专题5.9 二次函数与一元二次方程（精选精练）（专项练习）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.9 二次函数与一元二次方程（精选精练）（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25九年级上·广东珠海·期中）二次函数的图象与轴的交点是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（2024九年级上·全国·专题练习）已知抛物线与x轴交于点和，则的值为（　　） A．1 B． C．2022 D． 3．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）设是抛物线上的三点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于x的方程根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 5．（24-25九年级上·山东济宁·期中）函数的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 6．（2024·浙江·模拟预测）已知抛物线经过点，，其中为互不相等的实数，则下面判断不正确的是（    ） A． B．对称轴为直线 C． D． 7．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）已知二次函数，若关于x的方程在的范围内有解，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·全国·阶段练习）已知点A、B的坐标分别为,若顶点在x轴下方的二次函数的图象与线段恰好只有一个交点，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）最近，吊篮西瓜大量成熟，开园上市，走进某村果蔬基地吊篮西瓜大棚（图1）内，碧绿的藤蔓上一个个生得俊俏、长相甜美的西瓜映入眼帘．如图2是某瓜农的一个横截面为抛物线的大棚，大棚在地面上的宽度是6米，最高点C距地面的距离为2米．以水平地面为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系．一位身高米的瓜农，若要在大棚内站直行走，则此瓜农从点O沿向左最多能走（   ） A．米 B．米 C．3米 D．6米 10．（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④（为任意实数）；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024·浙江·一模）若在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x …… 0 1 3 …… y …… 2 7 …… 则方程的解是 ． 12．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）若抛物线 (a为常数) 与坐标轴有且仅有一个公共点，则a的范围为 ． 13．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，直线与抛物线交于， 两点，如果，那么x的取值范围是 ．    14．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）当一个函数的图像关于轴成轴对称图形时，我们称这个函数为偶函数．若二次函数是偶函数，该函数的图像与轴交于点，（点在点的左边），顶点为，则的面积是 ． 15．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，的值为 ． 16．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）已知由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，是由抛物线和抛物线组成的“月牙线”，则k的值为 ． 17．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已如抛物线（、、是常数），其图象经过点，坐标原点为．若抛物线与轴交于点（且不与重合），交轴于点且，则 ． 18．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C点．动点P从点B出发，沿x轴负方向以每秒1个单位的速度运动．过点P作，垂足为Q，再将绕点P按逆时针方向旋转．设点P的运动时间为t秒． （1）若旋转后的点B落在该抛物线上，则t的值为 ． （2）若旋转后的与该抛物线有两个公共点，则t的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·北京顺义·期中）已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标； (2)直接写出当时，自变量的取值范围． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知抛物线． (1)求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点； (2)若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)当，时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值； (2)点在抛物线上，若，求的取值范围及的取值范围． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线G：．   (1)直接写出抛物线G的顶点坐标（用含m的代数式表示）； (2)已知点，点，若抛物线G与线段只有一个交点，求m的取值范围． 23．（本小题满分10分）（2024·江苏南通·三模）已知抛物线的顶点为，抛物线与直线交于、两点，点 在点 的左侧． (1)直线经过定点 ，点 的坐标是____________； (2)如果直线 绕点旋转的过程中，与 始终互相垂直，求 的值； (3)抛物线与 轴交于点 ，直线与 轴交于点 ，如果 ，求 的最小值． 24．（本小题满分12分）（2024·广西桂林·一模）二次函数解析式为． (1)判断该函数图象与x轴交点的个数； (2)如图，在平面直角坐标系中，若二次函数图象顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于D，点C的坐标是，求直线的解析式； (3)请你作一条平行于x轴的直线交二次函数的图象于点M，N，与直线于点R，若点M，N，R的横坐标分别为m，n，r，且，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A A D D D A A B 1．D 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求出当函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，解得或， ∴二次函数的图象与轴的交点是和， 故选：D． 2．B 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题、根与系数的关系、一元二次方程的解、分式的化简求值等知识点，掌握根与系数的关系成为解题的关键． 由题意可得方程的解为a、b，则、；对变形并代入计算即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点和， ∴方程的解为a、b， ∴，， ∴ ∴． 故选B． 3．A 【分析】本题考查了求二次函数的函数值．正确的计算是解题的关键． 分别将各个点坐标代入抛物线解析式，计算求解，然后比大小即可． 【详解】解：将代入，得，； 同理，， ∴， 故选：A． 4．A 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意可把方程变为，此时可把方程看作是二次函数与直线的交点问题，进而问题可求解． 【详解】解：把方程变为，则二次函数与直线的交点即为方程的解，如图所示： 由图象可知：方程根的情况是有两个不相等的实数根； 故选A． 5．D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，观察所给图象可直接得出答案． 【详解】解：观察图象可知，当或时，对应的y值大于等于1， 因此使成立的x的取值范围是或， 故选D． 6．D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．利用二次函数的对称性即可判断B、C；根据二次函数的增减性即可判断A；无法判断的符号，即可判断D． 【详解】解：抛物线经过点，，， 、关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为直线，故正确，不合题意； ，在对称轴的右侧，随的增大而减小， 抛物线开口向下，，故A正确，不合题意； 抛物线与轴的交点为，， ， ，故C正确，不合题意； 无法确定的符号，故D不正确，符合题意． 故选：D 7．D 【分析】本题考查了二次函数图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解决二次函数与一元二次方程的关系问题．根据“关于x的方程在的范围内有解，”转化为与在时有交点，利用二次函数解析式求出函数值在时的最大最小值，即可解题． 【详解】解：， 二次函数对称轴为，且二次函数在对称轴处取得最小值， ，且，，离对称轴越远，函数值越大， 当时，二次函数的最大值为， 在时，关于x的方程有解， 即可以看在与在时有交点， ， 故选：D． 8．A 【分析】本题是二次函数的图象与性质，用分类讨论和数形结合的数学思想是解答本题的关键．根据题意，当二次函数顶点在x轴下方时，画图象，列出不等式组即可求解． 【详解】解：若当时，且当时，，即， 解得此不等式组无解； 若当时，且当时，，即， 解得：； 故选：A． 9．A 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式以及求二次函数的自变量，根据题意可知抛物线最高点为，对称轴为，设二次函数的解析式为：，用待定系数法求出抛物线解析式，把代入，求出x，根据题意选择合适得值即可． 【详解】解：根据题意可知抛物线最高点为，对称轴为， 设二次函数的解析式为：， 由∵，的中点O为原点建立平面直角坐标系， ∴， 把代入可得出：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． 当时， 即 解得：，（舍去）， 则此瓜农从点O沿向左最多能走． 故选：A． 10．B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系并数形结合是解题的关键． 由图象可知，，对称轴为直线，即，当时，最小，当时，随的增大而减小，当时，，则，可判断①的正误；当时，，可判断②的正误；当时，，可判断③的正误；由，可得（为任意实数），可判断④的正误；关于对称轴对称的点坐标为，由，可得，可判断⑤的正误；由题意知，，有两个不同的交点，即关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；可判断⑥的正误． 【详解】解：由图象可知，，对称轴为直线，即， 当时，最小， 当时，随的增大而减小， 当时，， ∴，①正确，故符合要求； 当时，，②正确，故符合要求； 当时，，③错误，故不符合要求； ∵， ∴（为任意实数），④正确，故符合要求； 关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴，⑤正确，故符合要求； 由题意知，，有两个不同的交点，即关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；⑥正确，故符合要求； 故选：B． 11． 【分析】本题考查了求抛物线解析式，一元二次方程的解，抛物线解析式为，将代入求出，然后代入方程即可求解． 【详解】解：由表格可知抛物线经过， 抛物线解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴，整理得： 因式分解可得： 解得：． 故答案为∶ ． 12． 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题以及判别式的应用，先得出抛物线 与轴有一个交点，即交点坐标为，再结合(a为常数) 与坐标轴有且仅有一个公共点，则抛物线 与轴无交点，那么列式，进行计算，即可作答． 【详解】解：， ∴当时，则 即抛物线 与轴有一个交点，即交点坐标为， ∵抛物线 与坐标轴有且仅有一个公共点， ∴抛物线 与轴无交点， ， ． ∴a的范围是． 故答案为：． 13．或 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数 (是常数，)与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 先利用点坐标确定直线解析式，再确定点坐标，然后写出直线在抛物线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：直线经过点， ， ， 直线的解析式为． 过直线， ， ， ， 由图象可知，当或时，． 故答案为：或． 14．8 【分析】本题考查了二次函数的性质，与坐标轴的交点问题，正确求出与坐标轴交点是解题的关键．根据题意先确定，求出，，即可求解面积． 【详解】解：由题意得：， ∴， 当，则， ∴， 当，则， 解得：或， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 15． 【分析】此题主要考查的是抛物线与轴的交点，确定直线的位置是本题解题的关键．如图，当直线在的位置时，符合题设条件，即可求解． 【详解】解：如图，当直线在的位置时，符合题设条件， 由二次函数知，其对称轴为， 当时，， 则翻折后根据图形的对称性，直线的表达式为：， 即， 故答案为：． 16．2 【分析】本题主要考查二次函数与x轴交点，先求得抛物线与x轴的交点，结合题意可知抛物线与x轴的交点也相同，代入即可求得k． 【详解】解：令，则，解得，抛物线与x轴的交点为和， ∵由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线” ∴抛物线与x轴的交点为和， 则，解得 故答案为2． 17．或 【分析】此题考查了二次函数的表达式，二次函数与x轴的交点问题，解题的关键是掌握二次函数的交点式． 首先求出抛物线与y轴的交点坐标为．然后根据得到点B的坐标为或，然后利用交点式分别设出抛物线的表达式，然后展开和比较得到或，进而求解即可． 【详解】解：∵抛物线 ∴当时， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵抛物线与轴交于点（且不与重合），交轴于点且， ∴点B的坐标为或 ∵图象经过点 ∴当点B的坐标为时， 设抛物线解析式为 ∵抛物线 ∴ ∴； ∴当点B的坐标为时， 设抛物线解析式为 ∵抛物线 ∴ ∴； 综上所述，或． 故答案为：或． 18． 3 【分析】根据抛物线线与坐标轴的交点坐标的特点得、，，，由和得等腰直角三角形，根据勾股定理得，，可表示出，，点， （1）将代入二次函数即可求解． （2）利用，结合二次函数解析式列不等式，求出边、、与抛物线有交点的范围，进而可求解． 【详解】解：，当时，解得：， ， ， 当时，，解得：，， ，， ，， ，可知：， ， 是等腰直角三角形，， 运动t秒后，，运用勾股定理可求，将绕点P按逆时针方向旋转后，轴，过点Q作轴，垂足为M，可求， 由勾股定理可求：， 所以，，点， （1）把点坐标代入得：， 解得：，或（舍去） 所以：． 