精品解析：江西省景德镇一中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（20班）

高二（20）班上学期期中测试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设 ，，若直线与圆相切，则的取值范围是． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为直线与圆相切,所以，即，所以，所以的取值范 围是． 考点：圆的简单性质；点到直线的距离公式；基本不等式． 点评：做本题的关键是灵活应用基本不等式，注意基本不等式应用的前提条件：一正二定三相等． 2. 已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由条件确定点 的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求的最小值. 【详解】∵ 抛物线 的方程为， ∴ ，抛物线 的准线方程为， ∵ 方程可化为， ∴过定点 ， 设，设的中点为，则，因为， 为垂足， ∴，所以， 即点 的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 过点作准线的垂线，垂足为，则, ∴ ,，又，当且仅当三点共线且 在之间时等号成立， ∴ ， 过点作准线的垂线，垂足为，则,当且仅当三点共线时等号成立， ∴ ，当且仅当四点共线且 在之间时等号成立， 所以的最小值为， 故选：A. 3. 已知底面边长为a的正四棱柱内接于半径为的球内，E，F分别为，的中点，G，H分别为线段，EF上的动点，M为线段的中点，当正四棱柱的体积最大时，的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出正四棱柱的高 ，表示出体积，用导数求得最大值，得正四棱柱为正方体，的最小值就是点G到EF的距离，为 的中点（即 与的交点）时，，然后两个，沿展开翻折至共面．如图，当M，G，H三点共线时，最小，由此计算可得． 【详解】正四棱柱的高． ，令， 则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当 时，的最大值为． 当 时，，此时正四棱柱为正方体． 的最小值就是点G到EF的距离， 由正方体的性质知，，（因为正方体的棱与底面垂直，因此与底面内的直线垂直），与是平面内两相交直线， 因此 平面， 而E，F分别为，的中点，因此，所以平面， 易知当H为EF的中点时，，平面，所以， 动线段GH，GM分别在，内，将两个平面沿展开翻折至共面．如图，当M，G，H三点共线时，最小，可得，又因为M为线段的中点， 所以． 故选： 【点睛】方法点睛：求空间线段之和的最小值问题，常用方法是把两条线段所在平面剪开摊平到一个平面，利用平面上两点间线段最小的性质求解，这里动点一般在两个平面的交线上，沿此交线摊平两个平面是基本思路． 4. 若数列中，，，且，记数列的前n项积为，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列的周期性，即可求解. 【详解】由题意，得，，，，，， 发现数列是以6为周期的数列，且前6项积为1，则，， 所以原式的值为， 故选：D． 5. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立 间的等量关系是求解的关键. 6. 若，则当 ，1，2，…，100时（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用比大小的方法，即可求出k的值. 【详解】解：由题意得： 即， 化简得：， 又k为整数,可得,所以， 故选：C． 7. 如图，已知四棱柱的体积为，四边形是平行四边形，点在平面内，且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出辅助线，找到两三棱锥的公共部分，结合三角形相似知识得到边长比，从而得到体积比，求出答案. 【详解】先找两三棱锥的公共部分，由知：，故， 在上取点，使得，连接， 设，连接， 则三棱锥为三棱锥与三棱锥的公共部分， ∵∽， ， 点到平面的距离是点到平面的距离的，又， . 故选：A. 8. 在打结计时赛中，现有5根绳子，共有10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束．则这5根绳子恰好能围成一个圈的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可以把问题看做10个绳头平均分成5组，按平均分组问题求总的基本事件，再求恰好能围成一个圆的基本事件数，结合古典概型计算. 【详解】10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有的打结方式有：种. 其中恰好能围成一个圈的打结方式有：种. 所以5根绳子恰好能围成一个圈的概率为：. 故选：D 【点睛】方法点睛：（1）10个绳头打结，按要求，每次打结都减少2个绳头，所以可以把问题看成平均分组来解决. （2）恰好围成一个圆时，先选1根绳子，不能两端打结，只能从其余的8个绳头选1个打结，完成后，这段绳子不能两端打结，再从其余的6个绳头选1个…，最后这段绳子两端打结. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式共有项 B. 对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若一个样本点为，则实数 的值是 C. 已知随机变量 服从正态分布，若，则 D. 已知，若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】令 可构造方程求得，知展开式有 项，知A错误；根据样本点未必在回归直线上可知B错误；由，结合正态分布曲线对称性可知C正确；根据二项分布方差公式可求得，由方差性质可得，知D正确. 【详解】对于A，令 ，则展开式所有项系数和为，解得：，则展开式共有 项，A错误； 对于B，样本点不一定在回归直线上，不一定是 ，B错误； 对于C，，， ，，C正确； 对于D，，， ，，D正确. 故选：CD. 10. 在如图所示试验装置中，两个长方形框架与全等，，，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在长方形对角线与 上移动，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的长最小等于 C. D. 当 的长最小时，二面角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量数量积的运算即可判断选项A；利用空间两点间距离公式，结合二次函数的性质求解，即可判断选项B；根据棱锥的体积公式计算即可判断选项C；当 的长最小时，分别是的中点，取 中点，可得 是二面角的平面角，由余弦定理求解即可判断选项D. 【详解】对于A，由题意可知，两两互相垂直， 以点B为原点，所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，故A正确； 对于B，， ∵，∴当时， 的长取最小值，故B正确； 对于C，∵， ∴三棱锥底面上的高， 边上的高为， ∴，故C错误； 对于D，当 的长最小时，，此时分别是的中点， 取 中点，连接和 ， ∵， ∴， ∴ 是二面角的平面角， 中，, 可得，同理可得， 在中，由余弦定理可得， 即二面角的余弦值为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知双曲线：的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，连接，，与双曲线左支交于点 ，与渐近线分别交于点，，则（ ） A. B. 过的双曲线的弦的长度的最小值为8 C. D. 点到两条渐近线的距离的积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】依次求点的坐标，根据两点间的距离公式，判断A的真假；因为实轴也是过焦点的弦，可以判断B的真假；结合点坐标，求面积，判断C的真假；利用点到直线的距离公式判断D的真假. 【详解】如图： 由，且点在第一象限，所以. 又，所以直线的方程为：. 由，且 点在双曲线的左支上，所以. 因为双曲线的渐近线方程为， 由得，或， . 对A：若，，则 ， ，所以； 若， ，则，，所以. 综上：A正确； 对B：因为双曲线的实轴长为2，故B错误； 对C：因为，故C正确； 对D：由，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：联立方程，根据条件求出各点的坐标，再去判断个选项的准确性，从思维量上来讲，是比较省劲的方法. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校安排高一年级（1）～（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高（1）班被安排到A基地的排法总数为__________种． 【答案】60 【解析】 【分析】高（1）班分类，只有高一（1）班被安排到A基地，还有一个班和高一（1）班一起被安排到A基地，利用排列组合求解. 【详解】5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，如果是只有高一（1）班被安排到A基地，那么总的排法是种，如果是还有一个班和高一（1）班一起被安排到A基地，那么总的排法是种，所以高一（1）班被安排到A基地的排法总数为 种． 故答案为：60. 13. 设直线与两坐标轴的交点分别为 ，点 为线段的中点，若圆上有且只有一个点 ，使得直线平分，则______. 【答案】或1 【解析】 【分析】根据点 为线段的中点，直线平分可得 在的垂直平分线上，且垂直平分线与圆仅有一个不与C重合的交点可求解. 【详解】点 为线段的中点，直线平分， 在的垂直平分线上， 因为所以中垂线的斜率为， 的中点为，由点斜式得， 化简得， 在圆满足条件的 有且仅有一个， 直线与圆相切或圆过点C， 当直线与圆相切时，； 当直线过点C时，. 故答案为: 或1. 14. 已知椭圆 的左、右焦点分别为，， 为椭圆上的动点．若的外接圆和内切圆的半径之积的最大值为，则该椭圆的离心率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用正弦定理可得外接圆半径；利用余弦定理结合椭圆的定义，通过等面积法可得内切圆半径，当 为椭圆的短轴顶点时取得最大值，结合题意可得，即可得出离心率． 【详解】 设，则由正弦定理得的外接圆半径， 由余弦定理得， ∴， ∴， ∴，整理得， 设内切圆半径为，所以由等面积法可得 ， 即，解得 所以两半径之积， 由题意，为锐角，当 为椭圆的短轴顶点时，最大，此时， 则，所以， 所以，当 为椭圆的短轴顶点时取等号， 由题意得，解得， 则该椭圆的离心率为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正数数列，，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前 项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因式分解，从而可推导得，再利用累乘法计算数列的通项公式；（2）根据裂项相消法计算数列的前 项和. 【小问1详解】 ∵， ∴， 又，∴，即． 又， 且，∴ 【小问2详解】 ，∴，， 又， ∴. 16. 设椭圆 的左右焦点分别为是该椭圆C的右顶点和上顶点，且，若该椭圆的离心率为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线l与椭圆C交于两点，且与x轴交于点若直线与直线的倾斜角互补，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件中离心率已知，结合建立方程组求得 ，得到椭圆的标准方程； （2）根据两条直线的倾斜角互补，建立斜率关系，并用坐标进行表示.然后设定直线方程与椭圆联立后消元化简，并表示根与系数的关系，代入前式，确定直线所过定点，再分别利用弦长公式及点到直线的距离公式表示三角形面积，通过换元构造基本不等式求得面积的最值. 【小问1详解】 由题可得，， 所以 因为椭圆的离心率为所以，结合椭圆中可知，所以椭圆C的标准方程为 【小问2详解】 ，设 因为直线与直线的倾斜角互补， 所以可知， 即， 化简得 设直线， 将代入上式， 整理可得 且由消元化简可得 ， 所以，代入上式 由， 解得 所以 因为点到直线PQ的距离， 且 所以 令，则 所以，. 当且仅当 ，时取等号. 所以的面积的最大值为 【点睛】（1）倾斜角互补，可转化为斜率和为0； （2）圆锥曲线中面积最值问题，通常都是把面积表示出来，用基本不等式求最值. 17. 如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形 为平行四边形，对角线和 相交于点H，平面 ⊥平面，，，G是线段 上一动点（不含端点）． （1）当点G为线段BE的中点时，证明：平面 ； （2）若，且直线与平面 成角，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由三角形中位线和边长关系可知四边形是平行四边形，即可证明平面 ； （2）根据题意可知，以 为原点建立空间直角坐标系，可设利用空间向量即可表示出，进而确定点位置，再分别求得两平面的法向量即可得出二面角的正弦值为. 【小问1详解】 证明： 连接，如下图（1）中所示： 因为四边形 为平行四边形，所以是中点， 又点为线段 的中点，则 ，且, 又且 ，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面 ，平面 ，所以平面 ； 【小问2详解】 以 为原点，为轴，过 且在平面 内与 垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图（2）所示： 由平面 ⊥平面，，可知， 均为边长为2的正三角形， 则有， 设， 则， 为平面 的法向量， 所以， 解得（其中舍去）,所以， 设平面的法向量为，则有， 令，则，故可取． 设平面的法向量为，则有， 令，则，故可取 所以． 所以二面角的正弦值为． 即二面角的正弦值为. 18. 如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上的一个动点．以为焦点、为顶点作抛物线．设 为第一象限内抛物线 上的一点，为轴负半轴上一点，设，使得 为拋物线 的切线，且．圆均与直线切于点 ，且均与轴相切． （1）试求出 之间的关系； （2）是否存在点，使圆与的面积之和取到最小值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意，设出直线方程，联立其与椭圆方程，根据相切，利用根的判别式为零，求得，表示出直线方程，写出 的坐标，利用弦长公式，可得答案； （2）根据切线长定理，可得线段相等与三角形相似，建立方程，表示出，利用三点共线，建立方程，可得与的等量关系，利用圆的面积公式，整理其函数关系，结合基本不等式，可得答案. 【小问1详解】 由条件抛物线C：，点， 设，将其与抛物线C的方程联立，消去得．① 因为 与抛物线C切于点P，所以，方程①的判别式为，解得． 进而，点．故． 由，则．②∴. 【小问2详解】 设的圆心分别为． 注意到，与圆切于点P．故． 设圆与轴分别切于 ，如图所示： 则分别为的角平分线，故，，, 易知，则， ． 结合式②有．③ 由三点共线得，化简可得．④ 令，于是，圆的面积之和． 根据题意，仅需考虑T取最小值的情形，根据③、④知 ． 令．由， ，． 当且仅当时，上式等号成立．此时，． 结合式②得．故点． 19. 现有一种不断分裂的细胞 ，每个时间周期 内分裂一次，一个 细胞每次分裂能生成一个或两个新的 细胞，每次分裂后原 细胞消失，设每次分裂成一个新 细胞的概率为，分裂成两个新 细胞的概率为；新细胞在下一个周期 内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的 细胞，在第一个周期 中开始分裂，其中. （1）设 结束后， 细胞的数量为 ，求 的分布列和数学期望； （2）设结束后， 细胞数量为 的概率为 . （i）求； （ii）证明：. 【答案】（1） 分布列为 （2）（i）； （ii）证明如下： 代表分裂 后有 个细胞的概率，设细胞 在 后分裂为 个新的 细胞，这两个 细胞在剩下的 中，其中一个分裂为 个 细胞，一个保持一直分裂为 个 细胞，此事件的概率 ， 得， ， 其中，. 令,， 记，,令 ，得. 当, ,递增； 当， ,递减. 故， 也就是. 【解析】 【分析】（1）求出 的取值及不同取值对应的概率，进而列出分布列，利用期望公式求出期望； （2）（i）求出第 时分裂为 个 细胞的概率，再用等比数列求和公式，即可求解； （ii）求出第 时分裂为 个 细胞的概率，再用等比数列求和公式，求出，再利用导数法确定函数的单调性，从而确定最值，即可得证. 【小问1详解】 个 结束后， 的取值可能为 ,其中, ， ，， 所以 分布列为 . 【小问2详解】 （i）表示分裂 结束后共有 个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成 个 细胞. 不妨设在第 时分裂为 个 细胞，之后一直有 个 细胞， 此事件概率， 所以 . （ii）略 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个，一是求解时，利用等比数列的知识求解；二是求解的最值时，根据解析式的特点，利用导数来求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二（20）班上学期期中测试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设，，若直线与圆相切，则的取值范围是． A. B. C. D. 2. 已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 3. 已知底面边长为a的正四棱柱内接于半径为的球内，E，F分别为，的中点，G，H分别为线段，EF上的动点，M为线段的中点，当正四棱柱的体积最大时，的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 若数列中，，，且，记数列的前n项积为，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则当 ，1，2，…，100时（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知四棱柱的体积为，四边形是平行四边形，点 在平面内，且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在打结计时赛中，现有5根绳子，共有10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束．则这5根绳子恰好能围成一个圈的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式共有项 B. 对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若一个样本点为，则实数的值是 C. 已知随机变量 服从正态分布，若，则 D. 已知，若，则 10. 在如图所示试验装置中，两个长方形框架与全等，，，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在长方形对角线与 上移动，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的长最小等于 C. D. 当的长最小时，二面角的余弦值为 11. 已知双曲线：的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，连接，，与双曲线左支交于点 ，与渐近线分别交于点，，则（ ） A. B. 过的双曲线的弦的长度的最小值为8 C. D. 点到两条渐近线的距离的积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校安排高一年级（1）～（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高（1）班被安排到A基地的排法总数为__________种． 13. 设直线与两坐标轴的交点分别为 ，点 为线段的中点，若圆上有且只有一个点 ，使得直线平分，则______. 14. 已知椭圆 的左、右焦点分别为，， 为椭圆上的动点．若的外接圆和内切圆的半径之积的最大值为，则该椭圆的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正数数列，，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前 项和． 16. 设椭圆 的左右焦点分别为是该椭圆C的右顶点和上顶点，且，若该椭圆的离心率为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线l与椭圆C交于两点，且与x轴交于点若直线与直线的倾斜角互补，求的面积的最大值. 17. 如图，在直角梯形ABCD中， ，，四边形 为平行四边形，对角线和 相交于点H，平面 ⊥平面，，，G是线段 上一动点（不含端点）． （1）当点G为线段BE的中点时，证明：平面 ； （2）若，且直线与平面 成角，求二面角的正弦值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上的一个动点．以为焦点、为顶点作抛物线．设 为第一象限内抛物线 上的一点，为轴负半轴上一点，设，使得 为拋物线 的切线，且．圆均与直线 切于点 ，且均与轴相切． （1）试求出 之间的关系； （2）是否存在点，使圆与的面积之和取到最小值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 现有一种不断分裂的细胞 ，每个时间周期 内分裂一次，一个 细胞每次分裂能生成一个或两个新的 细胞，每次分裂后原 细胞消失，设每次分裂成一个新 细胞的概率为，分裂成两个新 细胞的概率为；新细胞在下一个周期 内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的 细胞，在第一个周期 中开始分裂，其中. （1）设 结束后， 细胞的数量为 ，求 的分布列和数学期望； （2）设结束后， 细胞数量为的概率为 . （i）求； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $