精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度上学期期中考试 高二数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 某工厂生产三种不同型号的产品，它们的产量之比为，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本.若样本中型号的产品有120件，则样本容量为（ ） A. 150 B. 180 C. 200 D. 250 2. 黑龙江省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一．某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（ ） A. 样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数 B. 样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数 C. 样本中男生人数少于女生人数 D. 样本中选择物理学科的人数较多 3. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的数是偶数”，事件B为“第二次取到的数是奇数”，则（ ） A. B. C. D. 4. 给出下列说法中错误的是（ ） A. 回归直线恒过样本点的中心 B. 两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1 C. 某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变 D. 在回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，平均减少0.5个单位 5. 现有4道填空题，学生张三对其中3道题有思路，1道题思路不清晰．有思路的题做对的概率为，思路不清晰的题做对的概率为，张三从这4道填空题中随机选择1题，则他做对该题的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 随机变量X的分布列如表所示，若，则（ ） X 0 1 P a b A. 3 B. C. 5 D. 9 7. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法错误的是（ ） A. 估计该年级学生成绩的众数约为75 B. C. 估计该年级学生成绩的75百分位数约为85 D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数约为87.50 8. 箱中有标号为1，2，3，4，5，6，7，8且大小相同的8个球，从箱中一次摸出3个球，记下号码并放回，如果三球号码之积能被10整除，则获奖.若有2人参加摸奖，则恰好有2人获奖的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法中正确的是（ ） A. 残差平方和变小 B. 相关系数变小 C. 决定系数变小 D. 解释变量与响应变量的相关性变强 10. 下列命题正确的是（ ） A. 数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为6 B. 设随机变量，若，则的最大值为 C. 对于随机事件A，B，若，，，则与相互独立 D. 已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为120 11. 甲、乙、丙、丁四名同学每人从三种卡片中随机选取一张（每种卡片有无数张），每种卡片至少有一人选择.事件为“甲选择卡片A”，事件为“乙选择卡片”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与不互斥 B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若服从正态分布，且，则的值为______. 13. 在的展开式中，的系数为__________． 14. 已知袋子中有a个红球和b个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说法中正确的是_________. ①每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第2次摸到红球的概率为 ②每次摸1个球，摸出球观察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为 ③每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸n次后，摸到红球的次数X的方差为 ④从中不放回摸个球，摸到红球的个数X的概率是 四、解答题（共计77分） 15. 已知的展开式中所有项的二项式系数和为，各项系数和为． （1）求和的值及展开式中项的系数； （2）求的展开式中的常数项． 16. 共享汽车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某站点5天的使用汽车用户的数据如下，用两种模型①：②分别进行拟合，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值： 日期（天） 1 2 3 4 5 用户（人） 13 22 45 55 68 模型①的残差值 模型②的残差值 （1）残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由； （2）求出（1）中所选模型的回归方程． （参考公式：，，参考数据：，） 17. 4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率； （2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望和方差； （3）以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（写出证明） 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 某中学举办“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响. （1）若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为，求的分布列； （2）已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期期中考试 高二数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 某工厂生产三种不同型号的产品，它们的产量之比为，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本.若样本中型号的产品有120件，则样本容量为（ ） A. 150 B. 180 C. 200 D. 250 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的性质分析求解即可. 【详解】由题意得，，解得. 故选：C. 2. 黑龙江省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一．某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（ ） A. 样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数 B. 样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数 C. 样本中男生人数少于女生人数 D. 样本中选择物理学科的人数较多 【答案】D 【解析】 【分析】根据等高条形图的概念结合条件逐项分析即得． 【详解】根据等高条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数，故C错误； 根据等高条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多，故D正确； 样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女生比例低， 所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A错误； 样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故B错误． 故选：D． 3. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的数是偶数”，事件B为“第二次取到的数是奇数”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】9个球中不放回地依次取2个数，基本事件总数可以计数为：，分别求事件A与事件A、B同时发生的概率根据条件概率公式计算即可． 【详解】解：由题意得，， ． 故选：D． 4. 给出下列说法中错误的是（ ） A. 回归直线恒过样本点的中心 B. 两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1 C. 某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变 D. 在回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，平均减少0.5个单位 【答案】C 【解析】 【分析】A中，根据回归直线方程的特征，可判定是否正确；B中，根据相关系数的意义，可判定是否正确；C中，根据方差的计算公式，可判定是否正确；D中，根据回归系数的含义，可判定是否正确. 【详解】对于A中，回归直线恒过样本点的中心，所以正确； 对于B中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强， 则相关系数就越接近1，所以是正确的； 对于C中，根据平均数的计算公式可得， 根据方差的计算公式，所以是不正确的； 对于D中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中， 当解释变量增加一个单位时， 预报变量平均减少0.5个单位，所以是正确的. 故选：C. 5. 现有4道填空题，学生张三对其中3道题有思路，1道题思路不清晰．有思路的题做对的概率为，思路不清晰的题做对的概率为，张三从这4道填空题中随机选择1题，则他做对该题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式即可求得答案. 【详解】设张三从这4道填空题中随机选择1题，该题有思路为事件, 该题思路不清晰为事件, 张三从这4道填空题中随机选择1题，则他做对该题为事件B， 则,, 由全概率公式可得，张三做对该题的概率为 , 故选：C 6. 随机变量X的分布列如表所示，若，则（ ） X 0 1 P a b A. 3 B. C. 5 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用随机变量X的分布列列出方程组，求出，，由此能求出，再由，能求出结果． 【详解】，由随机变量X的分布列得： ，解得， ， . 故选：C． 7. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法错误的是（ ） A. 估计该年级学生成绩的众数约为75 B. C. 估计该年级学生成绩的75百分位数约为85 D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数约为87.50 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中众数的估计方法可判断A；利用各组频率之和为1可判断B；根据百分位数的估计方法可判断C；根据平均数的估计方法可判断D． 【详解】由图易知成绩在分之间的人数最多， 故可估计该年级学生成绩的众数为75，A正确； 由频率分布直方图可知，解得，B错误； 由于前三组的频率之和为，前四组的频率之和为， 故估计该年级学生成绩的75百分位数约为，C正确； 由频率分布直方图可知成绩在分之间和分之间的频率之比为， 故估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为，D正确． 故选：B． 8. 箱中有标号为1，2，3，4，5，6，7，8且大小相同的8个球，从箱中一次摸出3个球，记下号码并放回，如果三球号码之积能被10整除，则获奖.若有2人参加摸奖，则恰好有2人获奖的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出摸一次中奖的概率，摸一次中奖是一个等可能事件的概率，做出所有的结果数和列举出符合条件的结果数，得到概率，2个人摸奖．相当于发生2次重复试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果． 【详解】解：由题意知，首先求出摸一次中奖的概率， 从8个球中摸出3个，共有种结果， 3个球号码之积能被10整除，则其中一个必有5， 另外两个号码从1，2，3，4，6，7，8中抽取，且2个号码的乘积必须为偶数， 即：抽取的另外两个号码为：一个奇数和一个偶数或者两个都为偶数， 则，即共有18种结果，使得3个球号码之积能被10整除， 摸一次中奖的概率是， 2个人摸奖，相当于发生2次试验，且每一次发生的概率是， 有2人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是. 故选：A. 【点睛】本题考查等可能事件的概率以及独立重复试验的应用，还涉及组合数的公式运算． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法中正确的是（ ） A. 残差平方和变小 B. 相关系数变小 C. 决定系数变小 D. 解释变量与响应变量的相关性变强 【答案】AD 【解析】 【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况． 【详解】解：从散点图可分析出，若去掉点，则解释变量与响应变量的线性相关性变强，且是正相关， 所以相关系数变大，决定系数变大，残差平方和变小. 故选：AD 10. 下列命题正确的是（ ） A. 数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为6 B. 设随机变量，若，则的最大值为 C. 对于随机事件A，B，若，，，则与相互独立 D. 已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为120 【答案】BC 【解析】 【分析】根据百分位数定义判断A；由二项分布数学期望、方差计算公式判断B；由条件概率公式和独立事件的定义判断C；由分层抽样样本方差的计算公式判断D. 【详解】对于A，由于，则数据的第50百分位数为，故A错误； 对于B，随机变量，由，解得， 所以方差， 即方差在单调递增，故，故B正确； 对于C，若,根据条件概率公式则有, 则,故与相互独立，故C正确； 对于D，分层抽样的平均数，， 按分层抽样样本方差的计算公式， ,故D错误. 故选：BC. 11. 甲、乙、丙、丁四名同学每人从三种卡片中随机选取一张（每种卡片有无数张），每种卡片至少有一人选择.事件为“甲选择卡片A”，事件为“乙选择卡片”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与不互斥 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由互斥事件的定义结合题意即可判断；对于B，依题意先求出、和再结合条件概率公式即可得解；对于C，根据概率性质公式即可得解；对于D，根据概率性质公式即可得解. 【详解】对于A，因为事件与事件可能同时发生，所以事件与不互斥，故A正确； 对于B，甲、乙、丙、丁四名同学每人从三种卡片中随机选取一张，每种卡片至少有一人选择的选法共有种， 其中甲选择卡片A选法有种，故， 乙选择卡片选法有种，故， 甲选择卡片A且乙选择卡片选法有种，故, 所以， 所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若服从正态分布，且，则的值为______. 【答案】8 【解析】 【分析】由正态分布知和关于对称. 【详解】由题意知，解得. 故答案为：8. 13. 在的展开式中，的系数为__________． 【答案】210 【解析】 【分析】先通过求出各项二项式中的系数，再利用组合数的性质即可得解. 【详解】因为的展开通项为， 所以的展开式中没有这一项， 的展开式中没有这一项， 的展开式中的系数为， 的展开式中的系数为， …… 的展开式中的系数为， 所以所求的系数为 . 故答案为：210. 14. 已知袋子中有a个红球和b个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说法中正确的是_________. ①每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第2次摸到红球的概率为 ②每次摸1个球，摸出球观察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为 ③每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸n次后，摸到红球的次数X的方差为 ④从中不放回摸个球，摸到红球的个数X的概率是 【答案】①④ 【解析】 【分析】利用全概率公式可判断①；利用条件概率公式可判断②；利用二项分布的方差可判断③；利用超几何分布的概率公式计算判断④. 【详解】对于①，记事件：第一次摸红球，事件：第一次摸蓝球，事件：第二次摸红球， 则，①对； 对于②，每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回， 则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，②错； 对于③，由题意可知，则，③错； 对于④，从中不放回摸个球，摸到红球的个数的概率是，④对. 故答案为：①④. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握全概率公式、条件概率公式与二项分布、超几何分布等相关知识. 四、解答题（共计77分） 15. 已知的展开式中所有项的二项式系数和为，各项系数和为． （1）求和的值及展开式中项的系数； （2）求的展开式中的常数项． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）二项式系数和为即可求出，再令可得各项系数和，即可求出，写出展开式的通项，利用通项求出项的系数； （2）由，利用（1）中的通项计算可得. 【小问1详解】 因为的展开式中所有项的二项式系数和为，所以，解得； 所以，令可得，解得； 所以展开式的通项为：， 令，解得， 所以项的系数为； 【小问2详解】 ， ①当即时，； ②当即时，； 所求的常数项为． 16. 共享汽车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某站点5天的使用汽车用户的数据如下，用两种模型①：②分别进行拟合，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值： 日期（天） 1 2 3 4 5 用户（人） 13 22 45 55 68 模型①的残差值 模型②的残差值 （1）残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由； （2）求出（1）中所选模型的回归方程． （参考公式：，，参考数据：，） 【答案】（1）应该选择模型①，理由如下： 模型①的残差值的绝对值之和为， 模型②的残差值的绝对值之和为， ∵，∴模型①的拟合效果较好，应该选模型①． （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算模型①和模型②的残差值的绝对值之和，比较大小即可做出判断； （2）先求出，再由参考数据和参考公式求出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可知：，，，． ∴， ．∴y关于x的回归方程为． 17. 4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率； （2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望和方差； （3）以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（写出证明） 【答案】（1） （2）分布列： X 0 1 2 3 P 数学期望为，方差为 （3），理由如下： 由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.50， 从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生， 恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布， ， 由组合数的性质可得，且当时递增，故当时最大. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求得，从而可得日平均阅读时间在内的概率； （2）求得的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式计算即可； （3）由题意得，，则，利用组合数的性质求最大值即可． 【小问1详解】 由频率分布直方图得： ， 解得，，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20； 【小问2详解】 由频率分布直方图得： 这500名学生中日平均阅读时间在，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人， 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取：人， 现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴数学期望，. 【小问3详解】 略 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：取的中点N，连接， 如图所示：为棱的中点，， ， ∴四边形是平行四边形，， 又平面平面平面． （2）（i）；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，先证四边形是平行四边形，可知，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）先利用面面垂直的性质定理证明平面，再证，，两两垂直，然后以为坐标原点建立空间直角坐标系，（ⅰ）利用向量法求平面与平面的夹角即可；（ⅱ）设，利用向量法表示出点到平面的距离，可得关于的方程，解之即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ∵平面平面，平面平面平面， 平面， 又平面，而，  ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， 为棱的中点，                      （i）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 平面的一个法向量为，           ， ∴平面PDM与平面BDM的余弦值为； （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设，则，       由（2）知平面的一个法向量为，， ∴点Q到平面的距离是，  ． 19. 某中学举办“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响. （1）若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为，求的分布列； （2）已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率. 【答案】（1）分布列如下： 0 1 2 （2）【解析】 【分析】（1）先算出甲乙通过两轮制的初赛的概率，的取值有0，1，2分三种情况解决． （2）先分别算出甲，乙抢到并答对一题的概率，然后再算出乙已得100分，甲若想获胜的3种情况，最后由分类加法计数原理求解即可． 【小问1详解】 设甲､乙通过两轮制的初赛分别为事件， 则， 由题意可得，X的取值有， ， ， ， 分布列如下： 0 1 2 【小问2详解】 依题意甲､乙抢到并答对一题的概率分别为，， 乙已得100分，甲若想获胜情况有： 甲得200分：其概率为； ②甲得100分，乙再得分，其概率为； ③甲得0分，乙再得分，其概率为； 故乙先得100分后甲获胜的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $