4.1 函数 课件 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

第四章 一次函数 4.1 函数 学习目标 1.经历从具体实例中抽象出函数概念的过程，体会函数的三种表示方式. 2.初步理解函数的概念，能判断两个变量的关系是不是函数关系，会求函数值，并会确定自变量的取值范围. 2 探究新知 函数的概念及其表示方法 探索一 想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ 问题一 3 探究新知 下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系. T/分 0 1 2 3 4 5 … h/米 … (1)根据左图填表： 14 36 47 36 3 14 （2）对于给定的时间 t ，相应的高度 h 确定吗？ 思考：其中对于给定的每一个时间 t ,高度 h 对应有几个值？ 4 探究新知 问题二 瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如图摆放，随着层数增加，物体的总数是怎么变化的？ 填写下表： 1 2 3 4 5 … … 1 3 6 10 15 层数 n 物体总数y 思考：对于给定任一层数n，相应的物体总数y确定吗？有几个y值和它对应？ 唯一一个y值 5 探究新知 问题三 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0. (1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？ 246K 、273K、291K 解：当t=-43时，T=230 （2）给定任一个大于-273 ℃的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？ 唯一一个T值 6 探究新知 想一想：上述三个问题有什么共同特点？ ①时间 t 、相应的高度 h ； ②层数n、物体总数y； ③摄氏温度t 、热力学温度T. 共同特点：①都有两个变量 ②给定其中某一个变量的值，相应地 就确定了另一个变量的值. 7 归纳总结 一般地，如果在一个变化过程中有 两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值， 变量y都有唯一的值与它对应，那么我们 称y是x的函数(function)，其中x是自变量. 函数 注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的一种依存关系. 表示函数的一般方法 列表法 图象法 关系式法 (解析式法、表达式法) 问题一 问题二 问题三 8 练一练 例1 下列关于变量x ，y 的关系式：y =2x+3；y =x2+3；y =2|x|；④ ； 其中表示y 是x 的函数关系的是 ．  判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应. 方法 一个x值有两个y 值与它对应 9 探究新知 自变量取值范围 探索二 问题：上述的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？ 自变量t的取值范围:__________ t ≥ 0 问题一 10 探究新知 问题二 瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如图摆放，随着层数增加，物体的总数是怎么变化的？ 填写下表： 1 2 3 4 5 … … 1 3 6 10 15 层数 n 物体总数y 自变量n的取值范围：_________. n取正整数 11 探究新知 问题三 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0. 自变量t的取值范围：___________. t ≥ -273 12 练一练 做一做：下列函数中自变量x的取值范围是什么？ 使函数解析式有意义的自变量的全体. 13 探究新知 问题三 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0. 自变量t的取值范围：___________. t ≥ -273 当t等于-43时，热力学温度T是多少？ 当t=-43时，T=230 230就是t=-43时的函数值 14 归纳新知 函数值 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值． 即：如果y是x的函数，当x=a时，y=b，那么b叫做当x=a时的函数值． 注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值． 15 应用　判断函数关系并解决问题 例 如图4-1-3,线段AB=6,在垂直于AB的射线DE上有一个动点C(点C与点D不重合,点D在线段AB上),分别连接CA,CB,得到△ABC. (1)指出△ABC的面积随CD的长的变化而变化的过程中,变量是什么?谁是自变量?自变量的取值范围是什么? 图4-1-3 解:依题意,知变量是CD的长和△ABC的面积,其中CD的长是自变量,取值范围是CD>0. (2)当CD=3,4,5时,对应△ABC的面积分别是什么? (3)设CD的长为h,△ABC的面积为S,S是不是h的函数? 图4-1-3 解:(2)当CD=3,4,5时,对应△ABC的面积分别是9,12,15. (3)对于h的每一个确定的值,S都有唯一的值与其对应,所以S是h的函数. 由图象判断函数关系 如图4-1-4,下列四个图象中,请用函数的定义判断哪些表示y是x的函数. 图4-1-4 【延伸拓展】 [检测]　 1.一棵树苗栽种时的高度为80 cm,为研究它的生长情况,测得数据如下表: 则按照表中呈现的规律,树苗的高度h与栽种年数n之间的关系式为　　　　　　,栽种　　　年后,树苗能长到280 cm.  h=25n+80 栽种以后的年数n/年 1 2 3 4 … 高度h/cm 105 130 155 180 … 8 2.根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”,前30米称为“加速期”,30米~80米为“中途期”,80米~100米为“冲刺期”.市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y(m/s)与路程x(m)之间的观测数据,绘制成曲线如图4-1-5所示. (1)y是关于x的函数吗?为什么? 图4-1-5 解:观察可知,在自变量的取值范围内,对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应.因此,y是x的函数. (2)“加速期”结束时,小斌的速度为多少? (3)根据如图4-1-5提供的信息,给小斌提一条训练建议. 图4-1-5 解:(2)“加速期”结束时,自变量的值为x=30,对应y的值为10.4.因此,“加速期”结束时,小斌的速度为10.4 m/s. (3)答案不唯一.例如:根据图象信息,小斌在80米左右时速度下降明显,建议增加耐力训练,提高成绩. 课堂小结 函数 定义：自变量、因变量、常量 函数的关系式：三种表示方法 函数值 自变量的取值范围 23 $$