第01讲：数列的概念【9大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

第01讲：数列的概念 【考点梳理】 · 考点一: 数列基本知识 · 考点二：判断或者写出数列的项 · 考点三：根据数列的单调性求数列的最大（小）项数 · 考点四：由递推公式求数列的指定项 · 考点五：利用Sn与an的关系求通项公式 · 考点六：观测法求通项公式 · 考点七：累乘法求通项公式 · 考点八：累加法求通项公式 · 考点九：数列概念综合问题 【知识梳理】 知识点一：数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 知识点二：数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 知识点三：函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 知识点四：数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点五：通项公式 1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 知识点六：数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 知识点七　数列的前n项和Sn与an的关系 1． 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．an＝ (1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件． (2)可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式组找到数列的最小项． 【题型归纳】 题型一:数列基本知识 1．（23-24高二上·广东东莞·期中）下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为 C．数列0，0，0，1，…是常数列 D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列 【答案】A 【分析】作差即可判断A项；代入检验，即可判断B项；根据常数列以及数列的概念，即可判断C、D. 【详解】对于A项，设， 则对恒成立， 所以，数列是递增数列.故A正确； 对于B项，当时，与第一项为0不符.故B项错误； 对于C项，数列中的项并不完全相同.故C项错误； 对于D项，根据数列的概念，数列与顺序有关. 所以，数列2，4，6，8与数列8，6，4，2不是相同的数列.故D项错误. 故选：A. 2．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）已知数列，则是这个数列的（　　） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第23项 【答案】D 【分析】 由即可得. 【详解】，故为第23项. 故选：D. 3．（22-23高二上·河南平顶山·期末）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列1，0，，与数列，，0，1是相同的数列 B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 C．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 D．数列，…的一个通项公式为 【答案】D 【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案. 【详解】对于选项A，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A错误； 对于选项B，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B错误； 对于选项C，当时，，故C错误； 对于选项D，因为，…，所以数列的一个通项公式为，故D正确. 故选：D 题型二：判断或者写出数列的项 4．（24-25高二上·甘肃白银·期中）已知数列，则该数列的第项为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列的前几项，得出数列的通项公式，即可求解. 【详解】因为数列为， 所以该数列的通项公式为，得到， 故选：D. 5．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知数列，则45是该数列中第（    ）项 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得通项公式，代入数据即可求解. 【详解】由已知条件可得：， 令解得：. 故选：C 6．（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知数列，则是这个数列的（    ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 【答案】B 【分析】根据规律可知数列的通项公式为，计算可得是这个数列的第22项. 【详解】由题意可得数列的通项公式为， 又，解得， 所以是这个数列的第22项． 故选：B． 题型三：根据数列的单调性求数列的最大（小）项数 7．（22-23高二下·辽宁辽阳·期末）在数列中，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，利用对勾函数的单调性，可得，从而可得答案. 【详解】由题意可得． 根据对勾函数与复合函数的单调性，在上递增，在上递减， 所以在中，， 当时，，； 当时，． 因为，所以， 所以的最大值是． 故选：D. 8．（2023·河南·模拟预测）已知数列的通项公式为，则当最小时，（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据给定的通项公式，探讨数列的单调性，求出最小时的n值作答. 【详解】数列中，，则，而， 于是当时，，即，当时，，即， 因此当时，数列单调递减，当时，数列单调递增， 所以当且仅当时，最小. 故选：C 9．（2023·贵州贵阳·模拟预测）已知数列的通项公式为，前n项和为，则取最小值时n的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由已知可推得当时，.又，即可得出答案. 【详解】解可得，或，即或. 所以，当时，. 又， 所以，当时，取最小值. 故选：C. 题型四：由递推公式求数列的指定项 10．（24-25高二上·福建漳州·期中）数列满足，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】按照数列的递推定义即可求解. 【详解】因为数列满足， 所以. 故选：C. 11．（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）数列满足，若，，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由递推公式可得答案. 【详解】因为，，， 则，， ，， 故选：C. 12．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据递推公式求出、即可. 【详解】因为且， 所以，解得，则，即，解得. 故选：C 题型五：利用Sn与an的关系求通项公式 13．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知数列的前项和为，且，则（    ） A．20 B．28 C．32 D．48 【答案】A 【分析】利用计算即可. 【详解】易知. 故选：A 14．（23-24高二上·四川成都·期末）若数列满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由与的关系求得，从而为常数列， 得到，即可求的值. 【详解】由及得， 即， 即， 所以，即为常数列， 又，所以，即， 所以， 所以. 故选：B 15．（23-24高二上·天津宁河·期末）若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用关系求通项公式. 【详解】当，则， 而，显然不满足上式，所以. 故选：D 题型六：观测法求通项公式 16．（24-25高二上·山东青岛）数列，…的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数列中每一项的特点可分析得到通项公式的结构. 【详解】由于数列的符号正负项间隔出现，故符号为， 且每项为，故数列的一个通项公式为. 故选：D. 17．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过规律即可求解. 【详解】由，可得的一个通项公式为. 故选：D. 18．（23-24高二下·安徽·期末）数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意逐一检验选项即可. 【详解】对于选项A：令，可得，不合题意； 对于选项B：代入检验均可，符合题意； 对于选项C：令，可得，不合题意； 对于选项D：令，可得，不合题意； 故选：B. 题型七：累乘法求通项公式 19．（22-23高二下·河南南阳）已知数列的项满足，而，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可得，然后利用累乘法可求得结果 【详解】由，得， 所以，，，……，，，（）， 所以， 所以， 因为，所以， 因为满足上式，所以， 故选：B 20．（22-23高二·全国·课后作业）数列中，，（为正整数），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合递推式特征，利用累乘法算出，进而可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：A 21．（22-23高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用累乘法即可求得. 【详解】因为， 所以， 上述各式相乘得， 因为，所以， 经检验，满足， 所以. 故选：D. 题型八：累加法求通项公式 22．（24-25高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可以采用累加法进行求解. 【详解】由，则 ， ， ， ， … ， 以上各式累加得． 所以． 因为也适合上式， 所以． 故选：B. 23．（2023·云南红河·一模）已知数列满足：，则（    ） A．21 B．23 C．25 D．27 【答案】A 【分析】 应用累加法求数列通项公式，再求出对应项. 【详解】由题设，……，，， 累加可得且，则， 显然也满足上式，所以. 故选：A 24．（22-23高二下·山东潍坊·阶段练习）已知数列满足，，则的通项为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】先把，利用累加法和裂项相消法可求答案. 【分析】因为，所以， 则当，时，， 将个式子相加可得， 因为，则， 当时，符合上式， 所以，，， 故选：D. 题型九：数列概念的综合问题 25．（24-25高二上·全国）写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是： (1)1，3，7，15，31，…； (2)，，，，，…； (3)，，，，，…； (4)，，，，…. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】通过观察每组数据的特征，找出对应的规律即可得出（1）（2）（3）（4）组数据的通项公式. 【详解】（1）由，，，，，…，可得 （2）由，，，，，…，可得. （3）由，，，，，…，可知奇数项为负数，偶数项为正数，可得. （4）由，，，，…，可得. 26．（24-25高二上·全国·课后作业）（1）已知数列的前n项和，求的通项公式； （2）已知数列中，，，求数列的通项公式． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据之间的关系进行求解即可； （2）运用累乘法进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，，符合上式， 所以的通项公式是． （2）因为，所以当时，， 所以，，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘， 得，即， 所以． 当时，，符合上式． 所以数列的通项公式是． 27．（24-25高二上·广西柳州·期中）（1）已知数列的前n项和，求这个数列的通项公式； （2）已知数列的通项公式为前n项和为.求取得最小值时n的值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由数列中与的关系即可求解； （2）首先求出数列的正负项，再判断取得最小值时n的值. 【详解】（1）因为， 当时，， 所以， 又时，不满足上式， 故数列的通项公式为. （2）当，，解得：， 当和时，， 所以取得最小值时，. 【高分达标】 一、单选题 28．（24-25高二上·山东·期中）已知数列的通项公式为，则该数列是（   ） A．摆动数列 B．递减数列 C．递增数列 D．常数数列 【答案】A 【分析】根据数列通项公式判断选项即可. 【详解】由数列通项公式为知，数列奇数项为负，偶数项为正， 故数列为摆动数列， 故选：A 29．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列满足，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据递推公式直接代入运算求解. 【详解】因为， 令，可得； 令，可得； 令，可得； 令，可得； 故选：C. 30．（24-25高二上·福建·期中）已知数列的通项公式为，下列说法正确的是（   ） A．数列从第3项起各项数值逐渐增大 B．当时，取最大值 C．是该数列的项 D．数列的图象与的图象相同 【答案】C 【分析】利用数列的函数特性，结合二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，，由二次函数的性质可知从起起各项数值逐渐增大，故A错误； 对于B，由，可知时，取最大值，无最大值，故B错误； 对于C，令，可得，解得或， 所以是数列中的项，故C正确； 对于D，数列的图象是函数的图象中横坐标为正整数的孤立的点， 所以数列的图象与的图象不相同，故D错误. 故选：C. 31．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的单调性，结合可得. 【详解】因为，且数列是递增数列， 所以，即. 故选：C 32．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A．10 B．55 C．89 D．99 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出数列的递推公式，再依次计算求出. 【详解】依题意，（，），，， 所以. 故选：C 33．（24-25高三上·广东汕头·开学考试）已知数列，则数列的前100项中的最小项和最大项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先化简，再借助函数的单调性分析得解. 【详解】， 因为， 所以时，数列单调递增，且；时，数列单调递增，且. ∴在数列的前100项中最小项和最大项分别是. 故选：B. 34．（2024高二·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，且对任意的两个正整数，都有，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知数列为递增数列，根据数列的单调性求参数的取值范围. 【详解】因为对任意的两个正整数，都有， 所以数列是递增数列，当时，，可得， 当时，，即，解得， 又，所以，解得或． 综上，实数t的取值范围是． 故选：C 二、多选题 35．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）若数列的通项公式为，则（    ） A．该数列仅有6个正数项 B．该数列有无限多个负数项 C．该数列的最大项就是函数的最大值 D．是该数列中的一项. 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用数列的通项公式可逐项分析判断各个选项. 【详解】对于选项A，B，令，解得， 所以数列前6项为正数项，从第7项开始后面的项均为负数项，故A，B正确； 对于C，由，当时，数列取到最大值， 而对函数，当时，取到最大值，故C错误； 对于D，令，解得或（舍去），即是该数列的第10项，故D正确. 故选：ABD. 36．（2024高三·全国·专题练习）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列-2022，0，4与数列4，0，-2022是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第10项 C．数列1，，，2，，…的第8项是 D．数列0，，4，，…的一个通项公式为 【答案】BCD 【分析】 对于A,数列中的项与顺序有关判断；对于B,运用公式计算即可；对于C,D观察得出通项公式即可. 【详解】对于A，数列中的项与顺序有关，故数列-2022，0，4与数列4，0，-2022是两个不同的数列，故A错误； 对于B，当时， 又是递增数列，故110是该数列的第10项，故B正确； 对于C，数列的一个通项公式是，故第8项是，故C正确； 对于D，数列变形为所以通项公式为，故D正确． 故选:BCD． 37．（23-24高二下·贵州毕节·阶段练习）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（    ） A．是数列的最小项 B．是数列的最大项 C．是数列的最大项 D．当时，数列递减 【答案】BCD 【分析】设第项为的最大项，根据列出不等式组，求解即可判断BCD，利用数列的单调性及范围判断A． 【详解】设第项为的最大项， 则，即，所以， 又，所以或， 故数列中与均为最大项，且， 当时，数列递减，故BCD正确， 当趋向正无穷大时，无限趋向于0且大于0，且， 所以不是数列的最小项，且数列无最小值，故A错误. 故选：BCD 38．（24-25高二上·全国·课后作业）下列通项公式中，可以作为数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据选项分为奇数、为偶数求通项可得答案. 【详解】对于A，若， 当为奇数时，，所以， 当为偶数时，，所以，故A正确； 对于B，若， 当为奇数时，，所以， 当为偶数时，，所以，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，若，则当为奇数时，，当为偶数时，，故D正确； 故选：ABD. 39．（23-24高二下·海南·期中）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据等积数列的定义求得通项公式，即可判断可选项. 【详解】对于A，由题可知，对任意的，， 则对任意的，，所以，，故，A对； 对于B，，所以，由A可知，，所以，B对； 对于C，，C错； 对于D，因为，所以，D对. 故选：ABD. 三、填空题 40．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列满足，则 ． 【答案】/-0.25 【分析】根据递推式，计算出、、，从而可得数列为周期数列，周期为3，即可得答案. 【详解】解：因为， 所以，， ，……， 由此可得数列为周期数列，周期为3， 所以. 故答案为： 41．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列满足：，．若数列为严格增数列，则的取值范围是 【答案】 【分析】结合以及列出不等式,由此求得的取值范围. 【详解】由于数列是递增数列,所以, 即,解得. 则. 由于,即,即, 即, 所以,解得或. 综上所述，首项的取值范围是. 故答案为: 42．（24-25高二上·甘肃兰州·阶段练习）在数列中，，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】利用退一相减法可得，进而可得的通项公式. 【详解】数列中，， 时，有， 时，由，得， 两式相减得，即， 时，也满足. 所以. 故答案为： 43．（24-25高三上·上海·开学考试）已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则使得不等式成立的的最小值为 . 【答案】13 【分析】分别谈论为奇数和偶数时，的解，得的最小值. 【详解】由. 当为奇数时，； 当为偶数时，. 所以当为奇数时，， 由. 当为偶数时，， 由. 又为偶数，所以 综上可知：的最小值为13. 故答案为：13 四、解答题 44．（24-25高二上·全国·课后作业）写出下列各数列的一个通项公式： (1)4，6，8，10，… (2)； (3)0.3，0.33，0.333，0.3333，… 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）（2）（3）分析数列给定的前几项的特征，利用观察法求出通项公式. 【详解】（1）各项是从4开始的偶数，因此． （2）每一项分母可写成，分子分别比分母少1， 因此所求数列的通项公式可写为． （3）因为数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的通项公式为， 而数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的每一项都是上面数列对应项的， 所以． 45．（24-25高二上·全国·课后作业）记数列的前项和为，对任意正整数，有，且. (1)求和的值，并猜想的通项公式； (2)证明第（1）问猜想的通项公式； 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）由，一一代入计算和的值即可，再由数列前三项结构猜测通项公式； （2）利用与的关系得出，再由累乘法计算即可. 【详解】（1）由题意对任意正整数，有， 令时，，即，可得； 令时，，即，可得. 由猜想：. （2）由（1）可知； 当时，由得，则， 即，即， 故时，， 且也适合上式，所以. 46．（23-24高二上·江苏·课前预习）（1）若数列满足， ，求； （2）设数列{an}满足，写出这个数列的前5项. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用递推公式求周期，进而求； （2）根据递推公式即可得到前5项. 【详解】（1）根据题意可得， ， ， ， ， ∴是周期为4的数列，于是. （2）根据题意，这个数列的前5项如下： ， 所以，， ， ， . 47．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，求实数k的取值范围； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据，可得，两式相除可得，两边取对数并构造常数列，即可求得答案. （2）由（1）的结论，求出，再根据单调数列的意义列式求解即得. 【详解】（1）由为正项数列的前n项的乘积，得，由，得， 于是，即，两边取对数得， 即，整理得， 因此数列是常数列，即，于是， 所以. （2）由（1）知，， 由数列为递增数列，得， 即，而数列是递减数列，，当且仅当时等号， 所以实数k的取值范围是. 48．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知数列满足． (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件，取，即可求出，再利用与间的关系即可求出结果； （2）根据（1）中结果，通过证明，即可证明结果. 【详解】（1）因为①， 当时，， 当时，②， 由①②得，所以， 当时，，所以也满足， 当时，， 故，，. （2）由（1）知，，易知，则， 又对一切恒成立，所以， 得到对一切恒成立， 所以数列为单调递增数列. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲：数列的概念 【考点梳理】 · 考点一: 数列基本知识 · 考点二：判断或者写出数列的项 · 考点三：根据数列的单调性求数列的最大（小）项数 · 考点四：由递推公式求数列的指定项 · 考点五：利用Sn与an的关系求通项公式 · 考点六：观测法求通项公式 · 考点七：累乘法求通项公式 · 考点八：累加法求通项公式 · 考点九：数列概念综合问题 【知识梳理】 知识点一：数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 知识点二：数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 知识点三：函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 知识点四：数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点五：通项公式 1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 知识点六：数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 知识点七　数列的前n项和Sn与an的关系 1． 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．an＝ (1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件． (2)可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式组找到数列的最小项． 【题型归纳】 题型一:数列基本知识 1．（23-24高二上·广东东莞·期中）下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为 C．数列0，0，0，1，…是常数列 D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列 2．（23-24高二上·江苏淮安）已知数列，则是这个数列的（　　） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第23项 3．（22-23高二上·河南平顶山·期末）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列1，0，，与数列，，0，1是相同的数列 B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 C．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 D．数列，…的一个通项公式为 题型二：判断或者写出数列的项 4．（24-25高二上·甘肃白银·期中）已知数列，则该数列的第项为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知数列，则45是该数列中第（    ）项 A． B． C． D． 6．（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知数列，则是这个数列的（    ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 题型三：根据数列的单调性求数列的最大（小）项数 7．（22-23高二下·辽宁辽阳·期末）在数列中，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·河南·模拟预测）已知数列的通项公式为，则当最小时，（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 9．（2023·贵州贵阳·模拟预测）已知数列的通项公式为，前n项和为，则取最小值时n的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型四：由递推公式求数列的指定项 10．（24-25高二上·福建漳州·期中）数列满足，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 11．（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）数列满足，若，，则（ ） A． B． C．1 D．2 12．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 题型五：利用Sn与an的关系求通项公式 13．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知数列的前项和为，且，则（    ） A．20 B．28 C．32 D．48 14．（23-24高二上·四川成都·期末）若数列满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·天津宁河·期末）若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六：观测法求通项公式 16．（24-25高二上·山东青岛）数列，…的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二下·安徽·期末）数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 题型七：累乘法求通项公式 19．（22-23高二下·河南南阳）已知数列的项满足，而，则＝（    ） A． B． C． D． 20．（22-23高二·全国·课后作业）数列中，，（为正整数），则的值为（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 题型八：累加法求通项公式 22．（24-25高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 23．（2023·云南红河·一模）已知数列满足：，则（    ） A．21 B．23 C．25 D．27 24．（22-23高二下·山东潍坊·阶段练习）已知数列满足，，则的通项为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型九：数列概念的综合问题 25．（24-25高二上·全国）写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是： (1)1，3，7，15，31，…； (2)，，，，，…； (3)，，，，，…； (4)，，，，…. 26．（24-25高二上·全国）（1）已知数列的前n项和，求的通项公式； （2）已知数列中，，，求数列的通项公式． 27．（24-25高二上·广西柳州·期中）（1）已知数列的前n项和，求这个数列的通项公式； （2）已知数列的通项公式为前n项和为.求取得最小值时n的值. 【高分达标】 一、单选题 28．（24-25高二上·山东·期中）已知数列的通项公式为，则该数列是（   ） A．摆动数列 B．递减数列 C．递增数列 D．常数数列 29．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列满足，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 30．（24-25高二上·福建·期中）已知数列的通项公式为，下列说法正确的是（   ） A．数列从第3项起各项数值逐渐增大 B．当时，取最大值 C．是该数列的项 D．数列的图象与的图象相同 31．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A．10 B．55 C．89 D．99 33．（24-25高三上·广东汕头·开学考试）已知数列，则数列的前100项中的最小项和最大项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 34．（2024高二·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，且对任意的两个正整数，都有，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 35．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）若数列的通项公式为，则（    ） A．该数列仅有6个正数项 B．该数列有无限多个负数项 C．该数列的最大项就是函数的最大值 D．是该数列中的一项. 36．（2024高三·全国·专题练习）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列-2022，0，4与数列4，0，-2022是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第10项 C．数列1，，，2，，…的第8项是 D．数列0，，4，，…的一个通项公式为 37．（23-24高二下·贵州毕节·阶段练习）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（    ） A．是数列的最小项 B．是数列的最大项 C．是数列的最大项 D．当时，数列递减 38．（24-25高二上·全国）下列通项公式中，可以作为数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 39．（23-24高二下·海南·期中）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 40．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列满足，则 ． 41．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列满足：，．若数列为严格增数列，则的取值范围是 42．（24-25高二上·甘肃兰州·阶段练习）在数列中，，则的通项公式为 . 43．（24-25高三上·上海·开学考试）已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则使得不等式成立的的最小值为 . 四、解答题 44．（24-25高二上·全国）写出下列各数列的一个通项公式： (1)4，6，8，10，… (2)； (3)0.3，0.33，0.333，0.3333，… 45．（24-25高二上·全国）记数列的前项和为，对任意正整数，有，且. (1)求和的值，并猜想的通项公式； (2)证明第（1）问猜想的通项公式； 46．（23-24高二上·江苏）（1）若数列满足， ，求； （2）设数列{an}满足，写出这个数列的前5项. 47．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，求实数k的取值范围； 48．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知数列满足． (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$