精品解析：上海市建平中学2024-2025学年高二上学期练习（二）（11月月考）数学试题

建平中学2024学年第一学期 高二年级数学练习（二） 一､填空题（1-6题每题4分，7-10题每题5分） 1. 从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为__________. 2. 甲､乙两气象站同时作天气预报，如果甲站､乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，且假定甲､乙两气象站预报是否准确相互之间没有影响，那么在一次预报中，甲站､乙站预报都错误的概率为__________. 3. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______. 4. 已知5件产品中有2件次品、3件合格品，从这5件产品中任取2件，求2件都是合格品的概率_______. 5. 已知公比不为l的等比数列满足，且构成等差数列．记为的前项和，求使成立的最大正整数k的值为________． 6. 已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点M在双曲线的右支上，且，则________． 7. 若复数满足，则的取值范围是__________. 8. 曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______． 9. 甲､乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束.已知甲赢得每一分的概率为，在两人的第一局比赛中，两人达到了，此局比赛结束时，两人的得分总和为24的概率为__________. 10. 在平面直角坐标系中，已知圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则的取值范围为______. 二､单选题（每题4分） 11. 对于概率是千分之一的事件，下列说法正确的是（ ） A. 概率太小，不可能发生 B. 1000次中一定发生1次 C. 1000人中，999人说不发生，1人说发生 D. 1000次中有可能发生1次 12. 已知圆方程，点在圆上，不在圆上且不与圆心重合，则方程表示的圆与圆的关系是（ ） A. 圆与圆重合 B. 圆与圆圆心不同 C. 圆过且与圆圆心相同 D. 圆过且与圆圆心相同 13. 曲线：，下列两个命题： 命题甲：当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128； 命题乙：当k=2n，时，曲线围成的面积总大于4； 下面说法正确的是（ ） A. 甲是真命题，乙是真命题 B. 甲是真命题，乙是假命题 C. 甲是假命题，乙是真命题 D. 甲是假命题，乙是假命题 三､解答题 14. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若，求的单调递增区间. 15. 已知集合，若分别从集合中随机抽取一个数和，二次函数.记事件为“是二次函数的单调递增区间”，事件为“是二次函数的单调递减区间”. （1）分别求事件、事件的概率； （2）求事件、事件至少一个发生的概率. 16. 已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F. （1）求W的方程； （2）若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长； （3）设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值. 17. 已知曲线的方程为. （1）若，斜率为1的直线与曲线相交于两点，求弦中点的轨迹方程； （2）若. （i）请判断曲线是双曲线还是椭圆，并研究曲线的以下性质：①的范围；②对称中心和对称轴，③离心率.（本小问均无需证明）； （ii）请证明（i）中关于曲线形状的判断，并写出曲线的两个焦点坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平中学2024学年第一学期 高二年级数学练习（二） 一､填空题（1-6题每题4分，7-10题每题5分） 1. 从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数表求出取到奇数号码的次数即可计算作答. 【详解】由数表知，取到奇数号码的次数是：， 所以取到号码为奇数的频率为. 故答案为：0.56 2. 甲､乙两气象站同时作天气预报，如果甲站､乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，且假定甲､乙两气象站预报是否准确相互之间没有影响，那么在一次预报中，甲站､乙站预报都错误的概率为__________. 【答案】##0.06 【解析】 【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解. 【详解】解：记“甲预报准确”，“乙预报准确”， 则 所以甲､乙都预报错误的概率为 故答案为：0.06 3. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，解不等式组可得答案 【详解】因为方程表示椭圆， 所以，得且. 所以实数的取值范围是， 故答案为： 4. 已知5件产品中有2件次品、3件合格品，从这5件产品中任取2件，求2件都是合格品的概率_______. 【答案】## 【解析】 【分析】列举总的基本事件及满足题目要求的基本事件，然后用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】设5件产品中的次品为，合格品为， 则从这5件产品中任取2件，有共10个基本事件， 其中2件都是合格品的有共3个基本事件， 故2件都是合格品的概率为 故答案为：. 