专题14 全等三角形模型之婆罗摩笈多模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题14 全等三角形模型之婆罗摩笈多模型 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是七世纪时的印度数学家，在世时间约是公元 598年 ~ 660年。他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》。《婆罗摩修正体系》中有关数学的部分涉及到有关三角形、四边形、零、负数、一阶和二阶方程的研究，《肯达克迪迦》则是天文方面的著作，研究了关于月食、日食、行星的合等问题。他提出的一些概念在世界数学史上也有很高的地位，比如负数。以他命名的婆罗摩笈多定理又称“布拉美古塔”定理。本专题我们讲的就是由婆罗摩笈多定理演化而来的“婆罗摩笈多”模型。 2 模型1.“婆罗摩笈多”模型 2 51 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 模型1.“婆罗摩笈多”模型 婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形（即对角互补的四边形）的对角线互相垂直且相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点（反之亦能成立）。 模型特征：（1）△BCP和△ADP是两个等腰直角三角形，且直角顶点重合. 模型1）知中点证垂直 条件：分别以三角形ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，N为EG的中点，M、A、N三点共线。结论：AM⊥BC；BC=2AN；S△ABC=S△AEG 。 证明：（倍长中线法）延长AN到W，使NW=NA，连接EW。 在∆WEN和∆AGN中，NW=NA（已作），∠WNE=∠ANG（对顶角），EN=GN（已知） ∴∆WEN≌ ∆AGN(SAS)，∴EW=GA，∠EWN=∠GAN。 ∵∠EWN=∠GAN∴EW//GA，∴∠WEA+∠EAG=180°(平行线同旁内角)。 ∵∠GAC=90°，∠EAB=90°，∴∠EAG+∠CAB=180°，∴∠WEA=∠CAB。 ∵EW=GA，又∵GA=AC，∴EW=AC。 在∆EWA和∆ACB中：EA=AB，∠WEA=∠CAB，EW=AC，∴∆EWA ≌ ∆ACB(SAS)。 ∴WA=CB，∠EAW=∠ABC，∵∆ABC ≌ ∆EAW， ∴S∆EWA = S∆ACB。 ∵∆WEN≌ ∆AGN， ∴S∆WEN= S∆AGN，∴S∆ACB=S∆EWA =S∆AEN +S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=S△AEG。 ∵WN=AN，∴BC=2AN ，∵∠WAB=∠EAB+∠EAW。 又∵∠WAB=∠ABM+∠AMB（三角形外角性质），∴∠EAB+∠EAW=∠ABM+∠AMB。 ∵∠EAW=∠ABC（∠ABC即∠ABM），∴∠EAB+∠ABM=∠ABM+∠AMB。 ∴∠EAB=∠AMB，∴∠AMB=90°，即AM⊥BC。 模型2）知垂直证中点 条件：分别以∆ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM⊥BC。 结论：N为EG的中点；BC=2AN ；S△ABC=S△AEG。 证明：（法1:平行线法）作EW//AG，交AN的延长线于W，∵EW//AG，∴∠WEA+∠EAG=180°， ∵∠EAB和∠GAC为正方形的角，所以两个角均为90°，∴∠EAG+∠BAC=180°， ∴∠WEA=∠BAC，∵EW//AG，∴∠EWN=∠GAN， ∵∠GAN+∠MAC =90°，∵AM⊥BC，∴∠MAC+∠MCA=90°，∴∠MCA=∠GAN，∴∠MCA=∠EWN， 在∆ABC和∆EAW中，∠BCA=∠AWE，∠CAB=∠WEA，AB=EA，∴∆ABC ≌ ∆EAW(AAS) ， ∴AW=BC，∴WE=CA，∵CA=AG，∴WE=AG，∵EW//AG，∴∠WEN=∠AGN， 在∆WEN和∆AGN中，∠WEN=∠AGN，WE=AG，∠ENW=GNA，∴∆WEN≌ ∆AGN (ASA)， ∴EN=GN，即N为EG的中点，∴WN=AN，∴BC=AW=2AN， ∵∆ABC ≌ ∆EAW，∴S∆EWA = S∆ACB，∵∆WEN≌ ∆AGN， ∴S∆WEN= S∆AGN， ∴S∆ACB=S∆EWA =S∆AEN +S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=S△AEG。 （法2:三垂直模型法）作EX⊥AN，交AN的延长线于X，作GY⊥AN，将AN于Y。 ∵AM⊥BC，∴∠ABM+∠BAM=90°，∵∠EAB=90°，∴∠EAN+∠BAM=90°，∴∠ABM=∠EAN 在Rt∆ABM和Rt∆EAX中，∵∠ABM=∠EAN，∴∠AEX=∠BAM； 在Rt∆ABM和Rt∆EAX中，∠BAM=∠AEX，AB=EA，∠ABM=∠EAX； ∴Rt∆ABM ≌Rt∆EAX （ASA），∴AM=EX，同理可证：∴Rt∆AYG ≌Rt∆CMA （ASA），∴GY=AM； ∵AM=EX，∴GY=EX，在Rt∆EXN和Rt∆GYN中，∠ENX=∠GNY，∠EXN=∠GYN，EX =GY； ∴Rt∆EXN ≌ Rt∆GYN（AAS），∴EN=GN，即N为EG的中点； ∵Rt∆ABM ≌Rt∆EAX ，∴S∆ABM =S∆EAX，BM=AX，∵Rt∆AYG ≌Rt∆CMA，∴S∆AYG =S∆CMA，CM=AY； ∵Rt∆EXN ≌ Rt∆GYN，∴S∆EXN = S∆GYN，XN=YN； ∴S△ABC=S∆ABM+S∆CMA =S∆EAX+S∆AYG=S∆EAN +S∆ENX+S∆ANG-S∆GNY=S∆AEG； ∴BC=BM+CM=AX+AY=AN+NX+AN-YN=2AN。 其实该模型也可以模仿 模型1）中的倍长中线法，有兴趣的同学们可以自己去尝试以下哦！ 例1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点点Q在x轴的负半轴上分别以为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作，等腰、等腰连接交y轴于P点，则的值为 ．    例2．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，以，为腰作等腰直角和等腰直角，其中，连接，为边上的高，延长交于点．有下列结论：①；②；③；④为中点． 其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3．（23-24七年级下·重庆·期中）已知和，，，．连接、，过点作于点，反向延长线段交于点．(1)如图1，当时：请直接写出与的数量关系：_____（填“ ”、“”、“”）；求证：(2)如图2，当时，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 例4．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）（1）【全等模型】如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．则DE、BD、CE的数量关系为______． （2）【类比探究】如图2现将【全等模型】的条件改为：在中，，直线经过点、、、点，且．请判断（1）的结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）【灵活应用】如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求△AEG的面积． 例5．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题情境】（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果米，那么间的距离为______米．                     【探索应用】（2）如图2，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是______； 【拓展提开】（3）如图3，在中，，，的延 长线交于点F，求证：．    例6．（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    (1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系．在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． (2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 1．（23-24江苏省宿迁市八年级月考）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，点为射线上的一个动点，分别以，为直角边，为直角顶点，在两侧作等腰、等腰，连接交于点，当点在射线上移动时，的长为 ． 3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，分别以、为一直角边作等腰直角、，连接交的延长线于F，则的面积为 ． 4．（23-24八年级下·内蒙古乌海·期末）在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是 ． 5．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，分别与、为直角边向外作等腰直角、，连结交的延长于点M，则的长为 cm． 6．（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）综合与实践 问题引入：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形的三边关系从而求出的取值范围．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中．理解应用：（1）请你根据小明的思路，求的取值范围； 感悟应用：（2）如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，求证：；延伸拓展：（3）如图3，在和中，，，，连接、，过点A作于点M，反向延长交于点N，求证：． 7．（23-24八年级上·湖南永州·期末）（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线的取值范围是______； （2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：； （3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系． 8．（23-24七年级下·山东泰安·期末）【问题情境】 如图1，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，，求证：F为的中点． 【探究实践】（1）小明发现：分别过点A、D向直线作垂线段，利用全等三角形的知识就能解决问题．请你根据小明的发现完成证明过程 【拓展应用】小华想到了我们研究数学命题的思路，提出问题：这个问题的逆命题成立吗？于是小华写出了已知、求证，并画出了图形 已知：如图2，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，F为中点，求证：． （2）小聪说：我利用倍长中线的方法和全等三角形的知识就能解决这个问题． 请你根据小聪的思路在图2中作出辅助线，并完成证明过程． （3）小刚说：我不但证明了小华的问题，还发现了新结论：线段与线段，与的面积都有一定的数量关系．请你直接写出小刚说的数量关系． 9．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE ＝ AD，连接BE．利用全等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_________，中线AD的取值范围是_________； （2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN． 求证：BM＋CN＞MN； （3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝ 90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由． 11．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是___________；A．        B．        C．        D． （2）求得的取值范围是___________； 【方法感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】（3）如图2，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，，，，连接．请写出与的数是关系，并说明理由． 图1                    图2 12．（23-24河南省信阳市八年级上学期期末数学试题）等腰，，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，求B点的坐标；(3)如图3，点，Q、A两点均在x轴上，且．分别以为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，线段的长度是否会发生改变，若不变，求出的值，若有变化，求出的取值范围． 13．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以，为一边，向外作，，使得，，，连接，．与交于点，与的延长线交于点．(1)求证：；(2)连接，则______度（直接写结果）；(3)如果的面积为10，则的面积是______（直接写结果）． 14．（23-24九年级上·湖北十堰·期末）以△ABC的边AB，AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，M为EG的中点，连接AM．（1）如图1，∠BAC=90°，试判断AM与BC关系？ （2）如图2，∠BAC≠90°，图1中的结论是否成立？若不成立，说明理由；若成立，给出证明． 15．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图1，中，于点，以为直角顶点，分别以、为直角边，向外作等腰和等腰，过点，作射线的垂线，垂足分别为、．(1)试探究与之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，若连接交的延长线于，由（1）中的结论你能判断与的大小关系吗？并说明理由；(3)在（2）的条件下，若，．请直接写出______．    16．（23-24湖北省孝感市八年级上学期期中）在直角坐标系中，点，，在轴上，分别以为腰在第一，第二象限作等腰，等腰． (1)若，请写出点的坐标；(2)连交轴于点，求证：为的中点； (3)若，问是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，请说明理由． 17．（23-24陕西省安康市八年级上学期期末数学试题）（1）三角形的 线将三角形的面积平分（选填：高线、角平分线、中线）； （2）如图1，等腰直角三角形的直角顶点O在坐标原点，点A的坐标为，求点B的坐标； （3）依据（2）的解题经验，请解决下面问题：如图2，点，Q，A两点均在x轴上，且，分别以为腰在第一、第二象限作等腰，连接，与y轴交于点P，的长度是否发生改变？若不变，求的值；若变化，求的取值范围． 18．（23-24四川省眉山市八年级上学期期中数学试题）（1）【全等模型】如图1，已知：在中，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．则的数量关系为 ． （2）【类比探究】如图2现将【全等模型】的条件改为：在中，，直线l经过点M、D、E、A点，且．请判断（1）的结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）【灵活应用】如图3，过的边向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点I，若求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 全等三角形模型之婆罗摩笈多模型 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是七世纪时的印度数学家，在世时间约是公元 598年 ~ 660年。他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》。《婆罗摩修正体系》中有关数学的部分涉及到有关三角形、四边形、零、负数、一阶和二阶方程的研究，《肯达克迪迦》则是天文方面的著作，研究了关于月食、日食、行星的合等问题。他提出的一些概念在世界数学史上也有很高的地位，比如负数。以他命名的婆罗摩笈多定理又称“布拉美古塔”定理。本专题我们讲的就是由婆罗摩笈多定理演化而来的“婆罗摩笈多”模型。 2 模型1.“婆罗摩笈多”模型 2 51 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 模型1.“婆罗摩笈多”模型 婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形（即对角互补的四边形）的对角线互相垂直且相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点（反之亦能成立）。 模型特征：（1）△BCP和△ADP是两个等腰直角三角形，且直角顶点重合. 模型1）知中点证垂直 条件：分别以三角形ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，N为EG的中点，M、A、N三点共线。结论：AM⊥BC；BC=2AN；S△ABC=S△AEG 。 证明：（倍长中线法）延长AN到W，使NW=NA，连接EW。 在∆WEN和∆AGN中，NW=NA（已作），∠WNE=∠ANG（对顶角），EN=GN（已知） ∴∆WEN≌ ∆AGN(SAS)，∴EW=GA，∠EWN=∠GAN。 ∵∠EWN=∠GAN∴EW//GA，∴∠WEA+∠EAG=180°(平行线同旁内角)。 ∵∠GAC=90°，∠EAB=90°，∴∠EAG+∠CAB=180°，∴∠WEA=∠CAB。 ∵EW=GA，又∵GA=AC，∴EW=AC。 在∆EWA和∆ACB中：EA=AB，∠WEA=∠CAB，EW=AC，∴∆EWA ≌ ∆ACB(SAS)。 ∴WA=CB，∠EAW=∠ABC，∵∆ABC ≌ ∆EAW， ∴S∆EWA = S∆ACB。 ∵∆WEN≌ ∆AGN， ∴S∆WEN= S∆AGN，∴S∆ACB=S∆EWA =S∆AEN +S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=S△AEG。 ∵WN=AN，∴BC=2AN ，∵∠WAB=∠EAB+∠EAW。 又∵∠WAB=∠ABM+∠AMB（三角形外角性质），∴∠EAB+∠EAW=∠ABM+∠AMB。 ∵∠EAW=∠ABC（∠ABC即∠ABM），∴∠EAB+∠ABM=∠ABM+∠AMB。 ∴∠EAB=∠AMB，∴∠AMB=90°，即AM⊥BC。 模型2）知垂直证中点 条件：分别以∆ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM⊥BC。 结论：N为EG的中点；BC=2AN ；S△ABC=S△AEG。 证明：（法1:平行线法）作EW//AG，交AN的延长线于W，∵EW//AG，∴∠WEA+∠EAG=180°， ∵∠EAB和∠GAC为正方形的角，所以两个角均为90°，∴∠EAG+∠BAC=180°， ∴∠WEA=∠BAC，∵EW//AG，∴∠EWN=∠GAN， ∵∠GAN+∠MAC =90°，∵AM⊥BC，∴∠MAC+∠MCA=90°，∴∠MCA=∠GAN，∴∠MCA=∠EWN， 在∆ABC和∆EAW中，∠BCA=∠AWE，∠CAB=∠WEA，AB=EA，∴∆ABC ≌ ∆EAW(AAS) ， ∴AW=BC，∴WE=CA，∵CA=AG，∴WE=AG，∵EW//AG，∴∠WEN=∠AGN， 在∆WEN和∆AGN中，∠WEN=∠AGN，WE=AG，∠ENW=GNA，∴∆WEN≌ ∆AGN (ASA)， ∴EN=GN，即N为EG的中点，∴WN=AN，∴BC=AW=2AN， ∵∆ABC ≌ ∆EAW，∴S∆EWA = S∆ACB，∵∆WEN≌ ∆AGN， ∴S∆WEN= S∆AGN， ∴S∆ACB=S∆EWA =S∆AEN +S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=S△AEG。 （法2:三垂直模型法）作EX⊥AN，交AN的延长线于X，作GY⊥AN，将AN于Y。 ∵AM⊥BC，∴∠ABM+∠BAM=90°，∵∠EAB=90°，∴∠EAN+∠BAM=90°，∴∠ABM=∠EAN 在Rt∆ABM和Rt∆EAX中，∵∠ABM=∠EAN，∴∠AEX=∠BAM； 在Rt∆ABM和Rt∆EAX中，∠BAM=∠AEX，AB=EA，∠ABM=∠EAX； ∴Rt∆ABM ≌Rt∆EAX （ASA），∴AM=EX，同理可证：∴Rt∆AYG ≌Rt∆CMA （ASA），∴GY=AM； ∵AM=EX，∴GY=EX，在Rt∆EXN和Rt∆GYN中，∠ENX=∠GNY，∠EXN=∠GYN，EX =GY； ∴Rt∆EXN ≌ Rt∆GYN（AAS），∴EN=GN，即N为EG的中点； ∵Rt∆ABM ≌Rt∆EAX ，∴S∆ABM =S∆EAX，BM=AX，∵Rt∆AYG ≌Rt∆CMA，∴S∆AYG =S∆CMA，CM=AY； ∵Rt∆EXN ≌ Rt∆GYN，∴S∆EXN = S∆GYN，XN=YN； ∴S△ABC=S∆ABM+S∆CMA =S∆EAX+S∆AYG=S∆EAN +S∆ENX+S∆ANG-S∆GNY=S∆AEG； ∴BC=BM+CM=AX+AY=AN+NX+AN-YN=2AN。 其实该模型也可以模仿 模型1）中的倍长中线法，有兴趣的同学们可以自己去尝试以下哦！ 例1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点点Q在x轴的负半轴上分别以为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作，等腰、等腰连接交y轴于P点，则的值为 ．    【答案】 【分析】过作,交轴于，得到，得出， 后根据点, ,求得, 最后判定, 得出，即可求得结果． 【详解】过作,交轴于，则    ∵等腰等腰， ，∴， 又∵，∴, 在和中,，∴，∴， ∵，∴，∵点，即 ，，∵ ,， 在和中, ，， ，又，故答案为：. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用.证明及是解题的关键. 例2．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，以，为腰作等腰直角和等腰直角，其中，连接，为边上的高，延长交于点．有下列结论：①；②；③；④为中点． 其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等腰三角形的性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等腰三角形的性质是解题的关键． 由，则，可判断①的正误；当时，即，此时，可判断②的正误；如图，作于，的延长线于，证明，则，，同理，可证，则，，同理可证，则，，即为中点，可判断④的正误；由，可判断③的正误． 【详解】解：∵以，为腰作等腰直角和等腰直角， ∴，由题意知，， ∴，①正确，故符合要求；同理，， 由题意知，当时，即，此时，②错误，故不符合要求； 如图，作于，的延长线于，    ∵，，， ∴，∴，，同理，，，， ∴，∴，， ∵，，，∴， ∴，，∴为中点，④正确，故符合要求； ∴，③正确，故符合要求；故选：C． 例3．（23-24七年级下·重庆·期中）已知和，，，．连接、，过点作于点，反向延长线段交于点． (1)如图1，当时：请直接写出与的数量关系：____________（填“ ”、“”、“”） 求证： (2)如图2，当时，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)；见解析(2)成立，证明见解析 【分析】（1）证明出，即可得到，从而得到答案；先证明出，得到，从而推出，从而即可得到答案； （2）作于点，作交的延长线于点，通过证明，，可得到，，再，进行推理即可得到答案． 【详解】（1）解：，，，，， ，，， ，，， 在和中，，（SAS），，故答案为：； ，，，， ，，， ， ，，， 在和中，，（AAS），； （2）解：成立，证明如下：作于点，作交的延长线于点， ，，， ，，，，， ，， 在和中，，（AAS），， 同理可证（AAS），，， 在和中，，（AAS），，， ，，， ，，，，， ，，即，． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 例4．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）（1）【全等模型】如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．则DE、BD、CE的数量关系为______． （2）【类比探究】如图2现将【全等模型】的条件改为：在中，，直线经过点、、、点，且．请判断（1）的结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）【灵活应用】如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求△AEG的面积． 【答案】（1）DE=BD+CE，理由见解析；（2）（1）中结论不成立，CE=DE+BD，理由见解析；（3）24 【分析】（1）只需要证明△DBA≌△EAC得到BD=AE，AD=CE，即可证明DE=BD+CE； （2）利用三角形外角的性质分别证明∠ABD=∠CAE，∠ACE=∠BAD，即可证明△ACE≌△BAD得到AE=BD，CE=AD，从而推出CE=DE+BD；（3）如图所示，过点E作EN⊥IH于N，过点G作GM⊥HI交HI延长线于M，同（1）证明△ABH≌△EAN得到AH=EN，，△AHC≌△GMA，得到GM=AH=NE，，再证明△ENI≌△GMI得到，即可得到． 【详解】解：（1）DE=BD+CE，理由如下： ∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠ADB=∠CEA=90°，∴∠DBA+∠DAB=90°， ∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠EAC=90°，∴∠DBA=∠EAC， 又∵AB=CA，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE，∴DE=BD+CE； （2）（1）中结论不成立，CE=DE+BD，理由如下： ∵∠BDM=∠BAD+∠ABD，∠BAC=∠BAD+∠CAE，∠BDM=∠BAC， ∴∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAE，∴∠ABD=∠CAE， ∵∠DEC=∠ACE+∠CAE，∠BAC=∠DEC，∴∠ACE+∠CAE=∠BAD+∠CAE，∴∠ACE=∠BAD， 又∵AB=CA，∴△ACE≌△BAD（AAS），∴AE=BD，CE=AD， ∵AD=DE+AE，∴CE=DE+BD，∴（1）中结论不成立； （3）如图所示，过点E作EN⊥IH于N，过点G作GM⊥HI交HI延长线于M， 由题意得∠BAE=∠CAG=90°，AB=AE，AG=AC， ∵AH⊥BC，EN⊥HI，∴∠ENA=∠AHB=90°，∴∠HAB+∠HBA=90°， ∵∠BAE=90°，∴∠NAE+∠HAB=90°，∴∠NAE=∠HBA， 又∵AB=EA，∴△ABH≌△EAN（AAS），∴AH=EN，， 同理可证△AHC≌△GMA，∴GM=AH=NE，， ∵∠ENI=∠GMI=90°，∠EIN=∠GIM，EN=GM，∴△ENI≌△GMI（AAS），∴， ∵，∴，∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，正确理解题意掌握一线三垂直模型是解题的关键． 例5．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题情境】（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果米，那么间的距离为______米．                     【探索应用】（2）如图2，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是______； 【拓展提开】（3）如图3，在中，，，的延 长线交于点F，求证：．    【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明，由全等三角形的性质即可得，据此可得答案； （2）延长到点E使，再连接，由“”可证，可得，由三角形三边关系可得； （3）在上截取，易证，可得和，进而证明，可得，即可解题． 【详解】解：（1）在和中，， ∴，∴米；故答案为：； （2）延长到点E使，再连接，如图所示，      ∵是边上的中线，∴， 在和中，，∴，∴， ∵在中，，∴，∴，故答案为：； （3）在上截取，∵， ∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴， 在和中，，∴，∴，∴． 例6．（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    (1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系．在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． (2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)；，证明见解析；(2)是的“旋补中线”， 证明见解析 【分析】（1）材料：三角形三边关系可得，进而可得中线的取值范围； 探索一：延长至点E使，连接，证明，可得，，求出，再证，根据全等三角形的性质可得结论； （2）作于H，作交延长线于F，求出，证明，可得，同理证明，可得，求出，可证，根据全等三角形的性质可得，然后可得是的“旋补中线”． 【详解】（1）解：材料：由题意得：，，， 由三角形三边关系可得：，即，∴，故答案为：； 探索一：；证明：如图1，延长至点E使，连接，       ∵是的“旋补中线”，∴是的中线，即， 又∵，∴，∴，， ∵，∴，∵是的“旋补中线”，∴， ∵，，∴， ∵，，∴，∴． （2）是的“旋补中线”； 证明：如图，作于H，作交延长线于F， ∵，∴，∴， ∵，即，∴，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴是的中线，∴是的“旋补中线”． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 1．（23-24江苏省宿迁市八年级月考）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于P，过点G作于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正方形的性质可得可求出，由“边角边”可得，可判断①是否正确；设、相交于点N，由可得，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出，再证明，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答． 【详解】解：在正方形和中，，， ，即， 在和中，，， ，，故①正确； 设相交于点N，，， ， ，，故②正确； 过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示： ，，， ，， 在和中，，， ，，故④正确； 同理可得，，在和中， ，，， ，是的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确，共4个．故选：D． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，点为射线上的一个动点，分别以，为直角边，为直角顶点，在两侧作等腰、等腰，连接交于点，当点在射线上移动时，的长为 ． 【答案】4 【分析】过点作，垂足为点，首先证明，得到；进而证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，    ，，， 、均为等腰直角三角形，，； 在与中，，，，； ，，在与中，，， ；而，，故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答． 3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，分别以、为一直角边作等腰直角、，连接交的延长线于F，则的面积为 ． 【答案】 【分析】作交的延长线于点H．先证≌，推出，，再证≌，推出，最后利用三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】解：如图，作交的延长线于点H． 则，， 是等腰直角三角形，，， ，． 在和中，∵， ≌,，． 是等腰直角三角形，，，． 在和中，  ∵，≌, ．．故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式等，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 4．（23-24八年级下·内蒙古乌海·期末）在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是 ． 【答案】①②③④ 【分析】根据正方形的性质和SAS可证明△ABG≌△AEC，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后根据三角形的内角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判断②；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，根据余角的性质即可判断④；利用AAS即可证明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP＝GQ，再利用AAS可证明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，从而可判断③，于是可得答案． 【详解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠CAE＝∠BAG， ∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG＝CE，故①正确； 设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1， ∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE＝∠AGB， ∵∠AKG＝∠NKC，∴∠CNG＝∠CAG＝90°，∴BG⊥CE，故②正确； 过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2， ∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAE＝90°，∴∠EAP+∠BAH＝90°， ∴∠ABH＝∠EAP，即∠EAM＝∠ABC，故④正确； ∵∠AHB=∠P=90°，AB=AE，∴△ABH≌△EAP（AAS）， ∴EP＝AH，同理可得GQ＝AH，∴EP＝GQ， ∵在△EPM和△GQM中，，∴△EPM≌△GQM（AAS）， ∴EM＝GM，∴AM是△AEG的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确．故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键． 5．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，分别与、为直角边向外作等腰直角、，连结交的延长于点M，则的长为 cm． 【答案】2 【分析】过点E作于H，由得，，再证明得即可解决问题． 【详解】解：如图，过点E作于H， ∵，，∴， ∵，，∴， ∵和都是等腰三角形， ∴，，， 在和中，，∴（AAS）， ∴，， 在和中，，∴（AAS）． ∴，∴．故答案为：2． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，掌握添加辅助线的方法． 6．（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）综合与实践 问题引入：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形的三边关系从而求出的取值范围．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中． 理解应用：（1）请你根据小明的思路，求的取值范围； 感悟应用：（2）如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，求证：； 延伸拓展：（3）如图3，在和中，，，，连接、，过点A作于点M，反向延长交于点N，求证：． 【答案】（1）（2）见解析（3）见解析 【分析】（1）延长至点E，使，连接，证明，得出，求出，得出即可； （2）延长至点F，使得，连接，则，证明，得出，，，证明，得出即可得出结论； （3）过点E作，延长交于点F，证明，得出，， 证明，得出，即可证明结论． 【详解】解：（1）如图1，延长至点E，使，连接， 图1 ∵D是中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在中， ∴， 即， ∴， ∴； （2）如图2，延长至点F，使得，连接，则， 图2 ∵E是中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴， 在和中， 得， ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图3，过点E作，延长交于点F， 图3 ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 7．（23-24八年级上·湖南永州·期末）（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线的取值范围是______； （2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：； （3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）， 【分析】（1）延长至，使，连接，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可； （2）延长至点，使，连接，利用“”证明，易得，可知为的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得，然后由三角形的三边关系可证明结论； （3）延长于，使得，连接，延长交于，首先证明，由全等三角形的性质可得，，再证明，可得，，进而可证明． 【详解】解：（1）如图1，延长至，使，连接， ∵为边上的中线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据三角形三边关系可得：， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）如图2中，延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴； （3）结论：，， 如图3，延长于，使得，连接，延长交于， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形内角和定理、三角形中线、垂直平分线的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 8．（23-24七年级下·山东泰安·期末）【问题情境】 如图1，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，，求证：F为的中点． 【探究实践】 （1）小明发现：分别过点A、D向直线作垂线段，利用全等三角形的知识就能解决问题．请你根据小明的发现完成证明过程 【拓展应用】 小华想到了我们研究数学命题的思路，提出问题：这个问题的逆命题成立吗？于是小华写出了已知、求证，并画出了图形 已知：如图2，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，F为中点，求证：． （2）小聪说：我利用倍长中线的方法和全等三角形的知识就能解决这个问题． 请你根据小聪的思路在图2中作出辅助线，并完成证明过程． （3）小刚说：我不但证明了小华的问题，还发现了新结论：线段与线段，与的面积都有一定的数量关系． 请你直接写出小刚说的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题关键是利用倍长中线模型构造全等三角形证明线段关系． （1）过点A作，垂足为M，过点D作，垂足为N， 根据一线三垂直模型证明，可得，，进而证明，即可得到，即F为的中点． （2）延长到点G，使，连接，可得，可得，，再证明，进而证明，从而可得，由，可得，即可证明结论； （3）由可得，，再结合，可得，由此得出结论． 【详解】（1）过点A作，垂足为M，过点D作，垂足为N， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴ 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：； ∴， 又∵，， ∴， ∴，即F为的中点． （2）延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）由（2）得：， ∴， ， ∵， ∴，， ∴，． 9．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE ＝ AD，连接BE．利用全等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_________，中线AD的取值范围是_________； （2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN． 求证：BM＋CN＞MN； （3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝ 90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由． 【答案】（1）SAS，＜AD＜；（2）见解析；（3）2AD=MN，AD⊥MN，理由见解析 【分析】（1）阅读理解：由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=8，在△ABE中，由三角形的三边关系即可得出结论． （2）问题解决：延长ND至点F，使FD=ND，连接BF、MF，同（1）得：△BFD≌△CND，由全等三角形的性质得出BF=CN，由线段垂直平分线的性质得出MF=MN，在△BFM中，由三角形的三边关系即可得出结论． （3）问题拓展：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，由（1）得：△BAD≌△CED，由全等三角形的性质得出∠BAD=∠E，AB=CE，证出∠ACE=∠MAN，证明△ACE≌△NAM得出AE=MN，∠EAC=∠MNA，则2AD=MN．延长DA交MN于G，证出∠AGN=90°，得出AD⊥MN即可． 【详解】解：（1）阅读理解：如图1中，∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， ∵AD=DE，∠ADC=∠BDE， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴BE=AC=8， 在△ABE中，由三角形的三边关系得：BE-AB＜AE＜BE+AB， ∴8-5＜AE＜8+5，即3＜AE＜13， ∴＜AD＜， 故答案为：SAS，＜AD＜； （2）问题解决：证明：如图2中，延长ND至点F，使FD=ND，连接BF、MF， 同（1）得：△BFD≌△CND（SAS）， ∴BF=CN， ∵DM⊥DN，FD=ND， ∴MF=MN， 在△BFM中，由三角形的三边关系得：BM+BF＞MF， ∴BM+CN＞MN． （3）问题拓展：解：结论：2AD=MN，AD⊥MN． 理由：如图3中，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，延长DA交MN于G． 由（1）得：△BAD≌△CED， ∴∠BAD=∠E，AB=CE， ∵∠BAM=∠NAC=90°， ∴∠BAC+∠MAN=180°， 即∠BAD+∠CAAD+∠MAN=180°， ∵∠E+∠CAD+∠ACE=180°， ∴∠ACE=∠MAN， ∵△ABM和△ACN是等腰直角三角形， ∴AB=MA，AC=AN， ∴CE=MA， ∴△ACE≌△NAM（SAS）， ∴AE=MN，∠EAC=∠MNA， ∴2AD=MN． ∵∠NAC=90°， ∴∠EAC+∠NAG=90°， ∴∠MNA+∠NAG=90°， ∴∠AGN=90°， ∴AD⊥MN． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；正确作出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键． 11．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是___________； A．        B．        C．        D． （2）求得的取值范围是___________； 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，，，，连接．请写出与的数是关系，并说明理由．             图1                    图2 【答案】（1）B；（2）；（3），理由见解析． 【分析】本题考查了判定三角形全等与求三角形第三边的取值范围，解题的关键熟知判定定理与法则． （1）根据两个三角形对应的两边及其夹角相等来判断三角形全等，即． （2）根据“三角形任意一边小于其它两边之而大于其它两边的之差”即可求解． （3）如图2，延长至，使，连接，则，容易证明，则，则，再由圆周角为及三角形内角和定理可推得，于是可证，于是，因此． 【详解】（1）∵ ∴ 故选：B． （2）在中， ∵ ∴ 即：； 故答案为： （3）解：，理由如下： 如图2，延长至，使，连接，则， 图2 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ． 12．（23-24河南省信阳市八年级上学期期末数学试题）等腰，，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求B点的坐标； (3)如图3，点，Q、A两点均在x轴上，且．分别以为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，线段的长度是否会发生改变，若不变，求出的值，若有变化，求出的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的值不会发生变化，为定值 【分析】（1）根据两锐角都与互余证明即可； （2）过点B作轴于D，证明，求出，由点B在第三象限，得到B的坐标； （3）过N作，交y轴于H，证明，推出，利用点，求出，得，再证明，推出，由此得到． 【详解】（1）证明：解：∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，过点B作轴于D，则， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 又∵点B在第三象限， ∴ ； （3）解：的值不会发生变化，为定值，理由如下： 过N作，交y轴于H，则， ∵等腰、等腰， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，（3）是解题的难点，正确引出辅助线是此题解题的关键． 13．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以，为一边，向外作，，使得，，，连接，．与交于点，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)连接，则______度（直接写结果）； (3)如果的面积为10，则的面积是______（直接写结果）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明，结合已知条件，即可证明； （2）连接，过点作垂足分别为， 根据全等三角形的性质，设，根据三角形内角和定理得出，证明得出，可得平分，即可求解； （3）过点作于点，过点作于点，证明，，，根据全等三角形的性质得出，即为的中线，，进而根据三角形中线的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：如图所示，连接，过点作垂足分别为， ∵ ∴， 设 ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴, ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴平分 ∴， 故答案为：． （3）如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵是边上的高，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即为的中线， ∴ ， 即． 又为的中线 ∴的面积是 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质和判定，角平分线的性质与判定，三角形的中线的性质；解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题意画出辅助线，构建全等三角形． 14．（23-24九年级上·湖北十堰·期末）以△ABC的边AB，AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，M为EG的中点，连接AM． （1）如图1，∠BAC=90°，试判断AM与BC关系？ （2）如图2，∠BAC≠90°，图1中的结论是否成立？若不成立，说明理由；若成立，给出证明． 【答案】(1)证明见解析；(2)结论仍然成立，理由见解析. 【分析】（1）结论：AM=BC．易知AM=EG，只要证明△BAC≌△EAG即可解决问题； （2）结论仍然成立．延长AM到N，使得AM=MN，连接EN、NG．只要证明△BAC≌△AEN，即可解决问题． 【详解】（1）结论：AM=BC． 理由：∵∠BAC=∠EAG=90°，EM=GM， ∴AM=EG， 在△BAC和△EAG中， ， ∴△BAC≌△EAG， ∴BC=EG， ∴AM=BC． (2)（1）中结论仍然成立． 理由：延长AM到N，使得AM=MN，连接EN、NG． ∴EM=MG，AM=MN， ∴四边形AENG是平行四边形， ∴EN=AG，EN∥AG， ∴∠NEA+∠EAG=180°， ∵∠BAE=∠CAG=90°， ∴∠BAC+∠EAG=180°， ∴∠NEA=∠BAC， ∵AB=AE，AC=EN， ∴△BAC≌△AEN， ∴BC=AN， ∴AM=BC． 【点睛】本题考查正方形的性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质、平行时四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 15．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图1，中，于点，以为直角顶点，分别以、为直角边，向外作等腰和等腰，过点，作射线的垂线，垂足分别为、．    (1)试探究与之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若连接交的延长线于，由（1）中的结论你能判断与的大小关系吗？并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，．请直接写出______． 【答案】(1)，证明见解析 (2)结论：，证明见解析 (3)60 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质等知识，熟练运用全等三角形的性质是解题关键． （1）利用“”证明，，由全等三角形的性质可得，，即可证明结论； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得结论； （3）根据全等三角形的性质，由，即可获得答案． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； （2）结论：，证明如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）∵，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：60． 16．（23-24湖北省孝感市八年级上学期期中）在直角坐标系中，点，，在轴上，分别以为腰在第一，第二象限作等腰，等腰． (1)若，请写出点的坐标；(2)连交轴于点，求证：为的中点； (3)若，问是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)的值不变，． 【分析】（1）过点作轴，通过证明，即可求解； （2）过点作轴，过点作轴，通过证明，即可求解； （3）设，，根据可得，由（2）可得，，，求得点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：过点作轴，如下图： 由题意可得：，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴，即 （2）过点作轴，过点作轴，如下图： 由（1）可得： ∴ 同理可得： ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴，即为的中点 （3）不变，为， 设，， 解得 由（2）可得：，， ∴， ∴， 又∵为的中点 ∴ ∴ 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，“一线三等角”模型，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 17．（23-24陕西省安康市八年级上学期期末数学试题）（1）三角形的 线将三角形的面积平分（选填：高线、角平分线、中线）； （2）如图1，等腰直角三角形的直角顶点O在坐标原点，点A的坐标为，求点B的坐标； （3）依据（2）的解题经验，请解决下面问题：如图2，点，Q，A两点均在x轴上，且，分别以为腰在第一、第二象限作等腰，连接，与y轴交于点P，的长度是否发生改变？若不变，求的值；若变化，求的取值范围． 【答案】（1）中线；（2）；（3）的值不变，总等于9 【分析】（1）根据三角形的中线平分面积，作答即可； （2）过B作轴于点E，过A作轴于点D，证明，得到，即可； （3）过点作轴于D，过N点作轴于B，证明，得到，根据三角形的面积公式，求出的长，再根据，得到的长，进而求出的长即可． 【详解】解：（1）∵三角形的中线平分面积， 故答案为：中线； （2）过B作轴于点E，过A作轴于点D， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又点B在第二象限， ∴； （3）过点作轴于D，过N点作轴于B，则：， 同法（2）可得：， 又∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：OP的值不变，总等于9． 【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中线．掌握相关知识点，构造全等三角形，是解题的关键． 18．（23-24四川省眉山市八年级上学期期中数学试题）（1）【全等模型】如图1，已知：在中，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．则的数量关系为 ． （2）【类比探究】如图2现将【全等模型】的条件改为：在中，，直线l经过点M、D、E、A点，且．请判断（1）的结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）【灵活应用】如图3，过的边向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点I，若求的面积． 【答案】（1）；（2）不成立，理由见解析；（3）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，正确理解题意掌握一线三垂直模型是解题的关键． （1）只需要证明得到即可证明； （2）利用三角形外角的性质分别证明即可证明得到从而推出； （3）如图所示,过点作于,过点作交延长线于，同（1）证明得到,得到 再证明得到即可得到． 【详解】解：（1）理由如下： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴； （2）（1）中结论不成立, 理由如下： ∵ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴（1）中结论不成立； （3）如图所示, 过点作于, 过点作交延长线于, 由题意得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 同理可证 ∴ ∵，， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$