利数学家列昂纳多 斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美 的数列。若每一小格子的边长为 1，求下图中从两个以 1为半径的圆弧到以 8为半径的圆弧组成的螺旋线的总长度 为 。 2．在 Rt△ABC中，两直角边分别是 3和 4，求三角形内切圆和外切圆面积之比为 。 3．小明说：“我年龄肯定最小”；小红说：“我不是年龄最小的那个人”；小张说：“我年龄不是最小，但也不是最大 的”；小李说：“只有我是年龄最大的”。若四人的年龄各不相同，但仅有一人说错，则四人中年龄最大的是 。 4．化简     246 1 246 1 。 5．在三角形 ABC中，∠A=30°，AD平分∠BAC交线段 BC于点 D， 32AB ， 33AC ，  BD DC ， ∠ADB= 。 6．已知 04874 234  xxxx ，则 x x 2 的值为 。 二、解答题（第 7题 12分；8、9题每题 13分；第 10、11题每题 20分，共 78分） 7．解方程 3|2||1|  xxx 8．一位家住内蒙古呼伦贝尔大草原的同学，暑假回家帮助家人在空地上围城左边是半圆，右边是矩形的羊圈（如 图所示），在栅栏总长度为定长 L的条件下，矩形的竖直方向宽设为 x，水平方向长为 y，要使羊圈面积最大，应如 何设计？ 2 9．如图，已知△ABO为等边三角形，边长为 2，以 O为顶点，作等边△OCD，边长为 1，使△OCD绕 O点在平面 内旋转，连接 AC、BD，求|AC|+|BD|的最小值。 10．已知抛物线 2 4 1 xy  ，直线 1 kxy 交抛物线于 A，B两点，设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB （1） 21xx ， 21yy 是否为定值，如果是定值则求出该值； （2）设直线与 y轴交于 F点，求抛物线上的任意一点 ),( 00 yxP 到点 F的最小距离； （3） BFAF 11  是否为定值，如果是定值则求出该值； （4）证明以线段 AB为直径的圆与直线 1y 相切。 3 11．如图，已知正方形 ABCD，经过旋转形成正方形 EFGH，两正方形交点形成八条线段 a，b，c，d，e，f，g，h， 求证 22222222 hfdbgeca  。