专题06 全等三角形易错必刷题型专训（66题21个考点）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题06 全等三角形易错必刷题型专训（66题21个考点） 【易错必刷一 全等三角形的概念】（共3小题） 1．（23-24七年级下·陕西西安·期中）下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）    3．（2023八年级上·全国·专题练习）如图所示，已知，指出它们的对应边和对应角．    【易错必刷二 利用全等三角形的性质求角度】（共3小题） 1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，其中A，B，C的对应顶点分别是D，E，F，，，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，已知，，，求的值． 【易错必刷三 利用全等三角形的性质求长度】（共3小题）1．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，点在线段上，若，则的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，A，C，E三点在同一直线上，且．若，则 ． 3．（24-25八年级上·全国·期中）如图，，，，求的度数和的长． 【易错必刷四 利用全等三角形的性质求周长】（共3小题） 1．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，，的周长为，且，则的周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知 ， 若， 则的周长是 ． 3．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，，，． (1)求的度数． (2)若，，求四边形的周长． 【易错必刷五 利用全等三角形的性质求面积】（共3小题） 1．（23-24八年级上·广东汕头·期中）下列命题中，真命题的个数是（　　） ①全等三角形的周长相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的面积相等；④面积相等的两个三角形全等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（23-24七年级下·重庆大足·期末）如图，中，，将沿方向平移的长度得到，且，，，则图中阴影部分的面积是 ．    3．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，点在同一条直线上，，，，，． (1)求的周长． (2)求四边形的面积． 【易错必刷六 利用全等三角形的性质解决动点问题】（共3小题） 1．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝8cm，延长BC到点E，使CE＝2cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为(   ) A．3 B．5 C．9 D．3或9 2．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，在长方形中，，．延长到点，使，连接．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点运动．设点的运动时间为秒，当的值为 时，△≌△． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图；在四边形中，，动点从点向点运动，速度为3，同时点从点沿射线方向运动，当和全等时，求点运动速度． 【易错必刷七 SSS证明三角形全等】（共3小题） 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，是四边形的对角线，若，，容易证明，依据是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，勤劳的小蜜蜂A、B、C、D、E、F分别位于蜂房（由若干个正六边形拼成向阳面的一侧劳作，若任何不共线三点位置都可以组成一个三角形，则与全等的三角形是 ． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，只用无刻度的直尺，按要求分别在图①、图②、图③的网格中画出一个三角形，同时满足以下两个条件：（1）所画三角形以点D为一个顶点，另外两个顶点也在格点上．（2）所画三角形与全等． 【易错必刷八 全等的性质和SSS综合】（共3小题） 1．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，与相交于点F，与相交于点G，若，则 ． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，已知B，E，C，F在同一条直线上，，，．与交于点G． (1)求证； (2)若，，求的度数． 【易错必刷九 SAS证明三角形全等】（共3小题） 1．（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，于点，，于点， ，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接，在平面直角坐标系中找一点（点不在坐标轴上），使与全等，则点的坐标为 ． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，中，，，，平分交于，点为边上一点，． (1)求证：； (2)的周长是________． 【易错必刷十 全等的性质和SAS综合】（共3小题） 1．（24-25八年级上·海南海口·期中）如图，平分，，的延长线交于点E，如果，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，一个直角三角板的一条直角边经过的顶点，一把直尺经过三角板的直角顶点并且与这条直角边垂直，直尺与的两边分别交于、，当时，与的数量关系为： ． 3．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，在和中，，，． (1)请判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【易错必刷十一 ASA、AAS证明三角形全等】（共3小题） 1．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图所示，与全等，，，则正确的写法是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，小明沿一段笔直的人行道行走，在由A走到B的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：，相邻两平行线间的距离相等，，相交于O，垂足为D．已知米．根据上述信息，可知标语的长度为 米． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点在线段上运动（点不与点B，C重合），连接，作，交线段于点．若，求证：． 【易错必刷十二 全等的性质和ASA、AAS综合】（共3小题） 1．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，中，，，于点，于点，连接，若，，则的面积为（   ）    A．16 B．20 C．18 D．14 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，平分，于点P，若的面积是14，的面积是5，则的面积是 ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，是的边上一点，，交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【易错必刷十三 HL证明三角形全等】（共3小题） 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，是内一点，且点到，的距离，则的直接依据是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，D是上一点，于点E，，连结，若，则等于 3．（24-25九年级上·北京大兴·期中）在中，，以点A为中心，分别将线段逆时针旋转得到线段，连接，延长交于点F．连接，求的度数． 【易错必刷十四 全等的性质和HL综合】（共3小题） 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是上一点，连接，过点E作，垂足为．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，点D、A、E在直线m上，于点D，于点E，且．若，则              3．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连接交边于． (1)求证：； (2)若，求线段的长度． 【易错必刷十五 尺规作图】（共3小题） 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到的依据是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为 ． 3．（23-24·湖南长沙·中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得≌． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴≌______． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号） ①AAS；②ASA；③SAS；④SSS 【易错必刷十六 添加条件使三角形全等】（共3小题） 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，点A，F，C，D在同一直线上，，，请添加一个条件使．下列四个选项中不符合条件的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南郴州·期中）如图，在和中，已知，，还需添加一个条件才能使，能添加的一组条件是 ． 3．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在和中，点B，F，C，E在同一条直线上，，． (1)请添加一个条件，使，这个添加的条件可以是________．（只需写一个，不添加辅助线） (2)请根据你添加的条件，写出证明过程． 【易错必刷十七 倍长中线模型】（共3小题） 1．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，D为的中点，若，．则的长不可能是（          ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）在中，，如果边上的中线，那么线段的取值范围是 ． 3．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，点E在的中线的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的取值范围； (3)若，求证：是直角三角形． 【易错必刷十八 旋转模型】（共3小题） 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（23-24八年级·浙江杭州·专题练习）（2016育才周测）如图，正三角形和，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有 ．并写出3对全等三角形 ．    3．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 【易错必刷十九 垂线模型】（共3小题） 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，直线l1与x轴、y轴分别交于，，直线l2经过点B且与x轴负半轴交于点C，，若线段上存在一点P，使是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则P点坐标为 ．    3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【易错必刷二十 全等三角形综合】（共3小题） 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，为外一点，连接，点为中点，连接并延长至点使得，连接，下列结论： ①；②；③；④与的面积相等． 其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：① ；②平分；③平分；④ ．其中正确的是 （填写正确的序号） 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知，，，在直线上取点E． (1)如图（1），点E在的延长线上，证明以下结论： ①若，则．     ②若，则． (2)如图（2），点E在边上，，于点F．若，求证F是的中点． 【易错必刷二十一 安徽地区常考全等题型】（共6小题） 1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，，，，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，，，，于D，，，则（   ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，点D、E分别在线段、上，与相交于点O．若，，，，则的度数为 ． 4．（24-25八年级上·安徽·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于A，两点，且，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 5．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形中，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求的度数； (2)求证：． 6．（23-24八年级上·安徽铜陵·阶段练习）如图，四边形中，对角线，交于点，，点是上一点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 全等三角形易错必刷题型专训（66题21个考点） 【易错必刷一 全等三角形的概念】（共3小题） 1．（23-24七年级下·陕西西安·期中）下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的判定与性质，利用全等图形的判定与性质即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）形状相同的两个三角形不一定是全等形，故错误； （2）全等图形的周长都相等，故正确； （3）面积相等的两个等腰三角形不一定是全等形，故错误； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故正确； 故选：B 2．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）    【答案】②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 3．（2023八年级上·全国·专题练习）如图所示，已知，指出它们的对应边和对应角．    【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的概念，正确的确定对应边和对应角即可． 【详解】解：∵， ∴的对应边是，的对应边是，的对应边是， 的对应角是，的对应角是，的对应角是． 【点睛】本题考查全等三角形的概念．熟练掌握全等三角形对应边和对应角的概念，是解题的关键． 【易错必刷二 利用全等三角形的性质求角度】（共3小题） 1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的性质，直角三角形的两个锐角互余．根据三角形全等的性质可得，进而可得，根据直角三角形的两个锐角互余，即可求得的度数． 【详解】解：， ， 即， ，， ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，其中A，B，C的对应顶点分别是D，E，F，，，则的度数为 ． 【答案】60 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，根据三角形的内角和定理，求出的度数，全等三角形的对应角相等，得到的度数，平行线的性质求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：60． 3．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，已知，，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．由根据直角三角形的性质得出，再由可得，推出，即可求解． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， 即． 【易错必刷三 利用全等三角形的性质求长度】（共3小题） 1．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，点在线段上，若，则的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和线段和差，根据全等三角形的性质得出，，再由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴，， ∴ 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，A，C，E三点在同一直线上，且．若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，得到，，再利用线段的和差关系，求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：4． 3．（24-25八年级上·全国·期中）如图，，，，求的度数和的长． 【答案】， 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，线段的和差关系，根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：， ， ，， ，， ， ． 【易错必刷四 利用全等三角形的性质求周长】（共3小题） 1．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，，的周长为，且，则的周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【分析】此题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质得出的周长为．由全等三角形的性质得出的周长为，进而得出的周长的周长即可． 【详解】解：∵，的周长为， ∴的周长为，， ∴的周长 的周长 ． 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知 ， 若， 则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由，，可得，根据的周长是，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的周长是， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，，，． (1)求的度数． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1) (2)20 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解答本题的关键． （1）由全等三角形的性质得，求出，，然后根据三角形内角和即可求出的度数． （2）由全等三角形的性质得，，然后根据周长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴； （2）∵， ∴，， ∴四边形的周长． 【易错必刷五 利用全等三角形的性质求面积】（共3小题） 1．（23-24八年级上·广东汕头·期中）下列命题中，真命题的个数是（　　） ①全等三角形的周长相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的面积相等；④面积相等的两个三角形全等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质对①②③进行判断，根据全等三角形的判定方法对④进行判断． 【详解】解：全等三角形的周长相等，故①正确；全等三角形的对应角相等，故②正确；全等三角形的面积相等，故③正确；面积相等的两个三角形不一定全等，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果，那么”的形式，有些命题的正确性用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 2．（23-24七年级下·重庆大足·期末）如图，中，，将沿方向平移的长度得到，且，，，则图中阴影部分的面积是 ．    【答案】15 【分析】本题主要考查了平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．先根据平移的性质得到即，，可求出，最后根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵将沿方向平移的长度得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：15． 3．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，点在同一条直线上，，，，，． (1)求的周长． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解本题的关键． （1） 利用全等三角形的性质可得答案； （2）利用全等三角形的性质证明，利用计算即可． 【详解】（1）解：， ，，， 的周长． （2）解：， ，，． ， ． ． ． 【易错必刷六 利用全等三角形的性质解决动点问题】（共3小题） 1．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝8cm，延长BC到点E，使CE＝2cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为(   ) A．3 B．5 C．9 D．3或9 【答案】D 【分析】根据运动过程，根据点P运动的位置和全等情况分类讨论，根据全等三角形的性质即可分别求解． 【详解】解：如图甲所示，当时，， 即，解得， 如图甲所示，当时， 即，解得， 故选：D． 图甲                                  图乙 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应情况分类讨论是解题关键． 2．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，在长方形中，，．延长到点，使，连接．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点运动．设点的运动时间为秒，当的值为 时，△≌△． 【答案】1秒或6秒． 【分析】由题意知，分在，，上三种情况求解． 【详解】解：由题意知，分在，，上三种情况求解： ①当在上时，由题意知，， ∵和全等， ∴，即， 解得； ②当在上时，由题意知，，， ∴此时和不全等， ③当在上时，由题意知，， ∵和全等， ∴，即， 解得； 综上所述，和全等时，为1秒或6秒， 故答案为：1秒或秒． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及矩形的性质，解决本题的关键在于分情况求解． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图；在四边形中，，动点从点向点运动，速度为3，同时点从点沿射线方向运动，当和全等时，求点运动速度． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，根据题意，分类讨论：当，，时；当，时；根据全等三角形的性质，行程问题的数量关系即可求解． 【详解】解：如图所示， 当，，时，， ∴， ∴点运动的时间为， ∴点运动的速度为； 如图所示， 当，时，， ∴， ∴点运动的时间为， 点运动的速度为； 综上所述，点运动速度为或． 【易错必刷七 SSS证明三角形全等】（共3小题） 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，是四边形的对角线，若，，容易证明，依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由证明，即可得出结论． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：． 2．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，勤劳的小蜜蜂A、B、C、D、E、F分别位于蜂房（由若干个正六边形拼成向阳面的一侧劳作，若任何不共线三点位置都可以组成一个三角形，则与全等的三角形是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 根据全等三角形的判定定理结合图形进行判断即可． 【详解】解：根据图象可知和及全等， 理由是：∵根据图形可知， 在和中， ∴， 根据图形可知， 在和中， ∴， 故答案为：，． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，只用无刻度的直尺，按要求分别在图①、图②、图③的网格中画出一个三角形，同时满足以下两个条件：（1）所画三角形以点D为一个顶点，另外两个顶点也在格点上．（2）所画三角形与全等． 【答案】见详解 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 根据全等三角形的判定和题目要求作图即可． 【详解】解：以点D为一个顶点，另外两个顶点也在格点上，且所画三角形与全等， 在图①、图②、图③的网格中画出三角形如下． 【易错必刷八 全等的性质和SSS综合】（共3小题） 1．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质．证明，可得，，再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：A 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，与相交于点F，与相交于点G，若，则 ． 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定得出，再根据全等三角形的性质进行解答即可．此题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和性质，关键是根据边边边证明三角形全等． 【详解】解：如图： 在与中， ， ， ， ∵ ∴ 即， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，已知B，E，C，F在同一条直线上，，，．与交于点G． (1)求证； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)的度数为 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定可证得结论； （2）先根据全等三角形的性质得到，，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）得， ∴，， ∴， ∴的度数为． 【易错必刷九 SAS证明三角形全等】（共3小题） 1．（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，于点，，于点， ，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由垂直定义可证得，证明，由全等三角形的性质得出，求出，进而可得出答案． 【详解】解：，， ，， ∴， 即， 在和中， ， ． ， ， ． 故选：C． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接，在平面直角坐标系中找一点（点不在坐标轴上），使与全等，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，坐标与图形，根据题意可知，再根据“边角边”证明这两个三角形全等，可得答案. 【详解】解：，，且， ∴. 过点A作，且， ∵， ∴与， 点坐标为或. 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，中，，，，平分交于，点为边上一点，． (1)求证：； (2)的周长是________． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，线段的和差计算．利用角平分线的定义来求出角相等，继而证明三角形全等是解答关键． （1）由角平分的定义得到，利用判定三角形全等即可求解； （2）根据全等三角形的性质得到，利用线段的和差求出的长度，再利用三角形的周长公式求解． 【详解】（1）证明：平分交于， ． 在和中 ． （2）解：， ． ，，， ， ， 即的周长为：9． 故答案为：9． 【易错必刷十 全等的性质和SAS综合】（共3小题） 1．（24-25八年级上·海南海口·期中）如图，平分，，的延长线交于点E，如果，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，先由平角的定义得到，再证明得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，一个直角三角板的一条直角边经过的顶点，一把直尺经过三角板的直角顶点并且与这条直角边垂直，直尺与的两边分别交于、，当时，与的数量关系为： ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定．根据可以证明，从而得结论． 【详解】解：由题意得， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，在和中，，，． (1)请判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据边角边证即可； （2）根据全等三角形的性质可得，根据三角形的内角和定理求出，再根据角的和差计算即可． 【详解】（1），理由如下： ∵ ∴， ∴ 在和中， ∵，， ∴， ∴ （2）∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴． 【易错必刷十一 ASA、AAS证明三角形全等】（共3小题） 1．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图所示，与全等，，，则正确的写法是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据题目所给条件结合全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：在和中， ∵，，， 即的顶点A、B、D分别与的顶点B、A、C对应， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，小明沿一段笔直的人行道行走，在由A走到B的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：，相邻两平行线间的距离相等，，相交于O，垂足为D．已知米．根据上述信息，可知标语的长度为 米． 【答案】40 【分析】本题考查了全等三角形的判定与形状，证即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵相邻两平行线间的距离相等，，三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴米， 故答案为：40． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点在线段上运动（点不与点B，C重合），连接，作，交线段于点．若，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后证明即可． 【详解】证明：，，， ． 在和中， ． 【易错必刷十二 全等的性质和ASA、AAS综合】（共3小题） 1．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，中，，，于点，于点，连接，若，，则的面积为（   ）    A．16 B．20 C．18 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质得到是解题的关键． 根据垂直的定义可得，，在和中，运用“角角边”证明，得到，，结合几何图形的面积的计算方法即可求解． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B ． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，平分，于点P，若的面积是14，的面积是5，则的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中线平分面积，构造全等三角形是解题的关键． 延长交于点，证得，根据中线平分面积求解即可． 【详解】解：延长交于点，如图所示， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，是的边上一点，，交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选择合适的判定方法是解题的关键． （1）利用角角边定理判定即可； （2）利用全等三角形对应边相等可得的长，用即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ，． 在和中， ， ． （2）解：， ． ． 【易错必刷十三 HL证明三角形全等】（共3小题） 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，是内一点，且点到，的距离，则的直接依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据“”判定即可． 【详解】解：∵， ∴在和中 ∴． 故选：D． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，D是上一点，于点E，，连结，若，则等于 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·北京大兴·期中）在中，，以点A为中心，分别将线段逆时针旋转得到线段，连接，延长交于点F．连接，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．先结合题意可知，再证明，得到，再利用直角三角形全等的判定得到，得到 【详解】∵将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 【易错必刷十四 全等的性质和HL综合】（共3小题） 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是上一点，连接，过点E作，垂足为．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．先证明，然后得到求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，点D、A、E在直线m上，于点D，于点E，且．若，则              【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用HL判定直角三角形的全等是解题的关键． 根据，得，再结合已知可推出，最后由全等三角形的性质，即可计算出结果． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连接交边于． (1)求证：； (2)若，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． （1）由“”可证； （2）先由（1）可知，证，从而由三角形全等的性质可得，然后由线段的和差即可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴与都是直角三角形， ∴在与中， ， ； （2）解：由（1）知， ， ∵，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 【易错必刷十五 尺规作图】（共3小题） 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查复杂作图，根据作图的痕迹进行判断即可求解．掌握全等三角形的判定定理及基本作图是解题的关键． 【详解】解：由作图得：，， 在和中， ， ∴， ∴能得到的依据是． 故选：C． 2．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为 ． 【答案】52° 【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：由作图可知，OD=OE=OF，EF=DE， ∴△ODE≌△OFE（SSS）， ∴∠EOD=∠EOF=26°， ∴∠BOD=2∠AOB=52°， 故答案为：52°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，基本作图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（23-24·湖南长沙·中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得≌． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴≌______． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号） ①AAS；②ASA；③SAS；④SSS 【答案】（1）；（2）④． 【分析】（1）先根据作图可知，再根据三角形全等的判定定理即可得； （2）根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可得． 【详解】（1）证明：由作图可知，在和中， ， ∴． 故答案为：． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是， 故答案为：④． 【点睛】本题考查了利用定理判定三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 【易错必刷十六 添加条件使三角形全等】（共3小题） 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，点A，F，C，D在同一直线上，，，请添加一个条件使．下列四个选项中不符合条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，；故A选项不符合题意； 当时，，；故B选项不符合题意； 当时，不能判定，故C选项符合题意； 当时，，，故D选项不符合题意； 故选C． 2．（24-25八年级上·湖南郴州·期中）如图，在和中，已知，，还需添加一个条件才能使，能添加的一组条件是 ． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定，利用等量代换可得，再根据全等三角形的判定求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当，时，， 当，时，， 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在和中，点B，F，C，E在同一条直线上，，． (1)请添加一个条件，使，这个添加的条件可以是________．（只需写一个，不添加辅助线） (2)请根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，灵活掌握全等三角形的判定更是解答本题的关键． （1）根据已知条件可得有一组对应角和一组对应边相等，根据全等三角形的判定定理可再找一组对应边相等，根据证明即可； （2）运用证明全等即可． 【详解】（1）解：添加的条件可以是， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴，即 又， ∴ ∵， ∴． 【易错必刷十七 倍长中线模型】（共3小题） 1．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，D为的中点，若，．则的长不可能是（          ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．延长至，使，连接，由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解． 【详解】解：如图，延长至，使，连接，    则， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）在中，，如果边上的中线，那么线段的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系及全等三角形的判定与性质，延长到E，使得，连接，用证明，得出，又，再用三边关系即可得出的取值范围． 【详解】解；如下图：延长到E，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中 ， ， 即：， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，点E在的中线的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的取值范围； (3)若，求证：是直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质即可证明； （2）结合（1）根据三角形三边关系即可得的取值范围； （3）根据已知线段关系得到，利用等边对等角推出，，再利用三角形内角和求出即可． 【详解】（1）解：证明：是的中线， ， 在和中， ， ， ； （2），， ， 即． ， 的取值范围是． （3）∵，，， ∴， ∴，， 又， ∴， 即是直角三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、三角形三边关系． 【易错必刷十八 旋转模型】（共3小题） 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 2．（23-24八年级·浙江杭州·专题练习）（2016育才周测）如图，正三角形和，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有 ．并写出3对全等三角形 ．    【答案】 ①②③⑤ △ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ 【分析】①可证明△ACD≌△BCE,从而得出AD=BE； ②可通过证明△BCQ≌△ACP，从而可证明△PCQ为等边三角形，再根据内错角相等两直线平行可证明PQ∥AE． ③由②中△BCQ≌△ACP，可证AP=BQ； ④通过证明△CDP≌△CEQ可得DP=EQ，又由图可知DE＞QE，从而④错误； ⑤通过三角形外角定理和前面△ACD≌△BCE可得该结论． 由前面的证明过程可得出三个全等三角形． 【详解】解：①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上， ∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120° ∴△ACD≌△BCE ∴AD=BE，故本选项正确； ②∵△ACD≌△BCE， ∴∠CBQ=∠CAP， 又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC， ∴△BCQ≌△ACP， ∴CQ=CP，又∠PCQ=60°， ∴△PCQ为等边三角形， ∴∠QPC=60°=∠ACB， ∴PQ∥AE，故本选项正确； ③由②△BCQ≌△ACP可得AP=BQ，故本选项正确； ④∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC=∠BEC， ∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°， ∴△CDP≌△CEQ（ASA）． ∴DP=EQ， ∵DE＞QE ∴DE＞DP，故本选项错误； ⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，故本选项正确； ∴正确的有：①②③⑤． 由上面证明过程可知△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ． 故答案为：①②③⑤；△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定定理，并能依据等边三角形三边相等，三角相等都是60°的特征判断三角形全等是解题关键． 3．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由全等可知，所以当点在上时，为等腰三角形，依据已知计算即可． （2）因为两个三角形中有一边相等，只要找到这两个底对应高之间的关系即可． 【详解】（1）解：， ， 又，， ， 在中，， 故答案为：． （2）解：如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知： ，，， （同角的余角相等），   在与中有： （）， ， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，关键是使用分析法找到:两个三角形面积相等时，底相等则高相等，从而构造全等证明对应高相等． 【易错必刷十九 垂线模型】（共3小题） 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 2．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，直线l1与x轴、y轴分别交于，，直线l2经过点B且与x轴负半轴交于点C，，若线段上存在一点P，使是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则P点坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型—垂直模型．熟记模型构成的条件、结论是解题关键．过点作交l2于点，过点作轴，证即可求解． 【详解】解：过点作交l2于点，过点作轴，如图所示：    由题意得：，， ∵是以A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴P点坐标为， 故答案为： 3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 【易错必刷二十 全等三角形综合】（共3小题） 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，为外一点，连接，点为中点，连接并延长至点使得，连接，下列结论： ①；②；③；④与的面积相等． 其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质： 如图，延长到，使得，连接，证得，，故①正确，由，得，故③正确，令，延长交于，证明，得与不垂直，故②错误，由三角形中线平分三角形面积即可得，故④正确， 【详解】解：如图，延长到，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，故①正确， ∵， ∴，故③正确， 如图，当时，延长交于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与不垂直，故②错误， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确， 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：① ；②平分；③平分；④ ．其中正确的是 （填写正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】延长到点，使，连接，先证明，得，，，由，，可以推导出，则，即可证明，得所以，可判断①正确；由，可知，不平分，可判断③错误；因为，所以，可判断②正确；由，且，得，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长到点，使，连接，则， ∵于点，于点， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 故①正确，②正确； ， ， 不平分， 故③错误； ，且， ， 故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】此题重点考查多边形的内角和、三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知，，，在直线上取点E． (1)如图（1），点E在的延长线上，证明以下结论： ①若，则．     ②若，则． (2)如图（2），点E在边上，，于点F．若，求证F是的中点． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①证明，得出即可； ②过点A作于点G，过点D作于点H，证明，得出，，证明，得出，根据，即可证明结论； （2）过点D作交其延长线于点H，证明，得出，，证明，得出，证明，即可得出答案． 【详解】（1）证明：①∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． ②过点A作于点G，过点D作于点H，如图所示： 在和中， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：过点D作交其延长线于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴F是的中点． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的综合应用，平行线的性质，熟练掌握三角形全等判定方法，是解题的关键． 【易错必刷二十一 安徽地区常考全等题型】（共6小题） 1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，，，，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质、线段的和差，由全等三角形的性质可得，从而得出，结合，得出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，，，，于D，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．根据题意证明，得到，，故可求出的长． 【详解】解：，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ， ． 故选：B． 3．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，点D、E分别在线段、上，与相交于点O．若，，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】先证明，得出，根据三角形内角和求出，即可得出答案． 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是证明． 【详解】解：在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·安徽·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于A，两点，且，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件得到，，因为求得，所以，，过A作交于F，过F作轴于E，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，设直线的函数表达式为：解方程组于是得到结论． 【详解】解：一次函数的图象分别交轴，轴于，两点， ，， ， ，， ，， 过作交于，过作轴于， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， 设直线的函数表达式为：， ， 解得 直线的函数表达式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 5．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形中，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、四边形内角和定理以及角的计算；根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键． （1）结合即可证出，由此即可得出，，即可求解； （2）通过角的计算得出，证出，由此即可得出． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ，， ， ，， ， ； （2）证明：， ． ， ． 在和中， ， ． ． 6．（23-24八年级上·安徽铜陵·阶段练习）如图，四边形中，对角线，交于点，，点是上一点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质； （1）先证明,进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据三角形的外角的性质可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）证明： 即：， 在和中 ， ， （2）是和的外角 ， ， ， 学科网（北京）股份有限公司 $$