专题15 中点模型之平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题15 中点模型之平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的前三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.垂直平分线模型 2 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 20 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 39 62 模型1.垂直平分线模型 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 条件：如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，结论：BE=EC。 证明：∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，∵D为BC中点，∴BD=CD， ∵DE=DE，∴，∴BE=CE. 模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。 例1．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，垂直平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的判定，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，先证明，，再证明是的平分线，再进一步求解即可． 【详解】解：连接， ∵，∴，∵垂直平分，∴，∴， ∵，，，∴是的平分线，∴， ∴，∴， ∴．故选：C． 例2．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，在中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线，分别交于点F，G，连接，若的周长为16，，则的周长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】该题主要考查了垂直平分线的性质和尺规作图，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． 根据作图得垂直平分，得出，，根据的周长为16，推出，再根据的周长求解即可． 【详解】解：根据作图可得：垂直平分，则，，， ∵的周长为16，∴，∴， ∴的周长，故选：D． 例2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，，是的垂直平分线，的周长为10，，求的周长． 【答案】6 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 先根据垂直平分线的性质得出，进而根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点E，∴， ∴的周长， ∵周长，， ∴的周长. 例3．（2024八年级下·山东·专题练习）如图，在中，垂直平分，若E，F分别是和上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识，把求最小值转化为求最小值是解题的关键；连接，过B作于G；由垂直平分，得，，则，当B、E、F三点共线，且即重合时，最小，从而最小；利用面积相等关系即可求得最小值． 【详解】解：如图，连接，过B作于G； ∵垂直平分，∴，，∴， 当B、E、F三点共线，且即重合时，最小， 从而最小，最小值为线段的长； ∵，∴．故答案为：． 例4．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点N，E，，的延长线交于点O，连接，，，．(1)若，求的周长；(2)若，求的度数． 【答案】(1)的周长为；(2)的度数为． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，四边形的内角和，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．（1）根据线段垂直平分线的性质可得继而可得的周长；（2）连接，由四边形内角和可得的度数，根据题意得即可求解． 【详解】（1）解：∵边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，的周长； （2）解：如图，连接， ∵，分别垂直平分，，∴，， ∴，∴的度数为． 例5．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，是边的垂直平分线，过点P作（或延长线）的垂线，垂足分别是M、N，且平分． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，连接，由题意得，，，证明，进而可得． 【详解】证明：如图，连接，∵是边的垂直平分线，∴， ∵，，平分，∴， ∵，，∴，∴． 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 定理：等腰三角形底边上的中线、高线、顶角的角平分线“三线合一”。 条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD）；②AD为∠BAC 的角平分线（即∠BAD =∠CAD）；③AD为BC边上的高线（即AD⊥BC）。 证明：我们不妨以①为结论证明，其他情况证明也是类似的证明全等即可。 由题意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。 注意：其中三个结论已知其一便可证明其他两个结论。 模型运用条件：等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线。 例1．（2023上·河北沧州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，是高，下列结论不正确的是（    ） A．与互余 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，根据它的性质一一判断即可． 【详解】解：∵是高，∴，∴与互余，正确，故本选项不符合题意； ．∵中，是高，∴，正确，故本选项不符合题意； ．∵中，是高，，∴，正确，故本选项不符合题意；．，无法证明，故本选项符合题意；故选：D． 例2．（2024八年级上·北京·专题练习）如图所示，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质；过点P作于点D，则，由等腰三角形的性质可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：过点P作于点D， ∵，，，∴，∴， ∵，，，∴，∴．故选：D． 例3．（2023上·重庆渝中·八年级校考期中）如图，在等腰中，，延长至点，使得．，过点作，垂足为，延长至点，连接，若，则 ． 【答案】24 【分析】过点A作于点G，过点B作于点H，设，根据三角形内角和定理求出的度数，的度数，于是求出的度数，根据即可求出的度数，根据周角的定义求出，于是可求出的度数，从而得出是等腰三角形，再证和全等得出，根据的面积求出的长，于是得出的长，再根据等腰三角形三线合一即可求出的长． 【详解】解：如图，过点A作于点G，过点B作于点H， ∵，∴，设， ∵，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴ ∵，∴ ∴， 在中，， ∴，∴，即是等腰三角形， 由等腰三角形三线合一的性质得 ∵，，，∴， 在和中，，，， ∴，∴， ∵，，∴∴，∴， ∵是等腰三角形，，∴，故答案为：24． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形面积公式等知识，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键． 例4．（2023上·新疆乌鲁木齐·八年级校考期中）如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作．交于点． (1)若，求的度数．(2)求证：． 【答案】(1)(2)见详解 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义和平行线的性质． （1）先根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据三角形内角和定理求出的度数，即可知的度数．（2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可证明． 熟练掌握“等腰三角形三线合一”的性质和平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵中，，是边上的中点, ，． ，，； （2）∵平分，． ，，，． 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”构造全等；当然有时候也需要自己构造平行线的辅助线求解。 条件：如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。结论：。 证明：∵AB//CD，∴∠C=∠FBE，∠D=∠BFE， ∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴（AAS）。 模型运用条件：构造8字型全等（平行线夹中点）。 例1．（2023·成都市八年级课时练习）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于点，则的长为（    ）    A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】过P作交于F，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可． 【详解】解：过P作交于F，如图所示： ∵，是等边三角形， ∴，，，， ∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，故选：B．    【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用；添加恰当辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 例2．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知，点是的中点，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】延长AE、BC交于点M，利用AAS证出△ADE≌△MCE，从而得出AD=MC，AE=ME，结合已知条件即可证出BM=AB，再利用SSS即可证出△BAE≌△BME，从而得出∠BEA=∠BEM，根据垂直定义即可证出结论． 【详解】解：延长AE、BC交于点M，如下图所示 ∵点是的中点，∴DE=CE，∵∴∠1=∠M 在△ADE和△MCE中∴△ADE≌△MCE∴AD=MC，AE=ME ∵∴MC＋BC=AB∴BM=AB 在△BAE和△BME中∴△BAE≌△BME∴∠BEA=∠BEM ∵∠BEA＋∠BEM=180°∴∠BEA=∠BEM=90°∴ 【点睛】此题考的是全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义是解题关键． 例3．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，于点A，于点B，点E是的中点，连按，已知知，，，则 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明全等三角形是本题的关键． 延长交于F，由“”可证，可得 ，由勾股定理可求的长，即可求的长． 【详解】解：延长交于F，如图，∵点E是的中点∴， ∵，，∴∴，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴在中，， ∴，故答案为：． 例4．（2023下·辽宁沈阳·七年级校考期中）在数学综合实践课上，老师给出了下列问题． (1)探究结论：在图1中，，点P是两平行线之间的一点，则，，之间的关系是_______． (2)应用结论在图2中，，PB平分，，若为等腰三角形，求的度数_． (3)拓展延伸：在图3中，，点P是的中点，．试判断AB，AC，BD之间有什么关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)的度数为或(3)，理由见解析 【分析】(1)作，根据平行线的判定与性质可得出． (2)分①当时，②当时，③当时三种情况讨论即可． (3)延长交直线于F点，证明即可求解． 【详解】（1）作，如图1， ∵，∴，∴，(两直线平行，内错角相等)， ∵，∴； （2）∵PB平分，如图2， ∴, 设，∵为等腰三角形，∴分三种情况讨论， ①当时，,∴, ∵由(1)知，且， ∴，解得：；∴； ②当时，，∴,无解，此情况舍去， ③当时，，∴，解得：，∴． 综上可知：的度数为或． （3）的关系为，延长交直线于F点，如图3， 由(1)得，∵，∴，， ∵点P是的中点，∴，∴,∴, ∵,,故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质，学会添加常用辅助线构造平行线是解题关键． 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 故选：C 2．（2023上·江苏·八年级专题练习）如图，在中，I是三角形角平分线的交点，连接，，，点O为三边垂直平分线交点，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，角平分线的定义； 连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，进而得到，，求出，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：连接， ∵，∴， ∴， ∵O是三边垂直平分线的交点，∴，， ∴，，∴， ∴，∵平分，平分， ∴，∴ ∴，故选：D． 3．（24-25八年级上·天津河东·期中）如图，在中，已知，的中垂线交于D，的中垂线交于E，则的周长等于（   ）    A．11 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线，熟练掌握垂直平分线的性质与线段的等量代换是解题的关键，求周长即求各边长的和，利用线段的垂直平分线得到线段相等，进行等量代换后即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，的中垂线交于D，的中垂线交与E， ∴,, ∴的周长, 故选：B． 4．（2023上·山西吕梁·八年级校考阶段练习）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的知识，掌握垂直平分线的尺规作图和性质，得，根据，即可． 【详解】由题意得，是的垂直平分线，∴， ∵，∴，∵，， ∴，∴．故选：C． 5．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在中，，点在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，根据相等垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据三角形周长公式推出，由此可得答案． 【详解】解：∵点在边的垂直平分线上，∴， ∵的周长为15，∴，∴，∴， ∵，∴，故选C． 6．（2023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）如图，在中，点是内一点，连接垂直平分，若，则点之间的距离为（    ） A．4 B．8 C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和等角对等边，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由垂直平分线的性质可得，由等角对等边可得，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：垂直平分，， ，，，故选：A． 7．（2023上·湖南衡阳·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，且，则长为（    ） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得． 【详解】解：∵，∴．故选：B． 8．（2023上·湖南岳阳·八年级校考期中）如图，，分别为 的中线和高，，，，则面积为(   )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高与中线的定义与性质，等腰三角形的性质，根据三角形的面积公式求得即可求解． 【详解】解：，是高线，根据“三线合一”的性质，， 是中线，是中点，， ∴ 故选：D． 9．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，，为的中点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质、线段的中点和全等三角形的判定和性质，根据，可得，结合中点得可证得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 10．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交、于点M、N，点D是边的中点，点P是上任意一点，连接、，若，，当周长取到最小值时， （用含α的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、轴对称的性质及三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质及轴对称的性质是解题的关键；连接，，与交于点H，连接，由题意易得，要使的周长为最小值，则需满足为最小，即为最小，那么只需满足点A、P、D三点共线，即为线段的长，然后问题可求解． 【详解】解：连接，，与交于点H，连接，如图所示： ∵，边的垂直平分线分别交、于点M、N，点D是边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴要使的周长为最小值，则需满足为最小，即为最小，那么只需满足点A、P、D三点共线，即为线段的长，此时点P与点H重合， ∴， 故答案为． 11．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，点，若点是直线上一动点，点是直线上的一动点，，，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了垂直平分线的性质、轴对称的性质、垂线段最短等知识． 连接过点A作于点H，求出，证明，当且仅当A、F、G三点共线时，，则当点G运动到点H时，根据垂线段最短，则取得最小值，此时,据此即可求出答案． 【详解】解：连接过点A作于点H， ∵，， ∴， 解得， ∵的垂直平分线分别交于点，点， ∴， ∴， 当且仅当A、F、G三点共线时，， ∵点是直线上的一动点， ∴当点G运动到点H时，根据垂线段最短，则取得最小值，此时, 即的最小值为4． 故答案为：4 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，点D是的中点，点E是上一点，交于点F，，，，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，准确证明是解题的关键． 延长到G，使，连结，证明，可得，从而得到，，即可得到结果； 【详解】解：如图，延长到G，使，连结． ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2 13．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，点E是边上的点，平分平分有下列结论：①，②E为中点，③，④，其中正确的有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的“三线合一”等知识点，根据、即可判断④；延长交延长线于，可推出是等腰三角形，证即可判断②③；根据即可判断①； 【详解】解：∵平分平分 ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴，故④正确； 如图，延长交延长线于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ (ASA)， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，即点E为的中点，故②正确； ∵， ∴，故①错误； 故答案为：②③④ 14．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等角对等边，延长交于点F，证明可得，然后根据平行线的性质和等角对等边得到． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵点E为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：4． 15．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，一条笔直的街道两侧的便道，嘉嘉和淇淇分别在便道m，n上以相同的速度散步，步行相同时间后嘉嘉从点 A 走到点B，同时淇淇逆向而行从点 C 走到点D，设的中点为E，嘉嘉觉得点E 到B，D两点的距离也相等，即 嘉嘉的证明如下： 证明： ∵，       第一步 又∵      第二步 第三步 ∴  第四步   第五步 (1)在嘉嘉的证明步骤中，首先出现错误的是第 步． (2)嘉嘉的结论正确吗？ 如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)三(2)正确，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形的全等判定，解题关键在于理解并应用平行线的性质、选择正确的三角形全等判定． （1）和并不是对顶角，也不是由平行线产生的同位角或内错角．因此，没有直接的几何性质可以证明这两个角相等， （2）利用平行线的性质及线段中点的性质，来证明三角形的全等：为了证明，我们需要找到一种方法证明与这两个边相关的两个三角形是全等的．在这里，我们可以考虑使用角角边（AAS）全等判定即可． 【详解】（1）解：的理由不充分，因为题目中没有说明B，E，D三点在同一条直线上．这两个角并不是对顶角，也不是由平行线产生的同位角或内错角， 因此不能直接断定它们相等．所以这一步是错误的． 故答案为：三； （2）正确，理由如下： 证明∶∵ ∴． 由题意，得． 又∵的中点为E， ∴， ∴， ． 16.（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，边，的垂直平分线分别交于点D，E． (1)若，，则 ； (2)设直线，交于点O，判断点O是否在的垂直平分线上． 【答案】(1)11 (2)点O在的垂直平分线上． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定等： （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，则； （2）如图，连接，，，由线段垂直平分线的性质证明，即可证明点O在的垂直平分线上． 【详解】（1）解：∵边，的垂直平分线分别交于点D，E， ∴，． ∵，， ∴， 故答案为：11； （2）解：点O在的垂直平分线上． 理由：如图，连接，，，    ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 17．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，． (1)尺规作图：在上取一点E，使得，并说明作法的合理性； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)详见解析(2)，详见解析 【分析】本题主要考查了作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，三角形内角和定理等知识点， （1）作线段的垂直平分线，交于点E，则点E即为所求； （2）由（1）可知，，则，根据，可得，即可得出答案； 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点E，连接， ∴， ∴， 则点E即为所求； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（23-24八年级上·上海·期中）如图，在中，D是的中点，过D的直线交于E，交的延长线于F，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】过点C作交于G，利用“角边角”证明，则，推出，再根据等角对等边可得． 【详解】证明：过点C作交于G， ∴， D是的中点， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 19．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）四边形中，点为线段的中点． (1)，平分．①如图1，若，，则_______； ②如图2，若，求证：平分；(2)和不平行时，，求证：． 【答案】(1)①；②证明见解析； (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）①根据平行线的性质，证明，得到，，再根据等边对等角的性质以及角平分线的定义，得出，即可求出的度数； ②延长交的延长线于点，证明，，根据等边对等角的性质以及角平分线的定义，得到，进而得到，再结合等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）延长至点，使得，证明，得到，再根据垂直平分线的性质，得到，最后利用三角形的三边关系证明即可． 【详解】（1）解：①， ，，， ， ， 点为线段的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：； ② 如图，延长交的延长线于点， ， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， 是的中点， 平分； （2）证明：如图，延长至点，使得， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 20．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图，AD为的中线，交AD的延长线于点E，求证：． (2)【模型应用】如图，在四边形ABCD中，，E是BC中点，连接AE，DE，AE平分，求证：DE平分． (3)【拓展探索】如图，在中，，于点D，过点B作交的平分线于点E，过点E作交BC于点F，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】(1)根据平行线的性质可得，根据AD为的中线，可得，据此即可证得，即可证得结论； (2)过点E分别作于点F，于点G，交DC的延长线于点H，首先由角平分线的性质可得，再根据垂直的定义及平行线的性质，可证得，，据此即可证得，即可证得结论； (3)延长AB交FE延长线于点G，过点G作交CB的延长线于点H，首先由，AE平分，可得，可求得，据此即可证得，可得，，可证得，，据此可证得，，，再根据斜边直角边定理，可证得，据此即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵AD为的中线， ∴， 在和中，          ∴， ∴． （2）证明：如图，过点E分别作于点F，于点G，交DC的延长线于点H． 又∵AE平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴ 在和中，      ∴， ∴， ∴， ∴DE平分； （3）证明：如图，延长AB交FE延长线于点G，过点G作交CB的延长线于点H． ∵，AE平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，          ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，      ∴， ∴，， 在和中，         ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义、判定及性质，作出辅助线是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 中点模型之平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的前三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.垂直平分线模型 2 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 20 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 39 62 模型1.垂直平分线模型 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 条件：如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，结论：BE=EC。 证明：∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，∵D为BC中点，∴BD=CD， ∵DE=DE，∴，∴BE=CE. 模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。 例1．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，垂直平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例2．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，在中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线，分别交于点F，G，连接，若的周长为16，，则的周长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 例2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，，是的垂直平分线，的周长为10，，求的周长． 例3．（2024八年级下·山东·专题练习）如图，在中，垂直平分，若E，F分别是和上的动点，则的最小值是 ．    例4．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点N，E，，的延长线交于点O，连接，，，．(1)若，求的周长；(2)若，求的度数． 例5．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，是边的垂直平分线，过点P作（或延长线）的垂线，垂足分别是M、N，且平分． 求证：． 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 定理：等腰三角形底边上的中线、高线、顶角的角平分线“三线合一”。 条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD）；②AD为∠BAC 的角平分线（即∠BAD =∠CAD）；③AD为BC边上的高线（即AD⊥BC）。 证明：我们不妨以①为结论证明，其他情况证明也是类似的证明全等即可。 由题意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。 注意：其中三个结论已知其一便可证明其他两个结论。 模型运用条件：等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线。 例1．（2023上·河北沧州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，是高，下列结论不正确的是（    ） A．与互余 B． C． D． 例2．（2024八年级上·北京·专题练习）如图所示，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 例3．（2023上·重庆渝中·八年级校考期中）如图，在等腰中，，延长至点，使得．，过点作，垂足为，延长至点，连接，若，则 ． 例4．（2023上·新疆乌鲁木齐·八年级校考期中）如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作．交于点． (1)若，求的度数．(2)求证：． 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”构造全等；当然有时候也需要自己构造平行线的辅助线求解。 条件：如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。结论：。 证明：∵AB//CD，∴∠C=∠FBE，∠D=∠BFE， ∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴（AAS）。 模型运用条件：构造8字型全等（平行线夹中点）。 例1．（2023·成都市八年级课时练习）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于点，则的长为（    ）    A． B． C．1 D．2 例2．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知，点是的中点，且，求证：． 例3．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，于点A，于点B，点E是的中点，连按，已知知，，，则 的长为 ． 例4．（2023下·辽宁沈阳·七年级校考期中）在数学综合实践课上，老师给出了下列问题． (1)探究结论：在图1中，，点P是两平行线之间的一点，则，，之间的关系是_______． (2)应用结论在图2中，，PB平分，，若为等腰三角形，求的度数_． (3)拓展延伸：在图3中，，点P是的中点，．试判断AB，AC，BD之间有什么关系，并说明理由． 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 2．（2023上·江苏·八年级专题练习）如图，在中，I是三角形角平分线的交点，连接，，，点O为三边垂直平分线交点，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·天津河东·期中）如图，在中，已知，的中垂线交于D，的中垂线交于E，则的周长等于（   ）    A．11 B．13 C．14 D．15 4．（2023上·山西吕梁·八年级校考阶段练习）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在中，，点在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 6．（2023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）如图，在中，点是内一点，连接垂直平分，若，则点之间的距离为（    ） A．4 B．8 C．2 D．6 7．（2023上·湖南衡阳·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，且，则长为（    ） A．1 B．3 C．2 D．4 8．（2023上·湖南岳阳·八年级校考期中）如图，，分别为 的中线和高，，，，则面积为(   )    A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，，为的中点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交、于点M、N，点D是边的中点，点P是上任意一点，连接、，若，，当周长取到最小值时， （用含α的代数式表示）． 11．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，点，若点是直线上一动点，点是直线上的一动点，，，则的最小值为 ． 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，点D是的中点，点E是上一点，交于点F，，，，则 ． 13．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，点E是边上的点，平分平分有下列结论：①，②E为中点，③，④，其中正确的有 ． 14．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么 ． 15．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，一条笔直的街道两侧的便道，嘉嘉和淇淇分别在便道m，n上以相同的速度散步，步行相同时间后嘉嘉从点 A 走到点B，同时淇淇逆向而行从点 C 走到点D，设的中点为E，嘉嘉觉得点E 到B，D两点的距离也相等，即 嘉嘉的证明如下： 证明： ∵，       第一步 又∵      第二步 第三步 ∴  第四步   第五步 (1)在嘉嘉的证明步骤中，首先出现错误的是第 步． (2)嘉嘉的结论正确吗？ 如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由． 16.（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，边，的垂直平分线分别交于点D，E．(1)若，，则 ； (2)设直线，交于点O，判断点O是否在的垂直平分线上． 17．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，． (1)尺规作图：在上取一点E，使得，并说明作法的合理性； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 18．（23-24八年级上·上海·期中）如图，在中，D是的中点，过D的直线交于E，交的延长线于F，且．求证：． 19．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）四边形中，点为线段的中点． (1)，平分．①如图1，若，，则_______； ②如图2，若，求证：平分；(2)和不平行时，，求证：． 20．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图，AD为的中线，交AD的延长线于点E，求证：． (2)【模型应用】如图，在四边形ABCD中，，E是BC中点，连接AE，DE，AE平分，求证：DE平分． (3)【拓展探索】如图，在中，，于点D，过点B作交的平分线于点E，过点E作交BC于点F，若，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$