第04讲：等比数列的概念【7大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

第04讲：等比数列的概念 【考点梳理】 · 题型一：等比数列中的基本运算 · 题型二：等比中项的应用 · 题型三：等比数列下标的性质及其应用 · 题型四：等比数列子数列的性质 · 题型五：等比数列的函数特征（单调性和最值） · 题型六：由递推关系证明等比数列 · 题型七：等比数列综合问题 【知识梳理】 知识点一：等比数列的概念 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1). 知识点二：等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 考点三：等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)． 考点四：等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1 ①＝amqn－m②＝·qn.③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q>0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数． 知识点四：等比数列的常用性质 设数列{an}为等比数列，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． (4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2. (5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 【题型归纳】 题型一：等比数列中的基本运算 1．（23-24高二上·甘肃兰州·期中）在等比数列中， (1)已知，求 (2)已知，求. 【答案】(1)或 (2)6 【分析】(1) 已知等比数列的通项公式代入，求出q，最后求出； (2) 已知项的和，代入等比数列的通项公式，求出，由，求 【详解】（1）设公比为，则，所以， 解得，由， 所以可知或； （2）设公比为q，由题意得：， 两式相除得：，所以， 又因为，所以， 解得. 2．（24-25高二上·全国·课前预习）在等比数列中： (1)若，，求和； (2)若，，求． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）（2）根据题意结合等比数列的通项公式列式求解即可. 【详解】（1）因为，则，解得， 当时，； 当时，． 综上所述：或. （2）因为，则，即． 又因为，则，即． 两式相除得，所以． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）（1）已知为等比数列，且，，该数列的各项都为正数，求； （2）若等比数列的首项，末项，公比，求项数n； （3）若等比数列中，，求公比q. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】利用等比数列的基本量运算逐个求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为q，由题意知. 由已知得，解得. ∵，∴，∴. （2）由，得，即，解得. （3）∵，，又， ∴对任意的正整数都成立， ∴. 题型二：等比中项的应用 4．（23-24高二上·甘肃兰州·期中）在等比数列中，各项均为正数，且，，则与的等比中项是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由已知结合等比数列的通项公式及性质即可求解. 【详解】等比数列中，各项均为正数，， 则， 所以与的等比中项为. 故选：B. 5．（2024·四川巴中·一模）已知，，若a，b，c三个数成等比数列，则（    ） A．5 B．1 C． D．或1 【答案】D 【分析】根据三个数成等比数列，列式计算，即可得答案. 【详解】由题意知，，a，b，c三个数成等比数列， 则，故， 故选：D 6．（24-25高三上·安徽·开学考试）设公差的等差数列中，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，根据求解即可. 【详解】因为公差的等差数列中，成等比数列， 所以，即，解得， 所以. 故选：A. 题型三：等比数列下标的性质及其应用 7．（24-25高二上·福建漳州·期中）等比数列中，，，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【分析】由等比数列性质计算即可. 【详解】由， 可得：即， 又，所以， 由，可得：， 故选：D 8．（24-25高二上·山东·期中）已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质得到，计算出，结合对数运算性质计算出结果. 【详解】由题意得，为各项均为正数的等比数列，故， 且， 故. 故选：C 9．（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知等差数列，等比数列，满足，，则（    ）． A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据等差数列和等比数列的性质计算即可得出结果. 【详解】数列是等差数列，，可得，即， 数列是等比数列，，可得，可得， 则． 故选：B． 题型四：等比数列子数列的性质 10．（21-22高一下·四川泸州·期中）在等比数列中，，则的值为（    ） A．48 B．72 C．144 D．192 【答案】D 【分析】由等比数列的性质求解 【详解】数列是等比数列，则，， 而，故． 故选：D 11．（22-23高二下·河南周口·阶段练习）若等比数列满足，，则 ． 【答案】112 【分析】由等比数列的性质计算即可. 【详解】，故，解得， 故． 故答案为：112 12．（21-22高二下·安徽滁州·期末）在等比数列中，，，则等于 ． 【答案】 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解． 【详解】设等比数列的公比为，因为等比数列中，，， 故， 则． 故答案为：． 题型五：等比数列的函数特征（单调性和最值） 13．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】结合等比数列的性质及数列的单调性判断各选项即可. 【详解】由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，若，则， 由等比数列性质知，所以，故选项A错误； 又，因为，所以，所以， 则，故先增后减，所以，故选项B正确； 若，则，又，无法判断与1的大小，即无法判断与1的大小，故与大小没法判断，故选项CD错误. 故选：B 14．（2023·上海闵行·二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（   ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 【答案】D 【分析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误. 【详解】对于A，由题意知：当为偶数时，； 当为奇数时，，，最大； 综上所述：数列的最大项为，A正确； 对于B，当为偶数时，，，最小； 当为奇数时，； 综上所述：数列的最小项为，B正确； 对于C，，， ， ，，， 数列为递增数列，C正确； 对于D，，， ； ，，，又， ，数列为递减数列，D错误. 故选：D. 15．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列公差，数列为正项等比数列，已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意可知，由得，设，则，利用一次函数和指数函数的性质，结合图形，可得时；时；时，依次判断选项即可. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为()， 若，则，得，解得，不符合题意； 所以，得，又， 令，得，即①， 设，则且， 所以①式变为， 由题意，知和是方程的两个解， 令，且， 则一次函数与指数函数的图象至少有2个交点， 作出两个函数图象，如图， 当函数与单调递增或递减时，才会有2个解， 且无论哪种情况，都有时，； 时，；时，； 所以，，，， 即，，，. 故选：C. 题型六：由递推关系证明等比数列 16．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得. 【详解】数列中，，，显然， 则有，即，而， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即． 故答案为： 17．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数满足，则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】由题意可得，即是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求解即可. 【详解】由可得：，又, ， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 故答案为： 18．（22-23高二下·河南周口·期中）设数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】运用数列通项与其前n项和关系，并构造数列可求得的通项公式. 【详解】 当时，，又, 则数列从第二项开始，是一个首项为12，公比为3的等比数列， ， 所以．又符合， 所以． 故答案为：. 题型七：等比数列综合问题 19．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 【答案】(1) (2)证明见详解； 【分析】（1）已知的值，代入递推公式得出，再代入递推公式即可得到的值. （2）由两式消元得到，将变为得到等式，代入①式消元得到，构造出数列，得到等式，即可证明数列是等比数列，由等比数列的通项公式得出. 【详解】（1）当时，， 当时，， （2）∵， ∴得到，∴， 则代入①得：， 则 ∴， 且， ∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列. ∴， ∴ 20．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，． (1)求，并猜想的通项公式（不需证明）； (2)证明：数列是等比数列． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）先根据递推公式得出，再计算得出等比的通项公式； （2）结合已知应用递推公式,根据等比数列定义证明等比数列. 【详解】（1）由得． 结合可猜想数列的通项公式为． （2）因为， 所以为正项递增数列，所以， 所以， 故数列是等比数列． 21．（23-24高二下·北京怀柔·期末）已知数集（），若对任意的（），与两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P． (1)分别判断数集B=与数集C=是否具有性质，并说明理由； (2)若数集A具有性质P． ①当时，证明，且成等比数列； ②证明：． 【答案】(1)数集具有性质，不具有性质，理由见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据性质P的定义带入数值判断即可； （2）①根据题意分析可得，即可得结果；②采用构造对应的方法构造一个新的相等的集合，对其元素进行排序后对应相等可解. 【详解】（1）数集具有性质，不具有性质，理由如下： 因为，，，，，都属于数集，所以具有性质； 因为，都不属于数集，所以不具有性质． （2）①当时，，． 因为，所以，，所以与都不属于A， 因此，，所以． 因为，且，所以， 且，所以，所以成等比数列． ②因为具有性质，所以，至少有一个属于A， 因为，所以，，因此，． 因为，所以（）， 故当时，，，（）， 又因为， 则，，，，， 可得， 所以. 【高分达标】 一、单选题 22．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列，，，则（   ） A．8 B．16 C．24 D．64 【答案】D 【分析】由可求得，进而求出，可求出. 【详解】因为， 所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以数列为等比数列，（），所以. 故选：D. 23．（24-25高二·上海·课堂例题）已知等差数列的公差，若，，成等比数列，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比中项可得，即可根据等差数列基本量化简计算. 【详解】在公差为的等差数列中，，，成等比数列， ，即，由于， ， 所以． 故选：D． 24．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．36 D．6 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质即可得解. 【详解】因为为等比数列，故，故，故， 所以，故（负值舍去）， 故选：D. 25．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）设为数列的前项和，若，则的值为（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】易知数列前和求出通项公式，再由等比数列的性质化简求得结果. 【详解】当时，，∴， 当时，，则， ∴，即数列是首项，公比的等比数列， 即， ∴ 故选：D. 26．（24-25高二上·江苏苏州·期中）在2和8之间插入3个实数使得成等比数列，则的值为（    ） A． B．或4 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据等比中项求解即可. 【详解】由为等比中项可知，， 又可知， 所以， 故选：C 27．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．9 【答案】C 【分析】由定比数列的项之间的性质求出的值，再用等比中项知道，从而计算出结果. 【详解】∵，∴，∴ ∴ 故选：C 28．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）设等比数列前n项和为，且，，则的最大值为（    ） A．32 B．16 C．128 D．64 【答案】D 【分析】根据等比数列的通项公式、前n项和公式，结合 【详解】设该等比数列的公比为， 因为，所以， 由， ， 即， 显然当，或时，最大，最大值为， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是要根据指数复合函数的单调性进行求解. 29．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，.则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．的最大项为 【答案】C 【分析】结合等比数列的通项和题中不等式，分析可得进而得到A正确；由，，得到，可得B正确，C错误；由等比数列结合B的分析可得D正确； 【详解】对于A，若，因为，则，，不满足， 若，因为，则，，不满足， 显然， 所以，故A正确； 对于B、C，因为，，且，所以，故B正确，C错误； 对于D，由等比数列可得当时，，当时，，所以的最大项为，故D正确； 故选：C. 30．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知数列满足，对任意，都有，设，则对任意，下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】赋值得到数列的递推关系，再构造等比数列求通项，进而得，再作差比较法证明数列单调性，求出最小项，结合排除法即可判断选项，D项特殊项验证可得. 【详解】因为对任意，都有， 取，得， 所以，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， ， 当时，，即； 当时，，即. 所以当时最小，排除AC； D项，因为，，即时，D不成立. 故选：B. 二、多选题 31．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列是等差数列，是等比数列，.（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】利用等差数列、利用等差数列的性质判断即可. 【详解】设等差数列的公差为， 当时，，故A正确； 当公差时，是常数列，，但与不一定相等，故B不正确； 设等比数列的公比为， 若“”，则，故C正确； 当公比时，是常数列，，但与不一定相等，故D不正确. 故选：AC. 32．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知等比数列中，，，则（    ） A．公比为 B． C．当时， D．的前10项积为1 【答案】ABD 【分析】由等比数列中，，，可求得公比，根据等比数列的性质结合等比数列通项公式即可判断各个选项. 【详解】对于A项，设等比数列的公比为， 由，得，解得，故A正确； 对于B项，，则，故B正确； 对于C项，，当时，，则，故C错误； 对于D项，由，可得的前10项积为，故D正确． 故选：ABD. 33．（2024·湖北·一模）在等比数列中，，则（    ） A．的公比为 B．的公比为2 C． D．数列为递增数列 【答案】BC 【分析】根据题意，列出等式求出等比数列的首项和公比，然后逐一判断即可. 【详解】设等比数列的公比为， 依题意得解得所以 故，故BC正确，A错误； 对于D，，则数列为递减数列，故D错误. 故选：BC. 34．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知数列的各项均为正数，其前项和满足，则（    ） A． B．为等比数列 C．为递减数列 D．中存在小于的项 【答案】ACD 【分析】由数列的递推关系可得A正确；假设为等比数列，设公比为，利用等比中项的性质结合已知可得B错误；由递推关系通分之后可得C正确；假设对任意的，，求出，再结合由已知可得D错误； 【详解】A：由题意可得 当时，， 当时，由可得，两式作差可得， 所以，整理可得，解得，故A正确； B：假设为等比数列，设公比为，则， 即，整理可得， 所以，解得，不符合题意，故B错误； C：当时，，所以为递减数列，故C正确； D：假设对任意的，，则， 则，与假设矛盾，假设不成立，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 35．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，且成等比数列，可得， 即，解得， 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 36．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知等比数列满足，则 . 【答案】 【分析】利用基本量法可求与公比，故可求. 【详解】设公比为. 因为，故，解得或者， 若，则且，此时， 若，则且，此时， 故答案为：. 37．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则 ． 【答案】16 【分析】利用等差数列的性质得，结合条件得，根据等比数列的性质得，代入可求结果. 【详解】∵为等差数列， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍）， ∴， ∴， ∴. 故答案为：16. 38．（24-25高二上·江苏·阶段练习）若数列是等比数列，且则 【答案】 【分析】等比数列中，，，再利用对数的运算性质即可得出． 【详解】 等比数列中，，， 则． 故答案为：8． 39．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为正项等比数列，，若是数列的前项积，则当取最大值时的值为 ． 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意，列出方程求得，得到，结合，，进而得到答案. 【详解】设等比数列的公比为，其中， 因为，可得，所以， 解得或（舍去），则， 又当时，，当时， 所以当取最大值时的值为． 故答案为：. 四、解答题 40．（2024高三上·全国·竞赛）设数列满足：，，且，对成立. (1)证明：是等比数列； (2)求和的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）变换得到，计算，得到证明； （2）确定，变换得到，解得答案. 【详解】（1）移项得到，， 相加得，所以， 因为，所以是首项为5，公比为的等比数列； （2），，所以对成立， 解得，对成立， 故和. 41．（2023·上海长宁·一模）已知数列是公差为2的等差数列，数列为等比数列． (1)若，，，求数列的通项公式： (2)设数列的前n项和为，若，，求． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由等差数列、等比数列的基本量关系即可列式求得，，进一步即可得解； （2）由等差数列基本量的关系即可列方程组求解. 【详解】（1）由题意得，，. 因为，所以， 解得，所以，， 所以数列的公比为3， 所以数列的通项公式为. （2）∵数列为等差数列，且公差为2， ，， ∴， 解得，故. 42．（23-24高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，． (1)求的通项公式． (2)是否存在正整数使，，成等比？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）根据求数列的通项公式； （2）结合数列的通项公式，和三个数成等比数列的有关结论，求的值. 【详解】（1）当时，， 当时，， 又符合， 所以的通项公式为. （2）存在，理由如下： 设存在，使，，成等比，则 所以：解得：或（舍去）. 所以：可使，，成等比. 43．（23-24高二上·重庆·期末）已知等差数列的首项，公差．记的前项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求公差的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式直接代入计算即可； （2）根据等比数列的性质得到，通过代入和整理，得到对于每个，存在实数使此式成立，则，结合不等式特征求解即可. 【详解】（1）因为等差数列的首项，公差为， 所以，，， 因为，所以， 化简得，因为，所以， 所以 （2）由题意得，，， ， 因为成等比数列， 所以， 则， 化简整理得，对于每个，存在实数使此式成立， 则，即， 即， 当时，符合题意； 当时，则二次函数开口向上， 则，原不等式解为， 所以相差距离为，则之间一定有一个整数， 所以只能为，即，所以. 综上所述，公差的取值范围为 44．（23-24高二上·云南昆明·期末）在正项等比数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的最大项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列通项公式列式求解即可； （2）解，根据数列的单调性求最值即可. 【详解】（1）设正项等比数列的公比为，， 由题意可得， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以等比数列的首项为，公比为，通项公式. （2）由（1）得，所以， 令解得， 所以当时，，即， 又，，， 所以数列的最大项为, 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲：等比数列的概念 【考点梳理】 · 题型一：等比数列中的基本运算 · 题型二：等比中项的应用 · 题型三：等比数列下标的性质及其应用 · 题型四：等比数列子数列的性质 · 题型五：等比数列的函数特征（单调性和最值） · 题型六：由递推关系证明等比数列 · 题型七：等比数列综合问题 【知识梳理】 知识点一：等比数列的概念 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1). 知识点二：等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 考点三：等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)． 考点四：等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1 ①＝amqn－m②＝·qn.③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q>0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数． 知识点四：等比数列的常用性质 设数列{an}为等比数列，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． (4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2. (5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 【题型归纳】 题型一：等比数列中的基本运算 1．（23-24高二上·甘肃兰州·期中）在等比数列中， (1)已知，求 (2)已知，求. 2．（24-25高二上·全国）在等比数列中： (1)若，，求和； (2)若，，求． 3．（24-25高二上·全国）（1）已知为等比数列，且，，该数列的各项都为正数，求； （2）若等比数列的首项，末项，公比，求项数n； （3）若等比数列中，，求公比q. 题型二：等比中项的应用 4．（23-24高二上·甘肃兰州·期中）在等比数列中，各项均为正数，且，，则与的等比中项是（    ） A．2 B． C．1 D． 5．（2024·四川巴中·一模）已知，，若a，b，c三个数成等比数列，则（    ） A．5 B．1 C． D．或1 6．（24-25高三上·安徽）设公差的等差数列中，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 题型三：等比数列下标的性质及其应用 7．（24-25高二上·福建漳州·期中）等比数列中，，，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 8．（24-25高二上·山东·期中）已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（   ） A． B．3 C． D．4 9．（23-24高二下·湖北）已知等差数列，等比数列，满足，，则（    ）． A． B． C．2 D．4 题型四：等比数列子数列的性质 10．（21-22高一下·四川泸州·期中）在等比数列中，，则的值为（    ） A．48 B．72 C．144 D．192 11．（22-23高二下·河南周口·阶段练习）若等比数列满足，，则 ． 12．（21-22高二下·安徽滁州·期末）在等比数列中，，，则等于 ． 题型五：等比数列的函数特征（单调性和最值） 13．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（2023·上海闵行·二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（   ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 15．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列公差，数列为正项等比数列，已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六：由递推关系证明等比数列 16．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 17．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数满足，则数列的通项公式 ． 18．（22-23高二下·河南周口·期中）设数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 ． 题型七：等比数列综合问题 19．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 20．（24-25高二上·全国）已知数列中，． (1)求，并猜想的通项公式（不需证明）； (2)证明：数列是等比数列． 21．（23-24高二下·北京怀柔·期末）已知数集（），若对任意的（），与两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P． (1)分别判断数集B=与数集C=是否具有性质，并说明理由； (2)若数集A具有性质P． ①当时，证明，且成等比数列； ②证明：． 【高分达标】 一、单选题 22．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列，，，则（   ） A．8 B．16 C．24 D．64 23．（24-25高二·上海·课堂例题）已知等差数列的公差，若，，成等比数列，则的值是（　　） A． B． C． D． 24．（24-25高三上·山东德州）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．36 D．6 25．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）设为数列的前项和，若，则的值为（    ） A．8 B．4 C． D． 26．（24-25高二上·江苏苏州·期中）在2和8之间插入3个实数使得成等比数列，则的值为（    ） A． B．或4 C．4 D．5 27．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．9 28．（24-25高二上·江苏镇江）设等比数列前n项和为，且，，则的最大值为（    ） A．32 B．16 C．128 D．64 29．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，.则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．的最大项为 30．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知数列满足，对任意，都有，设，则对任意，下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 31．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列是等差数列，是等比数列，.（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 32．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知等比数列中，，，则（    ） A．公比为 B． C．当时， D．的前10项积为1 33．（2024·湖北·一模）在等比数列中，，则（    ） A．的公比为 B．的公比为2 C． D．数列为递增数列 34．（24-25高三上·山东潍坊）已知数列的各项均为正数，其前项和满足，则（    ） A． B．为等比数列 C．为递减数列 D．中存在小于的项 三、填空题 35．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，则数列的通项公式为 . 36．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知等比数列满足，则 . 37．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则 ． 38．（24-25高二上·江苏·阶段练习）若数列是等比数列，且则 39．（24-25高二上·全国）已知数列为正项等比数列，，若是数列的前项积，则当取最大值时的值为 ． 四、解答题 40．（2024高三上·全国·竞赛）设数列满足：，，且，对成立. (1)证明：是等比数列； (2)求和的通项公式. 41．（2023·上海长宁·一模）已知数列是公差为2的等差数列，数列为等比数列． (1)若，，，求数列的通项公式： (2)设数列的前n项和为，若，，求． 42．（23-24高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，． (1)求的通项公式． (2)是否存在正整数使，，成等比？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 43．（23-24高二上·重庆·期末）已知等差数列的首项，公差．记的前项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求公差的取值范围． 44．（23-24高二上·云南昆明·期末）在正项等比数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的最大项． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$