专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.对角互补模型（相似模型） 2 48 模型1.对角互补模型（相似模型） 四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似. 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 例1．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究． 在中，，，是边上一点，且(为正整数），、分别是边和边上的点，连接，且． 【初步感知】（）如图，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】（）如图，当，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明； 请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【拓展运用】（）如图，点为靠近的四等分点，连接，设的中点为，若，求点从点运动到点的过程中，请直接写出点运动的路径长． 例2．（23-24九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题解决：如图1，中，，过点C作于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处，两条直角边分别交线段于点 E ，交线段于点 F，在三角板绕着点D旋转的过程中，若点E是的中点，则点F也是的中点吗？（注：可以用知识：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） “阳光”小组的解答是：若点E是的中点，则点F也是 的中点． 理由如下：∵ 于点 D，．∵点 E 是的中点，． ，．是等边三角形．， ．．又，． ．即若点E是的中点，则点F也是的中点． 反思交流（1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“”，其他条件不变（如图2），若点E是的中点，则点F也是 的中点．请你根据条件证明这个结论； 拓广探索（2）去掉条件“”，其他条件不变旋转过程中，若（如图3），那么等式成立吗？请说明理由；（3）去掉条件“”，其他条件不变．若点 E 是上任意一点（如图4），（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 例3．（2023·福建厦门·模拟预测）【探究发现】（1）如图①，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），则与之间满足的数量关系是________； 【类比应用】（2）如图②，若将（1）中的“正方形”改为“的菱形”，其他条件不变，当时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图③，在四边形中，平分，，，过点作，交的延长线于点．若，，求的长．    例4．（2023·成都市·九年级专题练习）已知在中，，，点在上，且．  当点为线段的中点，点、分别在线段、上时（如图）．过点作于点，请探索与之间的数量关系，并说明理由； 当，①点、分别在线段 、上，如图时，请写出线段、之间的数量关系，并给予证明．②当点、分别在线段、的延长线上，如图时，请判断①中线段、之间的数量关系是否还存在．（直接写出答案，不用证明） 例5．（2024九年级·重庆·专题练习）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 例6．（2023·上海普陀·九年级校考期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合）且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O． (1)求证：△ADE∽△ACB；(2)如果CD＝CE，求证：CD2＝CO•CA． 例7．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图1，等边中，为边上的一点，且，分别为上的两个动点，始终保持. (1)若，求证：①，②； (2)①如图2，若，试探究之间的数量关系，请写出证明过程； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出之间的数量关系的一般结论（用含有的代数式直接写出，不用证明）；(3)如图3，为边上的中点，，连接，当点分别在线段上运动时，当时，直接写出线段扫过的图形的面积. 1．（2023·山西临汾·统考二模）在菱形中，，对角线交于点，分别是边上的点，且与交于点，则的值为 ．    2．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则= . 3．（2023青岛版九年级月考）如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转．当时，的值为 ；当时，为 ．（用含的式子表示） 4．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为 ．    5．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）已知一块含的直角三角板ABC按图1放置，其中，点B与原点O重合，，．现将点A沿y轴向下滑动，同时点B沿x轴向右滑动，当点A滑动至与原点O重合时停止． 当四边形为矩形时（如图2），点C的坐标为 ；当点A滑动到原点O时，点C经过的路径长为 ．    6．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，D，M，N分别在直线，直线，直线上，(1)若D是中点，，求；(2)若点D，M，N分别在，，的延长线上，且，，求． 7．（2023·陕西渭南·一模）【问题探究】（1）如图1，、相交于点P，连接、，且，若，，，则的长为___________； （2）如图2，，点P是平分线上的一个定点，点A、B分别在射线、上，且，求证：四边形的面积是定值； 【拓展运用】（3）如图3，某创业青年小李租用一块形如四边形的田地养蜂、产蜜与售蜜，其中，，米，米，米．点E为入口，点E在上，且，小李计划过点E修一条垂直于的笔直小路，将田地分为两部分，四边形区域为蜂巢区，四边形区域为蜂源植物生长区，在点F处设立售蜜点，为了方便取蜜，计划再沿修一条笔直的小路，求小路的长．（小路的宽度忽略不计，结果保留根号） 8．（23-24九年级上·江西吉安·期中）问题：如图1，等边三角形的边长为6，点O是和的角平分线交点．，绕点O任意旋转，分别交的两边于D，E两点．求四边形面积．    讨论：①小明：在旋转过程中，当经过点B时，一定经过点C． ②小颖：小明的分析有道理，这样我们就可以利用“”证出． ③小飞：因为，所以只要算出的面积就得出了四边形的面积． 老师：同学们的思路很清晰，也很正确．在分析和解决问题时，我们经常会借用特例作辅助线来解决一般问题：请你按照讨论的思路，直接写出四边形的面积： （2）应用方法：①特例：如图2，的顶点O在等边三角形的边上，，，边于点E，于点D，求的面积． ②探究如图3，已知，顶点O在等边三角形的边上．，，的面积为x，的面积为y，求的值． ③应用：如图4，已知，顶点O在等边三角形的边的延长线上，，，的面积为a，的面积为b，请直接写出a与b的关系式． 9．（2024·江苏泰州·二模）问题背景：苏科版八年级下册数学教材第95页“探索研究” （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，正方形的顶点与点O重合．将正方形绕点旋转，在这个过程中，这两个正方形重合部分的面积是正方形面积的__________． 问题迁移：（2）等边三角形的中线相交于点O，先将绕点O逆时针旋转，再沿线段方向平移，得到，点O、A、B的对应点分别为、、，且，在这个过程中，的边，所在射线分别交AB，BC于点M，N． ①如图2，当与重合时，求证：； ②如图3，当时，判断和之间的数量关系，并说明理由； 问题拓展：③如图4，连接MN，记周长为，在a、k的变化过程中，存在a、k的值，使得MN平分的周长，此时，的结果是否会发生变化？如不变，请求出其值；如变化，求出的最小值． 10．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）完成下面各题：（1）如图1，等腰中，，点为斜边中点，点是边上一点（不与重合），将射线绕点逆时针旋转交于点．学习小组发现，不论点在边上如何运动，始终成立．请你证明这个结论； 【类比迁移】（2）如图2，，，，点为斜边中点，点是延长线上一点，将线段绕点逆时针旋转得到，点恰好落的延长线上，求的值； 【拓展提升】（3）如图3，等腰中，，，点是边上一点，且，以为边在的上方作等边，交于点，连接，，取的中点，连接，当时，求的面积． 11．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知Rt△ABC中，AC=BC=2．一直角的顶点P在AB上滑动，直角的两边分别交线段AC，BC于E．F两点。（1）如图1，当且PE⊥AC时，求证：； （2）如图2，当时（1）的结论是否仍然成立？为什么？（3）在（2）的条件下，将直角∠EPF绕点P旋转，设∠BPF=α（0°＜α＜90°）．连结EF，当△CEF的周长等于2+时，请直接写出α的度数． 12．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图1，点P在正方形的对角线上，正方形的边长是a，的两条直角边，分别交边，于点M，N． (1)操作发现：如图2，固定点P，使绕点P旋转． ①当，时，四边形的边长是________； ②当，（n是正实数）时，四边形的面积是________． (2)猜想论证：如图3，将四边形的形状改变为矩形，，，点P在矩形的对角线上，的两条直角边，分别交边，于点M、N，固定点P，使绕点P旋转，则________． 13．（2024·四川成都·三模）【基础巩固】（1）如图1，在正方形中，点E在的延长线上，连接，过点D作交的延长线于点F，求证：． 【尝试应用】（2）如图2，在菱形中，，点E在边上，点F在的延长线上，连接，以E为顶点作，交延长线于点G，若，，，求的长． 【拓展提升】（3）如图3，在矩形中，点E在边上，点F在的延长线上，连接，过点C作，以E为顶点作，交于点G，若，，求的值（用含m，n的代数式表示）． 14．（2023·陕西西安·模拟预测）问题提出： (1)如图①，在中，平分交边于点D，点E为边上的一个动点，连接，则线段长的最小值为　 　． 问题探究：(2)如图②，在中，，点D为边的中点，且的两边分别交于点E、F．求四边形的面积． 问题解决：(3)某观光景区准备在景区内设计修建一个大型儿童游乐园．如图③，四边形为儿童游乐园的大致示意图，并将儿童游乐园分成和四边形四部分，其中在和两区域修建益智区，在区域修建角色游戏区，在四边形区域修建木工区．根据设计要求：四边形是平行四边形，，点E、点F、点M分别在边、边和对角线上，且，四边形的面积为平方米，现需在四边形的四周修建护栏起到保护乐园的作用，为了节约修建成本，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出四边形周长的最小值；若不存在，请说明理由． 15．（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1正方形的边长为，的顶点在正方形两条对角线的交点处，．将绕点旋转，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论．爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路： 浩浩：如图，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了，则，那么，这样，就实现了四边形的面积向面积的转化； 小航：如图，也是考虑到正方形对角线的特征，过点分别作于点，于点，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为： （填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为 ． （2）【类比探究】①如图2，矩形中，，，点是边的中点，．点在上，点在上，则四边形的面积为 ； ； ②如图3，若将（1）中的“正方形”改为“，边长为的菱形，其他条件不变，当”时，四边形的面积还是一个定值吗？是，请求出来；不是，请说明理由； ③如图4，在②的条件下，当点在对角线上运动，顶点与点的距离为，且旋转至时，的长度为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.对角互补模型（相似模型） 2 48 模型1.对角互补模型（相似模型） 四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似. 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 例1．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究． 在中，，，是边上一点，且(为正整数），、分别是边和边上的点，连接，且． 【初步感知】（）如图，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】（）如图，当，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明； 请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【拓展运用】（）如图，点为靠近的四等分点，连接，设的中点为，若，求点从点运动到点的过程中，请直接写出点运动的路径长． 【答案】（）证明见解析；（），理由见解析；；（） 【分析】（1）由“”可证，可得，即可求解； （2）①先证和是等腰直角三角形，可得，，，，可求，，通过证明，可求，即可求解； ②分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解； （3）连接，，，由题意可得点在线段的垂直平分线上运动，由题意易得，当点E与点A重合时，过点M作于点H，当点E与点C重合时，假设此时的中点为N，即为原来的点M，进而得出点M的运动轨迹，然后问题可求解． 【详解】（）证明：连接，∵，，且当时，， ，，，， ，，∴∠EDF，， 在和中，，∴， ， ，即； （），理由如下：过点作于，于， ，，， ，，和是等腰直角三角形， ，，，，， ，，设，则，，，， ，，，四边形是矩形， ，， 又，，，， ； 如图4，当点在射线上时，过点作于，于， ，，，，，和是等腰直角三角形， ，，，，， ∴，，设，， ，，，，，， 四边形是矩形，，， 又，，，， ； 当点在的延长线上时，如图5，，，， ，，和是等腰直角三角形， ，，，，， ∴，， 设，，，，， ，，，四边形是矩形， ，， 又，，，， ； 综上所述：当点在射线上时，，当点在延长线上时，； （3）解：连接，，，如图（1）， 的中点为，，，∴点在线段的垂直平分线上运动， ∵点D为靠近B的四等分点，∴， 由（2）得，∴ 当点E与点A重合时，过点M作于点H，如图， ∴，∴，∴∴，∴， ∵，代入得，∴； 当点E与点C重合时，假设此时的中点为N，即为原来的点M，如图， ∵，代入得，∴， ∴如图，点M的运动轨迹即为的长， ∵在Rt中，∴∴∴点运动的路径长为 【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 例2．（23-24九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题解决：如图1，中，，过点C作于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处，两条直角边分别交线段于点 E ，交线段于点 F，在三角板绕着点D旋转的过程中，若点E是的中点，则点F也是的中点吗？（注：可以用知识：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） “阳光”小组的解答是：若点E是的中点，则点F也是 的中点． 理由如下：∵ 于点 D，． ∵点 E 是的中点，． ，．是等边三角形．， ．． 又，． ．即若点E是的中点，则点F也是的中点． 反思交流（1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“”，其他条件不变（如图2），若点E是的中点，则点F也是 的中点．请你根据条件证明这个结论； 拓广探索（2）去掉条件“”，其他条件不变旋转过程中，若（如图3），那么等式成立吗？请说明理由；（3）去掉条件“”，其他条件不变．若点 E 是上任意一点（如图4），（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】（1）若点E是 的中点，则点F也是 的中点，理由见解；（2）成立，理由见解；（3）若点E是上任意一点，（2）中的结论仍然成立，理由见解． 【分析】（1）由题意得，根据直角三角的性质和等腰三角形的性质即可得出结论； （2）证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可得出结论； （3）由题意证明，，，由相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：（1）于点D，， ∵点E是的中点，，， ，，， 又，， ，，即点F是的中点； （2）旋转过程中，若，那么等式成立． 理由如下：，∴四边形是矩形， ，，，； （3）若点E是上任意一点（如图4），（2）中的结论仍然成立． 理由如下：，， ，，同理证得， 则，，同理证得， 则，，即． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 例3．（2023·福建厦门·模拟预测）【探究发现】（1）如图①，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），则与之间满足的数量关系是________； 【类比应用】（2）如图②，若将（1）中的“正方形”改为“的菱形”，其他条件不变，当时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图③，在四边形中，平分，，，过点作，交的延长线于点．若，，求的长．    【答案】（1）；（2）上述结论仍然成立；证明见解析；（3）12 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，，利用同角的余角相等，推出，由此证明，得到； （2）在上截取，连接，证得是等边三角形，推出，，再根据同角的余角相等推出，进而证明，由此得到；（3）连接，在上截取，使，连接，可证四点共圆，是等边三角形，得到，由，得出是等边三角形，即可证明，得到，求出，在中，求出，得到，即可求出求的长． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，∴，，， ∵，∴， ∴，∴，∴；故答案为：； （2）上述结论仍然成立；在上截取，连接，      ∵四边形是菱形，，∴， ∴是等边三角形，∴，， ∵，∴， ∴，∴，∴； （3）连接，在上截取，使，连接，如图， ∵，平分，∴， ∵，∴， ∴四点共圆，∴，∴， ∴是等边三角形，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， ∴，∴， 在和，，∴， ∴， ∴，∵，∴， 在中，，∴，∴，∴． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及正方形的性质，菱形的性质，四点共圆，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 例4．（2023·成都市·九年级专题练习）已知在中，，，点在上，且．  当点为线段的中点，点、分别在线段、上时（如图）．过点作于点，请探索与之间的数量关系，并说明理由； 当，①点、分别在线段 、上，如图时，请写出线段、之间的数量关系，并给予证明．②当点、分别在线段、的延长线上，如图时，请判断①中线段、之间的数量关系是否还存在．（直接写出答案，不用证明） 【答案】（1），理由见解析；①，理由见解析；②成立． 【分析】（1）过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F，则四边形BFPE是矩形，所以△PFN∽△PEM得出，然后根据余切函数即可求得．（2）同（1）证得△PFN∽△PEM得出，然后在Rt△AEP和Rt△PFC中通过三角函数求得PF=PC，PE=PA，即可求得． 【详解】（1）， 理由：如图，作，∵，∴， ∴四边形是矩形，∴ ∴的中点，∴， ∵，∴，∴， ∴，∵，在中，， ∴，即． ，如图 在中，过点于点 ∴四边形是矩形，∴∴， 又∵中， ∴∴ ∵ ∴，即： ②如图，成立． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及三角函数的应用． 例5．（2024九年级·重庆·专题练习）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）或或 【分析】（1）证明△BDE≌△ADF（ASA），根据全等三角形的性质即可得到BE＝AF； （2）方法同（1），利用全等三角形的性质解决问题； （3）证明△EBD∽△DCF，推出，设AF＝m，则AE＝4m，分三种情形，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高， ∴BD＝CD＝ADBC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝45°， ∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE， 在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF； （2）解：如图2中，由（1）知，BD＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°+∠ADE， 在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF， ∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝AB+AE＝4，∴AF＝4； （3）解：如图3中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝60°， ∴BD＝CD＝AB•sin60°＝2，∵AE＝4AF，∴可以假设AF＝m，则AE＝4m，BE＝4﹣4m，CF＝4﹣m， ∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°，∴∠FDC＝∠BED，∵∠B＝∠C， ∴△EBD∽△DCF，∴，∴，整理得，m2﹣5m+1＝0， 解得m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解． 当点F在CA的延长线上时，CF＝4+m，由△EBD∽△DCF，可得， ∴，解得，m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解． 当点E在射线BA上时，BE＝4+4m，∵△EBD∽△DCF， ∴，∴解得，m或（舍弃）， 经检验，m是分式方程的解．综上所述，满足条件的AF的值为或或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 例6．（2023·上海普陀·九年级校考期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合）且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O． (1)求证：△ADE∽△ACB；(2)如果CD＝CE，求证：CD2＝CO•CA． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，从而结合∠DAE=45°得到∠DAC=∠EAB，再由平行线的性质得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，从而得到△ADC∽△AEB，然后由相似三角形的性质得到AD：AE=AC：AB，转化为AD：AC=AE：AB，结合∠DAE=∠CAB=45°得证结果； （2）结合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到∠CDE=∠CED=22.5°，从而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后得证结果． (1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°， ∵∠DAE=45°，∴ ∴ ∴∠DAC=∠EAB， ∵PC∥AB，∴∠ACD=∠BAC=∠B=45°，∴△ADC∽△AEB， ∴，即，∵∠DAE=∠BAC=45°，∴△ADE∽△ACB． (2)证明：∵∠ACD=45°，∠ACB=90°，∴∠CDE+∠CED=180°-90°-45°=45°， ∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED=22.5°，∵△ADE∽△ACB，∴∠ADE=∠ACB=90°， ∴∠CAD=180°-∠ADE-∠CDE-∠ACD=180°-90°-22.5°-45°=22.5°，∴∠CAD=∠CDE， 又∵∠OCD=∠DCA，∴△OCD∽△DCA，∴，∴CD2=CO•CA． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过线段的比例关系得到三角形相似． 例7．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图1，等边中，为边上的一点，且，分别为上的两个动点，始终保持. (1)若，求证：①，②； (2)①如图2，若，试探究之间的数量关系，请写出证明过程； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出之间的数量关系的一般结论（用含有的代数式直接写出，不用证明）；(3)如图3，为边上的中点，，连接，当点分别在线段上运动时，当时，直接写出线段扫过的图形的面积. 【答案】(1)①见解析；②见解析(2)①；②；(3) 【分析】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，连接，根据等边三角形的性质可得，，证明，根据全等三角形的性质，即可得证； ②根据含30度角的直角三角形的性质，得出，根据全等三角形的性质得出，则，即可得出； （2）①过的中点作的平行线，交于点，交于点，当时，，根据，可得是等腰直角三角形，，根据（1）中结论可得，再根据，，即可得到；②分类讨论，根据①的方法证明即可； （3）如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得是等边三角形；则扫过的图形的面积即为的面积，可利用建系的方法表示出的坐标，再利用中点公式求出，最后利用勾股定理即可求出的长度，进而即可求解． 【详解】（1）证明：①如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接， ∵是等边三角形，∴，∵， ∴，， 又∵，∴，， ∴，∴， ∴，即， 在中，，∴，∴； ②证明：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）① 证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点，    当时，，即，是的中点，，， ，，， ，是等边三角形，， ，根据（1）中的结论可得， ； 故线段之间的数量关系为； ②解：如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点， 同①，可得，，，，， 同①可得，， 即线段之间数量关系为； （3）解：如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点， 当与重合时，，则，∴是等边三角形， 当与重合时，同理可得是等边三角形， ∵，∴，∴， ∵分别为的中点，∴则 ∴，则 又∵∴∴ ∴是等边三角形；则扫过的图形的面积即为的面积， ， ，，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，，如图所示，过点作于点， ∴∵是等边三角形，∴， ∴，∴，过点作于点，则， ∴，∴， 即线段扫过的图形的面积为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，正确地画出图形，作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键． 1．（2023·山西临汾·统考二模）在菱形中，，对角线交于点，分别是边上的点，且与交于点，则的值为 ．    【答案】 【分析】由菱形的性质及可证，得，；由得，，于是，可得，进而求得答案． 【详解】∵ ∴∴ ∵四边形是菱形，∴， ∴∴∴， 又∵∴．， ∵∴， ∴． 设，则，， ；故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用全等及相似得到线段间的数量关系是解题的关键． 2．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则= . 【答案】 【分析】过D作DG∥BC交AB于G，则DG为△ABC的中位线，根据等边三角形的性质得∠ACB＝∠ABC＝60°，由DG∥BC，得∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD为等边三角形，而∠EDF＝120°，得∠GDF＝∠CDE，易证得△GDF∽△CDE，所以FG：CE＝DG：DC，即CE：DC＝FG：DG＝FG：AG，设BF＝x，AF＝2x，则AB＝3x，AG＝1.5x，FG＝1.5x−x＝0.5x，即可得到CE：CD的比值． 【详解】解：过D作DG∥BC交AB于G，如图， ∵D是AC的中点，∴DG为△ABC的中位线， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠DCE＝120°， 又∵DG∥BC，∴∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD为等边三角形， ∵∠EDF＝120°，∴∠GDF＝∠CDE，∴△GDF∽△CDE， ∴FG：CE＝DG：CD，即CE：CD＝FG：DG，而DG＝AG＝BG，AF＝2BF， 设BF＝x，AF＝2x，则AB＝3x，AG＝1.5x，FG＝1.5x−x＝0.5x， ∴CE：CD＝FG：DG＝FG：AG＝0.5x：1.5x＝1：3．故答案为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三边相等；三个角都等于60°；也考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用各性质进行推理计算是解题关键． 3．（2023青岛版九年级月考）如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转．当时，的值为 ；当时，为 ．（用含的式子表示） 【答案】 , 【详解】如图，过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，由条件可以表示出HO、GO的值，通过证明△PHO∽△QGO由相似三角形的性质就可以求出结论． 解答：解：过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，∴∠OHP=∠OGQ=90°． ∵∠ACB=90°，∴四边形HCGO为矩形， ∴∠HOG=90°，∴∠HOP=∠GOQ，∴△PHO∽△QGO，∴． ∵，设OA=x，则OB=2x，且∠ABC=30°，∴AH=x，OG=x． 在Rt△AHO中，由勾股定理，得OH=x，∴，∴=．故答案为． 4．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为 ．    【答案】5 【分析】过点D作于点F，利用勾股定理求得，根据旋转的性质可证、是等腰直角三角形，可得，再由，得，证明，可得，即，再由，求得，从而求得，，即可求解． 【详解】解：过点D作于点F， ∵，，，∴， ∵将绕点A逆时针方向旋转得到，∴，， ∴是等腰直角三角形，∴， 又∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，即， ∵ ，，∴， ∴，即，又∵，∴， ∴，，∴，故答案为：5．    【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键． 5．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）已知一块含的直角三角板ABC按图1放置，其中，点B与原点O重合，，．现将点A沿y轴向下滑动，同时点B沿x轴向右滑动，当点A滑动至与原点O重合时停止． 当四边形为矩形时（如图2），点C的坐标为 ；当点A滑动到原点O时，点C经过的路径长为 ．    【答案】 2 【分析】在中，求得，的长度，再根据矩形的性质，即可求解；确定出点的运动轨迹，即可求解． 【详解】解：由题意可得： 在中，，∴， ∴当四边形为矩形，，∴点的坐标为； 作，轴，连接，如下图：    ∵，， ∴四边形为矩形，， ∵∴∴ ∴，即 因此点在直线上运动，且当四边形为矩形时，点运动到最高点，点移动到时，运动到最低点，可作图如下，点运动路径为，三点共线，    ∵四边形为矩形，∴， ∵，∴．故答案为：，． 【点睛】此题考查了坐标与图形，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，含直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，通过作辅助线确定出点的运动轨迹． 6．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，D，M，N分别在直线，直线，直线上，(1)若D是中点，，求；(2)若点D，M，N分别在，，的延长线上，且，，求． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）倍长中线可证A，M，E，F四点共圆，从而≌，故 （2）将转化成对应三角形的高之比，通过三角形相似：∽，可求． 【详解】（1）解：延长至，使，连接、, D是中点，， 在和中，， ≌，， ，， ，A，M，E，D四点共圆， ，，， ∽，，， ，． （2）解：与交于点，连接，作交的延长线于，作于点， ， ，，，， ，设，，，， ，，∽， ，∽，，． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质的综合应用，掌握性质和判定，并会利用面积转换是解题的关键． 7．（2023·陕西渭南·一模）【问题探究】（1）如图1，、相交于点P，连接、，且，若，，，则的长为___________； （2）如图2，，点P是平分线上的一个定点，点A、B分别在射线、上，且，求证：四边形的面积是定值； 【拓展运用】（3）如图3，某创业青年小李租用一块形如四边形的田地养蜂、产蜜与售蜜，其中，，米，米，米．点E为入口，点E在上，且，小李计划过点E修一条垂直于的笔直小路，将田地分为两部分，四边形区域为蜂巢区，四边形区域为蜂源植物生长区，在点F处设立售蜜点，为了方便取蜜，计划再沿修一条笔直的小路，求小路的长．（小路的宽度忽略不计，结果保留根号） 【答案】（1）8；（2）见解析；（3）米 【分析】（1）证明，得到，代入计算即可； （2）过点P分别作、的垂线，垂足分别为C、D，即可证明，得到，进而得到，由为定长即可得到四边形的面积是定值； （3）过点A作于点G，过点A作的垂线，交的延长线于点H，先证明，可得四边形是正方形，过点C作的垂线，交的延长线于点M，可证明，得到，即可求得，最后在正方形中，利用，得到． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得， 故答案为：8． （2）证明：如图1，过点P分别作、的垂线，垂足分别为C、D， 则， ∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中，，， ∴， ∴．     在中，，， ∴． ∵点P是平分线上的一个定点， ∴为定长， ∴四边形的面积是定值． （3）如图2，过点A作于点G，过点A作的垂线，交的延长线于点H，则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 过点C作的垂线，交的延长线于点M，则四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， 在正方形中，， ∴， 即小路的长为米． 【点睛】本题综合考查正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 8．（23-24九年级上·江西吉安·期中）问题：如图1，等边三角形的边长为6，点O是和的角平分线交点．，绕点O任意旋转，分别交的两边于D，E两点．求四边形面积．    讨论： ①小明：在旋转过程中，当经过点B时，一定经过点C． ②小颖：小明的分析有道理，这样我们就可以利用“”证出． ③小飞：因为，所以只要算出的面积就得出了四边形的面积． 老师：同学们的思路很清晰，也很正确．在分析和解决问题时，我们经常会借用特例作辅助线来解决一般问题：请你按照讨论的思路，直接写出四边形的面积： （2）应用方法： ①特例：如图2，的顶点O在等边三角形的边上，，，边于点E，于点D，求的面积． ②探究如图3，已知，顶点O在等边三角形的边上．，，的面积为x，的面积为y，求的值． ③应用：如图4，已知，顶点O在等边三角形的边的延长线上，，，的面积为a，的面积为b，请直接写出a与b的关系式． 【答案】（1）；（2）①；②12；③． 【分析】（1）连接、，证明，得到，所以的面积与四边形的面积相等，过点O作于点H，求得，再利用三角形面积公式即可解答． （2）①由等边三角形的性质得，由，得，利用含角直角三角形的性质和勾股定理分别得出、，再利用三角形面积公式即可解答． ②过点O作于点M，于点N，由①得，同理可得，，证明，得，即，再利用三角形面积公式即可解答． ③过点O作交的延长线于点M，于点N，证明，得，，通过， 求得，进而得到，同理得到，再利用三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接、，    是等边三角形， ， 点O是和的角平分线交点， ， ，， ， ， ， 的面积与四边形的面积相等， 过点O作于点H， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 四边形的面积为． （2）①解：是等边三角形， ， 于点D， ， ， ， 由勾股定理得：， 的面积． ②解：如图，过点O作于点M，于点N，    由①得：，同理可得，， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ③，理由如下： 如图，过点O作交的延长线于点M，于点N，    ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题是几何综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，三角形面积的计算，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质与判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 9．（2024·江苏泰州·二模）问题背景：苏科版八年级下册数学教材第95页“探索研究” （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，正方形的顶点与点O重合．将正方形绕点旋转，在这个过程中，这两个正方形重合部分的面积是正方形面积的__________． 问题迁移：（2）等边三角形的中线相交于点O，先将绕点O逆时针旋转，再沿线段方向平移，得到，点O、A、B的对应点分别为、、，且，在这个过程中，的边，所在射线分别交AB，BC于点M，N． ①如图2，当与重合时，求证：； ②如图3，当时，判断和之间的数量关系，并说明理由； 问题拓展：③如图4，连接MN，记周长为，在a、k的变化过程中，存在a、k的值，使得MN平分的周长，此时，的结果是否会发生变化？如不变，请求出其值；如变化，求出的最小值． 【答案】（1）；（2）①见解析；②；③变化，最小值为 【分析】（1）由全等可以得出，就可以得出可得结论； （2）①证明，即可得到； ②作，垂足为，则，证明，可得．中，，，可得，再求出，再求比值即可； ③延长至P，使得，连接，当时，MN最小，再求解即可． 【详解】（1）正方形的对角线、交于点 ，，， 正方形的交于点，交于点． ． 在和中， ， ． ， 即， 故答案为：； （2）①等边三角形的中线相交于点O， ， ， ， ， ； ②作，垂足为，则， 是等边角平分线的交点， ， ， ． 又， ， ， ， ， ． 中，，， 等边三角形的中线相交于点O， ， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ． ③如图，延长至P，使得，连接， 则 又， 当时，MN最小，此时， 所以为等边三角形， 当时，MN最小为， 最小为 【点睛】本题是旋转综合题，考查了正方形的性质、等边三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解答时证明三角形全等及相似是关键． 10．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）完成下面各题：（1）如图1，等腰中，，点为斜边中点，点是边上一点（不与重合），将射线绕点逆时针旋转交于点．学习小组发现，不论点在边上如何运动，始终成立．请你证明这个结论； 【类比迁移】（2）如图2，，，，点为斜边中点，点是延长线上一点，将线段绕点逆时针旋转得到，点恰好落的延长线上，求的值； 【拓展提升】（3）如图3，等腰中，，，点是边上一点，且，以为边在的上方作等边，交于点，连接，，取的中点，连接，当时，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）连接，由等腰直角三角形的性质得出，利用同角的余角·相等得出，利用证明可得，即可得出结论； （2）连接，，根据直角三角形斜边中线的性质可得，根据可证明为等边三角形，根据旋转的性质可得，，利用证明得出，，进而求出，利用的三角函数即可得答案； （3）取的中点，连接，，根据中位线的性质，，根据含角的直角三角形的性质可得，根据是等边三角形得出即可证明，设，则，利用勾股定理列方程可求出的值，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】证明：（1）连接， ∵是等腰直角三角形， ∵点为斜边中点，，，， ，，∵， ∴，∴， 在和中，；∴，∴， ∴，即． （2）连接， ∵点是斜边的中点， ∵，，， ∴为等边三角形 将线段绕点逆时针旋转得到线段，，， ，，，， ，，， 在中，，，； （3）取的中点，连接， ∵，，，，， ∵是的中点，是的中点，是的中位线， ，，，， ∵是等边三角形，，， ，， ，，∵，， ，，， 设，则，又∵，， 在中，，，解得，， 当时，，不符题意舍去，， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义、含角的直角三角形的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质等知识．利用性质进行边与角的相关计算与证明是解决问题的常用方法． 性质，解题的关键是正确画出辅助线，构建全等和相似三角形，运用相关知识进行解答． 11．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知Rt△ABC中，AC=BC=2．一直角的顶点P在AB上滑动，直角的两边分别交线段AC，BC于E．F两点 （1）如图1，当且PE⊥AC时，求证：； （2）如图2，当时（1）的结论是否仍然成立？为什么？ （3）在（2）的条件下，将直角∠EPF绕点P旋转，设∠BPF=α（0°＜α＜90°）．连结EF，当△CEF的周长等于2+时，请直接写出α的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）结论不成立；（3）15°． 【详解】试题分析：（1）如图1，易证△AEP∽△PFB，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）连接CP，如图2，易证△APE≌△CPF，从而得到PE=PF，故（1）的结论不成立； （3）在（2）的条件下可得AE=CF，由此可得EC+CF=2，EF=，设CF=x，在Rt△CEF中运用勾股定理可求出CF的值．由于CF的值有两个，需分以下两种情况讨论：①若CF=，如图3，过点P作PH⊥BC于H，先求出PH、FH，然后在Rt△PHF中运用三角函数可求出∠FPH的度数，由此可求出α的值；②若CF=，如图4，过点P作PG⊥AC于G，同理可求出∠APE度数，由此可求出α的值． 试题解析：（1）如图1， ∵PE⊥AC， ∴∠AEP=∠PEC=90°． 又∵∠EPF=∠ACB=90°， ∴四边形PECF为矩形， ∴∠PFC=90°， ∴∠PFB=90°， ∴∠AEP=∠PFB． ∵AC=BC，∠C=90°， ∴∠A=∠B=45°， ∴∠FPB=∠B=45°，△AEP∽△PFB， ∴PF=BF，， ∴； （2）（1）的结论不成立，理由如下： 连接PC，如图2． ∵=1， ∴点P是AB的中点． 又∵∠ACB=90°，CA=CB， ∴CP=AP=AB．∠ACP=∠BCP=∠ACB=45°，CP⊥AB， ∴∠APE+∠CPE=90°． ∵∠CPF+∠CPE=90°， ∴∠APE=∠CPF． 在△APE和△CPF中， ， ∴△APE≌△CPF， ∴AE=CF，PE=PF． 故（1）中的结论不成立； （3）当△CEF的周长等于2+时，α的度数为75°或15°． 提示：在（2）的条件下，可得AE=CF（已证）， ∴EC+CF=EC+AE=AC=2． ∵EC+CF+EF=2+， ∴EF=． 设CF=x，则有CE=2﹣x， 在Rt△CEF中，根据勾股定理可得x2+（2﹣x）2=（）2， 整理得：3x2﹣6x+2=0， 解得：x1=，x2=． ①若CF=，如图3， 过点P作PH⊥BC于H， 易得PH=HB=CH=1，FH=1﹣=， 在Rt△PHF中，tan∠FPH==， ∴∠FPH=30°， ∴α=∠FPB=30+45°=75°； ②若CF=，如图4， 过点P作PG⊥AC于G， 同理可得：∠APE=75°， ∴α=∠FPB=180°﹣∠APE﹣∠EPF=15°． 考点：相似形综合题 12．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图1，点P在正方形的对角线上，正方形的边长是a，的两条直角边，分别交边，于点M，N． (1)操作发现：如图2，固定点P，使绕点P旋转． ①当，时，四边形的边长是________； ②当，（n是正实数）时，四边形的面积是________． (2)猜想论证：如图3，将四边形的形状改变为矩形，，，点P在矩形的对角线上，的两条直角边，分别交边，于点M、N，固定点P，使绕点P旋转，则________． 【答案】(1)①  ② (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用以及平行线分线段成比例定理，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，并根据两角对应相等判定两个三角形相似． （1）①先判定，再根据相似三角形的对应边成比例进行求解； ②先用①中的方法求得正方形的边长，再计算其面积； （2）过作于，作于，判定，再根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理进行推导计算即可． 【详解】（1）①如图2， ， ， ， 又， ， 即 ， ， 即正方形的边长是 ， 故答案为： ； ②当时(是正实数), ， ， ∴四边形的面积， 故答案为：； （2）如图，过作于，作于， 则 ， 中, ， ， ， ∴ ∵，， ， ∵ 即 ， ， 故答案为：． 11．（23-24九年级上·江西吉安·期中）问题：如图1，等边三角形的边长为6，点O是和的角平分线交点．，绕点O任意旋转，分别交的两边于D，E两点．求四边形面积．    讨论： ①小明：在旋转过程中，当经过点B时，一定经过点C． ②小颖：小明的分析有道理，这样我们就可以利用“”证出． ③小飞：因为，所以只要算出的面积就得出了四边形的面积． 老师：同学们的思路很清晰，也很正确．在分析和解决问题时，我们经常会借用特例作辅助线来解决一般问题：请你按照讨论的思路，直接写出四边形的面积： （2）应用方法： ①特例：如图2，的顶点O在等边三角形的边上，，，边于点E，于点D，求的面积． ②探究如图3，已知，顶点O在等边三角形的边上．，，的面积为x，的面积为y，求的值． ③应用：如图4，已知，顶点O在等边三角形的边的延长线上，，，的面积为a，的面积为b，请直接写出a与b的关系式． 【答案】（1）；（2）①；②12；③． 【分析】（1）连接、，证明，得到，所以的面积与四边形的面积相等，过点O作于点H，求得，再利用三角形面积公式即可解答． （2）①由等边三角形的性质得，由，得，利用含角直角三角形的性质和勾股定理分别得出、，再利用三角形面积公式即可解答． ②过点O作于点M，于点N，由①得，同理可得，，证明，得，即，再利用三角形面积公式即可解答． ③过点O作交的延长线于点M，于点N，证明，得，，通过， 求得，进而得到，同理得到，再利用三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接、，    是等边三角形， ， 点O是和的角平分线交点， ， ，， ， ， ， 的面积与四边形的面积相等， 过点O作于点H， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 四边形的面积为． （2）①解：是等边三角形， ， 于点D， ， ， ， 由勾股定理得：， 的面积． ②解：如图，过点O作于点M，于点N，    由①得：，同理可得，， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ③，理由如下： 如图，过点O作交的延长线于点M，于点N，    ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题是几何综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，三角形面积的计算，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质与判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 12．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）完成下面各题：（1）如图1，等腰中，，点为斜边中点，点是边上一点（不与重合），将射线绕点逆时针旋转交于点．学习小组发现，不论点在边上如何运动，始终成立．请你证明这个结论； 【类比迁移】（2）如图2，，，，点为斜边中点，点是延长线上一点，将线段绕点逆时针旋转得到，点恰好落的延长线上，求的值； 【拓展提升】（3）如图3，等腰中，，，点是边上一点，且，以为边在的上方作等边，交于点，连接，，取的中点，连接，当时，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）连接，由等腰直角三角形的性质得出，利用同角的余角·相等得出，利用证明可得，即可得出结论； （2）连接，，根据直角三角形斜边中线的性质可得，根据可证明为等边三角形，根据旋转的性质可得，，利用证明得出，，进而求出，利用的三角函数即可得答案； （3）取的中点，连接，，根据中位线的性质，，根据含角的直角三角形的性质可得，根据是等边三角形得出即可证明，设，则，利用勾股定理列方程可求出的值，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】证明：（1）连接， ∵是等腰直角三角形， ∵点为斜边中点，，，， ，，∵， ∴，∴， 在和中，；∴，∴， ∴，即． （2）连接， ∵点是斜边的中点， ∵，，， ∴为等边三角形 将线段绕点逆时针旋转得到线段，，， ，，，， ，，， 在中，，，； （3）取的中点，连接， ∵，，，，， ∵是的中点，是的中点，是的中位线， ，，，， ∵是等边三角形，，， ，， ，，∵，， ，，， 设，则，又∵，， 在中，，，解得，， 当时，，不符题意舍去，， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义、含角的直角三角形的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质等知识．利用性质进行边与角的相关计算与证明是解决问题的常用方法． 性质，解题的关键是正确画出辅助线，构建全等和相似三角形，运用相关知识进行解答． 13．（2024·四川成都·三模）【基础巩固】（1）如图1，在正方形中，点E在的延长线上，连接，过点D作交的延长线于点F，求证：． 【尝试应用】（2）如图2，在菱形中，，点E在边上，点F在的延长线上，连接，以E为顶点作，交的延长线于点G，若，，，求的长． 【拓展提升】（3）如图3，在矩形中，点E在边上，点F在的延长线上，连接，过点C作，以E为顶点作，交于点G，若，，求的值（用含m，n的代数式表示）． 【答案】（1！）见解析；（2）11；（3） 【分析】（1）首先证明，再根据证明即可得出结论； （2）作交于点，交于点，证明得出再分别证明，是等边三角形，得到 由求出，从而得出结论； （3）设与交于点，延长交的延长线于，作于，求出，证明求得，证明四边形是平行四边形，得出进一步得出 【详解】解：（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）作交于点，交于点，如图， ∵， 又 ∴ ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴ 又∵，， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设与交于点，延长交的延长线于，作于，如图， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造相似三角形是解答本题的关键 14．（2023·陕西西安·模拟预测）问题提出： (1)如图①，在中，平分交边于点D，点E为边上的一个动点，连接，则线段长的最小值为　 　． 问题探究： (2)如图②，在中，，点D为边的中点，且的两边分别交于点E、F．求四边形的面积． 问题解决： (3)某观光景区准备在景区内设计修建一个大型儿童游乐园．如图③，四边形为儿童游乐园的大致示意图，并将儿童游乐园分成和四边形四部分，其中在和两区域修建益智区，在区域修建角色游戏区，在四边形区域修建木工区．根据设计要求：四边形是平行四边形，，点E、点F、点M分别在边、边和对角线上，且，四边形的面积为平方米，现需在四边形的四周修建护栏起到保护乐园的作用，为了节约修建成本，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出四边形周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形的面积为16 (3)存在最小值，四边形的周长最小为 【分析】（1）根据过直线外一点到直线的距离垂线段最短可判断当时，最小，根据勾股定理以及等腰三角形的性质求出，再利用面积法求解即可； （2）连接，利用等腰直角三角形的性质以及同角的余角相等证明，将所求四边形的面积转化为的面积，然后求解即可； （3）过点M作连接，利用同角的补角相等得到为，利用等量代换并结合已知条件证得，再利用角平分线的逆定理得到为角平分线并且为定值，最后判断并求解即可． 【详解】（1）在中，平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． 当时，最小， ∴， ∴． 故答案为：． （2）∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵点D为边的中点，连接， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 所以，四边形的面积为16． （3）过点M作，连接， ∵是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴是的角平分线， ∴． 设， ∴． ∴． ∴． ∵与都为定值， 当时，此时四边形周长最小， ∴． ∴平行四边形是菱形． ∴． ∴四边形的周长最小为：． 【点睛】本题主要考查三角形的全等及线段最值问题，熟练掌握线段公理，含角的直角三角形的性质及三角形全等的判定及其性质的运用是解决本题的关键． 15．（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1正方形的边长为，的顶点在正方形两条对角线的交点处，．将绕点旋转，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论．爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路： 浩浩：如图，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了，则，那么，这样，就实现了四边形的面积向面积的转化； 小航：如图，也是考虑到正方形对角线的特征，过点分别作于点，于点，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为： （填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为 ． （2）【类比探究】①如图2，矩形中，，，点是边的中点，．点在上，点在上，则四边形的面积为 ； ； ②如图3，若将（1）中的“正方形”改为“，边长为的菱形，其他条件不变，当”时，四边形的面积还是一个定值吗？是，请求出来；不是，请说明理由； ③如图4，在②的条件下，当点在对角线上运动，顶点与点的距离为，且旋转至时，的长度为 ． 【答案】（1），；（2）①，；②是定值，定值为；③或 【分析】（1）由正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论； （2）①过作于点，证四边形是正方形，则，再证，得，，即可解决问题；②过作交于点，证是等边三角形和是等边三角形，得，，再证，得，则，然后证，即可解决问题；③连接交于点，分两种情况，、点在上时，、点在上时，由等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质分别解答即可； 【详解】解：（1）浩浩：四边形是正方形，边长为， ，，，，，， ，，， ，，， ，； 小航：，，， ，四边形是矩形，，，， 四边形是正方形，边长为，，， ，，是的中位线，， 同理：，，，四边形是正方形， ，， ， ；故答案为：，； （2）①如图2，过点作于点， 则，四边形是矩形，， 四边形是矩形，，，， ，点是边的中点，，， 四边形是正方形，，，， ，，，，， ，，故答案为：，； ②当时，四边形的面积还是一个定值，理由如下： 如图3，过点作交于点， 四边形是菱形，边长为，， ，，，，，，是等边三角形，，， ，， ，，， ，是等边三角形，， ，，， ，，， ，，，， 即当时，四边形的面积还是一个定值； ③连接交于点，分两种情况 a、点在上时，如图4，四边形是菱形，，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ，过点作交于点， 同②得：都是等边三角形，，，， ，，，； b、点在上时，如图4﹣1，过点作交于点， 同理得：，是等边三角形，， ，； 综上所述，的长为或，故答案为：或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质、矩形的性质以及菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$