专题05 全等三角形50道压轴题型专训（10大题型）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题05 全等三角形50道压轴题型专训（10大题型） 题型一 全等三角形的性质压轴 题型二 全等三角形动点压轴 题型三 利用全等三角形的性质探究边的关系 题型四 全等三角形的新定义压轴 题型五 全等三角形判定与性质综合 题型六 倍长中线模型 题型七 一线三等角模型 题型八 旋转模型 题型九 对角互补模型 题型十 半角模型 【经典例题一 全等三角形的性质压轴】 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，，，交于点E，．    (1)求的度数； (2)平行于吗？说明理由； (3)求∠BAC的度数． 2．（23-24八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在四边形中，，，，动点，分别在线段，上，连接，，． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数； (3)若与全等，点与点为对应点，求的长． 3．（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，长方形纸片的边，对角线是边上的一个动点，如图，沿翻折纸片，点落在点处，易得，连接．      图1                            图2 (1)猜想与之间的数量关系，并说明理由． (2)线段的长是否存在最小值?小贤与同学探讨后发现：，可先连接，然后再运用相关知识求解，请你根据小贤的思路继续思考，并写出解答过程． 4．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，点E是正方形内的一点，已知．    (1)若，，求的度数； (2)请探究和的位置关系． 5．（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，直线：（常数，）与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线：（常数，）与x轴、y轴分别交于C，D两点，直线与直线交于点E，且 ． (1)求证 (2)若，，求的面积． 【经典例题二 全等三角形动点压轴】 6．（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图1，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)当___________时，的周长被线段平分为相等的两部分； (2)如图1，当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图2，在中，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 7．（23-24八年级上·吉林·期中）已知正方形中，边长为，点在边上，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上以的速度由点向点运动，设运动的时间为秒． (1)的长为______（用含的代数式表示）． (2)若以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，求的值． 8．（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，且，点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t． (1)求A、C两点的坐标； (2)连接，当的面积等于的面积的一半时，求t的值； (3)当P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，请直接写出t的值并直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 9．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，点，，且a，b满足． (1)求点A和点B的坐标； (2)如图2，点在线段上，且满足，点D在y轴负半轴上，连接CD交x轴负半轴于点M，且，求点D的坐标； (3)平移直线，交x轴正半轴于点E，交y轴于点F，P为直线上且位于第三象限内的一个点，过点P作轴于点G，若，且，点N是上方一点，且，直接写出点N的坐标． 10．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）已知，一次函数y=x＋4的图象与x轴、y轴分别交于点A，点B，点C的坐标为（－2，0）． (1)求点A，点B的坐标； (2)过点C作直线CD，与AB交于点D，且，求点D的坐标； (3)连接BC，将△OBC沿x轴向左平移得到△O′B′C′，再将以A，B，B′，C′为顶点的四边形沿O′B′剪开得到两个图形．若用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，求△OBC平移的距离． 【经典例题三 利用全等三角形的性质探究边的关系】 11．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 12．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据SAS可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若，则．） 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，， 试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，判断线段与的数量关系与位置关系，并说明理由． 13．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）已知：在中，是的中点． 【问题解决】 （1）如图1，若，，求的取值范围． 小明的做法是：延长至点，使，连接，证明，小明判定全等的依据为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在的延长线上存在点，，，求证：． 【变式迁移】 （3）如图3，，，，试探究线段与的关系，并证明． 14．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点，，满足，若点为射线上异于原点和点A的一个动点． (1)如图1，①直接写出：点A的坐标为________，点的坐标为________； ②当点位于点与点A之间时，连接，以线段为边作等腰直角（为直角顶点，，，按逆时针方向排列），连接．求证：；（提示：在同一三角形中，等角对等边） (2)点是直线上异于点A与点的一点，使得，过点作交轴于点，探究，，之间的数量关系，并证明． 15．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到的位置时，①直接写出图1中全等的一角形__________；②__________（填＞、＜或＝） (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明． 【经典例题四 全等三角形的新定义压轴】 16．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 17．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】    (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是 ； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是 ； (3)若是的“边垂角”，且． ①如图2，已知，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且 ，，求证：； 对于上述问题，小明有这样的想法：在上截取，连接，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证． ②如图4，若，直接写出四边形ABDC的面积． 18．（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 19．（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    (1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系． 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． (2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 20．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图①中，若和互为“兄弟三角形”，，．则 ①___________（填>、＜或=） ②连接线段和，则___________（填>、＜或=） (2)如图②，和互为“兄弟三角形”，，，若点D、点E均在外，连接、交于点M，连接，则线段还满足以上数量关系吗？请说明理由 【经典例题五 全等三角形判定与性质综合】 21．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：中，，，点为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，直接写出，，的关系：______； (2)如图2，连接，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，求证：； (3)当点在射线上时，连接交直线于，若，则的值为______． 22．（24-25八年级上·山东德州·开学考试）如图1，已知点表示的立方根，且．将线段向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，点E在y轴的负半轴，． (1)直接写出A，B，C，D各点的坐标； (2)证明； (3)求点E的坐标； (4)如图2，平分，平分，求的度数． 23．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，，且m，n满足二元一次方程组． (1)求A，B两点的坐标； (2)点是线段上一点，连接，当的面积为时，求t的值； (3)在（2）的条件下，过点A作直线轴，在直线m上有一点M，直线交x轴正半轴于点K，在射线上是否存在一点N，使，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试） 如图，在中，，的角平分线和的平分线相交于点，交于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接并延长交于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 25．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点且、满足过点作 轴于，过点作 轴于点，点，分别是直线，轴的动点． (1)如图1，点，分别在线段，上，若，求证：； (2)如图2，连接，，若的面积为6，求线段的长度； (3)已知，点，分别在线段和的延长线上，连接． ①如图3，已知，，线段上存在一点，使得 ，求点的坐标； ②在（2）的条件下，如图4，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【经典例题六 倍长中线模型】 26．（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 27．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 28．（23-24八年级上·吉林·期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． 【探究发现】 （1）如图①，与的数量关系是 ，位置关系是 ； 【初步应用】 （2）如图②，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 【探究提升】 （3）如图③，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．    29．（23-24七年级下·山东青岛·期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； (3)【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 30．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在中，，，边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是____． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)请写出图1中与的关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．    【经典例题七 一线三等角模型】 31．（24-25八年级上·吉林松原·期中）已知三点均在直线上，且． (1)如图①，若，则线段的长为_________； (2)如图②，判断之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，若将题中的“”变为“”，其他条件不变，且，请直接写出的长． 32．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）已知，在中，三点都在直线上，且，． (1)如图①，若，则与的数量关系为____________， (2)如图②，判断并说明线段与的数量关系； (3)如图③，若只保持，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，当为___________时，能够使与全等． 33．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题： ①如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 34．（19-20七年级下·四川成都·期中）（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是16，求与的面积之和． 35．（23-24七年级下·陕西西安·期中）发现问题 （1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则 ． 探究问题 （2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积． 解决问题 （3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴） 【经典例题八 旋转模型】 36．（2024七年级下·全国·专题练习）已知四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F． （1）当绕B点旋转到时（如图1），求证：． （2）当绕B点旋转到F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 小明第（1）问的证明步骤是这样的： 延长到Q使，连接， 证出得到，； 再证，得到，证出，即． 请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明． 37．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线过点，过点作，过点作，垂足分别为、．求证：．    （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，试求出的面积．    （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交轴于点．求的面积．    38．（23-24·山东日照·一模）已知，四边形中，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F． 当绕B点旋转到时，如图（1），易证：． 当绕B点旋转到时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 39．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图，与都是等腰直角三角形，其中，，，且点D在延长线上，连接．求证． (1)独立思考：请解答王老师提出的问题． (2)实践探究：在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答． “如图，连接，过A作交于F，探究线段与之间的数量关系，并证明．” (3)问题解决：数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究，将绕点A旋转，使点E在延长线上，点D在延长线上，提出新的问题，请你解答． “如图，当点E在延长线上，点D在延长线上，连接，过B作且，连接交延长线于H，若，求的长．” 40．（23-24八年级上·山东日照·期中）如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一点，且DE＝CE，连接BD，CD． （1）判断与的位置关系和数量关系，并证明； （2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明； （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数． 【经典例题九 对角互补模型】 41．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知：在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且． (1)为探究上述问题，小宁同学先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小宁的解题思路是：先证明 ；再证明 ；即可得出之间的数量关系是 ． (2)如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ． 42．（24-25八年级上·湖北随州·期中）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．    小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由；    （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，当时，两舰艇之间的距离是多少海里，写出推理过程．    43．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）（1）问题背景：如图1，在四边形中，， E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是______________________． （2）如图2，在四边形中，分别是边，上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 44．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． (1)小亮同学认：如图1，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论是什么？并给出理由． (2)如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． (4)如图4，已知在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足1中的结论，请直接写出与的数量关系并加以说明． 45．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．    (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由． (3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【经典例题十 半角模型】 46．（2024八年级上·江苏·专题练习）【问题背景】 如图1：在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长 47．（2024八年级上·全国·专题练习）【问题背景】 如图①，在四边形中，，分别是上的点，且．试探究图中线段之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是_______； 【探索延伸】 （2）如图②若在四边形中，分别是上的点，且．（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； 【学以致用】 （3）如图③，四边形是边长为5的正方形，．请直接写出的周长． 48．（23-24八年级上·河南安阳·期中）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明，得；再由条件可得，证明，进而可得线段，，之间的数量关系是______． （2）拓展应用： 如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）学以致用： 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长． 49．（23-24八年级上·湖北武汉·开学考试）【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 50．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）已知：四边形ABCD是正方形，，点E，F，G，H分别在边A，DC上.    (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，点E，F分别是上的动点，求证： 的周长是定值； (3)如图3，若，和交于点O，且，求请直接写出线段的长度. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 全等三角形50道压轴题型专训（10大题型） 题型一 全等三角形的性质压轴 题型二 全等三角形动点压轴 题型三 利用全等三角形的性质探究边的关系 题型四 全等三角形的新定义压轴 题型五 全等三角形判定与性质综合 题型六 倍长中线模型 题型七 一线三等角模型 题型八 旋转模型 题型九 对角互补模型 题型十 半角模型 【经典例题一 全等三角形的性质压轴】 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，，，交于点E，．    (1)求的度数； (2)平行于吗？说明理由； (3)求∠BAC的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质、平行线的性质和判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）由全等三角形的性质得到，进而可证明； （2）先由平行线的性质得到，由全等三角形的性质得到，则，即可证明； （3）由，可知，然后由可求得，从而可求得的度数． 【详解】（1）解：， ． ． ． （2）解：，理由如下： ， ． ， ． ． ． （3）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 2．（23-24八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在四边形中，，，，动点，分别在线段，上，连接，，． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数； (3)若与全等，点与点为对应点，求的长． 【答案】(1) (2) (3)3或3.5 【分析】（1）根据三角形内角和算出，再根据平角定义算出最后再运用三角形内角和即可求解； （2）根据得出再由三角形内角和即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解； 【详解】（1）， ， ， ， ； （2）∵， ， ． （3）当时， 则， 当时， 则， ， 综上可得：为3或3.5． 【点睛】该题主要考查了三角形内角和定理以及全等三角形的性质，解题的关键是分类讨论思想的运用． 3．（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，长方形纸片的边，对角线是边上的一个动点，如图，沿翻折纸片，点落在点处，易得，连接．      图1                            图2 (1)猜想与之间的数量关系，并说明理由． (2)线段的长是否存在最小值?小贤与同学探讨后发现：，可先连接，然后再运用相关知识求解，请你根据小贤的思路继续思考，并写出解答过程． 【答案】(1)，理由见解析； (2)有最小值为，理由见解析． 【分析】（）利用全等三角形的性质可得，由可证，再利用角度和差即可； （）利用两点之间线段最短及三角形三边关系即可求解． 【详解】（1），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）存在 过程如下，如图，连接，   , 当点不在直线上时，由三角形的三边关系得：， ∵，， ∴此时，即， 当点在直线上时，此时知， 故当点在长方形纸片的对角线上时，即：，，三点共线， ∴有最小值为． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和三角形三边关系定理的应用． 4．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，点E是正方形内的一点，已知．    (1)若，，求的度数； (2)请探究和的位置关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两三角形全等可得，由三角形BEC的内角和可求得，再由正方形的即可求得的度数． （2）延长，与分别交于点，利用全等三角形与正方形的性质可证，则可推得． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴ 在中，． 由正方形可知，， ∴ （2）如图，延长，与分别交于点．    ∵ ∴． ∵， ∴ 由正方形ABCD的性质知， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质，解题的关键是熟悉掌握和运用相关的性质． 5．（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，直线：（常数，）与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线：（常数，）与x轴、y轴分别交于C，D两点，直线与直线交于点E，且 ． (1)求证 (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）利用全等三角形的性质，得到，再根据对顶角相等，得到，进而得到，即可证明结论； （2）利用直线：，求出A、B两点坐标，得到，，再利用全等三角形的性质，得到，，进而得到C、D 两点坐标，从而求出直线：，联立方程组，求出点E坐标，即可求出的面积． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：，， 直线：， 令，得；令，得，解得， ，， ，， ， ，， ，， ，解得：， 直线：， 联立方程组，解得：， 点E的坐标为， 的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，一次函数与坐标轴交点，待定系数法求一次函数解析式，两直线交点与二元一次方程组的解等知识，熟练掌握一次函数性质和全等三角形的性质是解题关键． 【经典例题二 全等三角形动点压轴】 6．（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图1，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)当___________时，的周长被线段平分为相等的两部分； (2)如图1，当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图2，在中，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)6 (2)或 (3)点的运动速度为或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据的周长，结合点P的运动路线即可求出；； （2）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【详解】（1）解∶∵ ∴的周长， ∴的周长被平分为相等的两部分时，点P运动的路程为， 又∵速度为， ∴运动时间． 故答案为∶6． （2）解：如图，当P在上，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 当在上时，如图，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 综上：当为或时，的面积等于面积的一半； 故答案为：或； （3）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时，， ∴，解得； ②当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴，解得； ∴Q运动的速度为或． 7．（23-24八年级上·吉林·期中）已知正方形中，边长为，点在边上，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上以的速度由点向点运动，设运动的时间为秒． (1)的长为______（用含的代数式表示）． (2)若以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据即可得到答案； （2）分情况讨论时对应边的关系，通过不同的对应关系列式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：若， 则，即， ∴，； 若 则，，则 得：， 解得：． 8．（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，且，点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t． (1)求A、C两点的坐标； (2)连接，当的面积等于的面积的一半时，求t的值； (3)当P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，请直接写出t的值并直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)1或9 (3)存在；或2 ；或或或 【分析】（1）根据算术平方根的性质可得m，n的值，即可求解； （2）设点P的坐标为，则，根据的面积等于的面积的一半，可得，从而得到，即可求解； （3）根据全等三角形的性质，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵ ∴A、C两点的坐标分别为；； （2）解：根据题意得：， 设点P的坐标为，则， ∵， ∴，， ∴， ∵的面积等于的面积的一半， ∴， 即， ∴， 当时，， 此时； 当时，； 综上所述，t的值为1或9； （3）解：当P在线段上运动时，在y轴上存在点Q，使与全等， 当时，，此时， ∴Q点的坐标为或； ②当≌时，，此时， ∴Q点的坐标为或． 综上所述：Q点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，三角形面积公式，全等三角形的性质，平面直角坐标系点的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 9．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，点，，且a，b满足． (1)求点A和点B的坐标； (2)如图2，点在线段上，且满足，点D在y轴负半轴上，连接CD交x轴负半轴于点M，且，求点D的坐标； (3)平移直线，交x轴正半轴于点E，交y轴于点F，P为直线上且位于第三象限内的一个点，过点P作轴于点G，若，且，点N是上方一点，且，直接写出点N的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)点N的坐标为． 【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题； （2）利用三角形面积求法，由列方程组，求出点C坐标，进而由面积求出D点坐标. （3）由平行线间距离相等得到，继而求出E点坐标，同理求出F点坐标，再由求出G点坐标，根据求出的长可求P点坐标，再画出图形，利用平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：，， ，， ，， ，； （2）解：如图1，连接，作轴于E，轴于F， ∵，， ∴， ∴， 联立方程组，解得， ， ∵， ， 而， ， ； （3）解：如图2，∵， ∴， ∴，即， ， ， ， ， ，即， 连接，则， ， ， ， ， ， ， ． ∵， ∴， ∴， 点分别向左和向上平移4个单位得到点， ∴点分别向左和向上平移4个单位得到点， 即点N的坐标为． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用、三角形的面积公式、坐标与图形的性质、平移的性质，灵活运用运用数形结合思想、掌握平移规律是解题的关键． 10．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）已知，一次函数y=x＋4的图象与x轴、y轴分别交于点A，点B，点C的坐标为（－2，0）． (1)求点A，点B的坐标； (2)过点C作直线CD，与AB交于点D，且，求点D的坐标； (3)连接BC，将△OBC沿x轴向左平移得到△O′B′C′，再将以A，B，B′，C′为顶点的四边形沿O′B′剪开得到两个图形．若用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，求△OBC平移的距离． 【答案】(1)点A的坐标为（－8，0），点B的坐标为（0，4）； (2)（－，）或(，)； (3)2或8或12． 【分析】（1）分别令y=0求x，令x=0求y，可以得到点A，点B的坐标； （2）利用，点A，点B的坐标得到，设点D的横坐标为a，AC边上的高线长为h，则h=|a＋4|=，解出a，从而得到点D的坐标； （3）分三种情况讨论，然后根据剪下的部分和要拼补的部分全等来求平移距离即可． 【详解】（1）解：将y=0代入表达式得：0=x+4， 解得：， 将x=0代入表达式，得：y=4， ∴点A的坐标为（－8，0），点B的坐标为（0，4）． （2）∵点C的坐标为（－2，0）， ∴， ∵， ∴=××8×4=8， 设点D的横坐标为a，AC边上的高线长为h，则h=|a＋4| ∵ ∴h=， ∴=|a＋4|，解得：a=－或－， 当a=－时，a＋4= 当a=－时，a＋4=， ∴点D的坐标为（－，）或(，)． （3）①如图1， ∵要拼成无缝不重叠的三角形， ∴△O'C'B'≌△O'EA， ∴O'A＝O'B'＝OB＝4， ∴OO'＝4＋8＝12， ∴平移的距离为12． ②如图2， ∵要拼成无缝不重叠的三角形，则A与O'重合， ∴OO'=OA=8， ∴平移的距离为8． ③如图3， ∵要拼成无缝不重叠的三角形， ∴△B'BE≌△O'C'E， ∴B'B=O'C'=OC=2， ∴平移的距离为2． 综上所述:平移的距离为2或8或12． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，三角形面积公式，利用全等三角形的性质求长度等知识，掌握分类讨论的技巧，画出辅助线，以及灵活运用数形结合思想是解题的关键． 【经典例题三 利用全等三角形的性质探究边的关系】 11．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析． 【分析】（1）根据题干所给证明方法完善证明过程即可得解； （2）①由得，由，，根据同角的余角相等即可得解；②过作交的延长线于点，则，进而得，证明，得，，再证明得，即可得证． 【详解】（1）证明∶小明∶过点作的延长线于点， ∵平分，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴； 小丽∶延长至，使，连接， ∵， ∴， ∵平分 ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过作交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵，，， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，中点定义，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 12．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据SAS可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若，则．） 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，， 试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，判断线段与的数量关系与位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，得出，得出，即可证明结论． （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，再进一步证明，即可证明结论． 【详解】解：（1）如图1，延长到点，使，    ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）如图2，延长至点，使得，连接，则， ∵是的中点 ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴ ∴ （3）， 理由：如图3，延长交于点，延长到，使得，连接， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 由（2）可知，//， ∴， ∵、， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）已知：在中，是的中点． 【问题解决】 （1）如图1，若，，求的取值范围． 小明的做法是：延长至点，使，连接，证明，小明判定全等的依据为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在的延长线上存在点，，，求证：． 【变式迁移】 （3）如图3，，，，试探究线段与的关系，并证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，三角形的三边关系等知识；正确作出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键． （1）利用证明； （2）延长到，使，连接，根据证，推出，根据，推出，根据全等三角形的判定与性质求出即可． （3）在的延长线上截取，连接，则，先证明得到和，进一步证明、和，再证明得到和，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴，其中判定全等的依据为， 故答案为：； （2）解：延长到E，使，连接， ∵是的中点， ， 在和中 ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：， 证明如下： 如图，在的延长线上截取，连接， 则， ∵是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 14．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点，，满足，若点为射线上异于原点和点A的一个动点． (1)如图1，①直接写出：点A的坐标为________，点的坐标为________； ②当点位于点与点A之间时，连接，以线段为边作等腰直角（为直角顶点，，，按逆时针方向排列），连接．求证：；（提示：在同一三角形中，等角对等边） (2)点是直线上异于点A与点的一点，使得，过点作交轴于点，探究，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①；②见解析 (2)，见解析 【分析】（1）①根据平方和绝对值的非负性，求出a和b的值，即可得出点A和点B的坐标；②通过证明，得出，则，再推出，即可得出，即可求证； （2）根据题意进行分类讨论：①当点在线段上，过点作交延长线与点，通过证明，得出，即可得出结论；②当点在延长线上，过点作交延长线与点，通过证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 故答案为：，； ②证明：过点作交轴于点 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （2）解：①当点在线段上， 过点作交延长线与点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当点在延长线上， 过点作交延长线与点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等绝对值的非负性，三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 15．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到的位置时，①直接写出图1中全等的一角形__________；②__________（填＞、＜或＝） (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明． 【答案】(1)①，② (2)见解析 (3) 【分析】此题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高． （1）由于中，，，直线经过点，且于，于，由此即可证明，然后利用全等三角形的性质即可解决问题； （2）由于中，，，直线经过点，且于，于，由此仍然可以证明，然后利用全等三角形的性质也可以解决问题； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，仍然，然后利用全等三角形的性质可以得到． 【详解】（1）解： 中，， ， 直线经过点，且于，于， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：；； （2）证明：中，，直线经过点，且于，于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：，理由如下： 中，，直线经过点，且于，于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； 、、之间的关系为． 【经典例题四 全等三角形的新定义压轴】 16．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 【答案】（1）D；（2）C的坐标为；（3）的值为或． 【分析】（1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）求出点的坐标为，根据题中所给新定义可得点的关联直线为，联立直线即可求解； （3）根据题中所给新定义可得点的关联直线为，则点，分两种情况：①当点在直线左侧时，②当点在直线右侧时，分别求解即可． 【详解】解：（1）直线，为常数），点是直线的关联点， 直线的关联点的坐标是， 故答案为：D； （2）直线，当时，，解得， 点的坐标为， 直线，为常数）是点的关联直线， 点的关联直线为， 联立得，解得， 的坐标为； （3）点的关联直线为， 当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ①如图1，当点在直线左侧时，过点作，交直线于点，过点作垂直轴于点． ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 的坐标为， 把点代入得，； ②如图2，当点在直线右侧时， 同理可证， ，， 点的坐标为 把点代入得，， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，也是有关关联点和关联直线的新定义问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、理解新定义、利用待定系数法求一次函数的解析式，本题中理解关联点和关联直线的定义，正确进行分类讨论是解题的关键． 17．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】    (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是 ； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是 ； (3)若是的“边垂角”，且． ①如图2，已知，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且 ，，求证：； 对于上述问题，小明有这样的想法：在上截取，连接，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证． ②如图4，若，直接写出四边形ABDC的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)①见解析；② 【分析】（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）①延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论； ②连接，过点作与延长交于点，根据等腰三角形性质证明即可得到答案． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； （3）解：①延长交于点， 是的“边垂角”， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于直线对称点为点， ， ， ；    ②连接，过点作与延长交于点， 是的“边垂角”， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， ．    【点睛】本题主要考查新定义，四边形的内角和定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练理解“边垂角”的定义是解题的关键． 18．（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， 在和中， ， 在中 为正整数， ； （3）是积等三角形 证明：如图3，过点作于点，      在和中， ， 与为积等三角形． 19．（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    (1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系． 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． (2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)；，证明见解析； (2)是的“旋补中线”， 证明见解析 【分析】（1）材料：三角形三边关系可得，进而可得中线的取值范围； 探索一：延长至点E使，连接，证明，可得，，求出，再证，根据全等三角形的性质可得结论； （2）作于H，作交延长线于F，求出，证明，可得，同理证明，可得，求出，可证，根据全等三角形的性质可得，然后可得是的“旋补中线”． 【详解】（1）解：材料：由题意得：，，， 由三角形三边关系可得：，即， ∴， 故答案为：； 探索一：； 证明：如图1，延长至点E使，连接，    ∵是的“旋补中线”， ∴是的中线，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的“旋补中线”， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）是的“旋补中线”； 证明：如图，作于H，作交延长线于F，    ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的中线， ∴是的“旋补中线”． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 20．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图①中，若和互为“兄弟三角形”，，．则 ①___________（填>、＜或=） ②连接线段和，则___________（填>、＜或=） (2)如图②，和互为“兄弟三角形”，，，若点D、点E均在外，连接、交于点M，连接，则线段还满足以上数量关系吗？请说明理由 【答案】(1)①，② (2)，见解析 【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义可知两个三角形的顶角相等，利用角的和差即可得到①的结论；再结合“”即可得到≌，根据全等三角形的性质即可求解； （2）沿用（1）的思路，利用角的和差得到，再结合“”即可得到，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）①； ∵和互为“兄弟三角形”，，， ∴， ∴， 即； ②； 在和中， ， ∴， ∴． （2）满足以上关系证明：如图②， ∵和互为“兄弟三角形”， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，根据题目信息识别出来全等三角形是解题的关键． 【经典例题五 全等三角形判定与性质综合】 21．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：中，，，点为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，直接写出，，的关系：______； (2)如图2，连接，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，求证：； (3)当点在射线上时，连接交直线于，若，则的值为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）由结合已知得结合题意证，利用全等的性质和线段的和差关系进行求解即可； （2）如图2，过点作，由垂直得结合已知证，得到，，再证即可得到结果； （3）分两点情况，一是点在的延长线上，设，则，由得，推出，，，可求得；二是点在线段上，设，则，推出，得到，，所以，即可． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， 又，， ， ，， ， ∴， ∴， ∵ ； （2）证明：如图2，过点作， ，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， 又，， ， ； （3）如图，当点在线段的延长线上时，连接交直线于，过点作，交的延长线于， ， ， 设，则，， ，， ， ，， ， 又，， ， ，， 又，， ， ， ， ， ， ． 如图4，点在线段上，过点作， 同理可得：， 设，则， ， ， ， ，， ， 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形面积公式，线段的和差关系，难度较大，属于压轴题，解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． 22．（24-25八年级上·山东德州·开学考试）如图1，已知点表示的立方根，且．将线段向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，点E在y轴的负半轴，． (1)直接写出A，B，C，D各点的坐标； (2)证明； (3)求点E的坐标； (4)如图2，平分，平分，求的度数． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据立方根的性质求解的值，可得，的坐标，再利用平移的性质可得，的坐标； （2）由平移的性质可得，证明，结合，可得，从而可得结论； （3）如图，取的三边中点，可得，，，证明，可得，可得，证明，可得，可得； （4）由，可得，结合三角形的内角和可得，证明，再结合角平分线的定义可得结论． 【详解】（1）解：∵点表示的立方根，且． ∴，， 解得：， ∴，； ∵将线段向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度， ∴，； （2）证明：由平移可得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，取的三边中点， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，坐标与图形，立方根的含义，平移的性质，全等三角形的判定与性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 23．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，，且m，n满足二元一次方程组． (1)求A，B两点的坐标； (2)点是线段上一点，连接，当的面积为时，求t的值； (3)在（2）的条件下，过点A作直线轴，在直线m上有一点M，直线交x轴正半轴于点K，在射线上是否存在一点N，使，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查了解方程组、全等三角形的判定与性质、待定系数法求函数解析式、函数图象上点的坐标的特征等知识点，求出点M的坐标是解题的关键． （1）先解方程组求得m、n的值，从而得出点A、B的坐标； （2）用t的代数式表示出，列出关于t的方程即可； （3）由可得，通过可证可得，则或，从而可求出直线的解析式，即可得出点K的坐标，从而得出点N的坐标． 【详解】（1）解：解方程组，可得：， ∴； （2）解：如图： 由题意得：，解得：； （3）解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， , ∴， ∴， ∴或， 设直线的解析式为， 则或，解得：或 ∴或， ∴K点的坐标为或， ∴或， ∴或． 24．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试） 如图，在中，，的角平分线和的平分线相交于点，交于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接并延长交于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是定值，且 【分析】（1）利用角平分线的性质以及三角形外角的性质，求解即可； （2）延长与交于点，证明，得出，证明，得出，即可得出结论； （3）在上截取，根据，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：设，，     ∵平分，平分， ∴， 由三角形外角的性质可得： ∴， ∴； （2）证明：延长与交于点，如下图： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：是定值，且． 在上截取，则是的垂直平分线，如下图： ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，作出辅助线，构造出全等三角形． 25．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点且、满足过点作 轴于，过点作 轴于点，点，分别是直线，轴的动点． (1)如图1，点，分别在线段，上，若，求证：； (2)如图2，连接，，若的面积为6，求线段的长度； (3)已知，点，分别在线段和的延长线上，连接． ①如图3，已知，，线段上存在一点，使得 ，求点的坐标； ②在（2）的条件下，如图4，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 (3)①；② 【分析】（1）由可得，，再由证得，最后根据全等三角形的性质即可证得结论； （2）在轴负半轴上截取，连接，即可证得，，进而可得知面积分别相等和，再由面积公式即可求得结论； （3）①过点作于，由可证，继而可知，，即可求解；②在上截取，连接，由可证和，再根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ，， ， 轴，轴，， 四边形是正方形， 在和中， ， ， ． （2）如图，在轴负半轴上截取，连接， ， ， ，， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ． （3）①如图，过点作于， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， ； ②，理由如下： 如图，在上截取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、二次根式和平方的非负性、三角形的面积公式，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【经典例题六 倍长中线模型】 26．（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 【答案】（1），；（2），∴ ，又∵，∴．∵，∴，∴（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解； （3）由（2）可知，，由三角形的三边关系可求解． 【详解】（1）解：如图②，为的中线， ， 又，， ， ， 在中，，，， ， ， 故答案为：，； （2）证明：如图④，延长至点，使，连接， 点是的中点， ． ，， ， ，， ， ， ， ∴ ， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图⑤，连接，， 由（2）可知：，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 27．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； （2）延长到，使得，连接，由（1）的结论以及已知条件证明，进而可得，由，即可求得与的数量关系； （3），取中点，连接并延长至点，使得，连接和，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2），理由： 如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和， ∵为中点， 为三等分点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴, 同理可得: , ∴， 此时, 延长交于 点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 28．（23-24八年级上·吉林·期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． 【探究发现】 （1）如图①，与的数量关系是 ，位置关系是 ； 【初步应用】 （2）如图②，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 【探究提升】 （3）如图③，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．    【答案】（1），，（2）；（3），，理由见解析 【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出； （2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论． 【详解】解：（1）是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， （2）如图2，延长到，使，连接， 由（1）可知，， ， 在中，， ， 即， ， 即边上的中线的取值范围为； （3），，理由如下： 如图3，延长到，使得，连接，    由（1）可知，， ， ， ， 由（2）可知，， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线． 29．（23-24七年级下·山东青岛·期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； (3)【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，，理由见解析 【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出； （2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论． 【详解】（1）解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2）如图2，延长到，使，连接， 由（1）可知，， ， 在中，， ， 即， ， 即边上的中线的取值范围为； （3），，理由如下： 如图3，延长到，使得，连接， 由（1）可知，， ， ， ， 由（2）可知，， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线． 30．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在中，，，边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是____． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)请写出图1中与的关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．    【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由且即可求解； （2）证可推出即可求解； （3）延长到Q使得，连接，延长交于点，证、即可求解． 【详解】（1）解：∵且 ∴ 故答案为： （2）解：，理由如下： ∵是边上的中线 ∴ ∴ （3）解：，理由如下： 延长到Q使得，连接，延长交于点    ∵是边上的中线 ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的常见模型：倍长中线模型．熟记相关几何模型和结论是解题的关键． 【经典例题七 一线三等角模型】 31．（24-25八年级上·吉林松原·期中）已知三点均在直线上，且． (1)如图①，若，则线段的长为_________； (2)如图②，判断之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，若将题中的“”变为“”，其他条件不变，且，请直接写出的长． 【答案】(1)5 (2)），理由见解析 (3)3 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，据此即可求解； （2）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，可得答案； （3）利用邻补角的定义得，再利用三角形的外角性质可得到，再利用证明，得，可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 32．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）已知，在中，三点都在直线上，且，． (1)如图①，若，则与的数量关系为____________， (2)如图②，判断并说明线段与的数量关系； (3)如图③，若只保持，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，当为___________时，能够使与全等． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）利用平角的定义和同角的余角相等得，再利用证明得； （2）利用平角定义及三角形的内角和定理得，再利用证明，得，可得答案； （3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在，当时， ∴， ∴，此时； 当时， ∴ ∴，， 综上：或， 故答案为：或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，邻补角性质，三角形的外角性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 33．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题： ①如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②，理由见解析；（3）或或． 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等角的余角相等，内角和定理等． （1）利用平角得定义即可求解； （2）①先证明出，得出即可得出结果；②证明出，得出即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等，可知，而的表示由的位置决定，所以需要对的位置分别讨论继而得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）①解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意得，根据点所在的位置分情况讨论： ①当在上时，在上时，即， ∵点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，，，设运动时间为， ∴，， ∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴， ∴，解得：； ②当在上时，在上时，即， ∴，， ∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴， ∴，解得：； ③当到达时，在上时，即， ∴，， ∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴， ∴，解得：， 综上所述：当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 34．（19-20七年级下·四川成都·期中）（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是16，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）结论成立；理由见解析；（3）6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键． （1）根据直线，直线得，而，根据等角的余角相等得，由证得，则，，即可得出结论； （2）由，则，得出，由证得即可得出答案； （3）由，，可得，得出，由证得，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 【详解】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：结论成立；理由如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：，， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， ， ， 与的面积之和为8． 35．（23-24七年级下·陕西西安·期中）发现问题 （1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则 ． 探究问题 （2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积． 解决问题 （3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最值等知识，利用全等三角形的性质求解是解答的关键． （1）根据三角形的内角和定理证得，再证明得到即可求解； （2）先求得，再证明得到，，由求解即可； （3）连接，由题意知B、F关于对称，则，当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，则，，证明得到，，则，，由求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7； （2）∵长方形的周长为36，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即四边形的面积为48； （3）连接，如图， 由题意知B、F关于对称， ∴， ∴， 当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，，， ∵，， 由（2）可知， ∴， ∴，， ∴，， ∵， 则，， 即当最小时，多边形的面积为：， ∴多边形的面积为144． 【经典例题八 旋转模型】 36．（2024七年级下·全国·专题练习）已知四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F． （1）当绕B点旋转到时（如图1），求证：． （2）当绕B点旋转到F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 小明第（1）问的证明步骤是这样的： 延长到Q使，连接， 证出得到，； 再证，得到，证出，即． 请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明． 【答案】(1)见解析(2)图2成立；图3不成立，见解析 【分析】（1）延长到Q使，连接，先证明，证出得到，；再证，得到，证出，即 （2）在图2仿照（1）的解法证明即可，图3也可以仿照（1）证明，只是结论不成立． 本题考查了三角形全等的判定和性质，半角模型的应用，熟练掌握半角模型，构造半角模型是解题的关键． 【详解】（1）如图，延长到Q使，连接， ∵，，， ， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． （2）图2成立，图3不成立． 证明：如图2，延长到K使，连接， ∵，，， ， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 如图3，如图，延长到Q使，连接， ∵，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 37．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线过点，过点作，过点作，垂足分别为、．求证：．    （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，试求出的面积．    （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交轴于点．求的面积．    【答案】（1）见解析；（2）5；（3） 【分析】（1）先判断出，再判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）过点作轴，垂足为，过点作，判断出，，设列方程组求解，即可得出结论； （3）过点作，交于，过点作轴于，先求出，由得，进而得出，，再判断出，即可判断出，，进而求出直线的解析式，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ． ，， ， ，． ， ， （2）解：如图2，过点作轴，垂足为，过点作，交的延长线于，    由已知得，且， 由（1）得， ，， 设， ，， ，， 点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为； ∴， （3）解：如图3，    过点作，交于，过点作轴于， 对于直线，由得， ， ， 由得， ，， ， ． ． 由（1）得，． ，． ， 设直线为， 则， 解得． 直线为． 由得，， ，． ∴，． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 38．（23-24·山东日照·一模）已知，四边形中，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F． 当绕B点旋转到时，如图（1），易证：． 当绕B点旋转到时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答案】图（2）成立，有，证明见解析；图（3）不成立，有，理由见解析 【分析】证明图（2）．延长至点K，使，连接，证明，然后证明，根据线段之间的数量关系可得之间的关系，然后进行判断即可； 证明图（3），延长至G，使，同理可证，，，据线段之间的数量关系可得之间的关系，然后进行判断即可． 【详解】解：图（2）成立，图（3）不成立， 的关系是．证明如下： 证明图（2）．理由如下： 延长至点K，使，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图（3），延长至G，使， 同理可证，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的关系是． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质．正确作出辅助线，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 39．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图，与都是等腰直角三角形，其中，，，且点D在延长线上，连接．求证． (1)独立思考：请解答王老师提出的问题． (2)实践探究：在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答． “如图，连接，过A作交于F，探究线段与之间的数量关系，并证明．” (3)问题解决：数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究，将绕点A旋转，使点E在延长线上，点D在延长线上，提出新的问题，请你解答． “如图，当点E在延长线上，点D在延长线上，连接，过B作且，连接交延长线于H，若，求的长．” 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）过E作交延长线于M．通过证明和，即可求证； （3）过G作交延长线于点N，通过证明和，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图，∵， ∴．即． 又∵， ∴， ∴． （2）解：，证明如下： 证明：如图，过E作交延长线于M． ∵． ∴． ∵． ∴， ∴． ∵， ∴， ∵． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵． ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． （3）解：如下图，过G作交延长线于点N． ∵， ∴， ∴， 又∵． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵． ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，作辅助线构造出全等三角形． 40．（23-24八年级上·山东日照·期中）如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一点，且DE＝CE，连接BD，CD． （1）判断与的位置关系和数量关系，并证明； （2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明； （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数． 【答案】（1）， ；（2）， ；（3）． 【分析】（1）先判断出，再判定，再判断， （2）先判断出，再得到同理（1）可得结论； （3）先判断出，再判断出，最后计算即可． 【详解】解：（1）与的位置关系是：，数量关系是． 理由如下： 如图1，延长交于点． 于， ． ，， ， ，，． ， ． AE⊥BC ∴， ， ． （2）与的位置关系是：，数量关系是． 如图，线段AC与线段BD交于点F，线段AE与线段BD交于点G， ， ， 即． ，， ， ，． AE⊥BC ∴， 又∵ ， ． （3）如图，线段AC与线段BD交于点F， 和是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中， ， ∴， ， 与的夹角度数为． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，判断垂直的方法，解本题的关键是判断． 【经典例题九 对角互补模型】 41．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知：在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且． (1)为探究上述问题，小宁同学先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小宁的解题思路是：先证明 ；再证明 ；即可得出之间的数量关系是 ． (2)如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ． 【答案】(1)见解析， (2)（1）中的结论仍然成立，见解析 (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）由题意补图，补充思路即可； （2）延长到G，使，连接，证明即可； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，证明即可，再进行线段和差计算． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 小明的解题思路：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系是， 证明如下：延长到点G，使，连接， ， 在和中， ， ，， 又， ， ， 即， 又， ， ， ， ， 故答案为：； （2）（1）中结论仍成立，理由如下： 延长到G，使，连接，如图所示， ，， ， 在和中， ， ，， 又， ， ， 即， 又， ， ， ， ， （3） E，F分别是边上，则有，第（2）问已证明； 点E在边延长线上，点F在边延长线上，此时，证明如下： 在上截取，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即， 又， ， ， ， ； 当点E在延长线上，点F在延长线上，如图，在上截取，连接， 同上可证明：， ， ， 即， 综上所述：线段之间的数量关系为或或． 42．（24-25八年级上·湖北随州·期中）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．    小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由；    （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，当时，两舰艇之间的距离是多少海里，写出推理过程．    【答案】（1），证明见详解；（2）结论仍然成立，证明见详解；（3）280海里 【分析】本题考查的是三角形知识的综合运用，掌握三角形全等的判定和性质、理解方位角的概念是解题的关键，注意规律的总结和运用． （1）延长到点．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）连接，延长相交于点，然后与（2）同理可证． 【详解】解：（1），证明如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论仍然成立； 理由：延长到点．使．连接，如图2，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ； （3）如图3，连接，延长相交于点，   ， ， 又， 符合探索延伸中的条件， 结论成立， 即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是280海里． 43．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）（1）问题背景：如图1，在四边形中，， E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是______________________． （2）如图2，在四边形中，分别是边，上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1）（2）仍然成立，过程见详解（3）或或； 【分析】（1）如图1，延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得，再结合线段和差关系，即可解题； （2）如图2，与（1）同理可得：； （3）如图3，作辅助线，构建，同理证明和．可得新的结论：． 本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的4个问题运用了类比的方法依次解决问题． 【详解】解：（1）如图1，延长到点G，使．连接， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 则， 即， ∵，， ∴， ∴ 即， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， （3）①． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ， ，． ． ． ， 易证， ， ， ． ②． 证明：在上截取， 同第一种情况方法，证明， 证明， ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点在延长线上，点在延长线，此时线段，，之间并无直接数量关系． 综上，或或； 故答案为：或或； 44．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． (1)小亮同学认：如图1，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论是什么？并给出理由． (2)如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． (4)如图4，已知在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足1中的结论，请直接写出与的数量关系并加以说明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)仍成立，理由见解析 (3)210海里 (4)，理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到，使，连接，先证明，再证明，则可得到结论； （2）延长到，使，连接，证明，再证明，则结论可求； （3）连接，延长、交于点，利用已知条件得到：四边形中：，且，符合（2）具备的条件，则． （4）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使，连接，    在和中， ， ， ，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接，   ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ． ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：连接，延长、交于点，如图3，   ，， ， ，， 在四边形中：，且， 四边形符合（2）中的条件， 结论成立， 即（海里）， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． （4）解：结论：． 理由：如图4，在延长线上取一点，使得，连接，   ，， ，即 在和中， ， ， ，， ∵点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足（1）中的结论， 即， ∴ 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 45．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．    (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由． (3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)结论不成立，应当是，理由见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． （1）如图中，延长到，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，如图中，延长至M，使，连接．只不过证明三角形和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】（1）解：如图中，延长到G，使，连接，   ，， ． ． ． ． 又， ， ， ． ． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至M，使，连接．   ，， ， 在与中， ， ． ． ， ． ，即． 在与中， ， ． ，即， ． （3）解：结论不成立，应当是． 证明：如图中，在上截取，使，连接．   ，， ． 在与中 ， ． ． ． ． ， ∴． ， ， ． 【经典例题十 半角模型】 46．（2024八年级上·江苏·专题练习）【问题背景】 如图1：在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长 【答案】【问题背景】；【探索延伸】成立；见解析；【学以致用】10 【分析】（1）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）延长，截取，连接，根据定理可得出，故可得出，，再由，可得出，故，由定理可得，故，故的周长，由此可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ∵， ， ，， ∵，， ， 在和中， ∵， ， ， ， ； 故答案为：． （2）解：结论仍然成立； 理由：如图2，延长到点G．使．连接， ，， 在和中， ∵， ， ，， ， ， ， 在和中， ∵， ， ， ， ； （3）解：如图3，延长到点G，截取，连接， 在与中， ， ， ，． ，， ， ． 在与中， ， ， ， 的周长． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 47．（2024八年级上·全国·专题练习）【问题背景】 如图①，在四边形中，，分别是上的点，且．试探究图中线段之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是_______； 【探索延伸】 （2）如图②若在四边形中，分别是上的点，且．（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； 【学以致用】 （3）如图③，四边形是边长为5的正方形，．请直接写出的周长． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）的周长为10 【详解】解：（1） （2）（1）中结论仍然成立．理由如下： 如图①，延长到点，使，连接． ， ． 在和中， ， ． ， ． 在和中， ， ． ， ． （3）的周长为10． （3）如图②，延长到点，使，连接． 在与中， ， ． ， ， ． 在与中， ， ． 又， ， 的周长为． 48．（23-24八年级上·河南安阳·期中）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明，得；再由条件可得，证明，进而可得线段，，之间的数量关系是______． （2）拓展应用： 如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）学以致用： 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）10 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键． （）延长到点，使，连结，由“”可证，可得，，再由“”可证，可得，即可解题； （）延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （）延长到，使，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得，即可求解． 【详解】解∶（1）延长到点，使，连结， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）结论仍然成立，理由如下：如图，延长到，使，连接，      ∵， ∴， 同（）理：， ∴，， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，延长到，使，连接，      ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 49．（23-24八年级上·湖北武汉·开学考试）【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 【答案】【基本模型】；【模型运用】：，证明见解析；【拓展延伸】：． 【分析】（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）； （3）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，根据旋转变换的性质可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，对应边相等可得，，对应角相等可得，再根据证明，并证明、、三点共线，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 故答案为：； （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图3，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则， ，，，， 又， ， ， 又， ， 、、三点共线， 在和中，， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质。本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形。 50．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）已知：四边形ABCD是正方形，，点E，F，G，H分别在边A，DC上.    (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，点E，F分别是上的动点，求证： 的周长是定值； (3)如图3，若，和交于点O，且，求请直接写出线段的长度. 【答案】(1) (2)是定值40 (3) 【分析】（1）证明，得°，在中可求出的度数； （2）延长到点K，使，连接，构造全等三角形，证明，即可求得的周长； （3）过点D作，交于点L，作，交于点M，连接，运用（2）中的结论和勾股定理求出的长，再用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图1，    ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）如图2，延长到点K，使，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的周长为40，的周长是定值； （3）如图3，作，交于点L，交于点P，作，交于点M，交于点Q，连接，    ∵，， ∴四边形、四边形、四边形都是平行四边形， ∴，，， ∴； 由（2）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，解题关键是正确地作出辅助线构造全等三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$