5.2（第1课时）用合并同类项的方法解一元一次方程（同步课件）-【大单元教学】2024-2025学年七年级数学上册同步备课系列（人教版2024）

数学 人教版 七年级上册 一元一次方程 第五章 1 5.2（第1课时） 用合并同类项的方法 解一元一次方程 第5章 一元一次方程 2 情境引入 2024 年巴黎奥运会是第 33 届夏季奥林匹克运动会，于 2024 年 7 月 26 日至 8 月 11 日在法国巴黎举行。中国代表团在巴黎奥运会上夺得 40 金 27 银 24 铜，创造了在境外奥运会的最佳成绩，金牌数与美国代表团并列首位。8 月 1 日，在巴黎奥运会男子 100 米自由泳决赛中，中国选手潘展乐以 46 秒 40 的成绩打破世界纪录，夺得金牌。 一个标准游泳池一般长为 50 米，宽为 21 米，平均水深为 1.8 米，泳池中水的体积为1890立方米。奥运会准备期间，若1号进水管的进水速度为54立方米/小时，2号进水管的进水速度为96立方米/小时，若用1号和2号进水管同时注水，则需注水多长时间才能将泳池注入标准水量？ 新知探究 实际问题 一元一次方程 设未知数 列方程 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是解决实际问题的一种数学方法. 思考：用方程解应用题的步骤是什么？ 新知探究 (1) 含有相同的_____，并且相同字母的_____也相 同的项，叫做同类项； (2) 合并同类项时，把各同类项的_____相加减，字母和字母的指数_____. 字母 指数 系数 不变 (3) 用合并同类项进行化简： 1) 3x －5x = ________； 2) －3x + 7x = ________； －2x 4x 4y － y 填空： 3) y + 5y－ 2y =________； 4) _______. 新知探究 再来看【情境引入】的问题： 一个标准游泳池一般长为 50 米，宽为 21 米，平均水深为 1.8 米，泳池中水的体积为1890立方米。奥运会准备期间，若1号进水管的进水速度为54立方米/小时，2号进水管的进水速度为96立方米/小时，若用1号和2号进水管同时注水，则需注水多长时间才能将泳池注入标准水量？ 解：设需要注水x小时，根据题意可得 54x+96x=1890 如何解这个方程？ 新知探究 54x+96x=1890 尝试把一元一次方程转化为 x = m 的形式. 方程的左边出现几个含x的项，该怎么办？ 它们是同类项， 可以合并成一项！ 新知探究 分析：解方程，就是把方程变形，化归为 x = m (m为常数)的形式. 合并同类项 系数化为1 依据：乘法对加法的分配律 依据：等式性质2 54x+96x=1890 150x=1890 x=12.6 新知探究 思考：上述解方程中的“合并”起了什么作用？ 解方程中“合并”起了化简作用，把含有未知数的项合并为一项，从而达到把方程转化为ax = b的形式，其中a,b是常数,“合并”的依据是逆用分配律. 学习笔记 新知探究 用合并同类项解一元一次方程的步骤： 第一步：合并同类项，即将等号同侧的含未知数的项、常数项分别合并，把方程转化为 ax=b(a≠0)的形式； 第二步：系数化为1，即在方程两边同时除以未知数的系数(或乘未知数系数的倒数)，将未知数的系数化为1，得到 x=(a≠0). 学习笔记 新知探究 系数化为1时，常出现以下几种错误： (1)颠倒除数与被除数的位置； (2)忽略未知数系数的符号； (3)当未知数的系数含有字母时，不考虑系数是不 是等于0的情况． 图说数学史 约公元825年，中亚细亚数学家阿尔-花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程.这本书的拉丁译本取名为《对消与还原》.“对消”与“还原”是什么意思呢？ 典例精析 例1 解：合并同类项，得 系数化为1，得 解下列方程： (1) ； (2) ; 解：合并同类项，得 系数化为1，得 6 典例精析 例1 解下列方程： (3) (4)合并同类项，得 去绝对值，得 系数化为1，得 (3) 合并同类项，得 系数化为 1，得 + (4) 典例精析 例2 有一列数，按一定规律排列成1，-3，9，-27，81，-243 ，··· . 其中某三个相邻数的和是 -189，这三个数各是多少？ 解：设所求的三个数分别是 x，-3x，9x， 由三个数的和是 -189，得x-3x+9x=-189， 合并同类项，得 7x=-189， 系数化为1，得 x=-27， 所以 -3x=81，9x=-242 . 答：这三个数是-27，81，-243 . 典例精析 例3 程大位，明代商人，珠算发明家，历经二十年，于明万历壬辰年（1592 年）写就巨著《算法统宗》.《算法统综》搜集了古代流传的 595 道数学难题并记载了解决方法，堪称中国 16-17 世纪数学领域集大成的著作. 在该书中，有一道“百羊问题”：　 甲赶群羊逐草茂，乙拽一羊随其后，　　　　 戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，　　　　 若得这般一群凑，再添半群小半群，　　　　 得你一只来方凑，玄机奥妙谁参透？ （注：小半即四分之一） 解得x=36 典例精析 例4 足球表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑、白皮块数目的比为3:5，一个足球表面一共有32个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少个？ 解：设黑色皮块有 3x 个，则白色皮块有 5x 个. 根据题意列方程 3x + 5x = 32， 解得 x = 4， 则黑色皮块有 3x = 12 (个)， 白色皮块有 5x = 20 (个). 答：黑色皮块有12个，白色皮块有20个． 典例精析 例5 某学校在植树节开展植树活动，七年级三个班共植树80棵，其中一班植树的棵数比二班植树的棵数多4，三班植树的棵数比二班植树的棵数的2倍少4，求三个班各植树多少棵. 解：设二班植树 x 棵，则一班植树(x+4)棵，三班植树(2x-4)棵. 根据题意，得x+x+4+2x-4=80. 合并同类项，得4x=80. 系数化为1，得x=20. 所以x+4=24，2x-4=36. 答：一班植树20棵，二班植树24棵，三班植树36棵. 用合并同类项的方法解一元一次方程 形如“ax + bx + ··· + mx = p” 的一元一次方程 合并同类项 系数化为1 用方程解决实际问题 随堂演练 1.把方程－ x＝3的系数化为1的过程中，最恰当的叙述是(　　) A．给方程两边同时乘－3 B．给方程两边同时除以－ C．给方程两边同时乘－ D．给方程两边同时除以3 C 随堂演练 2.一元一次方程2x＝4的解是(　　) A．x＝1　　　　　　B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 B 3.对于方程2y＋3y－4y＝1，合并同类项正确的是(　　) A．y＝1 B．－y＝1 C．9y＝1 D．－9y＝1 A 随堂演练 解： (1)合并同类项，得 系数化为1，得x=4. (2)合并同类项，得6x=－78. 系数化为1，得x=－13. 4.解下列一元一次方程： 随堂演练 4.解下列一元一次方程： (3)－x＝3； (4)2x＝－4； (5) x＝－3. 解：(3)系数化为1，得x＝－3. (4)系数化为1，得x＝－2. (5)系数化为1，得x＝－6. 随堂演练 5.某市准备用灯饰美化街道，计划用A，B两种不同类型的灯笼200个，如果B种灯笼的个数是A种灯笼个数的，则需A种灯笼个，B种灯笼_____ 个. 解析： 设需A种灯笼 x 个，则需B种灯笼x 个， 根据题意，得 x+x=200， 解得 x= 120，所以 x= 80. 随堂演练 6.某班51人参加植树活动，根据任务的不同，分成甲、乙、丙三个小组，甲、乙两小组的人数比为1:2，乙、丙两小组的人数比为3:4，求甲、乙、丙三个小组各有多少人. 解：设甲组有3x人，则乙组有6x人，丙组有8x人. 根据题意，得3x+6x+8x=51. 合并同类项，得17x=51. 系数化为1，得x=3. 所以3x=9，6x=18，8x=24. 答：甲组有9人，乙组有18人，丙组有24人. 随堂演练 7.将自然数1至2010按图中的方式排列： 用一个长方形框出9个数(3行3列)，已知这9个数 的和为17991，求这9个数中最小的数. 解：设正中间的数为x，则其余8个数分别为x-8，x-7，x-6，x-1，x+1，x+6，x+7，x+8. 根据题意，得x-8+x-7+x-6+x-1+x+x+1+x+6+x+7+x+8=17991. 整理，得9x=17991，解得x=1999. 所以x-8=1999-8=1991. 所以这9个数中最小的数为1991. 随堂演练 8.现有菜地975公顷，要种植丝瓜、西红柿和小葱，其中种丝瓜与种西红柿的面积之比是3:2，种西红柿与种小葱的面积之比是5:7，则三种蔬菜各种多少公顷? 解：因为种丝瓜与种西红柿的面积之比是3:2，种西红柿与种小葱的面积之比是5:7，所以种丝瓜、西红柿、小葱的面积之比是15: 10: 14. 设种丝瓜的面积为15x公顷，种西红柿的面积为10x公顷，种小葱的面积为14x公顷. 根据题意，得15x+10x+14x=975. 合并同类项，得39x = 975. 系数化为1，得x=25. 所以15x=375，10x = 250，14x =350. 答：种丝瓜、西红柿、小葱的面积分别为375公顷、250公顷、350公顷. 随堂演练 9.有一叠卡片，自上而下按规律分别标有数字6，12，18，24，30，…. (1) 第n(n≥1)个数用式子表示为____ ； (2) 小明从中抽取相邻的三张卡片，这三张卡片上的数字之和是342，你知道他抽出的卡片是哪三张吗？ (3) 拿出相邻的三张卡片，这三张卡片上的数字之和有可能是86吗？为什么？ 6n 解：(2) 设小明抽出的三张卡片上的数字分别是6a -6，6a，6a+6，其中a≥2且为正整数. 根据题意，得6a -6+6a +6a +6 =342， 合并同类项，得18a = 342，系数化为1，得 a=19， 所以6a-6=108，6a=114，6a +6=120. 故小明所抽出的是分别标有数字108，114，120的三张卡片. 随堂演练 解：(3)不可能.理由如下： 设拿出的三张卡片上的数字分别是6m -6，6m，6m +6，其中m≥2且为正整数. 当6m-6+6m+6m+6=86时， 合并同类项，得18m= 86. 系数化为1，得m=， 因为m是正整数，而求出的m的值不是正整数， 所以这三张卡片上的数字之和不可能是86. $$