故答案为：3． （2）若与抛物线有交点，由于点，则有： 当时，，且， 代入得：， 解得：，或（舍去）， 若，与抛物线有两个不同交点，由于，则有；当时，，且，代入得：， 解得：，或（舍去）， 所以：当时，与与抛物线有交点；当时，和与抛物线有交点， 综上所述：若旋转后的与该抛物线有两个公共点，则t的取值范围是：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程、勾股定理、等腰三角形的判定及性质、二次函数与不等式、二次函数的综合，掌握基础知识，根据已知设点的坐标，结合题意列不等式是解题的关键． 19．(1)，，， (2) 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次不等式间的关系． （1）抛物线转换成顶点式即可得顶点坐标，再分别求时的x值和时的y值，即可得抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）根据函数图象知，时的范围即为抛物线位于轴下方部分对应的的范围，据此可得． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，即， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为； （2）解：抛物线图象如图： 由图象可得，当时，的范围即为抛物线位于轴下方部分对应的的范围：． 20．(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即即可； （2）根据题意，令，整理方程可得关于m的方程，解可得m的值． 【详解】（1）证明：令得： ， ， 方程有两个不等的实数根，原抛物线与轴有两个不同的交点； （2）解：令，则， 所以， 解得， 21．(1)抛物线与y轴交点的坐标为， (2) 【分析】本题考查了二次函数图像的性质；运用二次函数的增减性按要求列出相应的不等式是解题的关键． （1）将代入中，可得抛物线与轴交点的坐标，再根据可得点与关于抛物线的对称轴对称，即计算即可； （2）根据，可确定出， 结合，可得对称轴的取值范围，再利用对称轴可表示为直线，进而可确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，抛物线： 当 时，； ∴ 抛物线与轴交点的坐标为：； ∵， ∴点与关于抛物线的对称轴对称， ∴； （2）解：∵， ∴， 解得， ∴， 而， ∴，即， ∵点，在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴的取值范围． 22．(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的性质与综合，解题关键是熟练运用二次函数的性质结合点的坐标求解； （1）把二次函数解析式化为顶点式即可求解； （2）把点，点代入函数解析式，求出m的值，再确定求值范围即可． 【详解】（1）解：化为顶点式为， 抛物线G的顶点坐标为． （2）解：把点代入得， ， 解得，，， 当时，点B的坐标为，抛物线解析式为，此时，抛物线与线段有两个交点； 当时，点B的坐标为，抛物线解析式为，此时，抛物线与线段有一个交点； 所以m的取值范围为； 把点代入得， ， 解得，，， 当时，点B的坐标为，抛物线解析式为，此时，抛物线与线段有两个交点； 当时，点B的坐标为，抛物线解析式为，此时，抛物线与线段有一个交点； 所以m的取值范围为； 综上m的取值范围为或． 23．(1) (2) (3)最小为 【分析】（1）把一次函数解析式化为即可得到定点坐标； （2）设点A的坐标为，点B的坐标为，则可得到,然后求得，然后过点A作轴于点G，点B作轴于点F，则有，即，即，联立解方程即可； （3）连接，则轴且，则，然后求出，根据题意得，然后根据，利用二次函数的性质解题即可． 【详解】（1）解： ∴直线经过定点. （2）解：抛物线的顶点坐标为， 设点A的坐标为，点B的坐标为， 联立与 得, ∴, ∴， 如图，过点A作轴于点G，点B作轴于点H， 则， ∴， ∴， ∴，即， 即，即， ∴ ∴， 即， 解得：； （3）如图，连接， 则轴且， ∴， 当时，， ∴点F的坐标为， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，或 当点E在F上方时， 又∵， ∴当时，最小，最小为； 当点E在F下方时， 又∵ 综上所述，最小值为． 【点拨】本题考查二次函数和一次函数的图像和性质，一元二次方程与二次函数的联系，根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键． 24．(1)函数图象与x轴交点的个数是2 (2) (3) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式判断即可； （2）用待定系数法即可求解； （3）因为，则直线在点D的下方、点A的上方（不能过点D，可以过点A），进而求解． 【详解】（1）解：令二次函数， 则， ， ， 函数图象与x轴交点的个数是2； （2）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得， 故抛物线的表达式为， 令，； 设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为； （3）解：∵， ∴直线在点D的下方、点A的上方（不能过点D，可以过点A）， 当时，即，解得， 故， 由抛物线的对称性知，点M、N关于抛物线的对称轴对称， 故， ， ∴． 【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$