专题04 全等三角形6大解题必备辅助线专项训练（6大题型+12道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题04 全等三角形6大解题必备辅助线专项训练（6大题型+12道提优训练） 必备辅助线添法一 倍长中线法 必备辅助线添法二 截长补短法 必备辅助线添法三 旋转法 必备辅助线添法四 作平行线法 必备辅助线添法五 作垂线法 必备辅助线添法六 见直角作延长线 【经典例题一 倍长中线法】 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 【例1】（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）（1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 1．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为，从而得到的取值范围是________________________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： 　　 ①延长到，使得； ②再连接，把集中在中； 请完成任务1：在图1中找出与的数量关系并证明．； ③利用三角形三边关系可得． 任务2：的取值范围是_________． （2）感语：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （3）思考：如图2，是的中线，． 任务3：探究线段与的数量关系并加以证明． 3．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中一组全等三角形_______________； （2）如图2，是的中线，若，设，则x的取值范围是_________． 【理解与应用】 （3）如图3，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【经典例题二 截长补短法】 【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【模型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 【例2】（23-24八年级上·四川自贡·期末）如图所示，，，分别是，的平分线，点E在上，求证：．    1．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 2．（23-24八年级上·四川南充·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 3．（23-24八年级上·北京·期中）在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【经典例题三 旋转法】 【模型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等． 注：旋转需要特定条件（两个图形的短边共线），该方法常在半角模型中使用． 【模型图示】 例：如图，已知AB＝AC，∠ABM＝∠CAN＝90°，求证BM＋CN＝MN 方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE＝MN 【例3】（2024·山西·模拟预测）综合与实践 【问题情境】 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，连接，，，为的中点，连接． 【数学思考】 （1）线段与的数量关系，说明理由． 【猜想证明】 （2）若把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，猜想（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【深入探究】 （3）若把绕点A逆时针方向旋转到图3的位置，若是的中点，连接AN，若，直接写出的长． 1．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）已知点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，. (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，在（1）的条件下，，点F在线段BC，且，点，分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值：若不存在，写出你的理由. 2．（23-24八年级上·江西吉安·期中）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当应转至点，，在同一直线上，连接，易证，则① ；②线段，之间的数量关系 ； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）如图3，为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 3．（23-24八年级下·四川·期中）已知，如图1，四边形是正方形，分别在边、上，且．    (1)在图1中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程； (2)如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 【经典例题四 作平行线法】 【例4】（23-24秋·江苏·八年级专题练习）如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求让： 1．（23-24秋·江苏·八年级专题练习） P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 2．（23-24秋·八年级课时练习）读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且 ∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD 分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明． 图(1):延长DE到F使得EF=DE 图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F 图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F. 3．（2023春·全国·七年级专题练习）已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究： (1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论． (2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由； (3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系． 【经典例题五 作垂直法】 【例5】（23-24秋·湖北武汉·八年级统考期中）我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． (1)如图1，是中的遥望角． ①直接写出与的数量关系___________； ②连接AE，猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，四边形ABCD中，，点E在BD的延长线上，连CE，若已知，求证：是中的遥望角． 1．（23-24秋·八年级课时练习）如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G． （1）求证：△EAF≌△DAF； （2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数． 2．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 3．（23-24秋·八年级课时练习）如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD． 分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明． 【经典例题六 见直角作延长线】 【例6】（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，是的角平分线，于点．若点为动点，在点运动的过程中满足，则的最大值为（　　）    A．28 B．24 C．14 D．7 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在中，平分，于点P，已知的面积为，则阴影部分的面积为 ． 3．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，在中，是的平分线，，垂足为E，若的面积为6，则的面积为 ． 1．（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为 (1)求点的坐标； (2)求四边形的面积． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是中线． (1)如图（1），延长至点E，使得，连接． ①求证：； ②若，，设，直接写出x的取值范围； (2)如图（2），延长到点F，使，若，求证：． 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，，，的延长线于点． (1)求证：； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 4．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形中，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求的度数； (2)求证：． 5．（24-25八年级上·河北邢台·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，在中，为边上一点，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 6．（24-25八年级上·江西宜春·期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，写出图中全等的两个三角形　　　　　　； 【理解与应用】 （2）如图2，是的中线，若，，设，求的最大整数值． （3）已知：如图3，是的中线，是的中线，，，求证：． 7．（24-25八年级上·广东惠州·期中）已知，在中，，三点都在直线上，且，． (1)如图①，若，则与的数量关系为______； (2)如图②，直接写出线段与的数量关系：______； (3)如图③，若改变题干中的条件，只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值和的值；若不存在，请说明理由． 8．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图1，在中．D，E分别是边上的动点，连接，，且，交于点F． (1)若，为 的角平分线． ①求的度数． ②求证： (2)如图2．若求的度数． 9．（24-25八年级上·广东汕头·期中）（1）如图①，，平分，把三角尺的直角顶点放在上任意一点P处，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请说明理由； （2）如图②，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F，与相等吗？请说明理由． 10．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，某村庄有一块五边形的田地，，，连接对角线，，． (1)，与之间的数量关系是． (2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？ (3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为11.25克，请直接写出需提前准备多少千克的小麦种． 12．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）（1）问题背景： 如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点且，探究图中线段、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点，使，连接，先证，再证明可得出结论，他的结论应是______； （2）请按照小王同学的思路写出推理过程，也可尝用其他的方法； （3）探索延伸：如图2，若在四边形中，，，、别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 全等三角形6大解题必备辅助线专项训练（6大题型+12道提优训练） 必备辅助线添法一 倍长中线法 必备辅助线添法二 截长补短法 必备辅助线添法三 旋转法 必备辅助线添法四 作平行线法 必备辅助线添法五 作垂线法 必备辅助线添法六 见直角作延长线 【经典例题一 倍长中线法】 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 【例1】（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）（1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：（1）如图①，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点，使，连接、，如图②所示． 同（1）得：， ， ，， ， 在中，由三角形的三边关系得： ， ； （3），理由如下： 如图③，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 1．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为，从而得到的取值范围是________________________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）证明：延长至点，使得，连接，如图所示： 由题意得：， ∵，, ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， 由（2）可得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： 　　 ①延长到，使得； ②再连接，把集中在中； 请完成任务1：在图1中找出与的数量关系并证明．； ③利用三角形三边关系可得． 任务2：的取值范围是_________． （2）感语：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （3）思考：如图2，是的中线，． 任务3：探究线段与的数量关系并加以证明． 【答案】（1）；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的常见模型：倍长中线模型．熟记相关几何模型和结论是解题的关键． （1）证明，进一步由且即可求解； （3）延长到Q使得，连接，延长交于点，证、即可求解． 【详解】解：（1）延长到，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， ， ， ∴， ∵， ∵且， ∴． 故答案为：； （3）解：，理由如下： 延长到Q使得，连接，延长交于点，如图；    ∵是边上的中线， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中一组全等三角形_______________； （2）如图2，是的中线，若，设，则x的取值范围是_________． 【理解与应用】 （3）如图3，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据是的中线，得，再结合，通过定理证明； （2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长到，使，连接，证明三角形全等可得，，得，由此可得结论； 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，中线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： 是的中线， ， 在和中， ， ； 故答案为：； （2）解：如图2，延长至点，使，连接， 是的中线， ， 在与中， ， ， ， 在中，， 即， 的取值范围是：； 故答案为：； （3）解：延长到，使，连接，如图②所示： ，， ， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； 【经典例题二 截长补短法】 【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【模型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 【例2】（23-24八年级上·四川自贡·期末）如图所示，，，分别是，的平分线，点E在上，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及全等二角形的性质的运用，解答时运用截取法正确作辅助线是解决本题关键所在． 在上取点，使，连接，由角平分线的性质可以得出，，从而可以得出，可以得出，进而可以得出，就可以得出，即可得出结论． 【详解】解：在上取点F，使，连接，    ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)度 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． （1）由题意，根据，即可解决问题； （2）在上截取，连接．只要证明，推出，再证明，推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：在上截取，连接． ∵为的角平分线． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ 2．（23-24八年级上·四川南充·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由（1）知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 3．（23-24八年级上·北京·期中）在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； 【详解】（1），理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中 ∴． ∴ ，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴． ∴ ． ∵， ∴． （2），理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 【经典例题三 旋转法】 【模型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等． 注：旋转需要特定条件（两个图形的短边共线），该方法常在半角模型中使用． 【模型图示】 例：如图，已知AB＝AC，∠ABM＝∠CAN＝90°，求证BM＋CN＝MN 方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE＝MN 【例3】（2024·山西·模拟预测）综合与实践 【问题情境】 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，连接，，，为的中点，连接． 【数学思考】 （1）线段与的数量关系，说明理由． 【猜想证明】 （2）若把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，猜想（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【深入探究】 （3）若把绕点A逆时针方向旋转到图3的位置，若是的中点，连接AN，若，直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）结论成立，证明见解析；（3）的长为2． 【分析】此题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线性质、三角形的中位线定理，直角三角形的性质的综合运用； （1）先证明，进而判断出，在由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出结论；     （2）延长到点F，使，连接，由，可得，，进而可得，再由，证明即可得出，由此得出，继而得出结论； （3）延长到点M，使得，连接．先证明可得，由中位线性质定理得．由此即可得出． 【详解】解：（1）． 理由：， ． ， ， 为CD的中点， ． （2）结论成立． 证明：如图1，延长到点F，使，连接． ，，， ，， ， ， ， 又，， ， ． ， （3）的长为2． 解：如图2，延长到点M，使得，连接． ， ． ， ． ， ， ． 为的中点，， ， ． 1．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）已知点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，. (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，在（1）的条件下，，点F在线段BC，且，点，分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值：若不存在，写出你的理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，最小值为4 【分析】（1）根据同角的余角相等即可证明； （2）在上取，连接，．由题意易证，即得出．再根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得出，从而可得出结论； （3）作点E关于BC的对称点，点F关于BD的对称点．连接，交BD于点，BC于点，连接．根据轴对称的性质即可知，即存在最小值，取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长．根据轴对称的性质结合题意可求出，，即证明为边长为4的等边三角形，即可求出，从而即得出答案． 本题考查三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ （2）证明：如图，在上取，连接，． ∵在和中， ， ∴， ∴． 又∵， ∴为中点，即， ∴， ∴； （3）解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点．连接，交于点，于点，连接． 由作图可知，，． ∴， ∵，即存在最小值，即取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴为边长为4的等边三角形， ∴， ∴的最小值为4． 2．（23-24八年级上·江西吉安·期中）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当应转至点，，在同一直线上，连接，易证，则① ；②线段，之间的数量关系 ； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）如图3，为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质和勾股定理的应用， （1）证明．得到．利用为等边三角形，得到，再利用点A，D，E在同一直线上，可得，即可得； （2）证明，可得，，再证明，利用勾股定理求解即可； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，可得，证明是等边三角形，证明，再证明、、在同一条直线上，求出，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴，，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴． ∴． ②由①得：△， ∴； 故答案为：①；②． （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴，，． ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形 ∴． ∵点，，在同一直线上， ∴． ∴． ∴． ∴； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，如图所示：，， 则， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， 即D、P、E在同一条直线上， ∴， 在中，=， 即的长为． 【点睛】本题涉及全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，解题的关键是利用旋转构造全等三角形，把分散的已知条件集中到同一个三角形中． 3．（23-24八年级下·四川·期中）已知，如图1，四边形是正方形，分别在边、上，且．    (1)在图1中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程； (2)如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用旋转的性质，证明即可； （2）把绕点逆时针旋转，使与重合，点与点对应到，证明即可求得． 【详解】（1）证明：如图1中，    由旋转可得，，，， 四边形为正方形， ， ， ，，三点在一条直线上， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：结论：， 理由：如图2中，把绕点逆时针旋转，使与重合，点与点对应， ， ，    同（1）可证得， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法构造全等三角形． 【经典例题四 作平行线法】 【例4】（23-24秋·江苏·八年级专题练习）如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求让： 【答案】见详解 【分析】过点D作DE∥AC，交BC于点E，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDE=∠MEC，DE=CE，从而证明∆EMD≅∆CME，进而即可得到结论． 【详解】过点D作DE∥AC，交BC于点E， ∵是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°， ∵DE∥AC， ∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC， ∴是等边三角形， ∴BD=DE， ∵， ∴DE=CE， 又∵∠EMD=∠CME， ∴∆EMD≅∆CME， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键． 1．（23-24秋·江苏·八年级专题练习） P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3． 【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可； （2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DEAC，即可得出结果． 【详解】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F． ∵△ABC是等边三角形， ∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ． ∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ． 在△PDF和△QDC中，， ∴△PDF≌△QDC（AAS）， ∴PD=DQ； （2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF． ∵PE⊥AC，∴AE=EF． ∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ． 在△PFD和△QCD中，， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD=CD． ∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DEAC． ∵AC=6，∴DE=3．    【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质． 2．（23-24秋·八年级课时练习）读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且 ∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD 分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明． 图(1):延长DE到F使得EF=DE 图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F 图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F. 【答案】选择（1）（3）证明，证明见解析 【分析】如图(1)延长DE到F使得EF=DE,证明△DCE≌△FBE,得到∠CDE=∠F,BF=DC,结合题干条件即可得到结论;如图3,过C点作CF∥AB交DE的延长线于F,得到△ABE≌△FCE,AB=FC,结合题干条件即可得到结论, 【详解】如图(1)延长DE到F使得EF=DE 在△DCE和△FBE中, ∴△DCE≌△ FBE（SAS) ∴∠CDE=∠F,BF=DC ∵∠BAE=∠CDE ∴BF=AB ∴AB= CD 如图3,过C点作CF∥AB交DE的延长线于F 在△ABE和△FCE中 ∴△ABE≌△ FCE(AAS), ∴AB=FC ∵∠BAE=∠CDE ∴∠F=∠CDE ∴CD=CF ∴AB=CD 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，解题关键在于利用三角形全等的性质证明 3．（2023春·全国·七年级专题练习）已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究： (1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论． (2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由； (3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系． 【答案】(1)DM=EM．理由见详解； (2)成立，理由见详解； (3)MD=ME． 【分析】（1）DM=EM；过点E作EF//AB交BC于点F，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论； （2）成立；过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论； （3）MD=ME．过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质和已知条件得到△DBM∽△EFM，接着利用相似三角形的性质即可得到结论； 【详解】（1）解：DM=EM； 证明：过点E作EF//AB交BC于点F， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C； 又∵EF//AB， ∴∠ABC=∠EFC， ∴∠EFC=∠C， ∴EF=EC． 又∵BD=EC， ∴EF=BD． 又∵EF//AB， ∴∠ADM=∠MEF． 在△DBM和△EFM中 ， ∴△DBM≌△EFM， ∴DM=EM． （2）解：成立； 证明：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C； 又∵EF//AB， ∴∠ABC=∠EFC， ∴∠EFC=∠C， ∴EF=EC． 又∵BD=EC， ∴EF=BD． 又∵EF//AB， ∴∠ADM=∠MEF． 在△DBM和△EFM中 ∴△DBM≌△EFM； ∴DM=EM； （3）解：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F， ∵∠DBM=∠EFM，∠DMB=∠EMF ∴△DBM∽△EFM， ∴BD：EF=DM：ME， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠F=∠ABC， ∴∠F=∠C， ∴EF=EC， ∴BD：EC=DM：ME=1：2， ∴MD=ME． 【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等腰三角形性质和判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，利用平行构造全等三角形是解题关键． 【经典例题五 作垂直法】 【例5】（23-24秋·湖北武汉·八年级统考期中）我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． (1)如图1，是中的遥望角． ①直接写出与的数量关系___________； ②连接AE，猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，四边形ABCD中，，点E在BD的延长线上，连CE，若已知，求证：是中的遥望角． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）①运用角平分线的定义，以及三角形外角的性质，推导得到，，即、可得出；②过点作交延长线于点，过点作交于点，过点作交延长线于点，运用角平分线的性质及判定定理可证，由，可得； （2）过作交于点，过作交延长线于点，先证四边形是矩形，再证，最后证得平分，平分即可． 【详解】（1）解：①∵平分，即， ∴． ∵平分，即， ∴． 又∵， ∴． ②猜想：，理由如下： 如图2，过点作交延长线于点，过点作交于点，过点作交延长线于点， ∵平分，，， ∴， 同理，， ∴， ∵，， ∴平分，即， ∵， ∴． （2）证明：如图3，过作交于点，过作交延长线于点， ∵，，， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴，即平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵平分， ∴是中的遥望角． 【点睛】本题考查了角平分线的性质及判定，全等三角形的性质及判定，熟练掌握角平分线判定定理及相关性质是解题的关键． 1．（23-24秋·八年级课时练习）如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G． （1）求证：△EAF≌△DAF； （2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠DCF＝45°． 【分析】（1）由垂直定义可得∠CAD=∠ACB=90°，再根据题意得∠EAF=∠DAF，即可证得结论； （2）过点F作FM⊥FA交AC于点M，由“AAS”可证△AEF≌△MCF，可得∠AFE=∠MFC，EF=DF，可证△CDF是等腰直角三角形，可得∠DCF=45°． 【详解】证明：（1）∵AD⊥AC，BC⊥AC， ∴∠CAD＝∠ACB＝90°， ∵AC＝BC， ∴∠BAC＝∠B＝45°， ∴∠EAF＝180°﹣∠BAC＝135°，∠DAF＝∠CAD+∠BAC＝135°， ∴∠EAF＝∠DAF， 在△EAF和△DAF中， ， ∴△EAF≌△DAF（SAS）； （2）如图2，过点F作FM⊥FA交AC于点M， ∵FA⊥FM，∠FAM＝45°， ∴∠FMA＝45°＝∠FAM， ∴FA＝FM，∠FMC＝∠FAE＝135°， ∵EF＝FC， ∴∠FEM＝∠FCA， 在△AEF和△MCF中， ， ∴△AEF≌△MCF（AAS）， ∴∠AFE＝∠MFC，EF＝DF， ∵△EAF≌△DAF， ∴∠EFA＝∠DFA， ∴∠DFA＝∠MFC， ∴∠AFM＝∠DFC＝90°， ∵DF＝EF＝CF， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠DCF＝45°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析； 【分析】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F， AB＝CD； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，△BEF≌△CEG △BAF≌△CDG，AB＝CD； （2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD； 【详解】（1）①如图1， 延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF， ∵点E是BC的中点，∴BE＝CE， 在△BEF和△CED中， ， ∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE， ∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F， ∴AB＝BF，∴AB＝CD； ②如图2， 分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G， ∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°， ∵点E是BC的中点，∴BE＝CE， 在△BEF和△CEG中， ， ∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG， 在△BAF和△CDG中， ， ∴△BAF≌△CDG（AAS）， ∴AB＝CD； （2）如图3， 过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M， 则∠BAE＝∠EMC， ∵E是BC中点， ∴BE＝CE， 在△BAE和△CME中， ， ∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F， ∵∠BAE＝∠EDC， ∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 3．（23-24秋·八年级课时练习）如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD． 分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明． 【答案】见解析 【分析】方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于点G，先证明△BFE≌△CGE，得BF=CG，再证明△ABF≌△DCG即可； 方法二：如图2中，作CF∥AB交DE的延长线于点F，先证明CF=CD，再证明△ABE≌△FCE即可． 【详解】证明：方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于点G． ∴∠F=∠CGE=90°， 在△BFE和△CGE中，， ∴△BFE≌△CGE（AAS）， ∴BF=CG， 在△ABF和△DCG中，， ∴△ABF≌△DCG（AAS）， ∴AB=CD； 方法二：如图2，作CF∥AB交DE的延长线于点F． ∴∠F=∠BAE． 又∵∠BAE=∠D， ∴∠F=∠D， ∴CF=CD， 在△ABE和△FCE中，， ∴△ABE≌△FCE（AAS）， ∴AB=CF， ∴AB=CD． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 【经典例题六 见直角作延长线】 【例6】（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，是的角平分线，于点．若点为动点，在点运动的过程中满足，则的最大值为（　　）    A．28 B．24 C．14 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义；延长和相交于点，构造出，从而求出的值；，根据当时，有最大值求解即可； 【详解】解：延长和相交于点，如图：    ∵ 是 的角平分线 ∴ ∵ ∴ ， 当时， 有最大值； 故选：D． 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．延长交于点C，根据题意，易证，因为和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出． 【详解】解：如图所示，延长，交于点D，   ， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵和同底等高， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在中，平分，于点P，已知的面积为，则阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键． 延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解． 【详解】解：延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴阴影部分的面积 ∴阴影部分的面积； 故答案为：6． 3．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，在中，是的平分线，，垂足为E，若的面积为6，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积等知识，证明，由全等三角形的性质得出则，可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：延长交于点，如图： ∵平分， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为 (1)求点的坐标； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)点的坐标为 (2)22 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）先证明，然后即可得到，，然后再根据点的坐标为，点的坐标为，即可得到点的坐标； （2）由图可知，代入相关数据即可求解． 【详解】（1）解：作轴于点，作轴于点，如图所示， 则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，，， ，， ， 点的坐标为； （2）由题意得： ． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是中线． (1)如图（1），延长至点E，使得，连接． ①求证：； ②若，，设，直接写出x的取值范围； (2)如图（2），延长到点F，使，若，求证：． 【答案】(1)①见解析；② (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用、全等三角形的判断与性质等知识点，正确作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． （1）①由“”可证即可；②利用全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系求解即可； （2）如图2，延长至点E，使得，连接，则，同（1）可证可得、，再证明可得即可证明结论． 【详解】（1）解：①证明：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． （2）证明：如图2，延长至点E，使得，连接，则， 同（1）得：， ∴，， ∴     ∴ ∵ 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，，，的延长线于点． (1)求证：； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）先证明，由对顶角相等可得，可得出，最后由可得结论； （2）延长交于点F，先证明，可得，再证明可得再证明即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ； （2）解：理由如下： 如图，延长交于点F， ， 在和中 ， ， 在和中 ， 4．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形中，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、四边形内角和定理以及角的计算；根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键． （1）结合即可证出，由此即可得出，，即可求解； （2）通过角的计算得出，证出，由此即可得出． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ，， ， ，， ， ； （2）证明：， ． ， ． 在和中， ， ． ． 5．（24-25八年级上·河北邢台·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，在中，为边上一点，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系等知识； （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）延长至，使，连接证明，推出A，利用三角形的三边关系即可解决问题； 【详解】（1）解：过点作垂直于， ∵与是积等三角形， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，延长至，使，连接 ∵与为积等三角形， 在与中， ∴ ∴ 在中 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵为正整数， ∴或3； 6．（24-25八年级上·江西宜春·期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，写出图中全等的两个三角形　　　　　　； 【理解与应用】 （2）如图2，是的中线，若，，设，求的最大整数值． （3）已知：如图3，是的中线，是的中线，，，求证：． 【答案】（1）；（2）的最大整数值为3；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用证明即可得解； （2）延长至点，使，连接，证明，得出，再由三角形三边关系即可得解； （3）延长到，使，连接，先证明，得出，，再证明，即可得解． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴； 故答案为：； （2）解：如图2，延长至点，使，连接， ， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，，即， 的取值范围是， ∴的最大整数值为：3． （3）证明：如图3，延长到，使，连接， ， 是的中线， ， 在与中， ， ∴， ，， ， ， ， ， ， ， 是的中线， ， ， ， 在与中， ， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·广东惠州·期中）已知，在中，，三点都在直线上，且，． (1)如图①，若，则与的数量关系为______； (2)如图②，直接写出线段与的数量关系：______； (3)如图③，若改变题干中的条件，只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或． 【分析】（）由余角性质可得，进而可证明，即可求解； （）同理（）可得，得，，进而可得； （）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质解答即可求解； 本题考查了余角性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ， ， 又， ， ， ， 故答案为：； （3）解：①∵点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，， ，，， ，点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，， ，， ， 当时，，， ，， ，， 当，，满足，， 故，符合题意； ②∵点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，， ，，， 当时，，， ，， ，， ，点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，， ，， ， 当，时，满足，， 故，符合题意； 综上，，或，． 8．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图1，在中．D，E分别是边上的动点，连接，，且，交于点F． (1)若，为 的角平分线． ①求的度数． ②求证： (2)如图2．若求的度数． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】（1）①由角平分线的定义及三角形内角和即可求解； ②在上截取，连接；首先证明，易得，从而得，利用证明，得，从而可证得结论成立； （2）在上截取，连接；先证明，得，，则有，从而有；利用三角形外角的性质即可得的度数． 【详解】（1）解：①∵，为 的角平分线， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图1，在上截取，连接； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，在上截取，连接； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形外角性质与三角形内角和等知识，构造适当辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 9．（24-25八年级上·广东汕头·期中）（1）如图①，，平分，把三角尺的直角顶点放在上任意一点P处，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请说明理由； （2）如图②，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F，与相等吗？请说明理由． 【答案】（1），理由见解析  （2），理由见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）过点 作于，于，证明，可得结论； （2）过点 作于，于，证 明，可得结论. 【详解】（1）. 证明：如图，过点 作于，于. 故 ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴ . ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）， 理由：如图，过点作于，于， 故 ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 10．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，某村庄有一块五边形的田地，，，连接对角线，，． (1)，与之间的数量关系是． (2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？ (3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为11.25克，请直接写出需提前准备多少千克的小麦种． 【答案】(1) (2)建造木栅栏共需花费元 (3)千克 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解决一条线段长等于两条线段和的问题常用方法“截长或补短”． （1）由直接可以得到； （2）延长至点，使，证得，得到进而证明的周长米可得结论； （3）利用（2）中结论可得运用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长至点，使，连接， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 在与中， ， ∴， ∴， ∴(米)。 五边形的周长(米)，(元)。 答：建造木栅栏共需花费元； （3）解： ∴需小麦种数量为：(千克)． 12．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）（1）问题背景： 如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点且，探究图中线段、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点，使，连接，先证，再证明可得出结论，他的结论应是______； （2）请按照小王同学的思路写出推理过程，也可尝用其他的方法； （3）探索延伸：如图2，若在四边形中，，，、别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由推出，结合，，即可的得到结论 （2）根据题意易证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； （3）延长到点，使，连接，根据，推出，易证，推出，，然后利用，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论． 【详解】解：（1） 又 故答案为：． （2）在和中 ， 又， 在和中 （3）结论仍然成立， 理由：如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中 ， 在和中 学科网（北京）股份有限公司 $$