专题07 正切函数重难点题型专训（5大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第二册）

专题07 正切函数重难点题型专训（5大题型+20道拓展培优） 题型一 正切函数的定义 题型二 画出正切函数图象 题型三 正切函数图象的应用 题型四 正切函数的诱导公式 题型五 正切函数的图象与性质 知识点一 正切函数的基本定义 1. 定义：正切函数（tangent function）定义为在直角三角形中，锐角的对边长度与邻边长度的比值。当锐角为θ时，正切函数表示为tanθ = 对边/邻边。在任意角的情况下，正切函数可以通过正弦函数和余弦函数的比值进行定义，即tanθ = sinθ/cosθ。需要注意的是，当cosθ=0时，正切函数不存在。 2. 图像：正切函数的图像是一条连续的曲线，称为正切曲线。图像以原点为中心，周期性地向右和向左延伸。在每一个周期内，正切函数的值从负无穷增加到正无穷，然后再从正无穷减少到负无穷。 知识点二 正切函数的性质 3. 定义域和值域：正切函数的定义域是全体实数减去形如π/2 + kπ（k为整数）的角，因为这些角的余弦值为0，使得正切函数不存在。正切函数的值域是全体实数。 4. 周期性：正切函数是周期函数，周期为π。这意味着对于任意的整数k，tan(θ+kπ) = tanθ。因此，在求解正切函数的问题时，可以将角度限制在一个周期内进行研究。 5. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tanθ。这一性质表明正切函数关于原点对称。 6. 增减性：在每一个周期内，正切函数在(-π/2, π/2)区间内是增函数。这意味着在这个区间内，随着角度的增加，正切函数的值也增加。 7. 最值性：由于正切函数的图像是周期性的，且没有上限或下限，因此它没有最大值或最小值。 8. 与正弦、余弦函数的关系：正切函数与正弦函数和余弦函数之间存在密切的关系。具体来说，tanθ = sinθ/cosθ。这一关系表明，在某些情况下，可以通过正弦函数和余弦函数的性质来推导正切函数的性质。 【经典例题一 正切函数的定义】 【例1】（2024·安徽池州·模拟预测）如图，在长方形中，，，从上的一点发出的一束光沿着与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、上的、点，最后回到点，则等于（    ）    A． B． C． D． 1．（2023高三·全国·专题练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一·全国·课后作业）若，则 ． 3．（21-22高一·全国·课后作业）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并给出证明； (2)求函数的最小值． 【经典例题二 画出正切函数图象】 【例2】（22-23高三·贵州黔西·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（23-24高一下·海南·期末）已知函数在区间上单调，且，则（   ） A． B． C．1 D． 2．（21-22高一·全国·课后作业）正切函数的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期                         奇偶性                         单调性 在每一个区间（k∈Z）上都单调递增 对称性 对称中心（k∈Z） 3．（22-23高一·全国·课堂例题）画出函数在上的简图． 【经典例题三 正切函数图象的应用】 【例3】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知函数满足，若函数在上的零点为，则（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数，若方程在区间上恰有3个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知函数具有下列性质：①值域为；②其图象的对称轴为直线，，则的一个解析式为 .（写出满足条件的一个解析式即可） 3．（23-24高一·上海·课堂例题）定义在区间上的函数的图象与的图象的交点为P，过点P作垂直于x轴的垂线，其垂足为.设直线与的图象交于点，求线段的长. 【经典例题四 正切函数的诱导公式】 【例4】（22-23高一下·河南驻马店·期中）（    ） A． B． C． D． 1．（21-22高一下·辽宁·期中）的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023高一·全国·专题练习） ． 3．（23-24高一下·全国·课后作业）求值： (1)； (2)； (3)． 【经典例题五 正切函数的图象与性质】 【例5】（24-25高二上·广东深圳·期中）在区间内，曲线和交点间的线段长的最大值为（    ） A． B． C． D．4 1．（24-25高三上·福建·期中）函数的最小正周期为（   ） A．4 B． C．8 D． 2．（24-25高三上·上海·开学考试）函数的最小正周期为 ． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）比较大小：和． 1．（2024·全国·模拟预测）下列关于函数的四个结论中错误的是（    ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 2．（2023·安徽马鞍山·一模）已知函数（，）的图象经过点，若函数在区间内恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·北京·期中）在直角坐标系中，对于点，定义变换：将点变换为点，使得其中.这样变换就将坐标系内的曲线变换为坐标系内的曲线.则四个函数，，，在坐标系内的图像，变换为坐标系内的四条曲线（如图）依次是（    ） A．②，③，①，④ B．③，②，④，① C．②，③，④，① D．③，②，①，④ 4．（24-25高三上·上海黄浦·阶段练习）“”是“”成立的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 5．（22-23高一下·湖南益阳·阶段练习）tan585°=（    ） A．− B．− C． D． 6．（21-22高一·全国·课后作业）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是的一个周期 B． C．的定义域是 D．的图象关于点对称 7．（22-23高一下·湖北武汉·期中）与函数的图象相交的直线是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）设，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（21-22高一上·广西柳州·阶段练习）下列各三角函数值的符号为负的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）下列函数中，以为周期的有（   ） A． B． C． D． 11．（21-22高一下·湖南长沙·开学考试）写出一个定义域不是R，但值域是R的奇函数f(x)= . 12．（22-23高一下·上海·课后作业）函数的定义域是 . 13．（2023高一上·江苏·专题练习）函数的值域为 ． 14．（23-24高二·全国·课后作业）若，则a，b的大小关系是 （用“>”连接） 15．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数的图象关于点对称，且，则的值为 . 16．（21-22高一·湖南·课后作业）画出函数，的简图． 17．（22-23高一·全国·课后作业）求满足下列条件的角的集合． (1)，； (2)． 18．（21-22高一上·全国·课前预习）当时，确定方程的根的个数. 19．（22-23高一下·北京·期中）已知函数 (1)求的定义域； (2)若，且，求的值. 20．（24-25高一上·全国·课前预习）求函数的单调区间． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 正切函数重难点题型专训（5大题型+20道拓展培优） 题型一 正切函数的定义 题型二 画出正切函数图象 题型三 正切函数图象的应用 题型四 正切函数的诱导公式 题型五 正切函数的图象与性质 知识点一 正切函数的基本定义 1. 定义：正切函数（tangent function）定义为在直角三角形中，锐角的对边长度与邻边长度的比值。当锐角为θ时，正切函数表示为tanθ = 对边/邻边。在任意角的情况下，正切函数可以通过正弦函数和余弦函数的比值进行定义，即tanθ = sinθ/cosθ。需要注意的是，当cosθ=0时，正切函数不存在。 2. 图像：正切函数的图像是一条连续的曲线，称为正切曲线。图像以原点为中心，周期性地向右和向左延伸。在每一个周期内，正切函数的值从负无穷增加到正无穷，然后再从正无穷减少到负无穷。 知识点二 正切函数的性质 3. 定义域和值域：正切函数的定义域是全体实数减去形如π/2 + kπ（k为整数）的角，因为这些角的余弦值为0，使得正切函数不存在。正切函数的值域是全体实数。 4. 周期性：正切函数是周期函数，周期为π。这意味着对于任意的整数k，tan(θ+kπ) = tanθ。因此，在求解正切函数的问题时，可以将角度限制在一个周期内进行研究。 5. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tanθ。这一性质表明正切函数关于原点对称。 6. 增减性：在每一个周期内，正切函数在(-π/2, π/2)区间内是增函数。这意味着在这个区间内，随着角度的增加，正切函数的值也增加。 7. 最值性：由于正切函数的图像是周期性的，且没有上限或下限，因此它没有最大值或最小值。 8. 与正弦、余弦函数的关系：正切函数与正弦函数和余弦函数之间存在密切的关系。具体来说，tanθ = sinθ/cosθ。这一关系表明，在某些情况下，可以通过正弦函数和余弦函数的性质来推导正切函数的性质。 【经典例题一 正切函数的定义】 【例1】（2024·安徽池州·模拟预测）如图，在长方形中，，，从上的一点发出的一束光沿着与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、上的、点，最后回到点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记，设，由几何关系用逐个三角形推出，再由中，，最终求出结果. 【详解】记，根据对称性得到，， 设，， 在中，，， 在中，，， 在中，， ， 在中，， ，，得． 故选：C    1．（2023高三·全国·专题练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正切函数的定义域，令，，解不等式，即可求出结果. 【详解】由正切函数的定义域，令，，即，所以函数的定义域为. 故选:D． 2．（22-23高一·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】 【分析】将已知条件两边同时平方即可求解. 【详解】因为， 两边同时平方可得：， 则有， 故答案为：. 3．（21-22高一·全国·课后作业）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并给出证明； (2)求函数的最小值． 【答案】(1)是偶函数，证明见解析. (2)2. 【分析】（1）根据偶函数的定义进行证明. （2）去绝对值，转化为分段函数问题进行处理. 【详解】（1）是偶函数，证明如下： 因为函数，所以的定义域为， 所以的定义域关于原点对称，又， 即，所以是偶函数． （2）因为函数，去绝对值有： ，所以当时，取得最小值2． 所以函数的最小值2. 【经典例题二 画出正切函数图象】 【例2】（22-23高三·贵州黔西·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】画出函数的图象结合图象可得答案. 【详解】的零点个数就是方程根的个数， 也就是与图象交点的个数， 在同一直角坐标系中作出函数图象如下图所示， 据图象可以看出两个函数图象有三个交点. 故选：C． 1．（23-24高一下·海南·期末）已知函数在区间上单调，且，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性及，得出，建立的等式进行求解即可． 【详解】解：在区间上单调，且， ， ， 不妨取：， 解得：符合题意， 故， 故选：B． 2．（21-22高一·全国·课后作业）正切函数的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期                         奇偶性                         单调性 在每一个区间（k∈Z）上都单调递增 对称性 对称中心（k∈Z） 【答案】 π 奇函数 【详解】略 3．（22-23高一·全国·课堂例题）画出函数在上的简图． 【答案】答案见解析 【分析】根据五点作图法画图即可. 【详解】令，，可得，， 又，所以直线是该函数图象的一条渐近线． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 描点，，，，画虚线，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示．    【经典例题三 正切函数图象的应用】 【例3】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知函数满足，若函数在上的零点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由方程组法求得，判断其奇偶性，再结合函数图形即可判断. 【详解】由，可得， 解得，易知为奇函数，故的图象关于原点对称， 则函数在上的图急关于原点对称， 故函数在上的零点也关于原点对称，和为0， 在上的零点和即为上的零点和， 令，得， 作出和在同一坐标系中的图象，可知在内的零点有， 故零点之和为 故选：B 1．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数，若方程在区间上恰有3个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助正切型函数的图象性质计算即可得. 【详解】当时，， 则由题意可得在上有3个实数根， 即可得， 解得，即的取值范围是. 故选：C. 2．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知函数具有下列性质：①值域为；②其图象的对称轴为直线，，则的一个解析式为 .（写出满足条件的一个解析式即可） 【答案】 (答案不唯一) 【分析】依题意使其值域和对称轴满足即可选定一个函数. 【详解】可使函数的值域为，且其图象的对称轴为直线即可， 故可取. 故答案为：.(答案不唯一) 3．（23-24高一·上海·课堂例题）定义在区间上的函数的图象与的图象的交点为P，过点P作垂直于x轴的垂线，其垂足为.设直线与的图象交于点，求线段的长. 【答案】 【分析】作出函数，，的图象，将线段的长转化为的值，再由得出线段的长. 【详解】由题意知，函数，，的图象，如下图所示： 由正弦线的定义知，线段的长即为的值， 且其中满足 变形为， 即， ， ，即线段的长为. 【经典例题四 正切函数的诱导公式】 【例4】（22-23高一下·河南驻马店·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正切的诱导公式计算． 【详解】． 故选：C． 1．（21-22高一下·辽宁·期中）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数的诱导公式即可求解. 【详解】解：. 故选：A. 2．（2023高一·全国·专题练习） ． 【答案】/ 【分析】由三角函数的诱导公式化简即可得出答案. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得： ． 故答案为：. 3．（23-24高一下·全国·课后作业）求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由正切函数的诱导公式依次求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3）． 【经典例题五 正切函数的图象与性质】 【例5】（24-25高二上·广东深圳·期中）在区间内，曲线和交点间的线段长的最大值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】在同一坐标系中，画出两个函数的图象，数形结合解决问题. 【详解】在同一坐标系中，和的图象如下所示：    令，，解得或，故， 则，也即在区间交点间的线段长的最大值为. 故选：A. 1．（24-25高三上·福建·期中）函数的最小正周期为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正切函数的周期公式求出结果. 【详解】函数的最小正周期为. 故选：D 2．（24-25高三上·上海·开学考试）函数的最小正周期为 ． 【答案】 【分析】利用求出最小正周期. 【详解】的最小正周期为. 故答案为： 3．（24-25高一上·全国·课前预习）比较大小：和． 【答案】 【分析】利用诱导公式与正切函数单调性可得. 【详解】∵， ． 又，且在上单调递增， ∴， 即． 1．（2024·全国·模拟预测）下列关于函数的四个结论中错误的是（    ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义判断A；根据函数的周期判断B；根据函数的对称轴判断C；根据复合函数的性质或切化弦判断D 【详解】由，得且， 因为，所以函数为奇函数， 所以的图象关于原点对称，所以选项A正确． 因为， 所以是函数的一个周期， 由选项A知点是函数的图象的对称中心， 则也是函数的图象的对称中心，所以选项B正确． 因为， 所以函数的图象关于直线对称，所以选项C正确． 方法一：因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， 由复合函数的性质可知，函数在区间上单调递减，所以选项D错误． 方法二：因为，所以在区间上单调递减， 所以选项D错误． 故选：D． 2．（2023·安徽马鞍山·一模）已知函数（，）的图象经过点，若函数在区间内恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求，再根据,求的范围，结合正切函数的图象，列不等式，即可求的取值范围. 【详解】由条件可知，，所以， ，当时，， 若函数在区间上恰有2个零点，则， 解得. 故选：D 3．（22-23高三上·北京·期中）在直角坐标系中，对于点，定义变换：将点变换为点，使得其中.这样变换就将坐标系内的曲线变换为坐标系内的曲线.则四个函数，，，在坐标系内的图像，变换为坐标系内的四条曲线（如图）依次是（    ） A．②，③，①，④ B．③，②，④，① C．②，③，④，① D．③，②，①，④ 【答案】C 【分析】用表示出，根据，通过正切函数的单调性，判断出在图像上的变化，进而判断出答案. 【详解】解：由， 对于，显然，，根据正切函数的性质，，对应的图像为①； 对于，，故，对应的图像为④； 对于和，当时，，故此时，，转换后，当时，必有对应的， 对应的图像为②，对应的图像为③． 故选：C 4．（24-25高三上·上海黄浦·阶段练习）“”是“”成立的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时可得，故充分性成立； 由可得，故必要性成立； 所以“”是“”成立的充要条件. 故选：C 5．（22-23高一下·湖南益阳·阶段练习）tan585°=（    ） A．− B．− C． D． 【答案】C 【分析】直接根据诱导公式求解即可. 【详解】， 故选：C. 6．（21-22高一·全国·课后作业）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是的一个周期 B． C．的定义域是 D．的图象关于点对称 【答案】ABC 【分析】根据的图象逐个分析即可. 【详解】对A，画出函数的图象（如图），易得的周期为，取，则是的一个周期，故A正确； 对B，是偶函数，则，故B正确； 对C，易得的定义域是，故C正确； 对D，由图可得点不是函数图象的对称中心，故D错误． 故选：ABC 7．（22-23高一下·湖北武汉·期中）与函数的图象相交的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正切函数的图象与性质，即可判断选项中的直线是否与函数的图象有交点 【详解】对于A，当时，，所以直线与函数交于点， 对于B，由正切函数的图象可知直线与函数的图象相交， 对于C，当时，，所以直线与函数交于点， 对于D，当时，无意义，所以直线 与函数的图象无交点， 故选：ABC 8．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）设，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据诱导公式依次计算得到答案. 【详解】对选项A：，正确； 对选项B：，正确； 对选项C：，正确； 对选项D：，错误； 故选：ABC. 9．（21-22高一上·广西柳州·阶段练习）下列各三角函数值的符号为负的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据诱导公式进行化简，进而判断出各选项的符号. 【详解】由诱导公式得：，A正确；，B正确；，C错误；，D正确. 故选：ABD 10．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）下列函数中，以为周期的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用周期的定义，结合诱导公式逐项判断即可得出结果. 【详解】对于，故A正确； 对于B.，故B正确； 对于C.，， ，故不是以为周期的函数，故C错误； 对于D.函数的最小正周期为 ，所以也是它的一个周期，故D正确. 故选：ABD 11．（21-22高一下·湖南长沙·开学考试）写出一个定义域不是R，但值域是R的奇函数f(x)= . 【答案】tanx（答案不唯一，合理即可) 【分析】根据所学函数合理构造选择即可. 【详解】由正切函数性质可知满足条件，即. 故答案为：(答案不唯一) 12．（22-23高一下·上海·课后作业）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】首先根据正切函数的定义得到，，再解不等式即可. 【详解】因为，所以，， 解得，因为，所以 故答案为： 13．（2023高一上·江苏·专题练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用换元法令，再根据正切函数的值域和二次函数的图象求解即可. 【详解】令， 因为，即，所以由正切函数的图象可知， 所以原函数可化为，， 又因为二次函数的图象开口向上，对称轴方程为， 所以当时，， 当时，， 所以的值域为， 故答案为： 14．（23-24高二·全国·课后作业）若，则a，b的大小关系是 （用“>”连接） 【答案】 【分析】先利用诱导公式将角化为，即可求出值，得出大小. 【详解】， . 故答案为：. 15．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数的图象关于点对称，且，则的值为 . 【答案】或 【分析】由函数的图象的对称性，可得，，即可求得的值． 【详解】函数的图象关于点对称，且， ，， 故， 则令，可得实数，取，则， 故答案为：或 16．（21-22高一·湖南·课后作业）画出函数，的简图． 【答案】答案见解析． 【分析】用列表描点法画图． 【详解】列表： 0 1 0 －1 描点连线： 17．（22-23高一·全国·课后作业）求满足下列条件的角的集合． (1)，； (2)． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据可得的范围，再利用余弦函数的图象和性质即得； （2）由题知，然后根据正切函数的图象和性质即得. 【详解】（1）因为，可得，又， 所以或， 解得或； 故角的集合为； （2）因为，即， 所以， 解得， 故角的集合为. 18．（21-22高一上·全国·课前预习）当时，确定方程的根的个数. 【答案】方程有三个根. 【分析】将方程变形为令，在同一个坐标系中画出两函数的图象，根据图象的交点个数可求得方程的根据个数 【详解】将方程变形为令 在同一平面直角坐标系中， 首先作出与在内的图像， 当时，有 然后利用对称性作出时的两个函数的图像， 如图所示，由图像可知它们有三个交点. 所以方程有三个根. 19．（22-23高一下·北京·期中）已知函数 (1)求的定义域； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，解得函数的定义域为. （2）化简，代入求得 然后根据以及同角三角函数间的关系，解得， 最后化简解得： 【详解】（1）依题意，，. 所以有. 所以函数的定义域为. （2）. 由，得. 又因为， 所以. 所以. 所以 20．（24-25高一上·全国·课前预习）求函数的单调区间． 【答案】函数的单调递增区间为． 【分析】利用正切函数的性质，通过整体角的范围解出范围即可得. 【详解】由题意，得，， 即，， 所以，， 故函数的单调递增区间为． 学科网（北京）股份有限公司 $$