第4章 相似三角形（单元测试B卷）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（浙江专用）

第4章 《相似三角形》单元测试B卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）已知，y≠﹣3，那么下列等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如图，点P是AB的黄金分割点，即P点满足，若AB＝2，则AP的长为（　　） A． B． C． D．0.618 3．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（　　） A．3 B．6 C．5 D．4 4．（3分）下列两个图形一定相似的是（　　） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个平行四边形 5．（3分）已知△ABC的三边长分别是有一边长是1，若△ABC和△A′B′C′相似，则△A′B′C′的另两边长不可能为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，小明为了测量树AB的高度，在离B点8米的E处水平放置一个平面镜，小明沿直线BE方向后退4米到点D，此时从镜子中恰好看到树梢（点A），已知小明的眼睛（点C）到地面的高度CD是1.6米，则树的高度AB为（　　） A．4.8m B．3.2m C．8m D．20m 7．（3分）已知菱形ABCD中，点G是对角线BD上一点，CG分别交边AD和BA的延长线于点E，F．若 GE＝2，EF＝9，则CG的长为（　　） A． B．4.3 C．4.5 D． 8．（3分）如图，在正方形网格图中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心是（　　） A．点R B．点P C．点Q D．点O 9．（3分）如图，在面积为4的正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G，下列结论：①△FOC≌△EOB；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为1；④DF2+BE2＝2OG•OC．其中结论正确的序号有（　　） A．①②③ B．①② C．③④ D．①②③④ 10．（3分）矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，连结BD，E，F分别在边BC，CD上，连结AE，AF分别交BD于点M，N，若∠EAF＝45°，BE＝1，则下列结论中：①∠AFD+∠AEB＝135°；②；③DF＝1；④DN2+BM2＝MN2；⑤2MN＝3BM；结论正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若AD＝2，则AB的长为 　 　．（结果保留根号） 12．（3分）如图，矩形ABCD的边AB＝2，点E、F分别在边BC、AD上，且四边形ABEF为正方形．若矩形CDFE与矩形ABCD相似，则AD的长为 　 　． 13．（3分）如图，有一块形状为直角三角形的余料ABC．已知∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成个平行四边形工件DEFG，使GF在边BC上，D，E两点分别在边AB，AC上，且DE＝5cm，则平行四边形DEFG的面积为　 　． 14．（3分）如图，点D、E是△ABC边BC、AC上的点，BD：CD＝2：5，连接AD、BE，交点为F，DF：AF＝1：4，那么的值是 　 　． 15．（3分）图（a）是燕尾夹，图（b）是燕尾夹简化的示意图，夹臂AC，BD可分别绕点M，N旋转，不考虑夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），AM＝BN＝20mm，CM＝DN＝15mm，MN＝8mm．如图（c），当夹子完全张开时（即A，B两点重合），夹嘴间的距离CD的长为 　 　mm． 16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，先将△ABC沿AC翻折到△AB′C处，再将△AB'C沿翻折到△AB'C'处，延长CD交AC′于点M，则DM的长为 　 　． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知，且2a+3b﹣c＝28，求a、b、c的值． 18．（6分）如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3． （1）如果AB＝2，BC＝5，DE＝1.5，求EF的长； （2）如果DE：EF＝2：3，AC＝15，求AB的长． 19．（8分）实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）． （1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B； （2）点M是OA的中点，在（1）的条件下，M的对应点M′的坐标为　 　． （3）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O2A2B． 20．（8分）如图，已知△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，∠FEA＝∠B，∠DAF＝∠CAE． （1）求证：AE2＝AF•AB； （2）求证：． 21．（10分）如图，是小明晚上散步回家的场景，图中线段AB表示站在路灯左侧的小明，线段MN表示直立在地面上的路灯，此时小明的影长BE为0.8m，当小明步行5.4m至路灯右侧点D处时，此时影长DF为1m，已知小明的身高为1.6m，则路灯MN的高为多少米？ 22．（10分）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3m．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖． 甲 乙 图例 方案 如图，①是测试距离为5m的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为3m的小视力表②．通过测量大视力表中“E”的高度（BC的长），即可求出小视力表中相应的“E”的高度（DF的长）． 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距3m的两面墙上分别悬挂视力表（AB）与平面镜（MN），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表AB的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜MN的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长（AB）就可以计算出镜长MN． （1）甲生的方案中若大视力表中“E”的高是3.6cm，则小视力表中相应“E”的高是多少？ （2）乙生的方案中如果视力表的全长为0.9m，请计算出镜长至少为多少米． 23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．点P从A点出发沿AC向C点运动，速度为每秒2cm，同时点Q从C点出发沿CB向B点运动，速度为每秒1cm，当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒． （1）当t为何值时，△PQC是以∠C为顶角的等腰三角形？ （2）当t为何值时，△PQC的面积为5cm2？ （3）当t为何值时，△PQC与△ABC相似？ 24．（12分）【发现与思考】 如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC中点，连接OE，AE，AE与BD交于点F，AB＝4，BC＝6． （1）直接写出线段OE、AE的长度：OE＝ 　 　，AE＝ 　 　； （2）直接写出线段BF与BD的比值：＝ 　 　； 【方法与探究】 （3）如果将【发现与思考】中的“在矩形ABCD中”这一条件变得更为一般化，改为“在平行四边形ABCD中”——如图②，那么条件变了，线段BF与BD的比值能否保持不变？答：　 　；（填能或否） （4）在（3）的条件下，如果S△BEF＝S，则S△ADF＝ 　 　；S△AOF＝ 　 　；（用S表示） 【拓展与应用】 （5）如图③，在△ABC中，中线AE与中线BD相交于点F，点H是CD的中点，连接HF并延长交AB于点G，若AC＝4，AB＝3，则请直接写出线段AG的长度：AG＝ 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 《相似三角形》单元测试B卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）已知，y≠﹣3，那么下列等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据比例的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：A、∵， ∴＝+1＝+1＝， 故A不符合题意； B、∵， ∴＝﹣1＝﹣1＝， 故B不符合题意； C、∵，y≠﹣3， ∴＝， 故C不符合题意； D、∵， ∴设x＝5k，y＝3k， ∴＝， 故D符合题意； 故选：D． 2．（3分）如图，点P是AB的黄金分割点，即P点满足，若AB＝2，则AP的长为（　　） A． B． C． D．0.618 【分析】根据黄金分割的定义即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为点P是AB的黄金分割点，且， 所以． 又因为AB＝2， 所以AP＝． 故选：A． 3．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（　　） A．3 B．6 C．5 D．4 【分析】根据平行线分线段成比例由DE∥BC得到，然后根据比例的性质可求出AE． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， ∵AD＝2，BD＝3，AC＝10， ∴， ∴AE＝4． 故选：D． 4．（3分）下列两个图形一定相似的是（　　） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个平行四边形 【分析】根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解． 【解答】解：A、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； B、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意； C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意； D、两个平行四边形的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意； 故选：C． 5．（3分）已知△ABC的三边长分别是有一边长是1，若△ABC和△A′B′C′相似，则△A′B′C′的另两边长不可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】分△A′B′C′长是1的一边分别和为对应边，设△A′B′C′另外两边长分别为x，y，根据相似三角形的性质：对应边相互成比例，即可得出答案． 【解答】解：∵ABC的三边长为有一边长是1， 设△A′B′C′另外两边长分别为x，y， 当1和对应时， 则或， ∴或，故A选项正确，不符合题意； 当1和2对应时，则或， ∴或，故B选项正确，不符合题意； 当1和为对应边时，则或， ∴或，故D选项正确，不符合题意； ∵，故C选项，不正确符合题意． ∴另两边长不可能为． 故选：C． 6．（3分）如图，小明为了测量树AB的高度，在离B点8米的E处水平放置一个平面镜，小明沿直线BE方向后退4米到点D，此时从镜子中恰好看到树梢（点A），已知小明的眼睛（点C）到地面的高度CD是1.6米，则树的高度AB为（　　） A．4.8m B．3.2m C．8m D．20m 【分析】根据相似三角形的判定定理证明△AEB∽△CED，再利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：由题意得：AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠CDE＝∠ABE＝90°， 由光的反射原理可得：∠AEB＝∠CED， ∴△AEB∽△CED， ∴， ∵BE＝8，DE＝4，CD＝1.6， 即， ∴AB＝3.2（米）． 故选：B． 7．（3分）已知菱形ABCD中，点G是对角线BD上一点，CG分别交边AD和BA的延长线于点E，F．若 GE＝2，EF＝9，则CG的长为（　　） A． B．4.3 C．4.5 D． 【分析】根据菱形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴DE∥BC， ∴△DGE∽△BGC， ∴＝， ∵CD∥FB， ∴△DGC∽△BGF， ∴＝， ∴＝， ∴CG2＝GE•GF， ∵GE＝2，EF＝9， ∴CG2＝2×（2+9）＝22， ∴CG＝， 故选：D． 8．（3分）如图，在正方形网格图中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心是（　　） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【分析】根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 【解答】解：连接AA′，CC′，交于点O， ∴点O是位似中心， 故答案为：D． 9．（3分）如图，在面积为4的正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G，下列结论：①△FOC≌△EOB；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为1；④DF2+BE2＝2OG•OC．其中结论正确的序号有（　　） A．①②③ B．①② C．③④ D．①②③④ 【分析】首先利用ASA证明△BOE≌△COF，可知①正确；由∠EOF＝∠ECF＝90°，得点O，E，C，F四点共圆，则∠EOG＝∠CFG，∠OEG＝∠FCG，可知②正确；由△BOE≌△COF，得S△BOE＝S△COF，则S四边形CEOF＝S△BOC＝S正方形ABCD＝1，可知③正确；首先说明△OEG∽△OCE，得OG•OC＝OE2，而△EOF是等腰直角三角形，则2OE2＝EF2，再利用DF＝CE，CF＝BE，从而判断④正确． 【解答】解：①如图，∵四边形ABCD是正方形， ∴OC＝OB，AC⊥BD，∠OCF＝∠OBE＝45°， ∵∠MON＝90°， ∴∠BOE＝∠COF， ∴△BOE≌△COF（ASA）， 故①正确； ②∵∠EOF＝∠ECF＝90°， ∴点O，E，C，F四点共圆， ∴∠EOG＝∠CFG，∠OEG＝∠FCG， ∴△OGE∽△FGC， 故②正确； ③∵△BOE≌△COF， ∴S△BOE＝S△COF， ∴S四边形CEOF＝S△BOC＝S正方形ABCD＝1， 故③正确； ④∵△COE≌△DOF， ∴OE＝OF， 又∵∠EOF＝90°， ∴△EOF是等腰直角三角形， ∴∠OEG＝45°＝∠OCE， ∵∠EOG＝∠COE， ∴△OEG∽△OCE， ∴， ∴OG•OC＝OE2， ∵OC＝，OE＝， ∴OG•AC＝EF2， ∵CE＝DF，BC＝CD， ∴BE＝CF， 在Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2， ∴BE2+DF2＝EF2， ∴OG•AC＝BE2+DF2， ∴DF2+BE2＝2OG•OC， 故④正确， 故选：D． 10．（3分）矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，连结BD，E，F分别在边BC，CD上，连结AE，AF分别交BD于点M，N，若∠EAF＝45°，BE＝1，则下列结论中：①∠AFD+∠AEB＝135°；②；③DF＝1；④DN2+BM2＝MN2；⑤2MN＝3BM；结论正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据三角形内角和定理得△ADF与△AEB两个三角形所有内角相加为360°，结合矩形性质：每个内角都为90° 即可判断①；利用勾股定理求出AE，利用矩形的性质证明△ADM∽△EBM，利用相似三 角形相似比即可求出EM，从而判断②；利用矩形 的性质及已知条件，证明△ADB∽△BAE，得到∠ADB＝∠BAE，进而说明∠AMD＝90°，∠ANM＝45°，得AM＝MN，再证明△ADM∽△BAM，即可求得BM，进而求得DN，再证明△ANB∽△FND，即可求出DF，从而判断③④⑤． 【解答】解：∠ADF+∠AFD+∠FAD＝180°， ∠AEB+∠ABE+∠BAE＝180°， ∴∠ADF+∠AFD+∠FAD+∠AEB+∠ABE+∠BAE＝360°， ∵∠ADF＝∠ABE＝90°， ∴∠AFD+∠FAD+∠AEB+∠BAE＝180°， ∵∠EAF+∠BAE+∠FAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠FAD＝45°，∠AFD+∠AEB＝180°﹣45°＝135°， 故①正确； ∵BE＝1，AB＝2， 在Rt△ABE中， ∴， ∵AD∥BC， ∴△ADM∽△EBM， ∴， ∵AD＝4，AM＝AE﹣EM， ∴． ∴，故②正确； 在Rt△ABD中，， ∵，∠DAB＝∠ABC＝90°， ∴△ADB∽△BAE， ∴∠BAE＝∠ADB， ∵∠BAE+∠DAE＝90°， ∴∠DAE+∠ADB＝90°， ∴∠AMD＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠MNA＝45°， ∴， ∵∠BAE＝∠ADB，∠AMD＝∠AMB＝90°， ∴△ADM∽△BAM， ∴， ∴， ∴，， ∵AB∥CD， ∴△ANB∽△FND， ∴， ∴， 故③错误； ∴DN2+BM2≠MN2，故④错误； ∴2MN≠3BM，故⑤错误； 故选：B． 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若AD＝2，则AB的长为 　　．（结果保留根号） 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可． 【解答】解：因为C、D两点都是线段AB的黄金分割点， 所以． 又因为AD＝2， 所以AB＝． 故答案为：． 12．（3分）如图，矩形ABCD的边AB＝2，点E、F分别在边BC、AD上，且四边形ABEF为正方形．若矩形CDFE与矩形ABCD相似，则AD的长为 　1+　． 【分析】根据正方形的性质，矩形的性质，相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【解答】解：∵四边形ABEF为正方形， ∵AB＝AF＝EF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝2， ∵矩形CDFE∽矩形ADCB， ∴＝，即＝， 整理得，AD2﹣2AD﹣4＝0， 解得，AD1＝1﹣（舍去），AD2＝1+， 故答案为：1+． 13．（3分）如图，有一块形状为直角三角形的余料ABC．已知∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成个平行四边形工件DEFG，使GF在边BC上，D，E两点分别在边AB，AC上，且DE＝5cm，则平行四边形DEFG的面积为　12cm2　． 【分析】分别过A、D作BC的垂线，垂足分别为H、M；由勾股定理求得BC的长，由面积关系即可求得高AH；由题意得△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可求得DM，由平行四边形面积计算公式即可求解． 【解答】解：已知∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成个平行四边形工件DEFG，使GF在边BC上，D，E两点分别在边AB，AC上，且DE＝5cm，分别过A、D作BC的垂线，垂足分别为H、M，AH交DE于N， ∴， ∵， ∴， ∵四边形DEFG是平行四边形， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12cm2． 14．（3分）如图，点D、E是△ABC边BC、AC上的点，BD：CD＝2：5，连接AD、BE，交点为F，DF：AF＝1：4，那么的值是 　　． 【分析】过D作DG∥BE，交AC于G，依据平行线分线段成比例定理，即可得到BD：CD＝EG：GC，DF：AF＝EG：AE，进而可得的值． 【解答】解：如图所示，过D作DG∥BE，交AC于G， 则BD：CD＝EG：GC＝2：5，即：，， ∴DF：AF＝EG：AE＝1：4，即：AE＝4EG， ∴． 故答案为：． 15．（3分）图（a）是燕尾夹，图（b）是燕尾夹简化的示意图，夹臂AC，BD可分别绕点M，N旋转，不考虑夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），AM＝BN＝20mm，CM＝DN＝15mm，MN＝8mm．如图（c），当夹子完全张开时（即A，B两点重合），夹嘴间的距离CD的长为 　14　mm． 【分析】连接CD，根据已知可证△AMN∽△ACD，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答． 【解答】解：连接CD，如图， ∵AM＝BN＝20mm，CM＝DN＝15mm，MN＝8mm， ∴＝， 又∵∠A＝∠A， ∴△AMN∽△ACD， ∴＝， ∴CD＝＝14（mm）， ∴夹嘴间的距离CD为14mm； 故答案为：14． 16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，先将△ABC沿AC翻折到△AB′C处，再将△AB'C沿翻折到△AB'C'处，延长CD交AC′于点M，则DM的长为 　　． 【分析】过点C′作C′E⊥AD的延长线于点E，设CD与AB′交于点G，根据矩形性质和翻折性质，设B′G＝DG＝x，CG＝CD﹣DG＝5﹣x，利用勾股定理求出x的值，证明△ADG∽△AB′F，求出B′F＝，然后证明△CDF≌△AB′F（AAS），得DF＝B′F＝，再由△C′EF∽△CDF，得＝＝，求出C′E＝，EF＝，证明△ADM∽△AEC′，对应边成比例即可求出DM的长． 【解答】解：如图，过点C′作C′E⊥AD的延长线于点E，设CD与AB′交于点G， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝3，AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA， 由翻折可知：∠BAC＝∠B′AC， ∴∠B′AC＝∠DCA， ∴GA＝GC， 由翻折可知：B′A＝BA＝5，B′C＝BC＝B′C′＝3， ∴B′A＝CD＝5， ∴B′G＝DG， 设B′G＝DG＝x， ∴CG＝CD﹣DG＝5﹣x， 在Rt△B′CG中，根据勾股定理得： B′G2+B′C2＝CG2， ∴x2+32＝（5﹣x）2， ∴x＝， ∴B′G＝DG＝x＝， ∴AG＝CG＝5﹣x＝， ∵∠DAG＝∠B′AF，∠ADG＝∠AB′F＝90°， ∴△ADG∽△AB′F， ∴＝， ∴＝， ∴B′F＝， ∴C′F＝C′B′﹣B′F＝3﹣＝，CF＝CB′+B′F＝3+＝， ∵∠CFD＝∠AFB′，∠CDF＝∠AB′F＝90°，CD＝AB′， ∴△CDF≌△AB′F（AAS）， ∴DF＝B′F＝， ∵C′E⊥AD，CD⊥AD， ∴C′E∥CD， ∴△C′EF∽△CDF， ∴＝＝， ∴＝＝， ∴C′E＝，EF＝， ∴DE＝DF+EF＝+＝， ∴AE＝AD+DE＝3+＝， ∵C′E∥DM， ∴△ADM∽△AEC′， ∴＝， ∴＝， ∴DM＝． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知，且2a+3b﹣c＝28，求a、b、c的值． 【分析】根据设k法进行计算，即可解答． 【解答】解：设＝k， ∴a＝3k，b＝5k，c＝7k， ∵2a+3b﹣c＝28， ∴6k+15k﹣7k＝28， 解得：k＝2， ∴a＝6，b＝10，c＝14． 18．（6分）如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3． （1）如果AB＝2，BC＝5，DE＝1.5，求EF的长； （2）如果DE：EF＝2：3，AC＝15，求AB的长． 【分析】（1）由l1∥l2∥l3，利用平行线分线段成比例定理，即可求出EF的长； （2）由l1∥l2∥l3，利用平行线分线段成比例定理，即可求出AB的长． 【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵AB＝2，BC＝5，DE＝1.5， ∴， ∴； （2）∵l1∥l2∥l3， ∴＝， ∵DE：EF＝2：3，AC＝15， ∴＝， ∴AB＝6． 19．（8分）实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）． （1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B； （2）点M是OA的中点，在（1）的条件下，M的对应点M′的坐标为　　． （3）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O2A2B． 【分析】（1）先作出点O、A绕点B顺时针旋转90°的对应点，然后再顺次连接即可； （2）由题意得，点M′是O′A′的中点，利用中点坐标公式求解即可； （3）根据位似的性质作图即可． 【解答】解：（1）如图，△O′A′B即为所求． （2）∵点M是OA的中点， ∴点M′是O′A′的中点， 根据作图可知：O′（1，5），A′（4，4）， ∴点M′的坐标为； （3）如图，△O2A2B即为所求． 20．（8分）如图，已知△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，∠FEA＝∠B，∠DAF＝∠CAE． （1）求证：AE2＝AF•AB； （2）求证：． 【分析】（1）利用两个角相等证明△BAE∽△EAF，得，即可证明结论； （2）首先证明△DAE∽△CAB，得，∠D＝∠C，再证明△DAF∽△CAE，得，等量代换即可． 【解答】（1）证明：∵∠FEA＝∠B，∠BAE＝∠EAF（公共角）， ∴△BAE∽△EAF， ∴， ∴AE2＝AF•AB； （2）∵∠DAF＝∠CAE，∠FAE＝∠FAE， ∴∠DAE＝∠CAF， ∵∠FEA＝∠B， ∴△DAE∽△CAB， ∴，∠D＝∠C， ∵∠DAF＝∠EAC， ∴△DAF∽△CAE， ∴， ∴， ∴． 21．（10分）如图，是小明晚上散步回家的场景，图中线段AB表示站在路灯左侧的小明，线段MN表示直立在地面上的路灯，此时小明的影长BE为0.8m，当小明步行5.4m至路灯右侧点D处时，此时影长DF为1m，已知小明的身高为1.6m，则路灯MN的高为多少米？ 【分析】根据题意可得：AB⊥EF，MN⊥EF，CD⊥EF，从而可得∠ABE＝∠MNE＝∠MNF＝∠CDF＝90°，然后证明A字模型相似△EAB∽△EMN和△CDF∽△MNF，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：AB⊥EF，MN⊥EF，CD⊥EF， ∴∠ABE＝∠MNE＝∠MNF＝∠CDF＝90°， ∵∠AEB＝∠MEN， ∴△EAB∽△EMN， ∴＝， ∴＝， ∵∠CFD＝∠MFN， ∴△CDF∽△MNF， ∴＝， ＝， ∴＝， 解得：BN＝2.4， ∴＝， 解得：MN＝6.4， ∴路灯MN的高为6.4米． 22．（10分）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3m．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖． 甲 乙 图例 方案 如图，①是测试距离为5m的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为3m的小视力表②．通过测量大视力表中“E”的高度（BC的长），即可求出小视力表中相应的“E”的高度（DF的长）． 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距3m的两面墙上分别悬挂视力表（AB）与平面镜（MN），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表AB的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜MN的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长（AB）就可以计算出镜长MN． （1）甲生的方案中若大视力表中“E”的高是3.6cm，则小视力表中相应“E”的高是多少？ （2）乙生的方案中如果视力表的全长为0.9m，请计算出镜长至少为多少米． 【分析】（1）根据两组对角相等证明△CAB∽△FAD，再根据相似三角形对应边成比例列式求解； （2）作CD⊥MN于点D，延长线交PQ于点E，先证△MNC∽△A′B′C，再根据相似三角形的相似比等于高的比列式求解． 【解答】解：（1）由题意知BC⊥AB，DF⊥AD， ∴∠CBA＝∠FDA＝90°， 又∵∠CAB＝∠FAD， ∴△CAB∽△FAD， ∴， 由题意知AD＝3m，AB＝5m，BC＝3.6cm，AD＝3m， ∴， 解得DF＝2.16cm， 即小视力表中相应“E”的高是2.16cm； （2）如图，作CD⊥MN于点D，延长线交PQ于点E， 由题意知，AB∥MN∥PQ， ∵MN∥PQ，CD⊥MN， ∴CE⊥PQ， ∵MN∥PQ， ∴∠MNC＝∠PQC，∠NMC＝∠QPC， ∴△MNC∽△PQC， ∴， 由题意知CE＝5m，DE＝3m，PQ＝AB＝0.9m， ∴CD＝CE﹣DE＝2m， ∴＝ ∴MN＝0.36m， ∴镜长至少为0.36m． 23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．点P从A点出发沿AC向C点运动，速度为每秒2cm，同时点Q从C点出发沿CB向B点运动，速度为每秒1cm，当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒． （1）当t为何值时，△PQC是以∠C为顶角的等腰三角形？ （2）当t为何值时，△PQC的面积为5cm2？ （3）当t为何值时，△PQC与△ABC相似？ 【分析】（1）由勾股定理得出AC的长度，根据已知有条件得出AP、PC、CQ的长度，∠C为顶角的等腰三角形，得出PC＝CQ，列出方程即可． （2）首先作出高线，由平行线分线段成比例定理得出比例式，由含有t的代数式表示出PD的长度，再根据三角形的面积公式得出即可． （3）根据已知条件需要分类讨论，分两种情况讨论，从而得出比例式，代入即可求出． 【解答】（1）解：∵AB＝8cm，BC＝6cm， ∴AC＝10cm， 由题意AP＝2t，PC＝10﹣2t，CQ＝t，（0＜t≤5）， ∵△PQC是以∠C为顶角的等腰三角形， ∴PC＝CQ， ∴10﹣2t＝t， 解得 ． （2）解：过点P作PD⊥BC于点D， ∵∠B＝90°， ∴AB∥PD， ∴， ∴， ∴ 解得 ． （3）当△PQC∽△ABC时， ∴， ∴， 解得 ， 当△PQC∽△BAC 时， ∴， ∴， 解得 ， 综上所述 或 时，△PQC与△ABC 相似． 24．（12分）【发现与思考】 如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC中点，连接OE，AE，AE与BD交于点F，AB＝4，BC＝6． （1）直接写出线段OE、AE的长度：OE＝ 　2　，AE＝ 　5　； （2）直接写出线段BF与BD的比值：＝ 　　； 【方法与探究】 （3）如果将【发现与思考】中的“在矩形ABCD中”这一条件变得更为一般化，改为“在平行四边形ABCD中”——如图②，那么条件变了，线段BF与BD的比值能否保持不变？答：　能　；（填能或否） （4）在（3）的条件下，如果S△BEF＝S，则S△ADF＝ 　4S　；S△AOF＝ 　S　；（用S表示） 【拓展与应用】 （5）如图③，在△ABC中，中线AE与中线BD相交于点F，点H是CD的中点，连接HF并延长交AB于点G，若AC＝4，AB＝3，则请直接写出线段AG的长度：AG＝ 　　． 【分析】（1）根据矩形的性质得到AO＝OC，∠ABC＝90°，BO＝OD＝BD，根据三角形中位线定理得到OE＝＝＝2；根据勾股定理即可得到结论； （2）由（1）知，OE是△ACB的中位线，根据相似三角形的性质得到BF＝2OF，根据矩形的性质得到BO＝OD＝BD，于是得到结论； （3）根据平行四边形的性质得到AO＝OC，BO＝OD＝BD，根据三角形中位线定理得到OE∥AB，OE＝AB，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （4）首先推导出＝，然后依据相似三角形的性质解得S△ADF＝ 4S；利用OE∥AB，得到S△AEO＝S△BEO，进而得到S△BEF＝S△AFO＝S； （5）如图③，过D作DP∥BC交AE于P，过C作CN∥HG交BD于M，交AB于N，根据三角形中位线定理和相似三角形的性质得到结论． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝OC，∠ABC＝90°，BO＝OD＝BD， ∵点E是BC中点， ∴BE＝， ∴OE是△ACB的中位线， ∴OE＝＝＝2； ∴AE＝＝＝5； 故答案为：2，5； （2）由（1）知，OE是△ACB的中位线， ∴OE∥AB，OE＝AB， ∴△OFE∽△BFA， ∴＝， ∴BF＝2OF， ∴OB＝OD＝3OF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BO＝OD＝BD， ∴＝＝； 故答案为：； （3）线段BF与BD的比值能保持不变；理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC，BO＝OD＝BD， ∵点E是BC中点， ∴BE＝CE， ∴OE是△ACB的中位线， ∴OE∥AB，OE＝AB， ∴△OFE∽△BFA， ∴＝， ∴BF＝2OF， ∴OB＝OD＝3OF， ∴BD＝6OF， ∴＝＝， 故答案为：能； （4）∵AD∥BE， ∴△AFD∽△EFB， 由（3）＝， ∴＝， ∵S△BEF＝S， ∴S△ADF＝ 4S， ∵OE∥AB， ∴S△AEO＝S△BEO， ∴S△BEF＝S△AFO＝S， 故答案为：4S；S； （5）如图③，过D作DP∥BC交AE于P， ∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD， ∴AP＝PE， ∴PD是△ACE的中位线， ∴PD＝， ∵AE是△ABC的中线， ∴BE＝CE， ∴PD＝BE， ∵PD∥BC， ∴△PDF∽△EBF， ∴， 如图③，过C作CN∥HG交BD于M，交AB于N， ∵点H是CD的中点， ∴DH＝CH， ∴DF＝FM， ∴BM＝FM， ∴BN＝GN， ∵HG∥CN， ∴＝3， ∴AG＝3NG， ∴AB＝5NG， ∴＝＝， ∴AB＝3， ∴AG＝． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$