精品解析：陕西省西安市蓝田县城关中学大学区联考2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

高二数学阶段性学习效果测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上. 3.考试结束后将本试卷与答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设，向量，，，且，，则（ ）． A. B. C. 5 D. 6 2. 已知三棱锥中，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且PA=．若点M为PD中点，则直线CM与PB所成角的大小为（ ） A. 60° B. 45° C. 30° D. 90° 4. 设圆，直线，P为l上的动点，过点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法中不正确的是（ ） A. 直线l与圆O相交 B. 直线AB恒过定点 C. 当P的坐标为时，最大 D. 当最小时，直线AB的方程为 5. 在直角坐标系xOy中，圆M的圆心在射线OM：上，圆M与x轴相切，与y轴相交于A，B两点，若，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为 A. B. C. D. 7. 记抛物线的焦点为为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A. 24 B. C. D. 30 二、多项选择题（共4小题，每题6分，共计24分.每题有一个或多个选项符合题意，每题全选对者得6分，选对但不全的得3分，错选或不答的得0分.） 9. 在直三棱柱中，、分别是的中点，D在线段上，则下面说法中正确的有（ ） A. 平面 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 若是的中点，若M是的中点，则到平面的距离是 D. 直线与直线所成角最小时，线段长为 10. 在长方体中，，，E，F分别为，的中点，P是线段（不含端点）上的任意一点，下述说法正确的是（ ） A. 存在点P，使直线与平面所成角取得最大值 B. 存在点P，使直线与平面所成角取得最大值 C. 存在点P，使平面与平面的夹角取得最大值 D. 存在点P，使平面与平面的夹角取得最大值 11. 如图，经过坐标原点且互相垂直的两条直线和与圆相交于四点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 线段长度的最大值为 B. 弦长度的最小值为 C. 点的轨迹是一个圆 D. 连接四边形各边中点所得四边形面积的最大值为 12. 以下四个关于圆锥曲线的命题中，正确的是（ ） A. 设A，B为两个定点，k为非零常数，||＋||＝k，则动点P的轨迹为双曲线 B. 曲线＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则<t<4 C. 方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D. 双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点 第II卷（非选择题） 三、填空题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. 已知向量，若向量同向，则实数m，n分别等于___. 14. 如图，平行六面体各条棱长均为1，，，则线段的长度为_____________. 15. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 16. 经过两点，的双曲线的标准方程为______． 17. 已知Q为抛物线C：上的动点，动点M满足到点的距离与到点F（F是C的焦点）的距离之比为则的最小值是______. 四、简答题（共4小题，共56分） 18. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 19. 如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥（是圆的直径）．规划在公路上选两个点、，并修建两段直线型道路、．规划要求:线段、上的所有点到点的距离均不小于圆的半径．已知点、到直线的距离分别为和（、为垂足），测得，，（单位:百米）． （1）若道路与桥垂直，求道路的长； （2）在规划要求下，和中能否有一个点选在处？并说明理由； （3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为（单位：百米）.求当最小时，、两点间的距离． 20. 已知椭圆：的焦距为2，点在椭圆C上，A、B分别为椭圆的左、右顶点. （1）求椭圆C的方程； （2）若点P是椭圆C上第二象限内的点，点Q在直线上，且，，求的面积. 21. 如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线于，两点. （1）求的值； （2）求证：OM⊥ON. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学阶段性学习效果测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上. 3.考试结束后将本试卷与答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设，向量，，，且，，则（ ）． A. B. C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合垂直向量的坐标表示和平行向量的坐标关系求，由此可求的坐标，再求其模即可. 【详解】因为，，， 所以，所以， 因为，，，所以，所以， 所以， 所以. 故选：D. 2. 已知三棱锥中，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量线性运算计算即可. 【详解】 . 故选：D. 3. 如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且PA=．若点M为PD中点，则直线CM与PB所成角的大小为（ ） A. 60° B. 45° C. 30° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出，，利用向量法即可求出. 【详解】如图所示：以为坐标原点，以，，为单位向量建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 故，， 故， 由异面直线夹角的范围是，故直线与所成角的大小为. 故选：C. 4. 设圆，直线，P为l上的动点，过点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法中不正确的是（ ） A. 直线l与圆O相交 B. 直线AB恒过定点 C. 当P的坐标为时，最大 D. 当最小时，直线AB的方程为 【答案】A 【解析】 【分析】A选项：求出圆心到直线的距离，与半径比较大小即可判断出结论；B选项：由题意可知点，，在以为直径的圆上，求其圆的方程，与方程相减可得公共弦所在直线方程，进而判断出结论；C选项：当时，最大，此时直线的方程为，即，联立，解得，，即可得出结论；D选项：当最小时，，此时，，即可得出直线的方程． 【详解】如图所示： 对于A：圆心到直线的距离， 直线与圆相离，故A错误； 对于B：由题意可知点，，在以为直径的圆上，设， 其圆的方程为：， 化简为，与方程相减可得：， 则直线的方程为，令，解得， 因此直线恒过定点，故B正确； 对于C：因为和为直角三角形，且, 所以， 所以，所以. 要使最大，只需最大. 在直角中，. 要使最大,只需最小，所以当时，最小，此时，所以，所以直线. 由，解得，即当P的坐标为时，最大，故C正确； 对于D：，， 当时，最小，最小，此时，， 直线的方程为，即，化为，故D正确． 故选：A． 5. 在直角坐标系xOy中，圆M的圆心在射线OM：上，圆M与x轴相切，与y轴相交于A，B两点，若，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，设出圆心的坐标，再利用圆的性质列式求解即得. 【详解】依题意，设圆心，由圆与x轴相切，得圆的半径， 圆心到y轴的距离，由圆截y轴所得弦，得， 即，解得， 所以圆M的方程为. 故选：A 6. 已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若△AF1B的周长为4, 由椭圆的定义可知,, ,, ， 所以方程为，故选A. 考点：椭圆方程及性质 7. 记抛物线的焦点为为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抛物线方程及直线方程，联立，求出交点进而可得答案. 【详解】，由拋物线定义可知到准线距离为，即，解得， 即抛物线方程为，不妨取，又， 所以， 联立，消去整理得， 解得，即， 则. 故选：C. 8. 设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A. 24 B. C. D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】先利用题给条件及双曲线定义求得的三边长，进而求得的面积 【详解】由，可得 又是是双曲线上的一点，则， 则，，又 则，则 则的面积等于 故选：A 二、多项选择题（共4小题，每题6分，共计24分.每题有一个或多个选项符合题意，每题全选对者得6分，选对但不全的得3分，错选或不答的得0分.） 9. 在直三棱柱中，、分别是的中点，D在线段上，则下面说法中正确的有（ ） A. 平面 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 若是的中点，若M是的中点，则到平面的距离是 D. 直线与直线所成角最小时，线段长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为坐标轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面法向量的数量积等于零可判断A；求得直线与平面的法向量，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值可判断B；利用向量法求得到平面的距离可判断C；利用异面直线所成角的空间向量求法求得的长可判断D. 【详解】因为直三棱柱中，， 以点为坐标原点，所在直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，分别是的中点，在线段上， 所以， 对于A，因为在直三棱柱中，平面， 又，平面，所以，又，所以， 又，平面，所以平面， 所以为平面的一个法向量，又， 则，又平面，平面，故A正确； 对于B，为平面的一个法向量，又， 设直线与平面所成角为， 则，故B错误； 对于C，若是的中点，若M是的中点，则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为，又， 所以到平面的距离是，故C正确； 对于D，设， 则， 设直线与直线所成角为，又， 则， 当，即时，取最大值，此时直线与直线所成角最小， ，，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：求线线角，线面角，面面角的最大值与最小值，关键是用变量把动点的坐标或向量表示出来，进而用变量去表示这些角的余弦与正弦值，从而求得取最值时的变量值，进而解决有关问题. 10. 在长方体中，，，E，F分别为，的中点，P是线段（不含端点）上的任意一点，下述说法正确的是（ ） A. 存在点P，使直线与平面所成角取得最大值 B. 存在点P，使直线与平面所成角取得最大值 C. 存在点P，使平面与平面的夹角取得最大值 D. 存在点P，使平面与平面的夹角取得最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设P点坐标，利用向量法求出各个选项所研究的角的正弦值或余弦值，根据点P的坐标变化范围即可判断角的变化情况，判断角是否能取到最大值即可． 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，， 则，，，， ，， 取平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，，取， 设平面的法向量为， 则，取， 设平面的法向量为， 则，取， 对于A：设直线与平面所成角为， 则， 时，函数单调递增， 时，函数单调递减， ∴当时，即P是中点的时候，取最大值，故A正确. 对于B：设直线与平面所成角为， 则， ∵时，函数单调递减，没有最大值，故B错误. 对于C：设平面与平面的夹角为， 则 下面研究函数在上的单调性； 令，， ， ， ， 则 ， ∴， ， ，在递减，在递增，且， 又在时递增， 故由复合函数单调性判断原理可知， 在递减，在递增， 则在时取最小值，此时最大， 即平面与平面的夹角取到了最大值，故C正确. 对于D：设平面与平面的夹角为， 则，即， 故平面与平面的夹角的最大值即为，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，经过坐标原点且互相垂直的两条直线和与圆相交于四点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 线段长度的最大值为 B. 弦长度的最小值为 C. 点的轨迹是一个圆 D. 连接四边形各边中点所得四边形面积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由长度表示圆上点到原点的距离，即可判断A；根据方程写出已知圆的圆心和半径，由圆的性质判断B；若，，，分别是，，，的中点，圆心到直线，的距离且，易证为矩形且其中心、对角线长度恒定，即可确定的轨迹判断C；根据四边形的面积，利用，从而可得面积最值，即可判断D. 【详解】由题易知圆的方程为，设圆心为则，半径， 由三角形两边之和大于第三边可知，且， 所以当长度最大时圆心与共线且在它们中间，此时错误； 由圆的性质知当即圆心与直线距离最大时的长度最小， 此时圆心与直线距离为，故，B正确； 设分别是的中点，则且且， 又，易知四边形为矩形， 而， 圆心到直线的距离且， 所以，则，故 所以在以为直径，设圆心， 连接并延长交于， 由为直角三角形可得， 而，故， 而，故，故， 故，同理，故的中点为的中点，故的中点为定点， 故在以为直径的圆上，C正确； 由上知，则，当且仅当时取等号，此时四边形的面积，故D正确． 故选：BCD． 12. 以下四个关于圆锥曲线的命题中，正确的是（ ） A. 设A，B为两个定点，k为非零常数，||＋||＝k，则动点P的轨迹为双曲线 B. 曲线＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则<t<4 C. 方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D. 双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点 【答案】BCD 【解析】 【分析】A根据椭圆的定义知|k|>|AB|时方程表示椭圆；B根据方程表示焦点在y轴上的椭圆时求出t的取值范围即可；C求出方程2x2-5x+2=0的两根，再判断两个根是否能作为椭圆的离心率和双曲线的离心率；D分别求出双曲线和椭圆的焦点坐标，判断是否相同即可． 【详解】对于A，根据椭圆的定义知，当k的范围满足|k|>|AB|时方程表示椭圆，∴A错误； 对于B，令，解得＜t＜4，此时曲线表示焦点在y轴上的椭圆，∴B正确； 对于C，解方程2x2-5x+2=0，得x=或x=2；可作为椭圆的离心率，2可作为双曲线的离心率，∴C正确； 对于D，双曲线中，c==，焦点坐标为F1（-，0）、F2（，0）； 椭圆中，c′==，焦点坐标为F1′（-，0）、F2（，0）， 它们的焦点相同，∴D正确； 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. 已知向量，若向量同向，则实数m，n分别等于___. 【答案】； 【解析】 【分析】根据题意，由两向量平行的坐标公式，列出方程代入计算，然后检验，即可得到结果. 【详解】由题意可得，解得或， 当时，，向量反向，舍去； 当时，，向量同向，符合题意； 综上，. 故答案为：； 14. 如图，平行六面体各条棱长均为1，，，则线段的长度为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】取，，为一个基底，表示，再应用数量积及模长公式计算即可求解． 【详解】取，，为一个基底，，，， ∴ ， 故答案为：. 15. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 16. 经过两点，的双曲线的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法可求双曲线的方程. 【详解】设双曲线的方程为：， 故，解得，故双曲线的方程为：， 故答案为：. 17. 已知Q为抛物线C：上的动点，动点M满足到点的距离与到点F（F是C的焦点）的距离之比为则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到点的轨迹，然后将的最小值转化为的最小值，根据垂线段最短得到当三点共线时，最小，然后求最小值即可. 【详解】 由题意得，等于点到准线的距离， 过点作垂直准线于点，则， 设动点，则，整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 所以，所以当四点共线时，最小， 故. 故答案为：. 四、简答题（共4小题，共56分） 18. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则,， 故四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形判定和性质定理可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，因两两垂直，故可以为原点建立如图的空间直角坐标系， 由、、、、、， 则、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则，， 分别取，则、、，， 即得，， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为. 19. 如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥（是圆的直径）．规划在公路上选两个点、，并修建两段直线型道路、．规划要求:线段、上的所有点到点的距离均不小于圆的半径．已知点、到直线的距离分别为和（、为垂足），测得，，（单位:百米）． （1）若道路与桥垂直，求道路的长； （2）在规划要求下，和中能否有一个点选在处？并说明理由； （3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为（单位：百米）.求当最小时，、两点间的距离． 【答案】（1）（百米） （2）解法一: ①若在处，由（1）可得在圆上，则线段上的点（除，）到点的距离均小于圆的半径，所以选在处不满足规划要求. ②若在处，连结，由（1）知， 从而，所以为锐角. 所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径. 因此，选在处也不满足规划要求. 综上，和均不能选在处. 解法二: ①若在处，取线段上一点，则，所以选在处不满足规划要求. ②若在处，连结，由（1）知，又， 所以线段. 在线段上取点，因为， 所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径. 因此选在处也不满足规划要求. 综上，和均不能选在处. （3）（百米） 【解析】 【分析】解法一： （1）过作，垂足为，利用几何关系即可求得道路的长； （2）分类讨论和中能否有一个点选在处即可. （3）先讨论点的位置，然后再讨论点的位置即可确定当最小时，、两点间的距离． 解法二： （1）建立空间直角坐标系，分别确定点和点的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路的长； （2）分类讨论和中能否有一个点选在处即可. （3）先讨论点的位置，然后再讨论点的位置即可确定当最小时，、两点间的距离． 【小问1详解】 过作，垂足为. 由已知条件得，四边形为矩形，. 因为， 所以. 所以. 因此道路PB的长为（百米）. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 先讨论点的位置. 当时，线段上存在点到点的距离小于圆的半径，点不符合规划要求； 当时，对线段上任意一点，，即线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径，点符合规划要求. 设为上一点，且，由（1）知，， 此时； 当时，在中，. 由上可知，. 再讨论点的位置. 由（2）知，要使得，点只有位于点的右侧，才能符合规划要求. 当时，. 此时，线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径. 综上，当，点位于点右侧，且时，最小， 此时两点间的距离. 因此，最小时，两点间的距离为（百米）. 解法二： （1）如图，过作，垂足为. 以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系. 因为，，所以，直线的方程为， 点A，B的纵坐标分别为，. 因为为圆的直径，，所以圆的方程为. 从而，，直线的斜率为. 因为，所以直线的斜率为， 直线PB的方程为. 所以，. 因此道路的长为15（百米）. （2）略 （3）先讨论点的位置. 当时，线段上存在点到点的距离小于圆的半径，点不符合规划要求； 当时，对线段上任意一点，， 即线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径，点符合规划要求. 设为上一点，且，由（1）知，，此时； 当时，在中，. 由上可知，. 再讨论点的位置. 由（2）知，要使得，点只有位于点的右侧，才能符合规划要求. 当时，设，由， 得，所以，此时线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径. 综上，当，时，最小，此时两点间的距离. 因此，最小时，两点间的距离为（百米）. 【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 20. 已知椭圆：的焦距为2，点在椭圆C上，A、B分别为椭圆的左、右顶点. （1）求椭圆C的方程； （2）若点P是椭圆C上第二象限内的点，点Q在直线上，且，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦距和点得到方程组，求出，，得到椭圆方程； （2）设，，根据垂直关系和相等关系得到方程组，求出，结合P是椭圆上第二象限内一点，求出，进而得到，从而求出三角形面积. 【小问1详解】 由椭圆C的焦距为2，故，则， 又椭圆C经过点，代入C得，解得，， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 由题：，，设，，显然，，， ∵，则点P满足：① 又∵， ∴② 联立①②得，解得， 又点P在第二象限，且满足， ∴，， ∴ 把，，代入①得， ∴ 又∵，∴，直线方程为：， ∴点Q到直线AP的距离， ∴. 21. 如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线于，两点. （1）求的值； （2）求证：OM⊥ON. 【答案】（1）4 （2） ，，所以， 又∵，∴. 设OM，ON的斜率分别为，， 则，，有， 则OM⊥ON. 【解析】 【分析】（1）设出直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可； （2）求出的值结合（1）中求出的值，直接证明即可. 【小问1详解】 直线l的方程为， 直线与抛物线联立得，消去y可得， 其中， 由韦达定理得； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $