4.2一次函数与正比例函数 课件 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

第四章 一次函数 4.2 一次函数与正比例函数 学习目标 1.通过从实际生活中发现变量间的特殊关系,总结归纳出一次函数的概念; 2.辨析一次函数和正比例函数的概念，能根据所给条件写出简单的一次函数和正比例函数表达式. 2 复习引入 复习一：什么是函数？ 复习二：函数表示方法有哪些？ 思考：现实生活中还有很多问题可以归结为函数问题，你能举例说明吗？ 3 探究新知 情境一 某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5 cm. (1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg， 5 kg 时的长度，并填入下表： (2)你能写出y与x之间的关系吗？ y=3+0.5x x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3 3.5 4 4.5 5 5.5 y=0.5x +3 4 探究新知 情境二 某辆汽车油箱中原有油60 L,汽车每行驶50 km耗油6 L. （1）完成下表： (2)你能写出上述y与x之间的关系吗？ 汽车行使路程x/km 0 50 100 150 200 300 耗油量y/L 0 6 12 18 24 36 z=60－0.12x z=－0.12x+60 y=0.12x (3)你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系吗？ 5 探究新知 认真观察，上述关系式之间有什么共同特征？ y=0.5x +3 z=－0.12x+60 y=0.12x 正比例函数是特殊的一次函数 6 应用一　识别一次函数与正比例函数 例1 有下列函数:①y=-x;②y=-3x-6;③y=2(x-3);④y=x2+3;⑤y=.其中是正比例函数的为　　　　,是一次函数的为 　　　　.(填写序号)  ① ①②③ 例题练习 例1：写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系; 解：由路程=速度×时间，得y=60x , y是x的 一次函数,也是x的正比例函数. 解：由圆的面积公式，得y=πx2, y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数. （2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系. （3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3. 解：这个水池每时增加5m3水，x h增加5x m3水， 因而 y=15+5x，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数. 8 应用二　运用一次函数解决简单的实际问题 例3 (教材典题)自2019年1月1日起,我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是:每次收入不超过800元的,预扣预缴税款为0;每次收入超过800元但不超过4000元的,预扣预缴税款=(每次收入-800)×20%……如某人取得劳务报酬2000元,他这笔所得应预扣预缴税款(2000-800)×20% =240(元). (1)当每次收入超过800元但不超过4000元时,写出劳务报酬所得税预扣预缴税款y(元)与每次收入x(元)之间的关系式; 解:(1)当每次收入超过800元但不超过4000元时,y=(x-800)×20%,即y=0.2x-160. 应用二　运用一次函数解决简单的实际问题 例3 (教材典题)自2019年1月1日起,我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是:每次收入不超过800元的,预扣预缴税款为0;每次收入超过800元但不超过4000元的,预扣预缴税款=(每次收入-800)×20%……如某人取得劳务报酬2000元,他这笔所得应预扣预缴税款(2000-800)×20% =240(元). (2)某人某次取得劳务报酬3500元,他这笔所得应预扣预缴税款多少元? (2)当x=3500时,y=0.2×3500-160=540(元). 应用二　运用一次函数解决简单的实际问题 例3 (教材典题)自2019年1月1日起,我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是:每次收入不超过800元的,预扣预缴税款为0;每次收入超过800元但不超过4000元的,预扣预缴税款=(每次收入-800)×20%……如某人取得劳务报酬2000元,他这笔所得应预扣预缴税款(2000-800)×20% =240(元). (3)如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元,那么此人这次取得的劳务报酬是多少元? 解:因为(4000-800)×20%=640(元),600<640,所以此人这次取得的劳务报酬不超过4000元. 设此人这次取得的劳务报酬是x元, 则600=0.2x-160,解得x=3800. 所以此人这次取得的劳务报酬是3800元. 根据一次函数定义解题 当m,n为何值时,关于x的函数y=(m-1)+n: (1)是一次函数; (2)是正比例函数. 解:(1)当m2=1且m-1≠0时,y=(m-1)+n是一次函数, 故当m=-1,n为任意实数时,y=(m-1)+n是一次函数. (2)当m2=1且m-1≠0,n=0时,y=(m-1)+n是正比例函数, 故当m=-1且n=0时,y=(m-1)+n是正比例函数. 【延伸拓展】 [检测]　 1.有下列函数:①y=2x;②y=;③y=2x+1;④y=2x2+1.其中一次函数的个数是 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 2.对于函数y=(m-2)x+m2-4,x是自变量,若m　　　　,则y是x的一次函数;若m=　　　　,则y是x的正比例函数.  B ≠2 -2 3.写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断y是不是x的一次函数,是不是正比例函数. (1)某种汽油的单价为8.25元/升,总价y(元)与加油量x(升)之间的关系; (2)水池中有800立方米的水,每小时可抽50立方米,x小时后剩余水的体积为y立方米. 解:(1)y=8.25x,y是x的一次函数,是正比例函数. (2)y=-50x+800,y是x的一次函数,不是正比例函数. 解：y=－3x. x -1 0 1 2 3 y 3 0 -3 -6 -9 1.根据下表写出y与x之间的一个关系式. 课后习题4.2(82页） 解：（1）y=3x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数. （2）因为长方形的周长为10cm，所以长方形相邻两边长的和为5cm，长方形的一边长为 x cm，那么另一边长为（5-x）cm.长方形的面积y=x（5-x）=-x²+5x , y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数. 2.写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次 函数？是否为正比例函数？ （1）一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球，其速度每秒增加 3m，小球的速度 y（m/s）与时间 x（s）之间的关系； （2）周长为10cm的长方形的一边长为 x cm，其面积 y（cm²）与 x（cm）之间的关系. 课后习题4.2(82页） 解：（1）y=0.2x+12. （2）当x=180时，y=0.2×180+12=48，所以他应缴费48元. （3）当y=100时，100=0.2x+12，解得x=440. 所以该用户本月可通话440min. 3.某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元／min计． (1)写出每月应缴费用y(元)与通话时间x (min)之间的关系式； (2)某手机用户这个月通话时间为180 min, 他应缴费多少元？ (3)如果该手机用户本月预缴了100元的话费，那么该用户本月可通话多长时间？ 课后习题4.2(82页） 解：（1）y=0.25x. （2）当x=180时，y=0.25×180=45，所以他应缴费45元. （3）当y=100时，100=0.25x，x=400， 所以该用户本月可通话400min. 4.某电信公司手机的B类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元／min计.按照此类收费标准，分别完成第3题中的各小题. 课后习题4.2(82页） 解：（1）A类收费：y=12+0.2×300=72（元），B类收费：y=0.25×300=75（元），所以应选A类收费方式.（2）12+0.2x=0.25x，解得x=240. 所以每月通话时间为240min时，按A,B两类收费标准缴费，所缴话费相等. *5.根据上面第3,4题中的条件,完成下列各题： (1)若每月平均通话时间为300min，你选择哪类收费方式？ (2)每月通话多长时间，按A，B两类收费标准缴费，所缴话费相等？ 课后习题4.2(82页） 课堂小结 正比例函数 一次函数 一般到特殊 b=0 21 $$