5. 已知公比不为l的等比数列满足，且构成等差数列．记为的前项和，求使成立的最大正整数k的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用等差数列的性质与等比数列的通项公式求出，再利用等比数列的前项和公式、不等式的解法即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，且， 因为，且构成等差数列， ，解得， ， ，又， ，即， 当为偶数时，，不等式不成立； 所以为奇数，设， 则，即， 即，即， 所以正整数，所以的最大值为2，此时的最大值为3， 所以使成立的最大正整数k的值为3. 故答案为：3. 6. 已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点M在双曲线的右支上，且，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求出 ，，，利用余弦定理得出结果即可. 【详解】由题意可得，由双曲线的定义得， 而，解得，， 由余弦定理得 ，所以． 故答案为： 7. 若复数满足，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的模的几何意义，结合的几何意义，设出圆上任意一点坐标，利用两点间距离公式列式，化简求得的取值范围. 【详解】由于复数满足，故复数对应的点在圆心为原点，半径为2的圆上， 设圆上任意一点的坐标为，表示圆上的点到和两点距离之和， 即①， ①式平方得，由于，所以，所以， 所以，所以 . 故答案为：. 8. 曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，把问题转化为两个半圆组合的图形与直线有两个不同的交点，数形结合法求参数的范围. 【详解】依题意，，，即或， 当时，曲线方程表示在直线及左侧半圆，圆心为，半径为1， 当时，曲线方程表示在直线及右侧半圆，圆心为，半径为1， 曲线与直线有两个不同的交点， 等价于上述两个半圆组成的图形与直线有两个不同的交点， 在同一坐标系内作出曲线与直线，如图， 当直线与半圆相切时，，解得， 当直线过点时，，由图形得当时，直线与这个半圆有两个交点， 当直线过点时，，这条直线也过点，符合题意， 当直线与半圆相切时，，解得， 当直线过点时，，由图形得当时，直线与这个半圆有两个交点， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：涉及动直线与定曲线交点个数问题，探求曲线性质，作出图形，利用数形结合的思想求解是关键. 9. 甲､乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束.已知甲赢得每一分的概率为，在两人的第一局比赛中，两人达到了，此局比赛结束时，两人的得分总和为24的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件确定最后四局的胜负情况结合独立事件概率公式计算即可. 【详解】因为比赛结束时，两人的得分总和为24，其中且两人的得分的差的绝对值为2， 若甲赢得比赛，则最后两局比赛甲胜，第21球和第22球甲乙一胜一负， 所以事件甲赢得比赛的概率为， 同理乙赢得比赛的概率为， 所以. 故答案为： 10. 在平面直角坐标系中，已知圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先设，根据求出点的轨迹方程，再根据直线与圆相切，即可得到的取值范围 【详解】设，则， 所以， 解得（舍去）或， 所以点的轨迹方程为， 曲线过点且关于直线对称，由题可知. 当直线与相切时，则圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或. 所以的取值范围为 二､单选题（每题4分） 11. 对于概率是千分之一的事件，下列说法正确的是（ ） A. 概率太小，不可能发生 B. 1000次中一定发生1次 C. 1000人中，999人说不发生，1人说发生 D. 1000次中有可能发生1次 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机事件概率的意义，即可判断选项. 【详解】概率是千分之一，是指事件发生的可能性为千分之一，每一次发生都是随机的， 每一次可能发生，也可能不发生，1000次中有可能发生1次. 故选：D 12. 已知圆方程，点在圆上，不在圆上且不与圆心重合，则方程表示的圆与圆的关系是（ ） A. 圆与圆重合 B. 圆与圆圆心不同 C. 圆过且与圆圆心相同 D. 圆过且与圆圆心相同 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到，然后由，转化为求解. 【详解】由题意得：圆方程，点在圆上，点不在圆上， ， 由， 得， 它表示过且与圆圆心相同的圆. 故选：D 13. 曲线：，下列两个命题： 命题甲：当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128； 命题乙：当k=2n，时，曲线围成的面积总大于4； 下面说法正确的是（ ） A. 甲是真命题，乙是真命题 B. 甲是真命题，乙是假命题 C. 甲是假命题，乙是真命题 D. 甲是假命题，乙是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】把代入，变形等式并确定图形在直线的下方（除点外）判断命题甲；当取正偶数时，分析曲线的性质，判断点与曲线的位置关系判断乙命题作答. 【详解】命题甲：当时，曲线：是端点为，在第一象限的曲线段， 由，得，， 而，当且仅当或时取等号， 即有，则曲线除两个端点外均在直线的下方， 因此曲线除端点外，在直线与坐标轴围成的区域内， 直线交轴分别于点，， 所以当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128，甲是真命题； 命题乙：当k=2n，时，曲线：，显然， 即曲线关于x轴对称，也关于y轴对称，且在平行直线和平行直线所围成矩形及内部， 曲线是封闭曲线，其面积是曲线与x轴的非负半轴、y轴的非负半轴所围面积的4倍， 显然，即点在曲线内，而以点为顶点的正方形面积为1， 曲线上的点，当x在0到1间任意取值时，y均大于1，当y在0到1间任意取值时，x均大于1， 因此，所以曲线围成的面积恒成立，乙是真命题. 故选：A 【点睛】结论点睛：曲线C的方程为，(1)如果，则曲线C关于y轴对称；(2)如果，则曲线C关于x轴对称；(3)如果，则曲线C关于原点对称. 三､解答题 14. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若，求的单调递增区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式及辅助角公式化简，结合周期公式即可； （2）通过，进而可求解. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期为. 【小问2详解】 令， 则， 所以的单调递增区间为. 又因为，分别取和，得到， 所以的单调递增区间为. 15. 已知集合，若分别从集合中随机抽取一个数和，二次函数.记事件为“是二次函数的单调递增区间”，事件为“是二次函数的单调递减区间”. （1）分别求事件、事件的概率； （2）求事件、事件至少一个发生的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得出数对的样本空间，结合二次函数的性质得出事件包含的基本事件，利用古典概型的概率公式求出事件、事件的概率； （2）利用互斥事件的概率公式求解. 【小问1详解】 由题意可得，，数对的样本空间为 ，样本点共个. 若是二次函数的单调递增区间， 则且二次函数的对称轴， ∴事件包含的基本事件为，共个， 因为总的基本事件个数为个， 所以； 若是二次函数的单调递减区间， 则且二次函数的对称轴， ∴事件包含的基本事件为，共个， 因为总的基本事件个数为个， 所以； 【小问2详解】 记“事件、事件至少一个发生”为事件， 因为与互斥，所以. 16. 已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F. （1）求W的方程； （2）若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长； （3）设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2） （3） 由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立得， 所以，， 故， . 【解析】 【分析】（1）由已知可得圆的方程，设，，，根据，可得，，代入圆的方程即可求解； （2）由已知可得直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可求解； （3）根据题意可知直线斜率不为0，设直线的方程为，，，联立直线和椭圆构成方程组，根据斜率的计算公式结合韦达定理即可求解. 【小问1详解】 由题意，点在圆上运动，设，，， 由得，， 又，所以，所以的方程为； 【小问2详解】 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆C截得的弦长为； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 17. 已知曲线的方程为. （1）若，斜率为1的直线与曲线相交于两点，求弦中点的轨迹方程； （2）若. （i）请判断曲线是双曲线还是椭圆，并研究曲线的以下性质：①的范围；②对称中心和对称轴，③离心率.（本小问均无需证明）； （ii）请证明（i）中关于曲线形状的判断，并写出曲线的两个焦点坐标. 【答案】（1） （2）（i）曲线为双曲线，理由如下： 由题得曲线的方程为, 得到， AI 易知曲线为对勾函数为双曲线的一种； 由对勾函数的性质或； 由对勾函数的性质可知的对称中心为 显然的图象无限接近于，， 所以，为曲线的两条渐近线， （ii）证明如下： 由双曲线的性质可知，两个渐近线形成的夹角的角平分线所在的直线为双曲线的对称轴，且两条对称轴互相垂直； 不妨设斜率为正的对称轴的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 所以有 解得或（舍去） 所以斜率为正的对称轴为，另一条对称轴为； 设该双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为 由双曲线的性质可知，与的两个交点为实轴端点 联立方程，解得或 所以 由由双曲线的性质可知， 所以 所以离心率 由题可知焦点在上，且到的距离为 不妨设焦点坐标为 所以有，解得， 所以焦点坐标为. 【解析】 【分析】（1）先根据题意写出曲线的方程，然后利用题意求解即可； （2）根据题意可知曲线的方程为，为对勾函数是双曲线的一种， 然后求得渐近线，然后分别利用双曲线的性质计算每一个问题即可. 【小问1详解】 由题可得， 设斜率为1的直线方程为，， 所以的中点坐标为 联立 所以有 所以 所以的中点坐标为 所以的中点的轨迹方程为 【小问2详解】 （i）曲线为双曲线的一种，理由略； （ii）证明略；曲线的焦点坐标为. 【点睛】关键点点睛：对勾函数是一个双曲线，其渐近线方程为与. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $