专题05 圆中的重要模型之圆中的翻折模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题05 圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。 1 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 2 19 【知识储备】 1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 例1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，若点与圆心不重合，，则的度数是（    ） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】D 【分析】连接 ，根据直径所对的圆周角是直角求出 ，根据直角三角形两锐角互余求出 ，再根据翻折的性质得到 所对的圆周角，然后根据 等于 所对的圆周角减去 所对的圆周角，计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， 是直径，，， ，， 根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，所对的圆周角为，， ，，．故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大． 例2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取点在上的对应点，连接，过点作于点，根据四边形内接于，有，根据折叠的性质有，可证明，即是等腰三角形，则有，进而有，再解直角三角形求得的值，然后利用勾股定理求得的值，易证得是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求得即可． 【详解】解：取点在上的对应点，连接，过点作于点，如下图，∵四边形内接于，∴，    ∵点在上的对应点为点，∴根据折叠的性质有， ∵，∴， ∵，∴，∴是等腰三角形， ∵，，∴， ∵，∴，∵，∴是直角三角形， ∵，在中，， 在中，， ∵，∴，∵，∴是等边三角形， ∴，，∴的长为：．故选：C． 【点睛】本题考查了圆中折叠的问题、圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，作出辅助线，根据圆的内接四边形的性质得到是解题的关键． 例3．（2023九年级下·广东·专题练习）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，，，点为圆上一点，，将沿弦翻折，交于点，图中阴影部分的面积 ． 【答案】 【分析】如图，连接，将阴影部分沿翻折，点的对应点为，过点作于点，可求出的半径，由对称性可知，，，连接，据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：如图，连接，将阴影部分沿翻折，点的对应点为，过点作于点， 为的直径，，，， ∵，，垂足为，设的半径为，则， ∴，解得：或（舍去），，即的半径是， 连接，则，，过点作于点， ∴，∴，即， 即图中阴影部分的面积是：．故答案为：． 【点睛】本题主要考查直角三角形的，圆，扇形面积的计算，折叠知识的综合，理解圆的基础知识，直角三角形的勾股定理，扇形面积的计算方法，折叠的性质是解题的关键． 例4．（2024·浙江台州·三模）如图，是的直径，是弦，把沿着弦翻折交于点D，再把沿着翻折交于点．当是的中点时，的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点作于点，设，首先根据是的中点，易得，进而可得，，再结合，易得，进而可得，，根据“直径（半圆）所对的圆周角为直角”可得，即可解得，设，证明为等腰直角三角形，易得，，然后在中，利用正切的定义求解即可． 【详解】解：如下图，连接，过点作于点， 设，∵是的中点，∴，∴，∴， ∵在同圆或等圆中，所对的弧有，，， ∴，∴，∴，∴， ∵是的直径，∴，∴，解得， ∴，设，∵，， ∴，∴， ∴，∴， ∴在中，．故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角、三角形外角的定义和性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识，综合性强，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题关键． 例5．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是的直径，是的弦，，将沿着折叠后恰好经过点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，垂径定理，勾股定理；正确做出辅助线是解决本题的关键． 过点作，垂足为，由折叠得，再在中利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点， ，由折叠得：， ，，在中，， ，解得：或（舍去），，故答案为：． 例6．（2023·浙江·统考一模）如图，是半径为4的的弦，且，将沿着弦折叠，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接.则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如解析中的图，连结AD、AC，过点O作AB的垂线交AB于点F，过点C作AB对称点C’，连结EF、AC’，可得AC’=AD=AC，EOEF - OF，根据当E、O、F三点共线时，EO的值最小为EF-OF，求出EF的长，最后根据勾股定理可得答案． 【详解】解：连结AD、AC，过点O作AB的垂线交AB于点F，过点C作AB对称点C’，连结EF、AC’， 则AC’=AD=AC，EOEF - OF，∴EO的最小值为EF - OF， 当E、O、F三点共线时，EO的值最小为EF-OF， ∵AD=AC，且E为DC的中点，∴AEDC， ∴EF=AB=，OF=，∴OE的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，最路线的问题，直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是添加辅助线． 例7．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在中， 为直径， 点为圆上一点， 将劣弧沿弦翻折交于点，连接．(1)如图1， 若点与圆心重合，， 求的半径 (2)如图2， 若点与圆心不重合， ， 请求出的度数． (3)如图2， 如果， 那么的长为____________．（直接写出答案） 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）过点O作于E，可得到AE的长，根据勾股定理计算即可；（2）连接BC，根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，在根据角度求解即可；（3）过C作于G，连接OC、BC，可求得半径的长度，根据计算得，据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图1，过点O作于E，则， ∵翻折后点D与圆心O重合，∴，在中，，即，解得； （2）如图2，连接BC，∵AB是直径，∴， ∵，∴， 根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为， ∴，∴，∴； （3）如图3，过C作于G，连接OC、BC， ∵，，∴，⊙O的半径为，由（2）知：， ∵，∴，∴，∴， ∴，， 中，， 中，，则AC的长为．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，涉及的知识有折叠的性质、垂径定理、勾股定理等，掌握相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 例8．（23-24九年级下·上海宝山·期中）已知是半圆O的直径，C是半圆O上不与A、B重合的点，将弧沿直线翻折，翻折所得的弧交直径于点D，E是点D关于直线的对称点． (1)如图，点D恰好落在点O处．①用尺规作图在图中作出点E（保留作图痕迹），连接、、，求证：四边形是菱形；②连接，与、分别交于点F、G，求的值； (2)如果，求折痕的长． 【答案】(1)①作图见解析，证明见解析；②(2)或 【分析】（1）①过D作的垂线，交半圆于点E即可．利用轴对称性得出，，结合半径，得出，即可得证；②证明，求出，同理得出，，则可求，即可求解；（3）①当D在O的右侧时，作D关于的对称点，连接，，过O作于G，过C作于H，证明，可证明，得出，，利用垂径定理求出，利用勾股定理求出，即可求出，，然后在中利用勾股定理求解即可；②当D在O的左侧时，作D关于的对称点，连接，，过O作于G，过C作于H，类似①求解即可． 【详解】（1）解：①如图，证明：∵E是D关于直线的对称点，∴，， ∵点D恰好落在点O处，∴，∴，∴四边形是菱形； ②如图，∵四边形是菱形，∴，∴， ∴，同理，，∴，， ∴，∴，∴； （2）解：①当D在O的右侧时，作D关于的对称点，连接，，过O作于G，过C作于H， ∵E是D关于直线的对称点，∴，，∴，即， ∵，∴，∴，∴，∴， 又，，∴，∴， ∵，，∴，∵，∴，∴， ∴，，∴，∴； ②当D在O的左侧时，作D关于的对称点，连接，，过O作于G，过C作于H，同理可求，，， ∴，∴，综上，折痕长为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，以及复杂作图等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论，构造全等三角形是解题的关键． 1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将劣弧沿AC折叠后刚好经过弦BC的中点D．若AC＝6，∠C＝60°，则⊙O的半径长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】取折叠后的弧所在圆圆心为O′，则⊙O与⊙O′设等圆，∠ACD是公共的圆周角，所以可以证得AB＝AD，过A作AM⊥BC于M，则M为BD的中点，在Rt△AMC中，利用勾股定理，可以求出AM和CM的长度，由于D是BC中点，可以证明MC＝3BM，所以BM可以求，在直角三角形ABM中，利用勾股定理求出AB的长度，连接OA，OB，由于△AOB是顶角为120°的等腰三角形，过O作OG⊥AB于G，利用30度的特殊角和勾股定理，可以证明AB＝3OA，由此圆O半径可求． 【详解】解：如图1，设折叠后的所在圆的圆心为O′，连接O′A，O′D， ∴∠AO′D＝2∠ACB＝120°，连接OA，OB，同理，∠AOB＝120°，∴∠AOB＝∠AO′D， ∵⊙O与⊙O′是等圆，∴AB＝AD，设⊙O的半径为R，过O作OG⊥AB于G， ∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，AB＝2AG， ∴OG＝OA＝R，∴AG＝＝R，∴AB＝2AG＝R， 如图2，过A作AM⊥BC于M，∵AB＝AD，∴可设BM＝DM＝x，则BD＝2x， ∵D为BC的中点，∴CD＝BD＝2x，∴MC＝DM+CD＝3x， ∵AM⊥BC，∠ACB＝60°，∴∠MAC＝30°， 在Rt△AMC中，MC＝AC＝3，∴3x＝3，∴x＝1， ∴AM＝＝3，BM＝x＝1，在Rt△ABM中，AB＝＝2， ∵AB＝R，∴R＝，故⊙O的半径长为，故选：A． 【点睛】本题是圆的一道综合题型，考查圆中的折叠变换，注意等圆中的公共角，公共弦、公共弧，这些都是相等的，利用这些等量关系是解决本题的关键． 2．（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在中，为直径，点为图上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，如果，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据所对的圆周角为，所对的圆周角为，可得，结合即可得出结论． 【详解】解：∵是直径，∴， ∵，∴， 根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为， ∴，∵，∴．故选：B． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质以及圆周角定理的应用，掌握圆周角定理及翻折的性质是解题的关键． 3．（2023·湖北武汉·校考一模）如图，以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB＝10，则CB的长为（　　） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】作AB关于直线CB的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答． 【详解】解：如图，若，且AB＝10，∴AD＝4，BD＝6， 作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，可得A、C、A′三点共线， ∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，∴AB＝A′B， ∴AC＝A′C，AD＝A′D′＝4，A′B＝AB＝10． 而A′C•A′A＝A′D′•A′B，即A′C•2A′C＝4×10＝40．则A′C2＝20， 又∵A′C2＝A′B2﹣CB2，∴20＝100﹣CB2，∴CB＝4．故选A． 【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后作出解答． 4．（2023·湖北黄石·校联考模拟预测）如图，，是的弦，劣弧沿弦翻折恰好经过点O，交于点D，连接，若，，则的半径长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，，过点B作于点E，过点O作于点F，求出，根据圆周角定理求出，证明为等边三角形，得出，根据，得出，根据勾股定理求出，，根据，求出结果即可． 【详解】解：连接，，，过点B作于点E，过点O作于点F，如图所示：    则，∵劣弧沿弦翻折恰好经过点O， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∵，且由翻折而成， ∴∴， ∴，∴， ∴，∴为等边三角形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∵，∴， 解得：，故B正确．故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是作出辅助线，证明为等边三角形． 5．（2024·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，D、E为圆上动点，且D、E关于AB对称，将沿AD翻折交AE于点F，使点C恰好落在直径AB上点处，若⊙O的周长为10，则的长为（　　） A．1 B．1.25 C．1.5 D．2 【答案】B 【分析】连接 再利用轴对称的性质求解 设的圆心为,则与关于对称，求解 从而可得答案. 【详解】解：连接 为圆的直径，点C为的中点， 将沿AD翻折交AE于点F，使点C恰好落在直径AB上点处，是的垂直平分线， D、E关于AB对称，垂直平分 设的圆心为,则与关于对称， 连接 则在上， 而 的周长为10，的半径为： 的长为： 故选B 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，圆的基本性质，圆周角定理，弧长的计算，熟练的运用轴对称的性质得出是解本题的关键. 6．（2023·浙江温州·九年级统考期末）如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连结DE．若AB＝10，OD＝1，则线段DE的长为（　　） A．5 B．2 C．2 D．+1 【答案】B 【分析】连接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，则AD＝4，先利用折叠的性质和圆周角定理得到 ，再利用弧、弦、圆心角的关系得到AC＝CD＝DE，则AF＝DF＝2，然后利用勾股定理计算出CF，接着再计算出CD即可． 【详解】解：连接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，如图， ∵⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E， ∴为等圆中的弧，∵它们所对的圆周角为∠ABC，∴， ∴AC＝CD＝DE，∴AF＝DF＝2，在Rt△OCF中，CF＝＝4， 在Rt△CDF中，CD＝＝ ，．故选：B． 【点睛】本题主要考查折叠的性质，圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系，掌握圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系是解题的关键． 7．（2024·湖北荆州·九年级专题练习）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】C 【分析】连结AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D′，连结CD′，BD，设AC=x，根据直径时圆周角性质得出∠ACB=90°，利用三角函数求出，然后利用勾股定理构建方程，即，求出，，利用面积桥求出斜边上高CE与AE，根据BC为折痕，点D与点D′对称，得出∠ABC=∠D′BC， ，可得AC=CD，利用等腰三角形性质求出AE=DE=2，利用弓形AC=弓形DC进行面积转化求即即可． 【详解】解：连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D′，连接CD′，BD′ 设AC=x，∵AB为直径，∴∠ACB=90°， ∵，∴， ∴，即，解得，， ∴，∴，∴AE=， ∵BC为折痕，点D与点D′对称，∴∠ABC=∠D′BC，， ∴，∴AC=CD，∵CE⊥AD，∴AE=DE=2，AD=4，∴弓形AC=弓形DC， ∴S阴影=S△ACD=．故选：C． 【点睛】本题考查圆周角的性质综合，折叠性质，等腰三角形三线合一性质，不规则图形的面积，掌握圆周角的性质综合，折叠性质，等腰三角形三线合一性质，不规则图形的面积是解题关键． 8．（2024·湖北咸宁·一模）如图，是的直径，点C是上半圆上一点，将沿着弦翻折后恰好经过的中点D，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角、勾股定理和直角三角函数，连接、、，过点C作于点E，先证明，从而得到，再，根据勾股定理分别求出和关于x的表达式，即可求得答案． 【详解】解：如下图所示，连接、、，过点C作于点E， ∵对应圆周角，对应圆周角，∴，∴， 设，则，，∴， ∵，，∴，∴，， ∴， ∴，， ∴，，∴，故选：D． 9．（2023·广西南宁·二模）如图，AB是的直径，点C是上一点，将劣弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，连接CD，若，则下列式子正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连，由AB是的直径，可知，由折叠，和所在的圆为等圆，可推得，再利用正弦定义求解即可． 【详解】解：连，    ∵是的直径，∴，由折叠，和所在的圆为等圆， 又∵，∴和所对的圆周角相等， ∴，∴，在中，，故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角、弦、弧之间的关系以及正弦、余弦定义，解答关键是通过折叠找到公共的圆周角推出等弦． 10．（2024·江苏徐州·一模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点．若的度数为，则 （弧长）． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点，作D关于的对称点E，连接，则，然后再根据的度数为知，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得，最后运用弧长公式即可解答． 【详解】解：如图，作D关于的对称点E，连接，则， ∵ 的度数为，∴，∴， ∴，∴， ∴的长度为，∴ 的长度为．故答案为：． 11．（2023·福建福州·九年级统考期中）如图，在半径为5的⊙O中；弦AC＝8，B为上一动点，将△ABC沿弦AC翻折至△ADC，延长CD交⊙O于点E，F为DE中点，连接AE，OF．现给出以下结论：①AE＝AB；②∠AED=∠ADE；③∠ADC＝2∠AED；④OF的最小值为2，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得出，，结合圆周角定理可得出进而推出正确；假设，推出是等边三角形，进而推出，为定值，这与是变角相矛盾；作于M，并延长交于G，连接FM、OC、AF，先根据垂径定理求出OM的长，然后根据直角三角形斜边中线的性质求出FM长，最后根据三角形三边关系得出 ，则可解决问题． 【详解】解：折叠得到， ，， 又在 中，和所对的弦分别是AB和AE， 又 ， ，在中， ，，故正确； 由可得，假设， ， ，∴是等边三角形， ，，是定值， 而B是动点，A、C两点固定，则是变化的，两者矛盾，故错误； 如图，作于M，并延长交于G，连接FM、OC、AF， ， ， 由得，F为ED的中点， ， ， ，当O、F、M三点共线时，OF最小，这时OF=1，故错误； 综上所述，正确的是 ．故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的综合，涉及图形的翻着的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，三角形的三边关系等，熟练掌握以上性质，灵活运用是解题的关键． 12．（2023·福建泉州·一模）如图，是的弦（不是直径），将沿翻折交于点．若，，则＝ ． 【答案】 【分析】设翻折前点的对应点是点，连接、、、、，易证四边形是菱形，得到，推出，证明，得到，进而得到进行求解即可． 【详解】解：设翻折前点的对应点是点，连接、、、、，如图： 则： ∴， ∵，∴∴， ∴四边形是菱形，∴， ∴ ，∴，∴， ∴， ∵ ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，即： ∴，∴ ∵，∴，∴；故答案为：． 【点睛】本题考查弧，弦，角之间的关系，同弧所对的圆周角相等，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 13．（2024·广东佛山·一模）如图，是的直径，C，D是上的两个点，将沿弦折叠，圆弧恰好与弦，分别相切于点E，A．若，则的面积为 ．    【答案】 【分析】此题重点考查切线的性质定理，勾股定理，正方形的判定和性质等知识．设所在的圆的圆心为Q，连接、、，四边形是正方形，推出，利用勾股定理求得的长，利用三角形的面积公式，计算得到问题的答案． 【详解】解：设所在的圆的圆心为Q，连接、、，      ∵恰好与弦，分别相切于点E，A， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，∴， ∴，∴的面积为， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是的直径，点是上一点，将劣弧沿弦折叠交直径于点，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】连接，，过C点作于E点，由折叠得，则可得．由可得，进而可得，则．设，则，然后证明， 则可得，又，由此可求出x的值，进而可求出的值，也即的值． 本题主要考查了圆的相关性质：“同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角相等”，“直径所对的圆周角等于”，以及相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线，找出等量关系，是解题的关键． 【详解】解：如图所示： 连接，，过C点作于E点， ∵是的直径， 由折叠知，和所在的圆为等圆， 又∵，，， ，∴， 又，，，设，则， ，，，， ，又， ，解得，，．故答案为：． 15．（2023·江西萍乡·萍乡市安源中学校考模拟预测）如图（1）是的直径，且，点是半圆的中点，点是上一动点，将沿直线折叠交于点，连接，． (1)求证：；(2)当点与点重合时，如图（2），求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）如图，作点关于的对称点，连接，，，，由折叠的性质可知，，根据圆周角定理可知，，可得，继而得到，即； （2）证明是等边三角形，可知所对圆心角为，利用弧长公式可求的长． 【详解】（1）证明：如图，作点关于的对称点，连接，，，， 由折叠的性质可知，， 又∵，，∴，∴，∴． （2）解：由（1）知，又∵，∴是等边三角形， ∴，∴所对圆心角为，∴的长为． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、圆周角定理和弧长公式，根据题意及轴对称的性质作出辅助线是解答本题的关键． 16．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图①，一张半径为10cm的圆形纸片，点О为圆心，将该圆形纸片沿直线l折叠，直线l交于A，B两点．(1)如图②，若折叠后的圆弧恰好经过点O，求此时线段的长度；(2)如图③，已知P是内一点，，若折叠后的圆弧与直线相切于点P，请用无刻度的直尺与圆规在图③中画出一条折痕，并直接写出线段的长度． 【答案】(1)(2)画图见解析， 【分析】（1）连接，过点O作交劣弧与点P，交与点H，直线l垂直平分．，在中即可求解；（2）如图，连接并延长，交与点E，过点P作的垂线，在垂线上截取，以点为圆心，长为半径画弧，分别交于A，B两点，连接，即为所求，再利用垂径定理，勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过点O作交劣弧与点P，交与点H，    ∵点P与点O关于直线l对称，半径为， ∴直线l垂直平分．，． 在中，，． 在中，，． （2）如图，连接并延长，交与点E，过点P作的垂线，在垂线上截取，以点为圆心，长为半径画弧，分别交于A，B两点，连接，即为所求， 连接，交与点D，交于，交于， ∴，，，， ∴垂直平分，，， 在中，，， 在中，，， ，； 【点睛】本题考查圆的翻折，垂径定理，圆的切线，勾股定理的应用；线段的垂直平分线的性质，熟练用垂径定理，轴对称的性质进行作图是解本题的关键． 17．（23-24九年级上·河北承德·期末）如图，的直径，是弦，沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为．(1)如图1，当与相切于时． ①为画出所在圆的圆心，请选择你认为正确的答案 ． 甲：在上找一点，连、并分别作它们的中垂线，交点为； 乙：分别以、为圆心，以为半径作弧，除外两弧另一个交点即为圆心． A．甲正确   B．乙正确   C．甲乙都正确       D．都不正确 ②选择合适的方法做出圆心，求的长；直接写出此时的度数． (2)如图2，当经过圆心时，求的长； (3)如图3，当覆盖圆心且与直径交于点，若，直接写出的度数． 【答案】(1)①C②，(2)(3) 【分析】（1）①确定圆心最常见思路为不在同一直线的三点共圆，利用其外心可确定圆心； ②连接、，易证得四边形为菱形，加上，所以四边形为正方形，根据正方形的性质得可得结果；（2）作于，如图，根据折叠的性质得，由，根据垂径定理得，再在中，利用勾股定理计算出，进而容易得出； （3）连接，作关于的对称轴点在上，并连接、，，根据圆周角定理得到，求得，根据圆内接四边形的性质得到，再由翻折可求得，于是得到结论． 【详解】（1）①甲：在上找一点，连、并分别做它们的中垂线，即做的外心，故甲正确； 乙：由切线长定理可知，为切线，且，故也为的切线，易知为正方形（证明见②），故乙正确；故选：C； ②如图，连接、，∵，∴四边形为菱形， 而，∴四边形为正方形，∴，； （2）作于，交劣弧于，如图， ∵沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为，即∴， ∵，∴，在中，，， ∴，∴； （3）连接，作关于的对称轴点在上，并连接、，如图， ∵是的直径，∴，又∵，∴， 由圆内接四边形的性质得到，可得：， ∴ 【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的性质；会利用勾股定理和相似比进行几何计算；理解折叠的性质和正方形的判定与性质，作出辅助线是解答此题的关键． 18．（2024·江苏宿迁·九年级统考期中）如图①，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，直线与轴相交于点，与线段相交于点，为直线上一点，以为圆心，长为半径作．    (1)当点坐标为时，则与直线的位置关系为________； (2)当与三边共有三个公共点时，则点的横坐标应满足的条件为________； (3)如图②，当点在第二象限时，且与轴交于、两点（在的左边），以为对称轴，将下方的翻折到的上方，作的直径交于点． ①如图③，当翻折后的弧经过圆心时，则点的坐标为________； ②当翻折后的弧把直径分成两段时，求点的坐标． 【答案】(1)相切(2)或(3)①；②或 【分析】（1）由点、、的坐标和直线，得出半径和圆心到直线的距离，再根据圆心到直线的距离等于半径，则圆与直线相切判断即可；（2）结合图象分析与三边共有三个公共点时，点的位置情况：和相切时有两个公共点，继续向右出现三个公共点；直至和相切时，出现四个公共点；继续向右出现五个公共点，直至经过点时变为四个公共点；继续向右，将持续有三个公共点．求出关键时刻点的横坐标，再写出三个公共点时，的范围即可；（3）①根据翻折后的弧经过圆心，可知直线和轴距离等于半径的一半，得到半径写出点的坐标即可； ②根据翻折后的弧把直径分成两段，分类讨论，画出图象分析求解即可． 【详解】（1）如下图过点作交直线于点．          ，，，直线与y轴相交于点D，以Р为圆心，PD长为半径作， ，，，即圆心到直线的距离等于半径，与直线相切． （2）如下图与相切于点时，有两个公共点，点继续向右运动将会出现三个公共点． 此时（都有直角；，平行线中的同位角）． ，，，直线与轴相交于点，以为圆心，长为半径作， ，，，，， ，（勾股定理计算）， ，，，，则 ，，，，， 如下图，点继续向右运动直至和相切时，会有四个公共点，此时，即 继续向右会出现5个公共点；如下图继续运动直至和直线交于点时，有4个公共点，连接，作垂直直线于点．    ，，，， （勾股定理），，解得 继续向右运动将持续有三个公共点． 综上所述分析，当或时，与三边共有三个公共点，故答案为：或． （3）①如图过点作的垂线交于点，交弧于点．       直线与轴相交于点，与线段相交于点，为直线上一点，以为圆心，长为半径作，，， 点在第二象限，且在直线上，点的坐标为，故答案为：． ②弧翻折后和直径交于点． 情况一：如下图当时，画出沿翻折后的完整，取中点，有等腰三角形三线合一（）． 直线与轴相交于点，与线段相交于点，为直线上一点，以为圆心，长为半径作，，，，， 设圆半径为，则，，， ，，（勾股定理）， （勾股定理），，，， ，即，． 情况二：如下图当时，画出沿翻折后的完整，取中点，有等腰三角形三线合一（）．    直线与轴相交于点，与线段相交于点，为直线上一点，以为圆心，长为半径作，，，， 设圆半径为，则，，，，， （勾股定理）， （勾股定理），，，，，即，， 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查了圆在直角坐标系中的综合应用，综合性强，数形结合、画出图象分类讨论，结合勾股定理、相似三角形知识点求解是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。 1 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 2 19 【知识储备】 1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 例1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，若点与圆心不重合，，则的度数是（    ） A．20° B．30° C．40° D．50° 例2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 例3．（2023九年级下·广东·专题练习）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，，，点为圆上一点，，将沿弦翻折，交于点，图中阴影部分的面积 ． 例4．（2024·浙江台州·三模）如图，是的直径，是弦，把沿着弦翻折交于点D，再把沿着翻折交于点．当是的中点时，的值是（    ）． A． B． C． D． 例5．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是的直径，是的弦，，将沿着折叠后恰好经过点，则的长为 ． 例6．（2023·浙江·统考一模）如图，是半径为4的的弦，且，将沿着弦折叠，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接.则的最小值为 ． 例7．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在中， 为直径， 点为圆上一点， 将劣弧沿弦翻折交于点，连接．(1)如图1， 若点与圆心重合，， 求的半径 (2)如图2， 若点与圆心不重合， ， 请求出的度数． (3)如图2， 如果， 那么的长为____________．（直接写出答案） 例8．（23-24九年级下·上海宝山·期中）已知是半圆O的直径，C是半圆O上不与A、B重合的点，将弧沿直线翻折，翻折所得的弧交直径于点D，E是点D关于直线的对称点． (1)如图，点D恰好落在点O处．①用尺规作图在图中作出点E（保留作图痕迹），连接、、，求证：四边形是菱形；②连接，与、分别交于点F、G，求的值； (2)如果，求折痕的长． 1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将劣弧沿AC折叠后刚好经过弦BC的中点D．若AC＝6，∠C＝60°，则⊙O的半径长为（    ） A． B．2 C． D． 2．（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在中，为直径，点为图上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，如果，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖北武汉·校考一模）如图，以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB＝10，则CB的长为（　　） A． B． C． D．4 4．（2023·湖北黄石·校联考模拟预测）如图，，是的弦，劣弧沿弦翻折恰好经过点O，交于点D，连接，若，，则的半径长是（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，D、E为圆上动点，且D、E关于AB对称，将沿AD翻折交AE于点F，使点C恰好落在直径AB上点处，若⊙O的周长为10，则的长为（　　） A．1 B．1.25 C．1.5 D．2 6．（2023·浙江温州·九年级统考期末）如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连结DE．若AB＝10，OD＝1，则线段DE的长为（　　） A．5 B．2 C．2 D．+1 7．（2024·湖北荆州·九年级专题练习）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．8 D．10 8．（2024·湖北咸宁·一模）如图，是的直径，点C是上半圆上一点，将沿着弦翻折后恰好经过的中点D，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．（2023·广西南宁·二模）如图，AB是的直径，点C是上一点，将劣弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，连接CD，若，则下列式子正确的是（    ）    A． B． C． D． 10．（2024·江苏徐州·一模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点．若的度数为，则 （弧长）． 11．（2023·福建福州·九年级统考期中）如图，在半径为5的⊙O中；弦AC＝8，B为上一动点，将△ABC沿弦AC翻折至△ADC，延长CD交⊙O于点E，F为DE中点，连接AE，OF．现给出以下结论：①AE＝AB；②∠AED=∠ADE；③∠ADC＝2∠AED；④OF的最小值为2，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 12．（2023·福建泉州·一模）如图，是的弦（不是直径），将沿翻折交于点．若，，则＝ ． 13．（2024·广东佛山·一模）如图，是的直径，C，D是上的两个点，将沿弦折叠，圆弧恰好与弦，分别相切于点E，A．若，则的面积为 ．    14．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是的直径，点是上一点，将劣弧沿弦折叠交直径于点，连接，若，，则 ． 15．（2023·江西萍乡·萍乡市安源中学校考模拟预测）如图（1）是的直径，且，点是半圆的中点，点是上一动点，将沿直线折叠交于点，连接，． (1)求证：；(2)当点与点重合时，如图（2），求的长． 16．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图①，一张半径为10cm的圆形纸片，点О为圆心，将该圆形纸片沿直线l折叠，直线l交于A，B两点．(1)如图②，若折叠后的圆弧恰好经过点O，求此时线段的长度；(2)如图③，已知P是内一点，，若折叠后的圆弧与直线相切于点P，请用无刻度的直尺与圆规在图③中画出一条折痕，并直接写出线段的长度． 17．（23-24九年级上·河北承德·期末）如图，的直径，是弦，沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为．(1)如图1，当与相切于时． ①为画出所在圆的圆心，请选择你认为正确的答案 ． 甲：在上找一点，连、并分别作它们的中垂线，交点为； 乙：分别以、为圆心，以为半径作弧，除外两弧另一个交点即为圆心． A．甲正确   B．乙正确   C．甲乙都正确       D．都不正确 ②选择合适的方法做出圆心，求的长；直接写出此时的度数． (2)如图2，当经过圆心时，求的长； (3)如图3，当覆盖圆心且与直径交于点，若，直接写出的度数． 18．（2024·江苏宿迁·九年级统考期中）如图①，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，直线与轴相交于点，与线段相交于点，为直线上一点，以为圆心，长为半径作．    (1)当点坐标为时，则与直线的位置关系为________； (2)当与三边共有三个公共点时，则点的横坐标应满足的条件为________； (3)如图②，当点在第二象限时，且与轴交于、两点（在的左边），以为对称轴，将下方的翻折到的上方，作的直径交于点． ①如图③，当翻折后的弧经过圆心时，则点的坐标为________； ②当翻折后的弧把直径分成两段时，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$