第4章 相似三角形（单元测试A卷）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（浙江专用）

第4章 《相似三角形》单元测试A卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）下列各组数中的四条线段，是比例线段的是（　　） A．1，2，3，8 B．1，4，2，6 C．5，6，2，3 D． 2．（3分）如图，已知l1∥l2∥l3，若AB＝1，BC＝2，DE＝1.5，则EF的长为（　　） A．1.5 B．2 C．3 D．4.5 3．（3分）下列四个三角形，与图中的三角形相似的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如古希腊的帕提侬庙等．如图，帕提侬神庙平面图的长约为30米，则它的宽约为（　　） A．12.36米 B．18.54米 C．21.21米 D．48.54米 5．（3分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心．若OA＝2AD，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 6．（3分）已知△ABC的三边都不相等，如果△ABC与△DEF相似，且∠B＝∠D，那么下列等式一定不成立的是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，AB，CD相交于点E，点A，B，C，D都在格点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AD＝2，BD＝3，则CD的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 9．（3分）如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段AB＝3.2cm，则线段BC的长为（　　） A．6.4cm B．8cm C．9.6cm D．12.8cm 10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，E、F分别是AC、BC边上的点，且，下列说法中①△ADC∽△CDB；②CE•DF＝DE•BF；③当n＝2时，EF＝CD；④∠EDF＝90°，其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）已知，线段a＝4厘米，b＝6厘米，则线段a、b的比例中项是 　 　厘米． 12．（3分）若，则＝　 　． 13．（3分）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为 　 　cm． 14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、F分别在BC、AC上，CD＝2BD，CF＝2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 　 　． 15．（3分）已知，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与x轴、y轴相交于A、B两点，且点C的坐标为（6，4），连接AC，与y轴相交于点D，点E在x轴上，如果△ABD和△ACE相似，则点E的坐标为 　 　． 16．（3分）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交BC于点E，EF⊥AE，交CD于点F，以AE，EF为边，作矩形AEFG，FG与DA相交于点H．若CE＝3，AH＝4，则AE＝　 　． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知a、b、c是△ABC的三边长，且，求： （1）的值； （2）若△ABC的周长为24，求各边的长． 18．（6分）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且AE⊥EF． （1）求证：△ABE∽△ECF； （2）若BE＝3，EC＝7，求CF的长． 19．（8分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F． （1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长； （2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长． 20．（8分）如图，在边长为1小正方形的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上，请用无刻度的直尺按要求作图．（保留画图痕迹，请将经过的格点描重一点，不需证明） （1）如图1，点P在格点上，在线段AB上找出所有符合条件的点Q，使△APQ和△ABC相似； （2）如图2，在AB上找点Q，使BQ＝3，并求此时CQ的长为 　 　． 21．（10分）如图，已知点D在△ABC的边AB上，DE交AC于点E，∠ADE＝∠B，点F在AD上，连接CD，EF． （1）求证：； （2）若AD2＝AF•AB，求证：△AEF∽△ACD． 22．（10分）近期《黑神话：悟空》正式在全球上线，迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表．根据表格信息，求飞虹塔的大致高度AB． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得QD＝3米； 步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得PF＝4米，FD＝22.5米；（以上数据均为近似值） 23．（12分）如图，△ABC中，BC边上的中线AE与∠ABC的平分线BD交于F点，AD＝AF． （1）求证：△ABF∽△CBD； （2）求证：CD＝2EF； （3）若，求BF． 24．（12分）．如图，矩形ABCD中，AD＞AB，点P是对角线AC上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作EF⊥AC分别交射线AB、射线AD于点E、F． （1）猜想：∠AFP与∠ACD的数量关系并证明； （2）连接BP，若BP＝AB，且F为AD中点，求的值； （3）若AD＝2AB，移动点P，使△ABP与△CPD相似，直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 《相似三角形》单元测试A卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）下列各组数中的四条线段，是比例线段的是（　　） A．1，2，3，8 B．1，4，2，6 C．5，6，2，3 D． 【分析】根据定义进行判断即可． 【解答】解：∵，， ∴选项ABC中的四条线段不成比例； ∵， ∴选项D中的四条线段成比例． 故选：D． 2．（3分）如图，已知l1∥l2∥l3，若AB＝1，BC＝2，DE＝1.5，则EF的长为（　　） A．1.5 B．2 C．3 D．4.5 【分析】根据平行线分线段成比例定理可知，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，列出比例式解答即可． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∴， 解得EF＝3， 故选：C． 3．（3分）下列四个三角形，与图中的三角形相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】通过勾股定理算出已知图形三条边的长度，然后算出三边之比，再逐一算出选项的三边之比是否和题干图形的比一样，再进行判断即可． 【解答】解：通过勾股定理可得到已经图形的三条边分别为，2，，所以三边之比为 A、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； B、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比一样，故两个三角形相似，故符合题意； C、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，3，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； D、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，2，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； 故选：B． 4．（3分）宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如古希腊的帕提侬庙等．如图，帕提侬神庙平面图的长约为30米，则它的宽约为（　　） A．12.36米 B．18.54米 C．21.21米 D．48.54米 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：设它的宽为x米， 由题意得：≈0.618， 解得：x≈18.54， ∴它的宽约为18.54米， 故选：B． 5．（3分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心．若OA＝2AD，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 【分析】结合题意可得△ABC与△DEF的位似比为2：3，则△ABC与△DEF的周长比为2：3，进而可得答案． 【解答】解：∵OA＝2AD， ∴OA：OD＝2：3． ∵△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心， ∴△ABC与△DEF的位似比为2：3， ∴△ABC与△DEF的周长比为2：3． ∵△ABC的周长为4， ∴△DEF的周长为6． 故选：A． 6．（3分）已知△ABC的三边都不相等，如果△ABC与△DEF相似，且∠B＝∠D，那么下列等式一定不成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵△ABC与△DEF相似，且∠B＝∠D， ∴△ABC∽△EDF或△ABC∽△FDE， 当△ABC∽△EDF时， ＝，＝，故A、D正确，不符合题意； 当△ABC∽△FDE时， ＝，故B正确，不符合题意； 两组相似三角形中BC，EF均不是对应边，故C一定不成立． 故选：C． 7．（3分）如图，AB，CD相交于点E，点A，B，C，D都在格点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】延长CD到F点使DF＝CD，DF与格线交于点G，连接AC、BG，利用网格特征得到AC＝3，BG＝2.5，再证明△ACE∽△BGE，然后根据相似三角形的性质求解． 【解答】解：延长CD到F点使DF＝CD，DF与格线交于点G，连接AC、BG， 则AC＝3，BG＝2.5， ∵AC∥BG， ∴△ACE∽△BGE， ∴＝＝＝． 故选：C． 8．（3分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AD＝2，BD＝3，则CD的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【分析】利用射影定理得到：AD2＝BD•CD，将相关数值代入求值即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则AD2＝BD•CD， ∵AD＝2，BD＝3， ∴22＝3CD． ∴CD＝． 故选：D． 9．（3分）如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段AB＝3.2cm，则线段BC的长为（　　） A．6.4cm B．8cm C．9.6cm D．12.8cm 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【解答】解：∵练习纸中的竖格线都平行， ∴＝， ∵AB＝3.2cm， ∴BC＝9.6cm， 故选：C． 10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，E、F分别是AC、BC边上的点，且，下列说法中①△ADC∽△CDB；②CE•DF＝DE•BF；③当n＝2时，EF＝CD；④∠EDF＝90°，其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由余角的性质可得∠ACD＝∠B，可证△ADC∽△CDB，故①正确；通过证明△CDE∽△BDF，可得，即CE•DF＝DE•BF，故②正确；由余角的性质可证∠CDE+∠CDF＝90°＝∠EDF，故④正确；即可求解． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°，∠A+∠B＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∴△ADC∽△CDB，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴＝， 又∵∠ACD＝∠B， ∴△CDE∽△BDF， ∴，∠BDF＝∠CDE， ∴CE•DF＝DE•BF，故②正确； ∵∠BDF+∠CDF＝∠BDC＝90°， ∴∠CDE+∠CDF＝90°＝∠EDF，故④正确； 当n＝2时，则＝2， ∴AC＝2CE，BC＝2BF， ∴点E是AC的中点，点F是BC的中点， ∴EF＝AB， 当AC＝BC时，∵CD⊥AB， ∴CD＝AB，故③错误， 故选C． 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）已知，线段a＝4厘米，b＝6厘米，则线段a、b的比例中项是 　2　厘米． 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负． 【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 所以c2＝4×6，解得c＝±2（线段是正数，负值舍去）， ∴c＝2cm， 故答案为：2． 12．（3分）若，则＝　　． 【分析】利用已知条件可设a＝5t，b＝7t，c＝8t，然后进行分式的混合运算． 【解答】解：∵， ∴设a＝5t，b＝7t，c＝8t， ∴＝＝． 故答案为：． 13．（3分）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为 　20　cm． 【分析】利用已知得出：△ABO∽△A′B′O，进而利用相似三角形的性质求出即可． 【解答】解：设小孔O到A′B′的距离为x cm， 由题意可得：△ABO∽△A′B′O， 则＝＝， 解得：x＝20． 故答案为：20． 14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、F分别在BC、AC上，CD＝2BD，CF＝2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 　　． 【分析】连接DF．首先证明DF∥AB，推出S△ABF＝S△ABD，推出S△AEF＝S△BDE，可得S△AEF＝S△ABD，求出△ABD面积的最大值即可解决问题． 【解答】解：连接DF． ∵CD＝2BD，CF＝2AF， ∴＝2， ∴DF∥AB， ∴△CDF∽△CBA， ∴， ∴， ∵DF∥AB， ∴S△ABF＝S△ABD， ∴S△AEF＝S△BDE， ∴S△AEF＝S△ABD， ∵BD＝BC＝， ∴当AB⊥BD时，△ABD的面积最大，最大值＝××4＝， ∴△AEF的面积的最大值＝×＝， 故答案为：． 15．（3分）已知，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与x轴、y轴相交于A、B两点，且点C的坐标为（6，4），连接AC，与y轴相交于点D，点E在x轴上，如果△ABD和△ACE相似，则点E的坐标为 　（4，0）或（，0）　． 【分析】首先根据一次函数确定点A（﹣2，0），B（0，4），然后根据点C判定BC∥x轴，进而得出∠C＝∠CAE，然后根据相似三角形的判定方法列比例式解答即可． 【解答】解：当x＝0时，则y＝2x+4＝4， 当y＝0时，则2x+4＝0，解得x＝﹣2； ∴A点的坐标为（﹣2，0），B点的坐标为（0，4）， ∵C（6，4）， ∴BC∥x轴，BC＝6，AC＝＝4， ∴∠C＝∠CAE， 如果△ABD和△ACE相似， 则或， 即或， 解得AE＝6或AE＝， ∴OE＝4或OE＝， ∴点E的坐标为：（4，0）或（，0）． 16．（3分）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交BC于点E，EF⊥AE，交CD于点F，以AE，EF为边，作矩形AEFG，FG与DA相交于点H．若CE＝3，AH＝4，则AE＝　　． 【分析】首先证明Rt△ECF≌Rt△ABE（ASA），推导出AE＝EF，结合矩形AEFG，推导出四边形AEFG为正方形，然后利用∠GAH＝∠FEC，∠G＝∠C，推导出△GAH∽△CEF，＝，进而得到AG•EF＝AH•CE，代入数据得到AE2＝4×3＝12． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，CD＝AB，∠B＝∠C＝90°， ∴∠AEB+∠EAB＝90°， ∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°， ∴∠EAB＝∠CEF， ∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE＝∠ADC＝45°， 在Rt△CDE中，CE＝CD＝AB， 在Rt△ECF和Rt△ABE中， ， ∴Rt△ECF≌Rt△ABE（ASA）， ∴AE＝EF， 在矩形AEFG中，AG＝EF＝AE， ∴四边形AEFG为正方形， ∴∠G＝90°， ∴AG∥EF， ∴∠GAH＝∠FEC， 又∵∠G＝∠C， ∴△GAH∽△CEF， ∴＝， ∴AG•EF＝AH•CE， ∴AE2＝4×3＝12， ∴AE＝2， 故答案为：2． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知a、b、c是△ABC的三边长，且，求： （1）的值； （2）若△ABC的周长为24，求各边的长． 【分析】（1）直接设a＝3x，b＝5x，c＝4x，进而代入求出答案； （2）直接设a＝3x，b＝5x，c＝4x，利用周长建立等式求解，进而代入求出答案． 【解答】解：（1）∵， 设a＝3x，b＝5x，c＝4x， ∴； （2）设a＝3x，b＝5x，c＝4x， ∵△ABC的周长为24， 可得3x+5x+4x＝24， 12x＝24， 解得：x＝2， ∴a＝3x＝6，b＝5x＝10，c＝4x＝8． 18．（6分）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且AE⊥EF． （1）求证：△ABE∽△ECF； （2）若BE＝3，EC＝7，求CF的长． 【分析】（1）根据正方形的性质，得出∠B＝∠C＝90°，而AE⊥EF，利用同角的余角相等可以得到∠EAB＝∠CEF，由此即可证明两个三角形相似； （2）利用相似三角形的性质和正方形的性质可以解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝∠C，AB＝BC， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠FEC＝90°， ∴∠EAB＝∠CEF， ∴△ABE∽△ECF； （2）解：∵BE＝3，EC＝7， ∴AB＝BC＝BE+CE＝10， ∵△ABE∽△ECF， ∴AB：CE＝BE：CF， ∴10：7＝3：CF， ∴CF＝2.1． 19．（8分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F． （1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长； （2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长． 【分析】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由AB＝6，BC＝8，DF＝21即可求出DE的长． （2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，运用比例关系求出HE及HB的长，然后即可得出BE的长． 【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF， ∴， ∵AB＝6，BC＝8，DF＝21， ∴， ∴DE＝9． （2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G， 则CG＝BH＝AD＝9， ∴GF＝14﹣9＝5， ∵HE∥GF， ∴， ∵DE：DF＝2：5，GF＝5， ∴， ∴HE＝2， ∴BE＝9+2＝11． 20．（8分）如图，在边长为1小正方形的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上，请用无刻度的直尺按要求作图．（保留画图痕迹，请将经过的格点描重一点，不需证明） （1）如图1，点P在格点上，在线段AB上找出所有符合条件的点Q，使△APQ和△ABC相似； （2）如图2，在AB上找点Q，使BQ＝3，并求此时CQ的长为 　　． 【分析】（1）过P点且平行于BC的格线与AB的交点为Q点；或取格点D，则PD垂直AB，则PD与AB的交点为Q点； （2）取格点E，延长连接BE和AC的分点可把AB5等份，从而得到3等份，从而得到BQ＝3，过Q点作QH⊥CB于H，如图，由于QH∥AC，利用平行线分线段成比例定理得到＝＝，即＝＝，则可求出QH、BH，然后利用勾股定理计算CQ． 【解答】解：（1）如图1，点Q1、点Q2为所作； （2）如图2，点Q为所作， 过Q点作QH⊥CB于H，如图， ∵BC＝3，AC＝4， ∴AB＝＝5， ∵QH∥AC， ∴＝＝，即＝＝， ∴QH＝，BH＝， ∴CH＝3﹣＝， 在Rt△CHQ中，CQ＝＝＝． 故答案为：． 21．（10分）如图，已知点D在△ABC的边AB上，DE交AC于点E，∠ADE＝∠B，点F在AD上，连接CD，EF． （1）求证：； （2）若AD2＝AF•AB，求证：△AEF∽△ACD． 【分析】（1）根据∠ADE＝∠B，∠A＝∠A可得△ADE∽△ABC，从而得到，即可证明结论； （2）根据AD2＝AF•AB，可得，又由从而得到．又由∠A＝∠A即可证明△AEF∽△ACD． 【解答】证明：（1）∵∠ADE＝∠B，∠A＝∠A（已知）， ∴△ADE∽△ABC（两角法）， ∴（相似三角形的对应边成比例）． （2）∵AD2＝AF•AB（已知）， ∴， ∵， ∴． 又∵∠A＝∠A， ∴△AEF∽△ACD． 22．（10分）近期《黑神话：悟空》正式在全球上线，迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表．根据表格信息，求飞虹塔的大致高度AB． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得QD＝3米； 步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得PF＝4米，FD＝22.5米；（以上数据均为近似值） 【分析】证明△EFP∽△ABP，△CDQ∽△ABQ得到对应边成比例，列方程解决即可． 【解答】解：设AB＝x米，BD＝y米， ∵CD∥AB， ∴△CDQ∽△ABQ， ∴， ∵CD＝2，DQ＝3，QB＝QD+DB＝3+y， ∴， ∵EF∥AB， ∴△EFP∽△ABP， ∴， ∵EF＝2，PF＝4，PB＝PD+DB＝4+22.5+y＝26.5+y， ∴， ∴， 解得y＝67.5， 经检验，y＝67.5是原方程的解， ∴， ∴x＝47， 经检验，x＝47是原方程的解， 答：飞虹塔的高度AB为47米． 23．（12分）如图，△ABC中，BC边上的中线AE与∠ABC的平分线BD交于F点，AD＝AF． （1）求证：△ABF∽△CBD； （2）求证：CD＝2EF； （3）若，求BF． 【分析】（1）根据等边对等角得到∠ADF＝∠AFD，进而得到∠ABF＝∠CDB，由BD是∠ABC的平分线，得到∠ABF＝∠CBD，即可证明△ABF∽△CBD； （2）取CD中点G，连接EG，利用三角形中位线的性质，易证△ADF∽△AGE，得到，进而的得到，即可证明； （3）同理（2）取CD中点G，连接EG，证明△CEG∽△CBD，设EG＝x，则BD＝2x，求出BF＝2x﹣2，由△ADF∽△AGE，得到，根据△ABF∽△CBD，由相似的性质即可求解． 【解答】（1）证明：∵AD＝AF， ∴∠ADF＝∠AFD， ∴∠ABF＝∠CDB， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABF＝∠CBD， ∴△ABF∽△CBD； （2）证明：取CD中点G，连接EG，如图， ∵AE是BC边上的中线，即点E为BC的中点， ∴EG是△CBD的中位线， ∴EG∥BD， ∴△ADF∽△AGE， ∴， ∵AD＝AF， ∴AG＝AE， ∴EF＝DG， ∵， ∴， ∴CD＝2EF； （3）解：如（2）中图，可知EG∥BD， ∵△CEG∽△CBD， ∴， ∵点G是CD的中点，点E为BC的中点， ∴， 设EG＝x，则BD＝2x， ∵DF＝2， ∴BF＝2x﹣2， ∵△ADF∽△AGE， ∴， ∴ ∴，即， ∴， ∵DG＝CG， ∴＝， 解得：， ∴， ∴． 24．（12分）．如图，矩形ABCD中，AD＞AB，点P是对角线AC上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作EF⊥AC分别交射线AB、射线AD于点E、F． （1）猜想：∠AFP与∠ACD的数量关系并证明； （2）连接BP，若BP＝AB，且F为AD中点，求的值； （3）若AD＝2AB，移动点P，使△ABP与△CPD相似，直接写出的值． 【分析】（1）根据同角的余角相等，得到∠AEF＝∠ACD，即可得证； （2）根据等边对等角，等角的余角相等，得到∠E＝∠BPE，得到AB＝BP＝BE，设BC交FE与点G，证明△AFE∽△BGE，得到，证明△AFP∽△CGP，列出比例式求解即可； （3）分△ABP∽△CDP，△ABP∽△CPD两种情况进行讨论求解． 【解答】（1）猜想：∠AFP＝∠ACD． 证明：∵EF⊥AC， ∴∠AFP+∠DAC＝90°， ∵∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠AFP＝∠ACD． （2）∵BA＝BP， ∴∠BPA＝∠BAP， ∵∠BPA+∠BPE，＝∠BAP+∠E＝90° ∴∠E＝∠BPE， ∴， 设BC交FE与点G， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴△AFE∽△BGE， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵AD∥BC， ∴△AFP∽△CGP， ∴； （3）∵矩形ABCD， ∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD， ①当△ABP∽△CDP时，则：， ∴点P为AC的中点， ∵AD∥BC， ∴∠FAP＝∠ACB， ∴tan∠ACP＝tan∠FAP，即：， 设PF＝a，则：AP＝2a， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当△ABP∽△CPD时，则：， ∴AB•CD＝AP•CP， 设AB＝CD＝x，AP＝t，则：，AD＝BC＝2x， ∴， ∴， 解得：， ∴ 由①知：， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上：或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$