3.2.2 双曲线的简单性质（第一课时） 2024-2025学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第一册)

第三章 圆锥曲线的方程 3.2 双曲线 3.2.2 双曲线的简单几何性质 （第一课时） 一 二 三 学习目标 了解并掌握双曲线的几何性质：对称性，范围，顶点，渐近线，离心率 理解离心率的大小对双曲线开口大小的影响 能利用双曲线的几何性质求双曲线的标准方程 学习目标 复习回顾 焦点在x轴的双曲线x2项系数为正. 焦点在y轴的双曲线y2项系数为正. 标准方程 相 同 点 焦点位置的判断 不 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 c2-a2=b2 x F1 F2 y O M(x,y) x y O M(x,y) F1 F2 新课导入 类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 范围、对称性、顶点、离心率 利用双曲线方程并结合双曲线图像进行研究。 下面，我们利用双曲线的标准方程 研究双曲线的几何性质. 新知探究 双曲线上点的横坐标的范围是x≤-a，或x≥a,纵坐标的范围是y∈R x y -a a O 追问 可以从代数角度给予说明吗？ 问题1 类比研究椭圆范围的方法，观察图中的双曲线，它有怎样的范围？ 新知探究 x y -a a O 从图形上看，双曲线 关于x轴、y轴、原点对称. 问题2 类比椭圆的对称性，观察双曲线的图像，双曲线有怎样的对称性？ ①P(x,y) P1(x,-y) ②P(x,y) P2(-x,y) ③P(x,y) P3(-x,-y) 新知探究 问题3 类比椭圆求顶点的方法，双曲线有多少个顶点? F1 F2 O x y • • A1 • A2 • B1 • B2 • 令y=0, 得 x=±a 说明它与x轴有两个交点, 坐标分别为 A1(－a,0), A2(a,0). 顶点：双曲线与它的对称轴的交点，叫做双曲线的顶点. 线段A1A2叫实轴，长为2a，a叫实半轴长. 令x=0, 得 y2= ￚb2 说明它与y轴没有交点, 但我们也把 这两点画在y轴上(如图). B1(0,-b), B2(0,b) 线段B1B2叫虚轴，长为2b，b叫虚半轴长. 新知探究 利用信息技术画出双曲线 和两条直线 . x y B2 B2 O F2 F1 A2 A1 问题4 在双曲线的右支上取一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离.沿曲线拖动点，观察与的大小关系，你发现了什么？ M 新知探究 y B2 B2 O F2 F1 A2 A1 问题5 观察图像并回答： 这两条直线有何特征？ 新知探究 双曲线的渐近线： 一般地，双曲线()的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交. y B2 B2 O F2 F1 A2 A1 追问1 如何记忆双曲线的渐近线方程？ 追问2 渐近线对画出双曲线简图有什么指导意义？ 画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后画出双曲线的渐近线，最后再画双曲线。 追问3 渐近线对双曲线的开口有什么影响? 渐近线与实轴的夹角越大，双曲线的开口也就越大. 新知探究 等轴双曲线 y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • 新知探究 离心率 与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比 称为双曲线的离心率. e的范围： ∵c>a>0 ∴e >1 追问 双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征? y B2 B2 O F2 F1 A2 A1 e越大，双曲线开口越大. 等轴双曲线的离心率e= ? 新知探究 问题6 相应的，焦点在y轴上时双曲线的性质有哪些？ 图象 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 或 或 关于坐标轴和原点都对称 性质 双曲线 关于坐标轴和原点都对称 典例解析 例3 求双曲线9y2 – 16x2 =144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐近线方程, 并画出双曲线草图. 解： 3 -3 4 -4 x y O • • F1(0,-5) F2(0,5) 巩固练习 课本P126 1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程. 解： 巩固练习 课本P126 1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程. 解： 巩固练习 课本P126 1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程. 解： 巩固练习 课本P126 1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程. 解： 巩固练习 课本P126 解： 巩固练习 课本P126 解： 巩固练习 课本P126 解： 解： 巩固练习 课本P126 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 图象 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 或 或 关于坐标轴和原点都对称 性质 双曲线 关于坐标轴和原点都对称 EVCapture4.2.2软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $$