专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.对角互补模型（相似模型） 2 48 模型1.对角互补模型（相似模型） 四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似. 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 例1．（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）已知在中，，，，D为边上的一点．过点D作射线，分别交边于点E、F． (1)当D为的中点时：①如图1，若，，与的数量关系是________；与是否相等？________（填“是”或“否”）； ②将绕点D旋转到图2位置时，①中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由； (2)改变点D的位置，当点D是的三等分点时，直接写出的值． 【答案】(1)①，是；②，理由见详解(2)的值为1或4 【分析】（1）①证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可证明；证明，根据相似三角形的性质可得，即可得出答案； ②过点作于点，作于点，利用同角的余角相等得，则，可知，由①知，，即可证明； （2）过点作于点于点，根据，可得，再证明，得出，分为①当时，和②当时，分别计算即可； 【详解】（1）解：①∵，∴四边形是矩形，∴； ∴，∴， ∵点是的中点，∴，则，故答案为：，是； ②仍然成立．如图，过点作于点，作于点， 则，∴，即， ∵，∴，即，∴， ∴，，由①知，，，即． （2）如图，过点作于点于点，， ∴四边形是矩形，∴，由（1）②可得，， ∵，∴，， ①当时，则，∴，； ②当时，则，∴，； 综上，的值为1或4． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 例2．（2023·广西河池·校联考一模）综合与实践 【问题情境】在中，，，，在直角三角板中，，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，． 【猜想证明】如图，在三角板旋转过程中，当为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由． 【问题解决】如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长．      【答案】[猜想证明]四边形是矩形，理由见解析；[问题解决]． 【分析】[猜想证明]由三角形中位线定理可得，可证，即可求解； [问题解决]由勾股定理可求的长，由中点的性质可得的长，由锐角三角函数可求解． 【详解】[猜想证明]四边形是矩形，理由如下： 如图，点是的中点，点是的中点， 是的中位线，，， ，，， ，四边形是矩形； [问题解决]过点作于，如图：    ，，，， 点是的中点，，， ，， ，，， 又，，，，． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 例3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点A，点C重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点E，与边交于点F． 【特例感知】（1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； 【类比探究】（2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含k的代数式表示）； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，连接，，，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得，，，结合正方形的性质可得，然后利用证明，得出，即可得出结论；（2）过作，交于M，，交于N，证明平行四边形是菱形，得出，证明，得出，则可求出，即可求解；（3）过作于H，设，利用含的直角三角形的性质求出，在和中，利用勾股定理可得出，即可得出关于x的方程，然后求出x的值，最后利用（2）中的求解即可． 【详解】解：（1）连接， ∵，∴菱形、都是正方形， ∴，，，， ∵，∴是中点，∴，，， 又，∴，∴，∴， 又，∴，故答案为：； （2）过作，交于M，，交于N， ∴四边形是平行四边形，∵四边形是菱形， ∴，，， ∴是等边三角形，，， ∴，，，， ∴是等边三角形，∴， ∴平行四边形是菱形，∴， ∵，，∴，∴， 又，∴，∵，∴； （3）过作于H， 设，∵，∴，∴，∴， 在中，，在中，， ∴解得或3，∴或3， 又，，∴或． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、直角三角形是解题的关键． 例4．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明； （3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）． 【答案】（1）OM＝ON，见解析；（2）ON＝k•OM，见解析；（3） 【分析】（1）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM≌△EON；（2）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM∽△EON； （3）设AC＝BC＝a，解Rt△EON和斜△AOM，用含的代数式分别表示再利用比例的性质可得答案． 【详解】解：（1）OM＝ON，如图1，作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E， ∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，∴∠DOE＝90°， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°， 在Rt△AOD中，，同理：OE＝OB， ∵OA＝OB，∴OD＝OE，∵∠DOE＝90°，∴∠DOM＋∠MOE＝90°， ∵∠MON＝90°，∴∠EON＋∠MOE＝90°，∴∠DOM＝∠EON， 在Rt△DOM和Rt△EON中，，∴△DOM≌△EON（ASA），∴OM＝ON． （2）如图2，作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E， 由（1）知：OD＝OA，OE＝OB，∴， 由（1）知：∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，∴△DOM∽△EON， ∴，∴ON＝k•OM． （3）如图3，设AC＝BC＝a，∴AB＝a，∵OB＝k•OA， ∴OB＝•a，OA＝•a，∴OE＝OB＝a， ∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，∴EN＝＝OE＝•a， ∵CE＝OD＝OA＝a，∴NC＝CE＋EN＝a＋•a， 由（2）知：，△DOM∽△EON，∴∠AMO＝∠N＝30° ∵，∴，∴△PON∽△AOM，∴∠P＝∠A＝45°， ∴PE＝OE＝a，∴PN＝PE＋EN＝a＋•a， 设AD＝OD＝x，∴DM＝，由AD＋DM＝AC＋CM得，（＋1）x＝AC＋CM， ∴x＝（AC＋CM）＜（AC＋AC）＝AC，∴k＞1 ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解决问题的关键是作OD⊥AC，OE⊥BC；本题的难点是条件得出k＞1． 例5．（2023浙江校考二模）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）或或 【分析】（1）证明△BDE≌△ADF（ASA），根据全等三角形的性质即可得到BE＝AF； （2）方法同（1），利用全等三角形的性质解决问题； （3）证明△EBD∽△DCF，推出，设AF＝m，则AE＝4m，分三种情形，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高， ∴BD＝CD＝ADBC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝45°， ∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE， 在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF； （2）解：如图2中，由（1）知，BD＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°+∠ADE， 在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF， ∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝AB+AE＝4，∴AF＝4； （3）解：如图3中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝60°， ∴BD＝CD＝AB•sin60°＝2，∵AE＝4AF，∴可以假设AF＝m，则AE＝4m，BE＝4﹣4m，CF＝4﹣m， ∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°， ∴∠FDC＝∠BED，∵∠B＝∠C，∴△EBD∽△DCF，∴， ∴，整理得，m2﹣5m+1＝0，解得m或（舍弃）， 经检验，m是分式方程的解． 当点F在CA的延长线上时，CF＝4+m，由△EBD∽△DCF，可得， ∴，解得，m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解． 当点E在射线BA上时，BE＝4+4m，∵△EBD∽△DCF，∴，∴ 解得，m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解． 综上所述，满足条件的AF的值为或或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 例6．（2023·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角中，，，过点作射线，为射线上一点，在边上（不与重合）且，与交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）如果，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题意先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，从而结合∠DAE=45°得到∠DAC=∠EAB，再由平行线的性质得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，从而得到△ADC∽△AEB； （2）根据题意由相似三角形的性质得到AD：AE=AC：AB，转化为AD：AC=AE：AB，结合∠DAE=∠CAB=45°得证结果；（3）根据题意结合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到∠CDE=∠CED=22.5°，从而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后即可求证． 【详解】解：（1）证明：∵是等腰直角三角形，∴， ∵，，∴，，∴； （2）证明：∵∴，即， ∵，∴； （3）∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴∴， 又∵，∴，∴，∴ 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过线段的比例关系得到三角形相似． 例7．（23-24九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，是等边三角形， 点是边上的一点， 以点为顶点的， 射线、分别交、于点、 (1)如图①，当点为中点时，判断与的数量关系，并证明； (2)如图②，当时，判断与的数量关系，并证明； (3)若，，时，请直接写出的长． 【答案】（1）PD=PE，证明见解析；（2），证明见解析；（3）或． 【分析】（1）PD=PE，过点P作PE∥AC交AB于点F，易证得△BPF为等边三角形，可得FP=BP，进而证明△PDF≌△PEC，即可得出结论；（2）过点P作PE∥AC交AB于点F，同（1），易证得△PDF∽△PEC，则有，由即可证得结论；（3）在图②中连接AP，过点A作AO⊥BC于O，利用等边三角形性质求得BO、AO，进而求得PO、BP、PC，由（2）中知△PDF∽△PEC, 由即可解得CE的长，同理，如备用图，解得CE另一解． 【详解】（1）PD=PE 证明：过点P作PE∥AC交AB于点F， ∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠BFP=∠A=60°，∠BPF=∠C=60°， ∴△BPF为等边三角形，∴FP=BP，∵BP=CP，∴FP=CP ∵∠DPE+∠EPF=∠CPE+∠EPF=120°，∴∠DPE=∠CPE，又∵∠BFP=∠C=60°，∴△PDF≌△PEC，∴PD=PE． 图① 图② （2） 过点P作PE∥AC交AB于点F， ∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠BFP=∠A=60°，∠BPF=∠C=60°，∴△BPF为等边三角形， ∵∠DPE+∠EPF=∠CPE+∠EPF=120°，∴∠DPE=∠CPE，又∵∠BFP=∠C=60°，∴△PDF∽△PEC， ∴，又∵，∴，∴． （3）在图②中，连接AP，过点A作AO⊥BC于O， ∵∠B=60º，∴∠BAO=30º∵AB=8，∴BO=4， 在Rt△APO中，AP=7，∴BP=3，PC=5， 由（2）知△PDF∽△PEC，BP=BF=PF=3∴，又BD=2，∴，解得：， 同理，如备用图，BP=5，PC=3，由得：，解得：，故CE的长为 图② 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解得的关键是认真审题，找出相关信息，通过作辅助线找到联系点，进而推理、计算． 1．（2023·重庆·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝________． 【答案】3 【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解决问题． 【详解】解：如图作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于点R． ∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四边形PQBR是矩形， ∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，∴， ，，∵PQ//BC， 设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，∴2x＋3x＝3∴，∴AP＝5x＝3．故答案为3． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．（2023年河南周口一模）如图，在菱形中，，，对角线，交于点，，分别是，边上的点，且，，与交于点，则的值为 ．    【答案】或1 【分析】先证，接着在中利用勾股定理求出所需线段的长度，最后利用正切的定义求解． 【详解】解：在菱形中，， ∴为等边三角形， ∴，. ∵，， ∴， ∴. 如图，过点作于点. 在中，， ∴， ∴. 设，则，.    在中，，即， 解得，. 当时，，， ∴，即， 解得， ∴， ∴. 当时，， ，即， 解得， ∴，∴ 综上可知，的值为或1. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、正切的定义等．综合性较强，需要学生具有较强的几何推理能力． 3．（2024·河南南阳·三模）【问题再现】如图（），正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积（即四边形的面积）始终等于正方形面积的． 【初步探究】小明在证明上述问题时，发现题目中正方形这一条件主要用到的信息是，图中一些线段之间也有特殊的关系．深入思考后他为大家编了如下题目：如图（），中，，，是边的中点．以为顶点作，交线段于点，交线段于点．请完成以下问题： 问题（1）：四边形的面积是面积的________． 问题（2）：猜想线段之间的等量关系，并说明理由． 【延伸探究】爱动脑的小军在小明问题的基础上进行了延伸，让绕点旋转，交直线于点E，交直线于点，连接．若，，请直接写出的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；延伸探究：或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，是边的中点，得，，，根据同角的余角相等得，证明，则，最后即可； （），，是边的中点，得，，，根据同角的余角相等得，证明，得即可； 延伸探究：分两种情况讨论即可； 【详解】（）如图，连接， ∵，，是边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （），理由如下： 连接， ∵，，是边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【延伸探究】如图，连接，过作于点， ∴， ∵由（1）知在等腰直角中， ∴， ∵，是边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴的面积为； 如图， 同理， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴的面积为， 综上可知：的面积为或． 4．（2023·广东佛山·二模）【课本再现】    (1)正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，如图1摆放时，易得重叠部分的面积与正方形的面积的比值是；在正方形绕点旋转的过程中（如图2），上述比值有没有变化？请说明理由． (2)【拓展延伸】如图3，在正方形中，的顶点在对角线上，且，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与边和边交于点，． ①在的旋转过程中，试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，当点与点重合时，求的长． 【答案】(1)没有变化．理由见解析 (2)①．理由见解析；② 【分析】(1)在和中,利用正方形的性质和已知可证出，再利用全等三角形的面积相等即可得结论； (2)①过点作于点，于点，利用相似三角形的性质证明即可；②利用①中结论，求出，可得结论． 【详解】（1）没有变化 理由如下：在正方形和正方形中， ，，， ，， ， 在和中， ，，， ， ， ， 正方形绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一   ； （2）如图3中，过点作于点，于点 四边形是正方形， ， ，， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ；    ②如图4中， ， ，，， ，， ， ， ，   . 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题 5．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，CP=．将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G． (1)如图，当点F在射线CA上时， ①求证：PF＝PE． ②设CF＝x，EG＝y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域． (2)连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长． 【答案】(1)①见解析，②（0≤x＜1）； (2)当△CEF与△EGP相似时，①当点F在射线CA上时，EG＝2，②当点F在AC延长线上时，EG＝2． 【分析】（1）①过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N，由已知条件证明△PMF≌△PNE即可证明PF=PE；②利用①中的三角形全等和相似三角形的性质即可求出y与x的函数解析式，再写出其自变量的取值范围即可； （2）当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况：①当点F在射线CA上时，②当点F在AC延长线上时，分别讨论求出满足题意的EG长即可． 【详解】（1）①过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N，        ∵CD是∠ACB的平分线， ∴PM＝PN， 由∠PMC＝∠MCN＝∠CNP＝90°，得∠MPN＝90°， ∴∠1+∠FPN＝90°， ∵∠2+∠FPN＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴△PMF≌△PNE， ∴PF＝PE； ②∵CP＝， ∴CN＝CM＝1． ∵△PMF≌△PNE， ∴NE＝MF＝1﹣x． ∴CE＝2﹣x． ∵CF∥PN， ∴△GCF∽△GNP， ∴． ∴． ∴（0≤x＜1）． （2）当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况： ①当点F在射线CA上时， ∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠PEG， ∴∠G＝∠1． ∴FG＝FE． ∴CG＝CE． 在Rt△EGP中，EG＝2CP＝2； ②当点F在AC延长线上时， ∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠2， ∴∠3＝∠2， ∵∠1＝45°+∠5，∠1＝45°+∠2， ∴∠5＝∠2， 易证∠3＝∠4，可得∠5＝∠4， ∴FC＝CP＝， ∴FM＝1+， 易证△PMF≌△PNE， 可得EN＝1+， ∵CF∥PN， ∴， ∴GN＝﹣1． ∴EG＝2． 【点睛】本题综合性的考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和全等三角形的性质、以及分类讨论思想在几何题目中的运用，题目的难度很大，对学生的解题能力要求很高． 6．（2024·河南安阳·三模）数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动． 模型感知： 小明同学善于观察思考，如图，在和中，，他发现当两个直角三角形共斜边时，取斜边中点，根据斜边中线等于斜边的一半，易知，由圆的定义可知，四点共圆，则有，其依据是______． 操作判断： 小明同学把等腰直角三角板的直角顶点绕着直角三角板的斜边中点旋转，其中，直线与相交于点，边与相交于点． （）如图，当时，线段与的数量关系是______． 深入探究： （）将图中的旋转到图所示的位置，请判断与的数量关系是否发生变化，并说明理由． 应用： （）如图，已知，若等腰直角三角板绕点继续旋转，边与的交点始终在线段上，当点为的三等分点时，直接写出的面积． 【答案】模型感知：同弧所对的圆周角相等；（1）；（2）仍有，证明见解析；（3） 【分析】模型感知：根据圆周角定理即可求解； （）连接，可得四边形是矩形，得到，由直角三角形的性质可得，即得，又由得到，即可得到； （）与的数量不会发生变化．如图，连接，由，，可得四点共圆，即得，进而可得，利用直角三角形的性质即可求证； （）如图，过点作于，解直角三角形求出，进而得到，，即得，利用勾股定理求得，再根据（）的结论得到，再根据勾股定理得到，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：模型感知：由题意可知，其依据是同弧所对的圆周角相等， 故答案为：同弧所对的圆周角相等； （）如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点为斜边的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （）与的数量不会发生变化，理由如下： 如图，连接， ∵，， ∴四点共圆， ∴， ∵点是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 即； （）解：如图，过点作于， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，四点共圆，解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 7．（23-24河南九年级期中）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，D为BC边上的一点．过点D作射线DE⊥DF，分别交边AB，AC于点E，F． (1)当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，如图①，______． (2)①若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图②位置时，______． ②若改变点D的位置，且时，求的值，请就图③的情形写出解答过程． (3)如图③连接EF，当BD＝______时，△DEF与△ABC相似． 【答案】(1)(2)①；②，解答过程见解析(3)或 【分析】（1）证、是的中位线，得，，即可得出答案； （2）①过点作于点，于点，先证，得出，再根据（1）所得结论即可得出答案；②过点作于点，于点，证，，推出，，同①得，则，即可得出结论； （3）分和两种情况分别求解可得． 【详解】（1）解：，，，，， 点是的中点，、是的中位线， ，，，故答案为：3； （2）①过点作于点，于点，如图2所示： 则，四边形是矩形，，即， ，，即， ，，， 同（1）得：，，故答案为：3； ②过点作于点，于点，如图3所示： ，四边形是矩形， ，，，，，，， ，，，， ，，，， 与①同理得：，； （3）如图所示： 在中，由勾股定理得：， ，与相似分两种情况： ①，则，即，整理得：， ，； ②，则，即，整理得：， ，； 综上所述，当或时，与相似；故答案为：或． 【点睛】本题是相似综合题，考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、旋转的性质、矩形的判定与性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形相似是解题的关键． 8．（2023年广东省广州市中考二模数学试题）在中，，点D为边的中点．(1)尺规作图，过点D作交边于点E；(2)求的长； (3)点P为射线上的一动点，点Q为边上的一动点，且，若，求的长．    【答案】(1)见解析 (2)， (3)或 【分析】（1）如图：以为圆心，以任意长为半径画弧与交于点M、N，然后分别以点M、N为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于Q，连接交于E即可； （2）由勾股定理可得，则；然后再证，然后根据相似三角形的性质即可解答； （3）分点P在线段上和线段的延长线上两种情况，分别运用相似三角形的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：如图1即为所求：    （2）解：如图1，， ∴根据勾股定理得到， ， ∴． ∵． ∴， ∴， ∴，即， ∴，． （3）解：如图2：当点P在线段上时， ∵， ∴，   ， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图2：当点P在线段的延长线上时， ∵， ∴．    ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、作垂线、勾股定理等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 9．（2023·江苏镇江·统考二模）【问题情境】数学活动课上，老师出示了有关正方形的一个问题：已知正方形的边长为6，E为对角线上一动点（不与点A、C重合），连接，过E作交于点G，探索线段、有何数量关系？    （1）数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下：如图1，过点E分别作、的垂线、，证明，发现和的数量关系是_________． 【问题探究】该小组小丽同学受此问题启发，对上面的问题进行了探究，并提出了如下问题： （2）如图2，过点G作交AC于点F，的长度是否发生变化？若不变，请求出这个不变的值；若变化，请说明理由； 【深度探究】如图3，连接交于点H．（3）图中的面积S的取值范围为_________； （4）若，则的长是_________． 【答案】（1） （2）的长度不会发生变化，这个不变值为 （3） （4） 【详解】解：（1）过点E分别作、的垂线、，    ∵正方形，为对角线， ∴直线是平分， ∵于N，于M， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）的长度不会发生变化，理由如下： 过点B作于H，    ∵正方形，为对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长度不会发生变化，这个不变值为； （3）过点B作于点O，    由（2）知， ∵，， ∴， ∵，即， ∴； （4）过点B作于O，过点G作交于点F，如图，    ∵正方形，为对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）知， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．此题属四边形综合题目，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质． 10．（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．    【初步感知】(1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】(2)①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明） 【拓展运用】(3)如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①，证明过程略；②当点F在射线上时，，当点F在延长线上时， (3) 【分析】（1）连接，当时，，即，证明，从而得到即可解答； （2）①过的中点作的平行线，交于点，交于点，当时，，根据，可得是等腰直角三角形，，根据（1）中结论可得，再根据，，即可得到； ②分类讨论，即当点F在射线上时；当点F在延长线上时，画出图形，根据①中的原理即可解答； （3）如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，可利用建系的方法表示出的坐标，再利用中点公式求出，最后利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）证明：如图，连接，    当时，，即， ， ，，, ，，即， ， ， 在与中， ， ， ， ； （2）① 证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点，    当时，，即， 是的中点， ，， ， ，， ， 是等腰直角三角形，且， ， 根据（1）中的结论可得， ； 故线段之间的数量关系为； ②解：当点F在射线上时， 如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，    同①，可得， ，， ，， 同①可得， ， 即线段之间数量关系为； 当点F在延长线上时， 如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，连接    同（1）中原理，可证明， 可得， ，， ，， 同①可得， 即线段之间数量关系为, 综上所述，当点F在射线上时，；当点F在延长线上时，； （3）解：如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，    如图，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，过点作的垂线段，交于点，过点作的垂线段，交于点，    ， ，， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， 根据（2）中的结论， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，正确地画出图形，作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键． 13．（2024·重庆·九年级校联考期中）如图，△ACB中，CA＝CB，∠ACB＝120°． (1)如图1，点M、N分别在CA、CB上，若CA＝CB＝8，D为AB的中点，∠MDN＝60°，求CM+CN的值． (2)如图2，∠ABP＝120°，点E、F在AB上，且∠ECF＝60°，射线BP交CE的延长线于点P，求证：PB+AF＝PF． (3)如图3，在△ACB的异侧作△AGB，其中AG＝3，BG＝6，在线段BG上取点Q，使BQ＝2．当AG绕着点G运动时，求CQ的最大值． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连CD，取BC中点E，连DE，根据为30°的直角三角形，得出为等边三角形，证明出，即可求解； （2）把绕点C逆时针旋转120°，由，得在同一直线上，再证明出即可求解； （3）以BG为底边向上作底角为30°的等腰三角形，根据，及，证明出∽，连结KG，得KG=2，即可得出结论． 【详解】（1）解：连CD，取BC中点E，连DE， 为30°的直角三角形， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， （2）解：把绕点C逆时针旋转120°，得， ， 在同一直线上， ， ， ， ， ， （3）解：以BG为底边向上作底角为30°的等腰三角形， ， 又， ∽， ， ， 连结KG，易得KG=2， ， CQ的最大值为． 【点睛】本题考查了含的直角三角形、等边三角形、三角形全等的判定及性质、图形的旋转、三角形相似的判定及性质，解题的关键是添加适当的辅助线，灵活运用相应定理进行求解． 14．（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1正方形的边长为，的顶点在正方形两条对角线的交点处，．将绕点旋转，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论．爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路： 浩浩：如图，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了，则，那么，这样，就实现了四边形的面积向面积的转化； 小航：如图，也是考虑到正方形对角线的特征，过点分别作于点，于点，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为： （填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为 ． （2）【类比探究】①如图2，矩形中，，，点是边的中点，．点在上，点在上，则四边形的面积为 ； ； ②如图3，若将（1）中的“正方形”改为“，边长为的菱形，其他条件不变，当”时，四边形的面积还是一个定值吗？是，请求出来；不是，请说明理由； ③如图4，在②的条件下，当点在对角线上运动，顶点与点的距离为，且旋转至时，的长度为 ． 【答案】（1），；（2）①，；②是定值，定值为；③或 【分析】（1）由正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论； （2）①过作于点，证四边形是正方形，则，再证，得，，即可解决问题；②过作交于点，证是等边三角形和是等边三角形，得，，再证，得，则，然后证，即可解决问题；③连接交于点，分两种情况，、点在上时，、点在上时，由等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质分别解答即可； 【详解】解：（1）浩浩：四边形是正方形，边长为， ，，，，，， ，，， ，，， ，； 小航：，，， ，四边形是矩形，，，， 四边形是正方形，边长为，，， ，，是的中位线，， 同理：，，，四边形是正方形， ，， ， ；故答案为：，； （2）①如图2，过点作于点， 则，四边形是矩形，， 四边形是矩形，，，， ，点是边的中点，，， 四边形是正方形，，，， ，，，，， ，，故答案为：，； ②当时，四边形的面积还是一个定值，理由如下： 如图3，过点作交于点， 四边形是菱形，边长为，， ，，，，，，是等边三角形，，， ，， ，，， ，是等边三角形，， ，，， ，，， ，，，， 即当时，四边形的面积还是一个定值； ③连接交于点，分两种情况 a、点在上时，如图4，四边形是菱形，，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ，过点作交于点， 同②得：都是等边三角形，，，， ，，，； b、点在上时，如图4﹣1，过点作交于点， 同理得：，是等边三角形，， ，； 综上所述，的长为或，故答案为：或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质、矩形的性质以及菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 15．（2023·山东泰安·二模）点P在四边形的对角线上，直角三角板绕直角顶点P旋转，其边、分别交、边于点M、N． (1)【操作发现】如图①，若四边形是正方形，当时，可知四边形是正方形，显然．当与不垂直时，判断确定、之间的数量关系； ．（直接写出结论即可） (2)【类比探究】如图②，若四边形是矩形，试说明． (3)【拓展应用】如图③，改变四边形、的形状，使四边形内接于圆，其他条件不变，且满足，， 时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过作于，作于，则，，证明，推出，由，可得，，推出，可得结论； （2）先过作于，作于，判定，再根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理进行推导计算即可； （3）先过作，作，由圆内接四边形的性质可知，判定，再根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理进行推导计算即可． 【详解】（1）解： ． 理由：过作于，作于，则，， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，过作于，作于，则，， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过作，交于，作，交于， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵四边形内接于圆， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴①， ∵，， ∴， ∴②， 由①②可得，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用以及平行线分线段成比例定理，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，并根据两角对应相等判定两个三角形相似．解题时注意，平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.对角互补模型（相似模型） 2 48 模型1.对角互补模型（相似模型） 四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似. 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 例1．（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）已知在中，，，，D为边上的一点．过点D作射线，分别交边于点E、F． (1)当D为的中点时：①如图1，若，，与的数量关系是________；与是否相等？________（填“是”或“否”）； ②将绕点D旋转到图2位置时，①中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由； (2)改变点D的位置，当点D是的三等分点时，直接写出的值． 例2．（2023·广西河池·校联考一模）综合与实践 【问题情境】在中，，，，在直角三角板中，，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，． 【猜想证明】如图，在三角板旋转过程中，当为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由． 【问题解决】如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长．      例3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点A，点C重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点E，与边交于点F． 【特例感知】（1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； 【类比探究】（2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含k的代数式表示）； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，连接，，，求的长度． 例4．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明； （3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）． 例5．（2023浙江校考二模）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 例6．（2023·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角中，，，过点作射线，为射线上一点，在边上（不与重合）且，与交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）如果，求证：． 例7．（23-24九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，是等边三角形， 点是边上的一点， 以点为顶点的， 射线、分别交、于点、 (1)如图①，当点为中点时，判断与的数量关系，并证明； (2)如图②，当时，判断与的数量关系，并证明； (3)若，，时，请直接写出的长． 1．（2023·重庆·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝________．    2．（2023年河南周口一模）如图，在菱形中，，，对角线，交于点，，分别是，边上的点，且，，与交于点，则的值为 ． 3．（2024·河南南阳·三模）【问题再现】如图（），正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积（即四边形的面积）始终等于正方形面积的． 【初步探究】小明在证明上述问题时，发现题目中正方形这一条件主要用到的信息是，图中一些线段之间也有特殊的关系．深入思考后他为大家编了如下题目：如图（），中，，，是边的中点．以为顶点作，交线段于点，交线段于点．请完成以下问题：问题（1）：四边形的面积是面积的________． 问题（2）：猜想线段之间的等量关系，并说明理由． 【延伸探究】爱动脑的小军在小明问题的基础上进行了延伸，让绕点旋转，交直线于点E，交直线于点，连接．若，，请直接写出的面积． 4．（2023·广东佛山·二模）【课本再现】    (1)正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，如图1摆放时，易得重叠部分的面积与正方形的面积的比值是；在正方形绕点旋转的过程中（如图2），上述比值有没有变化？请说明理由． (2)【拓展延伸】如图3，在正方形中，的顶点在对角线上，且，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与边和边交于点，． ①在的旋转过程中，试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，当点与点重合时，求的长． 5．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，CP=．将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G． (1)如图，当点F在射线CA上时，①求证：PF＝PE．②设CF＝x，EG＝y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域．(2)连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长． 6．（2024·河南安阳·三模）数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动． 模型感知：小明同学善于观察思考，如图，在和中，，他发现当两个直角三角形共斜边时，取斜边中点，根据斜边中线等于斜边的一半，易知，由圆的定义可知，四点共圆，则有，其依据是______． 操作判断：小明同学把等腰直角三角板的直角顶点绕着直角三角板的斜边中点旋转，其中，直线与相交于点，边与相交于点． （）如图，当时，线段与的数量关系是______． 深入探究：（）将图中的旋转到图所示的位置，请判断与的数量关系是否发生变化，并说明理由．应用：（）如图，已知，若等腰直角三角板绕点继续旋转，边与的交点始终在线段上，当点为的三等分点时，直接写出的面积． 7．（23-24河南九年级期中）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，D为BC边上的一点．过点D作射线DE⊥DF，分别交边AB，AC于点E，F． (1)当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，如图①，______． (2)①若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图②位置时，______． ②若改变点D的位置，且时，求的值，请就图③的情形写出解答过程． (3)如图③连接EF，当BD＝______时，△DEF与△ABC相似． 8．（2023年广东省广州市中考二模数学试题）在中，，点D为边的中点．(1)尺规作图，过点D作交边于点E；(2)求的长； (3)点P为射线上的一动点，点Q为边上的一动点，且，若，求的长．    9．（2023·江苏镇江·统考二模）【问题情境】数学活动课上，老师出示了有关正方形的一个问题：已知正方形的边长为6，E为对角线上一动点（不与点A、C重合），连接，过E作交于点G，探索线段、有何数量关系？    （1）数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下：如图1，过点E分别作、的垂线、，证明，发现和的数量关系是_________． 【问题探究】该小组小丽同学受此问题启发，对上面的问题进行了探究，并提出了如下问题： （2）如图2，过点G作交AC于点F，的长度是否发生变化？若不变，请求出这个不变的值；若变化，请说明理由； 【深度探究】如图3，连接交于点H．（3）图中的面积S的取值范围为_________； （4）若，则的长是_________． 10．（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．    【初步感知】(1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】(2)①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明） 【拓展运用】(3)如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）． 11．（23-24九年级上·江西吉安·期中）问题：如图1，等边三角形的边长为6，点O是和的角平分线交点．，绕点O任意旋转，分别交的两边于D，E两点．求四边形面积．    讨论： ①小明：在旋转过程中，当经过点B时，一定经过点C． ②小颖：小明的分析有道理，这样我们就可以利用“”证出． ③小飞：因为，所以只要算出的面积就得出了四边形的面积． 老师：同学们的思路很清晰，也很正确．在分析和解决问题时，我们经常会借用特例作辅助线来解决一般问题：请你按照讨论的思路，直接写出四边形的面积： （2）应用方法： ①特例：如图2，的顶点O在等边三角形的边上，，，边于点E，于点D，求的面积． ②探究如图3，已知，顶点O在等边三角形的边上．，，的面积为x，的面积为y，求的值． ③应用：如图4，已知，顶点O在等边三角形的边的延长线上，，，的面积为a，的面积为b，请直接写出a与b的关系式． 12．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）完成下面各题：（1）如图1，等腰中，，点为斜边中点，点是边上一点（不与重合），将射线绕点逆时针旋转交于点．学习小组发现，不论点在边上如何运动，始终成立．请你证明这个结论； 【类比迁移】（2）如图2，，，，点为斜边中点，点是延长线上一点，将线段绕点逆时针旋转得到，点恰好落的延长线上，求的值； 【拓展提升】（3）如图3，等腰中，，，点是边上一点，且，以为边在的上方作等边，交于点，连接，，取的中点，连接，当时，求的面积． 13．（2024·重庆·九年级校联考期中）如图，△ACB中，CA＝CB，∠ACB＝120°． (1)如图1，点M、N分别在CA、CB上，若CA＝CB＝8，D为AB的中点，∠MDN＝60°，求CM+CN的值． (2)如图2，∠ABP＝120°，点E、F在AB上，且∠ECF＝60°，射线BP交CE的延长线于点P，求证：PB+AF＝PF．(3)如图3，在△ACB的异侧作△AGB，其中AG＝3，BG＝6，在线段BG上取点Q，使BQ＝2．当AG绕着点G运动时，求CQ的最大值． 14．（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）（1）【问题初探】苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1正方形的边长为，的顶点在正方形两条对角线的交点处，．将绕点旋转，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论．爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路： 浩浩：如图，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了，则，那么，这样，就实现了四边形的面积向面积的转化； 小航：如图，也是考虑到正方形对角线的特征，过点分别作于点，于点，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为： （填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为 ． （2）【类比探究】①如图2，矩形中，，，点是边的中点，．点在上，点在上，则四边形的面积为 ； ； ②如图3，若将（1）中的“正方形”改为“，边长为的菱形，其他条件不变，当”时，四边形的面积还是一个定值吗？是，请求出来；不是，请说明理由； ③如图4，在②的条件下，当点在对角线上运动，顶点与点的距离为，且旋转至时，的长度为 ． 15．（2023·山东泰安·二模）点P在四边形的对角线上，直角三角板绕直角顶点P旋转，其边、分别交、边于点M、N． (1)【操作发现】如图①，若四边形是正方形，当时，可知四边形是正方形，显然．当与不垂直时，判断确定、之间的数量关系； ．（直接写出结论即可） (2)【类比探究】如图②，若四边形是矩形，试说明． (3)【拓展应用】如图③，改变四边形、的形状，使四边形内接于圆，其他条件不变，且满足，， 时，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$