06.机械振动-【师者匠心系列】2024-2025学年高二下学期物理讲义

06.机械振动 课前检测 知识回顾： 简谐运动的位移与时间的关系遵从正（余）弦函数规律，所以简谐运动图像（或振动图像）都是正余弦函数图像，如图所示。                          以初始运动方向为正方向，从平衡位置开始运动，则振动图像为                                                     ，从位移最大时刻开始运动，振动图像为                                                     ． （1） 图像包含的信息： ①振动的                ，                ，                ； ②任意时刻物体的速度方向，速度变化情况，进而判断物体        和      的变化情况； ③物体所受回复力的                和                                  、加速度的                和                                  ； ④振动质点来回通过相同的两点间的时间                ； ⑤每经过 ，振动质点都会到达关于                                   对称的位置； ⑥对称规律：在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具有                                的关系．另外速度的大小具有                          ，速度的方向可能                 或                 ． （2） 简谐运动表达式： 根据振动图像可知，简谐运动的位移与时间的关系遵从正（余）弦函数规律，则简谐运动的表达式为 考情分析 知识点 试卷 题号 分值 难度    机械振动 2022浙江卷 6 3 中 2021浙江卷 15 2 较易 2020上海卷 16 4 较易 2022山东卷 9 4 较易 2023湖南卷 11 7 中 2020全国II卷 34 5 中 目标解读 知识导图 课堂目标 1. 理解机械振动、简谐运动的定义。 2. 能用公式和图像描述简谐运动，了解简谐运动过程中回复力与能量变化规律及分离临界特点。 3. 理解单摆模型的条件并掌握单摆测重力加速度实验原理。 4. 了解阻尼振动和受迫振动的概念和基本特点，并掌握共振特点。 课堂重难点 重点： 单摆实验原理、共振特点 难点：简谐运动过程的规律及图像特点、分离临界特征 一、 简谐运动 （一） 机械振动 1.物体（或物体某一部分）在某一中心位置附近两侧所做的往复运动，叫做                                   。 中心位置称为                                   。 2.机械振动的条件：                                   ；                                   ； 3. 平衡位置是物体                                   的位置， 不一定是往复运动的中心位置； 4. 在平衡位置上，物体                                                              合外力为零，但总合外力不一定为零； 5. 小球和弹簧所组成的系统为弹簧振子，是一个理想模型； 6. 弹簧振子的运动是机械振动同时也是一种最简单的简谐运动； 7. 水平弹簧振子的平衡位置在                                            ，竖直弹簧振子的平衡位置不在弹簧原长。 （二） 简谐运动 1. 定义： 质点的位移与时间的关系遵从正弦函数规律或回复力与位移成正比关系的运动． 2.位移公式：     3.基本物理量： ① 位移： 由                                  指向振动质点所在位置的有向线段，位移是相对于                                            。 ② 振幅： 振动质点离开平衡位置的                                   。在弹簧振子系统中，振幅标志着振动系统                 的大小，振幅越大能量                 ，与质量                 ；振幅是标量， ③ 全振动： 在简谐运动中，振子第一次经过某点，当它下一次再以                                            经过该点时，我们说振子完成了一次全振动。完成一次全振动的路程等于                                            ，与起点位置                 ；重新回到原来位置                 说明完成了一次全振动。 ④ 周期和频率： 物体完成一次                          所需的时间叫周期（ ）；频率（ ）是单位时间内完成                          的次数。简谐运动的周期公式为 4.基本图像： 简谐运动的位移与时间的关系遵从正（余）弦函数规律，所以简谐运动图像（或振动图像）都是正余弦函数图像，如图所示。                           根据振动图像可知，简谐运动的位移与时间的关系遵从正（余）弦函数规律，则简谐运动的表达式为           经典例题 1 .(多选)如图所示，为一简谐运动的振动图像，由图可得（    ） A.该简谐振动的振幅为 B.该简谐运动的表达式为 C.该质点在第 时的位移为 D.该质点在前 内的路程为 E.该简谐振动的周期为 2 .如图所示，物体 与滑块 一起在光滑水平面上做简谐运动， 、 之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为 ， 、 的质量分别为 和 ，下列说法正确的是（　　） A.物体A所受的回复力大小跟位移大小之比为 k B.把物体A与滑块B看成一个振子，其回复力大小跟位移大小之比为 k C.滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供 D.若A、B之间的最大静摩擦因数为 ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为 知识点总结 ①振幅是标量，在振动方程中A                          ； ②水平弹簧振子的平衡位置在                                            ，竖直弹簧振子的平衡位置                                                     ③简谐运动周期 ，与振幅无关 巩固练习 3 .(多选)如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为 ， 时刻，一小球从距物块 高处自由落下： 时，小球恰好与物块处于同一高度，取重力加速度的大小 ．以下判断正确的是（    ） A. B.简谐运动的周期是 C. 内物体运动的路程是 D. 时，物块与小球运动方向相反 4 .某同学用如图所示装置探究匀速圆周运动与简谐运动间的关系。长为L的轻质细线一端与质量为m的小球连接，另一端固定在光滑水平面上的O点，在水平面上合适位置竖直放置一光屏。先将小球移到使细线伸直且与光屏平行的位置，t=0时刻给小球一个沿水平面垂直于细线的初速度v 0 ，使小球在水平面内做匀速圆周运动；与此同时，用一束平行光垂直光屏照射，小球在光屏上的影子做往复运动，关于小球影子的运动，下列说法正确的是（    ） A.小球的影子做简谐运动的振幅为2L B.小球的影子做简谐运动的频率为 C.小球的影子做简谐运动的运动学方程为 D.小球的影子做简谐运动的虚拟回复力为 5 .如图所示，质量为 的物块放置在质量为 的木板上，木板与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中 、 之间无相对运动．设弹簧的劲度系数为 、 和 之间滑动摩擦因数为 ，当整体离开平衡位置的位移为 时，物块与木板间摩擦力的大小等于（    ） A. B. C. D. 学生总结 （三） 简谐运动规律 1.运动规律：   位置 位移                                         速度                 加速度                                 2.能量规律：   位置 动能                 势能                                 机械能                                                                                 （四） 简谐运动的对称性 1.时间对称：  ①振动质点来回通过相同两点时间                 ②振动质点通过关于平衡位置对称的两段距离时间                 ③经过半周期后，质点一定位于                                   【实例分析】 振子从平衡位置O第一次到M点时间为3s，第二次到M时间为2s，则第三次到M的时间是多少？     2.位移、速度、加速度对称 ：  ①同一位置，位移加速度                 ②对称位置，加速度大小                 ，方向                 ，位移大小                 ，方向                 ③只有平衡位置和离平衡位置最远的位置，在  个周期内路程是     ，其他位置都不是 ④ 同一位置或对称位置，速度大小                 ，方向                                   经典例题 6 .如图甲所示，光滑水平杆上套着一个小球和一个弹簧，弹簧一端固定，另一端连接在小球上，忽略弹簧质量．小球以点 为平衡位置，在 、 两点之间做往复运动，取向右为正方向，小球的位移 随时间 的变化如图乙所示．下列说法中正确的是（    ）      A. 时，小球在 点右侧 处 B. 和 时，小球的速度相同 C. 和 时，小球的加速度相同 D. 到 过程中，系统的势能在逐渐增加 7 .弹簧振子做机械振动，若从平衡位置 开始计时，经过 时，振子第一次经过 点，又经过了 ，振子第二次经过 点，则到该振子第三次经过 点还需要多长时间（　　） A. B. C. D. 8 .如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以 点为中心点，在 、 之间做周期为 的简谐运动．已知在 时刻物块的动量为 、动能为 ．下列说法中正确的是（    ） A.如果在 时刻物块的动量也为 ，则 的最小值为 B.如果在 时刻物块的动能也为 ，则 的最小值为 C.当物块通过 点时，其加速度最小为零 D.物块运动至 点时，其加速度最小 知识点总结 ① 弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，即振动过程中                                            ． ② 水平方向的振子在平衡位置的机械能以动能的形式出现，势能                 ；在位移最大处势能最大，动能为        ． ③ 简谐运动中系统的动能与势能之和称为简谐运动的能量，即 . ④ 简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅                 ，振动的能量                 ． ⑤ 若振子质量增大，则振动系统能量不变，但最大速度                 ． ⑥ 位移与速度变化相反，与加速度变化相同，在图像中位移变化直接                 ，加速度可根据位移变化分析，速度可以看图像的                 变化 巩固练习 9 .(多选)某弹簧振子做周期为 的简谐运动， 时刻和 时刻速度相同，已知 ，下列说法正确的是（    ） A. 时刻和 时刻位移相同 B. 时刻和 时刻加速度大小相等，方向相反 C.可能 D.可能 E.一定 10 .一个做简谐运动的弹簧振子，振幅为 ，设振子第一次从平衡位置运动到 处所经最短时间为 ，第一次从最大正位移处运动到 处所经最短时间为 ，关于 与 ，以下说法正确的是（    ） A. B. C. D.无法判断 11 .(多选)一个质点在平衡位置 O 点附近做机械振动．若从 O 点开始计时，经过5s质点第一次经过 M 点（如图所示）；再继续运动，又经过2s它第二次经过 M 点；则该质点第三次经过 M 点还需要的时间是（　　） A.6s B.8s C.22s D.24s 12 .(多选)一振子沿 轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点． 时振子的位移为 ， 时振子的位移为 ，则（    ） A.若振幅为 ，振子的周期可能为 B.若振幅为 ，振子的周期可能为 C.若振幅为 ，振子的周期可能为 D.若振幅为 ，振子的周期可能为 13 .如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，两弹簧自由端相距 ．套在杆上的小球从中点以初速度 向右运动，小球将做周期为 的往复运动，则（    ） A.小球做简谐运动 B.小球动能的变化周期为 C.两根弹簧的总弹性势能的变化周期为 D.小球的初速度为 时，其运动周期为 14 .(多选)如图所示，一个弹簧振子在 、 两点之间做简谐运动，其中 为平衡位置，某时刻物体正经过 点向上运动，速度大小为 ，已知 ，物体的质量为 ，振动周期为 ，则从此时刻开始的半个周期内（    ） A.重力做功 B.重力冲量为 C.回复力做功为零 D.回复力的冲量为 学生总结 （五） 简谐运动的分离临界问题 经典例题 15 . 、 两木块分别为 、 ，用劲度系数为 的轻弹簧连在一起，放在水平地面上．将木块 向下压一段距离后释放，它就上下做简谐运动，如图所示，若在振动过程中，木块 刚好不离开地面，求木块 的最大加速度 和木块 对地面的最大压力 ． 题型总结 根据临界状态受力分析，求出该位置的加速度，再利用简谐运动的对称性，分析出对称位置的受力情况 巩固练习 16 .竖直轻弹簧固定在水平地面上，质量为 的木块放置在弹簧上并处于静止状态．现用力将木块向下缓慢压一段距离，松手后木块将上下振动．已知木块恰好没有离开弹簧，连续两次通过平衡位置的时间间隔为 ，重力加速度为 ，弹簧进度系数为 ，不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A.木块做简谐运动，其振幅为 B.木块做简谐运动的周期为 C.木块在最低点的加速度大小为 D.若木块下压距离比原来小，则其运动周期也减小 17 .如图所示，质量为 的木框静止在地面上，劲度系数为 的轻质弹簧的一端固定在木框上，一质量为 的小球放在该弹簧上，让小球在同一条竖直线上做简谐运动，在此过程中木框始终没有离开地面．若使小球始终不脱离弹簧( )，则： ( 1 )小球的最大振幅 是多大． ( 2 )在最大振幅下，木框对地面的最大压力是多少． ( 3 )在最大振幅下，弹簧的最大弹性势能是多大． 18 .如图所示，将质量为 的平台 连接在劲度系数 的弹簧上端形成竖直方向的弹簧振子，在 的上方放置 的物块 ，使 、 一起上下振动，若弹簧原长 ， ，求： ( 1 )当系统进行小振幅振动时，平衡位置离地面的高度 ． ( 2 )当振幅 时， 对 的最大压力． ( 3 )为了使 在振动中始终与 接触，振幅不能超过多少． 19 .如图，倾角为 的斜面体（光滑且足够长）固定在粗糙的水平地面上，斜面顶端与劲度系数为 、自然长度为 L 的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为 m 的物块。压缩弹簧使其长度为 时将物块由静止开始释放。（重力加速度为 g ） （1）求物块处于平衡位置时弹簧的形变量和物块做简谐运动的振幅 A ； （2）若弹簧振子周期为 ，选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为 x 轴正方向建立坐标轴，从振子第一次经过平衡位置开始计时，写出振子的振动方程。 学生总结 二、 单摆 （一） 单摆 1.平衡位置： 如图，摆球可静止在 点，所以 点是单摆的平衡位置. 2.回复力： 如上图所示，当摆球运动到某点 时，摆球在圆弧切线方向上受到的力为   ，这就是它的回复力。 在偏角很小时，有  ，所以回复力可写为   ，其中 为                 ， 为                                                 ，负号表示回复力 与位移 的方向                 ，由于回复力与位移成正比，所以单摆的运动是                                   .3.振幅： 由单摆的能量  （二） 等效摆长 在单摆周期公式中，所谓摆长 实际是悬点到摆球球心间的距离； 是等效重力加速度（ 在平衡位置处绳子拉力除以质量 ），而不要单纯的理解为重力加速度。对于形异质同的单摆物理模型，只要搞清了等效摆长和等效重力加速度，也可以用单摆的周期公式，即 计算。 【实例分析1】 下图中各单摆运动的周期分别是多少？     【实例分析2】 下图中水桶中的水不断流出，则其运动的周期怎么变？ 【实例分析3】 将一个单摆装置放进一个加速上升的电梯中，其周期怎么变化？若小球带正电处在电场或磁场中，其周期怎么变？ （三） 类单摆 一个小球在一段很小的光滑圆弧上往复运动，小球的运动可近似看成单摆运动，运动摆长为 ，周期为 ， 则 经典例题 20 .(多选)如图所示，三根细线于 点处打结， 、 两端固定在同一水平面上相距为 的两点上，使 成直角三角形， ．已知 线长是 ，下端 点系着一个小球（忽略小球半径），下面说法正确的是（    ） A.让小球在纸面内摆动，周期 B.让小球在垂直纸面方向摆动，周期 C.让小球在纸面内摆动，周期 D.让小球在垂直纸面内摆动，周期 21 .如图所示，A、B两方物块（可视为质点）在半径为R的光滑球面内C与 两点间一起做简谐运动，O为最低点，当位移为x时，A、B系统的回复力为F。A、B的总重量为G，忽略空气阻力。下列说法正确的是（    ） A.A、B经过O点时均处于平衡状态 B. C.由O点向C点运动的过程中，A受到的摩擦力逐渐增大 D.经过O点时，将A取走，B的振幅将增大 知识点总结 ①单摆 周期为   ， 单摆的周期 与振幅 、摆球质量 无关 . ② 摆长 l 实际是悬点到摆球球心间的距离；摆长发生变化周期要分段分析，最后相加一起； ③ g 是等效重力加速度，即 在平衡位置处绳子拉力除以质量 巩固练习 22 .某小组利用频闪照相的方法研究单摆的运动过程，即用在同一张底片上多次曝光的方法，在远处从与单摆摆动平面垂直的视角拍摄单摆在摆动过程中的多个位置的照片．从摆球离开左侧最高点 时开始，每隔相同时间曝光一次，得到了一张记录摆球从 位置由静止运动到右侧最高点 的照片，如图所示，其中摆单摆球运动到最低点 时摆线被一把刻度尺挡住．对照片进行分析可知（    ） A.摆球在 点所受的合力等于在 点所受的合力 B.在 点附近摆球影像相邻位置的间隔较大，说明在 点附近摆球的速率较大 C.摆球经过 点前后瞬间摆线上的拉力大小不变 D.从 点到 点的过程中，重力对摆球做功的功率不断变大 23 .有一摆长为 的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被挡住，使摆长发生变化．现使摆球做小角度摆动，图为摆球从右边最高点 摆至左边最高点 的闪光照片（悬点和小钉未摄入）， 为摆动中的最低点，每相邻两次闪光的时间间隔相等，则小钉距悬点的距离为（    ） A. B. C. D.条件不足，无法判断 24 .(多选)细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬挂点正下方处（细绳竖直下垂的中点处）有一个能挡住摆线的钉子 ，如图所示，现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速度地释放，对于以后的运动，下列说法正确的是（    ） A.摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小 B.摆球在左、右两侧上升的最大高度一样 C.摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等 D.摆球在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍 25 .将一个摆长为 l 的单摆放在一个光滑的，倾角为 α的斜面上，其摆角为 ，如图下列说法正确的是（             ） A.摆球做简谐运动的回复力 B.摆球做简谐运动的回复力为 C.摆球做简谐运动的周期为 D.摆球在运动过程中，经平衡位置时，线的拉力为 26 .如图所示，一个光滑凹槽半径为 ，弧长为 （已知 ）．现将一质量为 的小球从凹槽边缘由静止释放，小球以最低点为平衡位置做简谐运动．已知重力加速度大小为 ，下列说法正确的是（    ） A.小球做简谐运动的回复力为重力和支持力的合力 B.小球做简谐运动的回复力为重力沿凹槽圆弧切线方向的分力 C.小球做简谐运动的周期为 D.小球做简谐运动时在平衡位置所受合力为零 学生总结 变式训练 27 .如图所示，一圆锥摆摆长为 ，下端拴着质量为 的小球，小球做匀速圆周运动时，绳子与竖直方向夹角为 ．求： ( 1 )绳的拉力大小是多少？ ( 2 )圆锥摆的周期是多少？ 真题演练 28 .质量为 、摆长为 的单摆，拉开一定角度后在 时刻由静止释放．在 、 、 （ ）时刻，摆球的动能 与势能 第一次出现如图所示关系，图中 为单摆的总机械能．此单摆的周期为            ，摆球在最低点的向心加速度为            （取摆球在最低点时的位置为零势能点）．           29 .图甲中的装置水平放置，将小球从平衡位置 拉到 后释放，小球在 点附近来回振动；图乙中被细绳拴着的小球由静止释放后可绕固定点来回摆动．若将上述装置安装在太空中的我国空间站内进行同样操作，下列说法正确的是（    ） A.甲图中的小球将保持静止 B.甲图中的小球仍将来回振动 C.乙图中的小球仍将来回摆动 D.乙图中的小球将做匀速圆周运动 三、 共振 （一） 阻尼振动与受迫振动 1. 物体在振动过程中要不断克服外界阻力做功，消耗能量，振幅逐渐减小，最后停下来。这种振幅逐渐减小的振动叫                                   。振幅不断                 ，能量不断                 ，频率                 . 2.通过周期性的外力作用于振动系统，外力对系统做功，补偿系统的能量损失，使系统的振动维持下去。这种周期性的外力就叫做驱动力，系统在驱动力作用下的振动叫做                                   。物体做受迫振动时，振动稳定后的频率                 驱动力的频率，跟物体的固有频率                                   。 （二） 共振 1.耦合摆球实验： 如图，先让 球摆动起来，稳定后五个小球的振幅特点是怎样的？ 实验现象： 先摆动后，驱动着其他球随着一起振动，稳定后 球的振幅                 ， 球振幅             ，所有小球振动频率        且             球的驱动力频率 实验结论：当系统做受迫振动时，如果驱动力的频率十分接近系统的固有频率，系统的振幅会很大。驱动力频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅                 。 2.共振： 当系统做受迫振动时，如果驱动力的频率十分接近系统的固有频率，系统的振幅会很大。驱动力频率（ ）                 系统的固有频率（ ）时，受迫振动的振幅                 ，这种现象叫做                 。共振曲线如图所示。 由共振曲线可知，当  时，振幅随 的减小而             ；当 时，振幅随 增大而           ； 利用共振，使驱动力的频率接近，直至              振动系统的固有频率； 防止共振，使驱动力的频率                 振动系统的固有频率共振在生活中有很多应用，例如声音震碎高脚杯；提琴的琴身是用来增强声音的共鸣器；调节偏心轮转速，与筛子发生共振，提高筛选效率；火车过桥慢速前进；杀伤武器发出次声波的频率与人体器官固有频率接近引起共振。 经典例题 30 .如图所示，在一根张紧的水平绳上挂几个摆，其中 、 摆长相等．先让 摆振动起来，其他各摆随后也跟着振动起来，则（    ） A.其它各摆摆动周期跟 摆相同 B.其它各摆振动振幅大小相同 C.其它各摆振动振幅大小不相同， 摆振幅最小 D.其它各摆振动周期大小不同， 摆周期最大 31 .(多选)如图为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，则下列说法正确的是（    ） A.若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线 表示月球上单摆的共振曲线 B.若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比 C.图线 若是在地面上完成的，则该摆摆长约为 D.若摆长均为 ，则图线 是在地面上完成的 知识点总结 ①阻尼振动的振幅变小，频率不变 ②阻尼振动的振幅减小，则机械能不断减小（机械能看振幅） ③物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率没有关系。 ④当系统做受迫振动时，如果驱动力的频率十分接近系统的固有频率，系统的振幅会很大。驱动力频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大 巩固练习 32 .将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行（图甲），让秋千以小摆角（小于 ）自由摆动，此时秋千可看作一个理想的单摆，摆长为 。从手机传感器中得到了其垂直手机平面方向的 关系图如图乙所示。则以下说法正确的是（　　） A.秋千从摆动到停下的过程可看作受迫振动 B.当秋千摆至最低点时，秋千对手机的支持力小于手机所受的重力 C.秋千摆动的周期为 D.该地的重力加速度 33 .(多选)如图所示为一个弹簧振子做受迫振动时振幅与驱动力频率之间的关系图线，由图可知（    ） A.振子振动频率为 时，它处于共振状态 B.驱动力频率为 时，振子振动频率为 C.若撤去驱动力让振子做自由振动，频率是 D.振子做自由振动的频率可以为 、 、 34 .把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一驱动力，这就做成了一个共振筛，如图所示．不开电动机让这个筛子自由振动时，完成 次全振动用 ，在某电压下，电动偏心轮的转速是 ．已知增大电动偏心轮电压可使其转速提高，而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期，为使共振筛的振幅增大，以下做法可行的是（    ） ①降低输入电压　 ②提高输入电压　 ③增加筛子质量　 ④减小筛子质量 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 35 .为了交通安全，常在公路上设置如图所示的减速带，减速带使路面稍微拱起以达到车辆减速的目的．一排等间距设置的减速带，可有效降低车速，称为“洗衣板效应”．如果某路上减速带的间距为 ，一辆固有频率为 的汽车匀速驶过这排减速带，下列说法正确的是（    ） A.汽车速度越大，颠簸的越厉害 B.汽车速度越小，颠簸的越不厉害 C.汽车以 的速度行驶时颠簸的最厉害 D.当汽车以 的速度行驶时，其振动频率为 36 . 汽车的重量一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上，弹簧的等效劲度系数 ，汽车开动时，在振幅较小情况下，其上下自由振动的频率满足 （ 为车厢在平衡位置时，弹簧的压缩长度），若人体可以看成一个弹性体，其固有频率约为 ，已知汽车的质量为 ，每个人的质量为 ，则这辆车乘坐几个人时，人感觉最难受？ 学生总结 真题演练 37 .(多选)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示．则（    ） 甲               　      乙 　　　 A.针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同 B.随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大 C.打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同 D.稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同 四、 实验：用单摆测重力加速度 （一） 实验目的 学会用单摆测定当地重力加速度，正确熟练使用秒表． （二） 实验器材 球心开有小孔的小金属球、长度大于 米的细尼龙线、铁夹、铁架台、游标卡尺、米尺、秒表． （三） 实验原理 根据单摆周期公式 ，得： ．据此，只要测得摆长 和周期 即可算出当地的重力加速度 ． （四） 实验步骤 1.用细线拴好小球，悬挂在铁架台上，使摆线自由下垂，如图所示． 注意：线要细且不易伸长，球要用密度大且直径小的金属球，以减小空气阻力影响．摆线上端的悬点要固定不变，以防摆长改变； 2.用米尺和游标卡尺测出悬线长度 和小球直径 ； 注意：摆长应为悬点到球心的距离，即 ． 3.从                                   开始计时，用秒表测出摆球摆动 次的时间 ，算出周期 ． 注意：计时从平衡位置开始是因为此处摆球的速度                 ，人在判定它经过此位置的时刻，产生的计时误差较小（绝对误差不变，但相对误差减小）． 4.重复上述步骤，按公式 算出每次 ，然后求平均值． （五） 注意事项 1.为减小计算误差，不应先算 的平均值再求 ，而应                         值再平均 ． 2.为减小系统误差，摆角 应                          ° ，这可以用量角器粗测． 3.为减小操作误差，小球应静止释放，避免小球做圆锥摆运动，这样圆锥摆运动周期 ，这样导致周期                 。 4.实验过程中： ①易混淆的是：从平衡位置开始计时，单摆通过平衡位置的次数 与全振动的次数 关系是：若开始平衡位置数0开始，则 ，若开始平衡位置数1开始，则     ②易错的是： 图象法求 值， ，而是 ； 和 也经常错用，（n为全振动的次数，前者是摆经平衡位置数“ ”开始计时，后者是数“1”开始计时）． ③易忘的是：漏加或多加小球半径，悬点未固定；忘了多测几次， 取平均值． 经典例题 38 .用单摆测定重力加速度的实验装置如图1所示． ( 1 )组装单摆时，应在下列器材中选用（    ） A.长度为 左右的细线 B.长度为 左右的细线 C.直径为 左右的塑料球 D.直径为 左右的铁球 ( 2 )选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在铁架台横梁上，应采用图2中            （选填“甲”或者“乙”）所示的固定方式． ( 3 )将单摆正确组装后进行如下操作，其中正确的是（    ） A.测出摆线长作为单摆的摆长 B.把摆球从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动 C.在摆球经过平衡位置时开始计时 D.用秒表测量单摆完成 次全振动所用时间并作为单摆的周期 ( 4 )甲同学用游标卡尺测得摆球的直径为 ，用秒表测得摆球完成 次全振动所用的时间为 ，用米尺测得摆线长为 ，根据以上数据，可得到当地的重力加速度 为                                ． ( 5 )乙同学多次改变单摆的摆长 并测得相应的周期 ，他根据测量数据画出了如图3所示的图像．你认为横坐标所代表的物理量应为            （选填“ ”、“ ”、“ ”）． 题型总结 注意单摆实验的误差分析和注意事项，特别是易混淆的全振动次数与经过平衡位置次数关系，易错的图像法测g，易忘的摆长长度的测量 巩固练习 39 .(多选)某实验小学在研究单摆时改进了实验方案，将一力传感器连接到计算机上．图甲中 点为单摆的固定悬点，现将小摆球（可视为质点）拉至 点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球将在竖直平面内的 、 、 之间来回摆动，其中 点为运动中的最低位置， ， 小于 且是未知量．同时由计算机得到了细线对摆球的拉力大小 随时间 变化的曲线图乙（均为已知量），且图中 时刻为摆球从 点开始运动的时刻（重力加速度为 ）．根据题中（包括图中）所给的信息，下列说法正确的是（    ）     A.该单摆的周期为 B.根据题中（包括图中）所给的信息可求出摆球的质量 C.根据题中（包括图中）所给的信息不能求出摆球在最低点 时的速度 D.若实验时，摆球做了圆锥摆，则测得的周期变长 E.若增加摆球的质量，摆球的周期不变 40 .将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为 （未知）且开口向下的小筒中（单摆的下部分露于筒外），如图（甲）所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心间的距离 ，并通过改变 而测出对应的摆动周期 ，再以 为纵轴、 为横轴做出函数关系图象，就可以通过此图象得出小简的深度 和当地的重力加速度 ． ( 1 )现有如下测量工具：A．时钟；B．秒表；C．天平；D．毫米刻度尺． 本实验所需的测量工具有            ． ( 2 )如果实验中所得到的 ，关系图象如图（乙）所示，那么真正的图象应该是 ， ， 中的            ． ( 3 )由图象可知，小筒的深度           ；当地           ． 41 .单摆在偏角很小时的摆动，可以看成是简谐运动．如图所示为一单摆，摆球的质量为 ，摆长为 ，重力加速度为 ． ( 1 )以下关于摆球在运动过程中受力的情况说法正确的是（    ） A.摆球通过平衡位置时合力为零 B.摆球在最大位移处合力为零 C.摆角为 时，摆球的回复力大小为 D.摆角为 时，摆球的回复力大小为 ( 2 )其固有周期           ，由此可得           ，据此，只要测出摆长 和周期 ，即可计算出当地的重力加速度值． ( 3 )为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除秒表外，在下列器材中，还应该选用            ．（用器材前的字母表示） A.长度接近 的细绳 B.长度为 左右的细绳 C.直径为 的塑料球 D.直径为 的铁球 E.最小刻度为 的米尺 F.最小刻度为 的米尺 42 .用单摆测定重力加速度的实验装置如图甲所示． 测出悬点 到小球球心的距离（摆长） 及单摆完成 次全振动所用的时间 ，用多组实验数据作出 图象，可以求出重力加速度 ． ( 1 )有三个同学作出的 图线如图乙中的 、 、 所示，其中 和 平行， 和 都过原点，图线 对应的 值最接近当地重力加速度的值，则相对于图线 ，下列分析正确的是（    ）（选填选项前字母） A.出现图线 的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长 B.出现图线 的原因可能是误将 次全振动记为 次 C.出现图线 的原因可能是误将 次全振动记为 次 D.图线 对应的 值小于图线 对应的 值 ( 2 )某同学在家里测重力加速度，他找到细线和铁锁，制成了一个单摆，如图丙所示，由于家里只有一根量程为 的刻度尺，于是他在细线上的 点做了一个标记使得悬点 到 点间的细线长度小于刻度尺量程．保持该标记以下的细线长度不变，通过改变 、 间细线长度以改变摆长．实验中，当 、 间细线的长度分别为 、 时，测得相应单摆的周期为 、 ．由此可得重力加速度           ．（用 、 、 、 ） 学生总结 五、 课堂总结 六、 出门测 43 .一个单摆在竖直平面内沿圆弧 做往复运动。某时刻摆球由 A 点从静止开始摆动，如图所示摆线与竖直方向的夹角为 ， O 点为摆动的最低点，则下列说法正确的是（　　） A.摆球在 O 点受重力、拉力、向心力 B.摆球摆动到 O 点时所受合外力为零 C.摆球从 A 点摆动到 O 点的过程中，拉力不做功，动能增加 D.摆球经过 P 点时摆角小于 ，则摆球所受拉力与重力的合外力充当回复力 44 .老师带着几名学生进行野外考察．登上一山峰后，他们想粗略测出山顶处的重力加速度．于是他们用细线拴好石块P系在树干上做成一个简易单摆，如图所示．然后用随身携带的钢卷尺、秒表进行相应的测量．同学们首先测出摆长 L ，然后将石块拉开一个小角度由静止释放，使石块在竖直平面内摆动．用秒表测出单摆完成 n 次全振动所用的时间 t ． （1）利用测量数据计算山顶处重力加速度的表达式 g =           （2）若某次用秒表测量若干次全振动所用的时间如图所示，则所时间为 t =           s （3）若同学们在某次测量中，振动周期测量正确，但测量摆长时从悬点一直量到石块下端，所以用这次测量数据计算出来的山顶处重力加速度值比真实值            （选填“偏大”、“偏小”或“相等”）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 06.机械振动 课前检测 【教法备注】 建议时长3min 知识回顾： 简谐运动的位移与时间的关系遵从正（余）弦函数规律，所以简谐运动图像（或振动图像）都是正余弦函数图像，如图所示。                         以初始运动方向为正方向，从平衡位置开始运动，则振动图像为 正弦函数图像，从位移最大时刻开始运动，振动图像为 余弦函数图像． （1）图像包含的信息： ①振动的周期 ， 频率 ， 振幅 ； ②任意时刻物体的速度方向，速度变化情况，进而判断物体 动能 和 系统势能 的变化情况； ③物体所受回复力的 方向 和 变化情况 、加速度的 方向 和 变化情况 ； ④振动质点来回通过相同的两点间的时间 相等 ； ⑤每经过，振动质点都会到达关于 平衡位置 对称的位置； ⑥对称规律：在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具有 等大反向 的关系．另外速度的大小具有 对称性 ，速度的方向可能 相同 或 相反 ． （2）简谐运动表达式： 根据振动图像可知，简谐运动的位移与时间的关系遵从正（余）弦函数规律，则简谐运动的表达式为 考情分析 知识点 试卷 题号 分值 难度    机械振动 2022浙江卷 6 3 中 2021浙江卷 15 2 较易 2020上海卷 16 4 较易 2022山东卷 9 4 较易 2023湖南卷 11 7 中 2020全国II卷 34 5 中 【教法备注】 在高考中机械振动多以实验题和与机械波结合的题型为主 目标解读 知识导图 课堂目标 1. 理解机械振动、简谐运动的定义。 2. 能用公式和图像描述简谐运动，了解简谐运动过程中回复力与能量变化规律及分离临界特点。 3. 理解单摆模型的条件并掌握单摆测重力加速度实验原理。 4. 了解阻尼振动和受迫振动的概念和基本特点，并掌握共振特点。 课堂重难点 重点： 单摆实验原理、共振特点 难点：简谐运动过程的规律及图像特点、分离临界特征 一、简谐运动 （一）机械振动 1.物体（或物体某一部分）在某一中心位置附近两侧所做的往复运动，叫做 机械振动 。 中心位置称为 平衡位置 。 2.机械振动的条件： 平衡位置 ； 往复运动 ； 3. 平衡位置是物体 能够静止 的位置， 不一定是往复运动的中心位置； 4. 在平衡位置上，物体 在运动方向上的 合外力为零，但总合外力不一定为零； 5. 小球和弹簧所组成的系统为弹簧振子，是一个理想模型； 6. 弹簧振子的运动是机械振动同时也是一种最简单的简谐运动； ； 7. 水平弹簧振子的平衡位置在 弹簧原长处 ，竖直弹簧振子的平衡位置不在弹簧原长。 （二）简谐运动 1. 定义： 质点的位移与时间的关系遵从正弦函数规律或回复力与位移成正比关系的运动． 2.位移公式：   【教法备注】 简谐运动周期公式推导：小球做圆周运动，其在水平面上的投影的运动满足简谐运动，所以其投影的长度的变化满足 4.基本图像： 简谐运动的位移与时间的关系遵从正（余）弦函数规律，所以简谐运动图像（或振动图像）都是正余弦函数图像，如图所示。                         根据振动图像可知，简谐运动的位移与时间的关系遵从正（余）弦函数规律，则简谐运动的表达式为 经典例题 1 .(多选)如图所示，为一简谐运动的振动图像，由图可得（    ） A.该简谐振动的振幅为 B.该简谐运动的表达式为 C.该质点在第时的位移为 D.该质点在前内的路程为 E.该简谐振动的周期为 【答案】 BDE 【解析】 ABE．分析图片可以知，振幅，周期，则有 ， 则质点简谐运动的表达式为 ， 故A为错误选项，BE为正确选项； C．当时，位移为 ， 故C为错误选项； D．个周期内，路程为 ， 前是个周期，则路程为 ， 故D为正确选项． 故答案为BDE． 2 .如图所示，物体与滑块一起在光滑水平面上做简谐运动，、之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为，、的质量分别为和，下列说法正确的是（　　） A.物体A所受的回复力大小跟位移大小之比为 k B.把物体A与滑块B看成一个振子，其回复力大小跟位移大小之比为 k C.滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供 D.若A、B之间的最大静摩擦因数为，则A、B间无相对滑动的最大振幅为 【答案】 B 【解析】 A．设弹簧的形变量为 x，根据牛顿第二定律可得，整体的加速度为 对A 所以，作用在A物体上的静摩擦力大小 f即回复力的大小与位移大小之比为 故A为错误选项；B．物体A与滑块B（看成一个振子）的回复力大小满足 则回复力大小跟位移大小之比为 k，故B为正确选项；C．物块B做简谐运动，回复力是弹簧的弹力和A对B的静摩擦力的合力提供，故C为错误选项；D．根据题知，物体间的静摩擦力最大时，其振幅最大，设为 A，以整体为研究对象，回复力由弹簧的弹力提供，由牛顿第二定律有 以A为研究对象，由牛顿第二定律有 联立得，振幅为 故D为错误选项。故答案为B。 知识点总结 ①振幅是标量，在振动方程中A 大于零 ； ②水平弹簧振子的平衡位置在 弹簧原长处 ，竖直弹簧振子的平衡位置 不在弹簧原长 ③简谐运动周期 巩固练习 3 .(多选)如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为，时刻，一小球从距物块高处自由落下：时，小球恰好与物块处于同一高度，取重力加速度的大小．以下判断正确的是（    ） A. B.简谐运动的周期是 C.内物体运动的路程是 D.时，物块与小球运动方向相反 【答案】 AB 【解析】 A选项：由振动方程式可得，物体的位移为；对小球,t=0，小球在平衡位置，t=0.6s，小球在最低点，则小球只能从平衡位置向上开始运动，有：，解得，故A正确； B选项：由公式可知，简谐运动的周期，故B正确； C选项：振幅为；故内物块运动的路程为，故C错误； D选项：，此时物体在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，故D错误． 故选A、B。 4 .某同学用如图所示装置探究匀速圆周运动与简谐运动间的关系。长为L的轻质细线一端与质量为m的小球连接，另一端固定在光滑水平面上的O点，在水平面上合适位置竖直放置一光屏。先将小球移到使细线伸直且与光屏平行的位置，t=0时刻给小球一个沿水平面垂直于细线的初速度v 0，使小球在水平面内做匀速圆周运动；与此同时，用一束平行光垂直光屏照射，小球在光屏上的影子做往复运动，关于小球影子的运动，下列说法正确的是（    ） A.小球的影子做简谐运动的振幅为2L B.小球的影子做简谐运动的频率为 C.小球的影子做简谐运动的运动学方程为 D.小球的影子做简谐运动的虚拟回复力为 【答案】 D 【解析】 【详解】 A．由图可知，小球的影子做简谐运动的振幅等于细线的长度，为L，故A错误； B．由题可知，小球的影子做简谐运动的周期等于小球做匀速圆周运动的周期，则有 则频率为 故B错误； C．设小球的影子做简谐运动的运动学方程为 由题知 A=L， 则有 故C错误； D．设当球转到图中B点时OB与的夹角为，B点在光屏的投影点与的距离为，则在B点有 故将拉力分解，可知拉力平行光屏方向的分力为 由几何关系可知 联立解得 又根据简谐运动的特点可知，回复力与位移方向相反，则小球的影子做简谐运动的虚拟回复力为 故D正确。 故选D。 5 .如图所示，质量为的物块放置在质量为的木板上，木板与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中、之间无相对运动．设弹簧的劲度系数为、和之间滑动摩擦因数为，当整体离开平衡位置的位移为时，物块与木板间摩擦力的大小等于（    ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 整体：kx=(M+m)a 对m：umg=ma 所以选A 学生总结 （三）简谐运动规律 1.运动规律：  位置 位移 最大     0     最大 速度 0 最大 0 加速度 最大 0 最大 【教法备注】 2.能量规律：  位置 动能 0 最大 0 势能 最大 0 最大 机械能 不变 不变 不变 不变 不变 【教法备注】  （四）简谐运动的对称性 1.时间对称： ①振动质点来回通过相同两点时间 相等 ②振动质点通过关于平衡位置对称的两段距离时间 相等 ③经过半周期后，质点一定位于 对称位置 【教法备注】 ①振动质点在 内的路程不一定为一个振幅 （画图分析）； ②振动质点若在平衡位置开始振动，当路程为时的时间小于 ; 若在位移最大处开始振动，当路程为 时的时间大于   （画图分析） 【实例分析】 振子从平衡位置O第一次到M点时间为3s，第二次到M时间为2s，则第三次到M的时间是多少？    【教法备注】 或 2.位移、速度、加速度对称 ： ①同一位置，位移加速度 相同 ②对称位置，加速度大小 相等 ，方向 相反 ，位移大小 相等 ，方向 相反 ③只有平衡位置和离平衡位置最远的位置，在 个周期内路程是 3A ，其他位置都不是 ④ 同一位置或对称位置，速度大小 相等 ，方向 未必相同 经典例题 6 .如图甲所示，光滑水平杆上套着一个小球和一个弹簧，弹簧一端固定，另一端连接在小球上，忽略弹簧质量．小球以点为平衡位置，在、两点之间做往复运动，取向右为正方向，小球的位移随时间的变化如图乙所示．下列说法中正确的是（    ）      A.时，小球在点右侧处 B.和时，小球的速度相同 C.和时，小球的加速度相同 D.到过程中，系统的势能在逐渐增加 【答案】 C 【解析】 A选项：时，小球在点右侧大于处，故A错误； B选项：和时，由简谐振动的对称性知，小球的速度大小相同，方向不同，故B错误； C选项：，，由于和时，小球所处位置相同，小球的加速度相同，故C正确； D选项：从的过程中，系统的势能先减小后增大，故D错误； 故选C。 7 .弹簧振子做机械振动，若从平衡位置开始计时，经过时，振子第一次经过点，又经过了，振子第二次经过点，则到该振子第三次经过点还需要多长时间（　　） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 解：若振子从点开始向右按下面路线振动，如图所示，则振子的振动周期为：， 则该质点再过时间，将第三次经过点。若振子从点开始向左振动，则按下面路线振动，如图所示： 设从到的时间为，则，解得：，可得周期为：，则该质点第三次经过点的时间，故D正确，ABC错误。 8 .如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以点为中心点，在、之间做周期为的简谐运动．已知在时刻物块的动量为、动能为．下列说法中正确的是（    ） A.如果在时刻物块的动量也为，则的最小值为 B.如果在时刻物块的动能也为，则的最小值为 C.当物块通过点时，其加速度最小为零 D.物块运动至点时，其加速度最小 【答案】 C 【解析】 A选项：物块做简谐运动，物块同向经过关于平衡位置对称的两点时动量相等，所以在时刻物块的动量也为时，的最小值小于等于，故A错误； B选项：物块经过同一位置或关于平衡位置对称的位置时动能相等，如果在时刻物块的动能也为，则的最小值可以小于，故B错误； C选项：图中点是平衡位置，根据知，物块经过点时位移最小，则其加速度最小为零，故C正确； D选项：物块运动至点时，位移最大，其加速度最大，故D错误； 故选C． 知识点总结 ① 弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，即振动过程中 机械能守恒 ． ② 水平方向的振子在平衡位置的机械能以动能的形式出现，势能 为零 ；在位移最大处势能最大，动能为 零 ． ③ 简谐运动中系统的动能与势能之和称为简谐运动的能量，即 . ④ 简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅 越大 ，振动的能量 越大 ． ⑤ 若振子质量增大，则振动系统能量不变，但最大速度 变小 ． ⑥ 位移与速度变化相反，与加速度变化相同，在图像中位移变化直接 看图 ，加速度可根据位移变化分析，速度可以看图像的 斜率 变化 巩固练习 9 .(多选)某弹簧振子做周期为的简谐运动，时刻和时刻速度相同，已知，下列说法正确的是（    ） A.时刻和时刻位移相同 B.时刻和时刻加速度大小相等，方向相反 C.可能 D.可能 E.一定 【答案】 BCD 【解析】 A．因弹簧振子在时刻和时刻速度相同，可知两个时刻振子的位置关于平衡位置对称，则时刻和时刻位移大小相同，方向不一定相同，故A错误； B．因两个时刻振子的位置关于平衡位置对称，可知时刻和时刻加速度大小相等，方向相反，故B正确； CD．由振子的运动规律可知，可能大于、小于或等于，故CD正确； E．因相差的两个时刻的振动速度总是相反的，则不可能，故E错误． 故选BCD． 10 .一个做简谐运动的弹簧振子，振幅为，设振子第一次从平衡位置运动到处所经最短时间为，第一次从最大正位移处运动到处所经最短时间为，关于与，以下说法正确的是（    ） A. B. C. D.无法判断 【答案】 B 【解析】 用图像分析：根据振子远离平衡位置时速度减小，靠近平衡位置时速度增大可知，振子第一次从平衡位置运动到处的平均速度大于第一次从最大正位移处运动到处的平均速度，而路程相等，说明． 故选B． 11 .(多选)一个质点在平衡位置 O点附近做机械振动．若从 O点开始计时，经过5s质点第一次经过 M点（如图所示）；再继续运动，又经过2s它第二次经过 M点；则该质点第三次经过 M点还需要的时间是（　　） A.6s B.8s C.22s D.24s 【答案】 AC 【解析】 【详解】设题图中 a、 b两点为质点振动过程的最大位移处，若在开始计时时刻，质点从 O点向右运动， O→ M过程历时5s， M→ b→ M运动过程历时2s，则 T=24s 质点第三次经过 M点还需要的时间 Δ t= T－2s=（24－2）s=22s 若在开始计时时刻，质点从 O点向左运动， O→ a→ O→ M运动过程历时5s， M→ b→ M运动过程历时2s，则 质点第三次经过 M点还需要的时间 故选AC。 12 .(多选)一振子沿轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点．时振子的位移为，时振子的位移为，则（    ） A.若振幅为，振子的周期可能为 B.若振幅为，振子的周期可能为 C.若振幅为，振子的周期可能为 D.若振幅为，振子的周期可能为 【教法备注】 CD选项，从平衡位置开始，当位移为振幅一半时，对应的时刻为   【答案】 AD 【解析】 若振幅为，时振子在负方向的最大值位置，时振子在正方向的最大值位置，故而振子振动的周期关系为：，可得． 当时，； 当时，，故A正确； 当时，，故B错误； 若振幅为，时振子在负方向对应最大值的一半的位置（有两个位置设为位置和位置），时振子在正方向对应最大值的一半位置（有两个位置设为位置和位置），故而振子振动的周期关系为： 到或到： ，则，由AB选项解析可知的数值关系． 到： ，则，时，，，，cdots 时小于； 到： 则，故而当时，，故C错误，D正确． 故选AD． 13 .如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，两弹簧自由端相距．套在杆上的小球从中点以初速度向右运动，小球将做周期为的往复运动，则（    ） A.小球做简谐运动 B.小球动能的变化周期为 C.两根弹簧的总弹性势能的变化周期为 D.小球的初速度为时，其运动周期为 【答案】 B 【解析】 A．物体做简谐运动的条件是它在运动中所受回复力与位移成正比，且方向总是指向平衡位置，可知小球在杆中点到接触弹簧过程，所受合力为零，此过程做匀速直线运动，故小球不是做简谐运动，A错误； BC．假设杆中点为，小球向右压缩弹簧至最大压缩量时的位置为，小球向左压缩弹簧至最大压缩量时的位置为，可知小球做周期为的往复运动过程为 根据对称性可知小球从与，这两个过程的动能变化完全一致，两根弹簧的总弹性势能的变化完全一致，故小球动能的变化周期为，两根弹簧的总弹性势能的变化周期为，B正确，C错误； D．小球的初速度为时，可知小球在匀速阶段的时间变为原来的倍，接触弹簧过程，根据弹簧振子周期公式 可知接触弹簧过程所用时间与速度无关，即接触弹簧过程时间保持不变，故小球的初速度为时，其运动周期应小于，D错误； 故选B． 14 .(多选)如图所示，一个弹簧振子在、两点之间做简谐运动，其中为平衡位置，某时刻物体正经过点向上运动，速度大小为，已知，物体的质量为，振动周期为，则从此时刻开始的半个周期内（    ） A.重力做功 B.重力冲量为 C.回复力做功为零 D.回复力的冲量为 【答案】 ABC 【解析】 A选项：经过半个周期后，到达平衡位置下方处，物体的位移向下，为，故重力做功为，故A正确； B选项：时间为，故重力的冲量为，故B正确； C选项：合力充当回复力，根据动能定理，合力做功等于动能的增加量，为零，故回复力做功为零，故C正确； D选项：根据动量定理，合力冲量等于动量的变化，由于动量的变化为，故合力的冲量为，合力充当回复力，故D错误； 故选ABC. 学生总结 （五）简谐运动的分离临界问题 经典例题 15 .、两木块分别为、，用劲度系数为的轻弹簧连在一起，放在水平地面上．将木块向下压一段距离后释放，它就上下做简谐运动，如图所示，若在振动过程中，木块刚好不离开地面，求木块的最大加速度和木块对地面的最大压力． 【答案】； 【解析】 由于物体则好不离开地面，则弹簧对最大的作用力等于所受的重力即，此时偏离位置最远，受力分析，以向上为正方向，F回=kA=，得的大小为； 在最低点时弹簧对向下的压力最大，有得，对受力分析，由牛顿第三定律 即． 题型总结 根据临界状态受力分析，求出该位置的加速度，再利用简谐运动的对称性，分析出对称位置的受力情况 巩固练习 16 .竖直轻弹簧固定在水平地面上，质量为的木块放置在弹簧上并处于静止状态．现用力将木块向下缓慢压一段距离，松手后木块将上下振动．已知木块恰好没有离开弹簧，连续两次通过平衡位置的时间间隔为，重力加速度为，弹簧进度系数为，不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A.木块做简谐运动，其振幅为 B.木块做简谐运动的周期为 C.木块在最低点的加速度大小为 D.若木块下压距离比原来小，则其运动周期也减小 【答案】 C 【解析】 A选项：木块处于平衡位置时，设弹簧的压缩量为，根据受力平衡可得 解得 假设木块的压缩量为时，此时木块受到的合力方向指向平衡位置，大小为 可知木块做简谐运动，已知木块恰好没有离开弹簧，说明木块处于最高点时弹簧刚好处于原长，可知木块做简谐运动的振幅为，A错误； B选项：已知木块连续两次通过平衡位置的时间间隔为，可知木块做简谐运动的周期为，B错误； C选项：木块在最高点时，弹簧刚好处于原长，此时木块的加速度大小为 根据对称性可知木块在最低点的加速度大小为，C正确； D选项：根据弹簧振子周期公式 可知木块下压距离比原来小，其运动周期不变，D错误． 故选C。 17 .如图所示，质量为的木框静止在地面上，劲度系数为的轻质弹簧的一端固定在木框上，一质量为的小球放在该弹簧上，让小球在同一条竖直线上做简谐运动，在此过程中木框始终没有离开地面．若使小球始终不脱离弹簧()，则： ( 1 )小球的最大振幅是多大． ( 2 )在最大振幅下，木框对地面的最大压力是多少． ( 3 )在最大振幅下，弹簧的最大弹性势能是多大． 【答案】 (1) (2) (3) 【解析】 (1)小球在同一条竖直线上做简谐运动，在此过程中木框始终没有离开地面，且小球始终不脱离弹簧，所以最大振幅应满足， 解得． (2)小球在最低点时弹簧弹力最大，设为，对小球受力分析： 有， 即， 则木框对地面的最大压力为． (3)弹簧的最大弹性势能，为小球位于最低点时，小球弹簧在运动过程中机械能守恒，在最低点时，由机械能守恒定律可得： ，， 18 .如图所示，将质量为的平台连接在劲度系数的弹簧上端形成竖直方向的弹簧振子，在的上方放置的物块，使、一起上下振动，若弹簧原长，，求： ( 1 )当系统进行小振幅振动时，平衡位置离地面的高度． ( 2 )当振幅时，对的最大压力． ( 3 )为了使在振动中始终与接触，振幅不能超过多少． 【答案】 (1) (2) (3) 【解析】 (1)振幅很小时，、间不会分离，将与整体作为振子，当它们处于平衡位置时，根据平衡条件得： 解得形变量： 平衡位置距地面高度： 故答案为：． (2)当、运动到最低点时，有向上的最大加速度，此时、间相互作用力最大，设振幅为，最大加速度： ． 取为研究对象，有 . 得、间相互作用力： 由牛顿第三定律知对的最大压力大小为． 故答案为：． (3)为使在振动中始终与接触，在最高处时相互作用力应满足： 取为研究对象，根据牛顿第二定律，有： 当时，振动的加速度达到最大值，且最大值： （方向竖直向下） 因，表明、仅受重力作用，此刻弹簧的弹力为零，弹簧处于原长：，振幅不能大于． 故答案为：． 19 .如图，倾角为的斜面体（光滑且足够长）固定在粗糙的水平地面上，斜面顶端与劲度系数为、自然长度为 L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为 m的物块。压缩弹簧使其长度为时将物块由静止开始释放。（重力加速度为 g）（1）求物块处于平衡位置时弹簧的形变量和物块做简谐运动的振幅 A；（2）若弹簧振子周期为，选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为 x轴正方向建立坐标轴，从振子第一次经过平衡位置开始计时，写出振子的振动方程。 【答案】 （1）； L；（2） 【解析】 （1）设物块在斜面上平衡时，弹簧伸长量为，有 得到 所以从压缩到平衡位置，物块做简谐振动的振幅为 （2）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，振子在平衡位置为0时刻，振子的振动方程 又因为 可得 学生总结 二、单摆 （一）单摆 1.平衡位置： 如图，摆球可静止在点，所以点是单摆的平衡位置.2.回复力： 如上图所示，当摆球运动到某点时，摆球在圆弧切线方向上受到的力为 （二）等效摆长 在单摆周期公式中，所谓摆长实际是悬点到摆球球心间的距离；是等效重力加速度（ 在平衡位置处绳子拉力除以质量 ），而不要单纯的理解为重力加速度。对于形异质同的单摆物理模型，只要搞清了等效摆长和等效重力加速度，也可以用单摆的周期公式，即计算。 【实例分析1】 下图中各单摆运动的周期分别是多少？    【教法备注】 核心点：①转化为单线摆；②摆长发生变化周期要分段分析，最后相加一起 【实例分析2】 下图中水桶中的水不断流出，则其运动的周期怎么变？ 【教法备注】 重心下降，摆长增大，周期增大； 【实例分析3】 将一个单摆装置放进一个加速上升的电梯中，其周期怎么变化？若小球带正电处在电场或磁场中，其周期怎么变？ 【教法备注】 核心点：等效重力加速度为在平衡位置处绳子拉力除以质量 电梯：等效重力加速度 （三）类单摆 一个小球在一段很小的光滑圆弧上往复运动，小球的运动可近似看成单摆运动，运动摆长为，周期为，则 【教法备注】  经典例题 20 .(多选)如图所示，三根细线于点处打结，、两端固定在同一水平面上相距为的两点上，使成直角三角形，．已知线长是，下端点系着一个小球（忽略小球半径），下面说法正确的是（    ） A.让小球在纸面内摆动，周期 B.让小球在垂直纸面方向摆动，周期 C.让小球在纸面内摆动，周期 D.让小球在垂直纸面内摆动，周期 【答案】 AD 【解析】 AC．当小球在纸面内做小角度振动时，圆心是点，摆长为，故周期为， 故A正确，C错误； BD．当小球在垂直纸面方向做小角度振动时，圆心在墙壁上且在点正上方，摆长为故周期为，故B错误，D正确． 故选AD． 21 .如图所示，A、B两方物块（可视为质点）在半径为R的光滑球面内C与两点间一起做简谐运动，O为最低点，当位移为x时，A、B系统的回复力为F。A、B的总重量为G，忽略空气阻力。下列说法正确的是（    ） A.A、B经过O点时均处于平衡状态 B. C.由O点向C点运动的过程中，A受到的摩擦力逐渐增大 D.经过O点时，将A取走，B的振幅将增大 【答案】 B 【解析】 【详解】 A．A、B经过O点时的向心加速度不为零，处于非平衡状态，故A错误； B．设当位移为x时，摆线与竖直方向的夹角为，当夹角较小时，有 对两物块进行受力分析可得 联立得回复力的大小为 考虑回复力的方向，故B正确； C．由O点向C点运动的过程中，位移为y，摆线与竖直方向的夹角为，以A、B整体为研究对象，在速度方向有 对A进行受力分析可得 由题意可得 联立解得 故C错误； D．单摆的振幅与物体的质量无关，所以将A取走，B的振幅不变，故D错误。 故选B。　 知识点总结 ①单摆 周期为  ， 单摆的周期与振幅、摆球质量无关 . ② 摆长 l 实际是悬点到摆球球心间的距离；摆长发生变化周期要分段分析，最后相加一起； ③ g 是等效重力加速度，即 在平衡位置处绳子拉力除以质量 巩固练习 22 .某小组利用频闪照相的方法研究单摆的运动过程，即用在同一张底片上多次曝光的方法，在远处从与单摆摆动平面垂直的视角拍摄单摆在摆动过程中的多个位置的照片．从摆球离开左侧最高点时开始，每隔相同时间曝光一次，得到了一张记录摆球从位置由静止运动到右侧最高点的照片，如图所示，其中摆单摆球运动到最低点时摆线被一把刻度尺挡住．对照片进行分析可知（    ） A.摆球在点所受的合力等于在点所受的合力 B.在点附近摆球影像相邻位置的间隔较大，说明在点附近摆球的速率较大 C.摆球经过点前后瞬间摆线上的拉力大小不变 D.从点到点的过程中，重力对摆球做功的功率不断变大 【答案】 B 【解析】 A选项：摆球在最高点时的合力为，其中为摆角，由于，∴，故A错误； B选项：由于曝光时间相同，在点附近摆球影像相邻位置的间隔较大，所以点附近摆球的速率较大，故B正确； C选项：摆球在点附近时，设摆线的拉力为，则：， ∴，其中为摆线的长度，由于相同，前后瞬间的不同，所以摆线上的拉力变大，故C错误； D选项：重力的功率为重力乘以小球在竖直方向的速度， ∵从0到有先增大，最后为0，所以后减小，所以从的过程中，重力对摆球做功的功率先增大后减小，故D错误； 故选B。 23 .有一摆长为的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被挡住，使摆长发生变化．现使摆球做小角度摆动，图为摆球从右边最高点摆至左边最高点的闪光照片（悬点和小钉未摄入），为摆动中的最低点，每相邻两次闪光的时间间隔相等，则小钉距悬点的距离为（    ） A. B. C. D.条件不足，无法判断 【答案】 C 【解析】 设每相邻两次闪光的时间间隔为，则摆球在右侧摆动的周期为，在左侧摆动的周期为， 设左侧摆长为，则  ①   ②   由①:②得   所以小钉与悬点的距离 ，故C正确； 故选C． 24 .(多选)细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬挂点正下方处（细绳竖直下垂的中点处）有一个能挡住摆线的钉子，如图所示，现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速度地释放，对于以后的运动，下列说法正确的是（    ） A.摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小 B.摆球在左、右两侧上升的最大高度一样 C.摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等 D.摆球在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍 【答案】 AB 【解析】 A选项： 摆线被钉子挡住后，绕点做单摆运动，摆长发生变化，则周期也要发生变化．以前往返一次的周期，挡住后，往返一次的周期为，故A正确； B选项：根据机械能守恒定律，摆球在左、右两侧上升的最大高度一样，故B正确； C选项：由几何关系得，右边的弧长小于左边的弧长，故C错误； D选项：由几何关系得，摆球在平衡位置右侧的最大摆角不是左侧的两倍，故D错误； 故选AB. 25 .将一个摆长为 l的单摆放在一个光滑的，倾角为 α的斜面上，其摆角为，如图下列说法正确的是（             ） A.摆球做简谐运动的回复力 B.摆球做简谐运动的回复力为 C.摆球做简谐运动的周期为 D.摆球在运动过程中，经平衡位置时，线的拉力为 【答案】 A 【解析】 本题是类似单摆模型，回复力是重力的下滑分力的切向分量提供，重力的下滑分力为 mgsinα，下滑分力的切线分力为 mgsinαsin θ，故A为正确选项，B为错误选项；类似单摆模型，等效重力加速度为 gsinα，故周期为：，故C为错误选项；摆球在运动过程中，经平衡位置时，线的拉力和重力的下滑分力的合力提供向心力，故，故 T＞ mgsinα，故D为错误选项． 26 .如图所示，一个光滑凹槽半径为，弧长为（已知）．现将一质量为的小球从凹槽边缘由静止释放，小球以最低点为平衡位置做简谐运动．已知重力加速度大小为，下列说法正确的是（    ） A.小球做简谐运动的回复力为重力和支持力的合力 B.小球做简谐运动的回复力为重力沿凹槽圆弧切线方向的分力 C.小球做简谐运动的周期为 D.小球做简谐运动时在平衡位置所受合力为零 【答案】 B 【解析】 A选项、B选项：小球沿光滑圆弧轨道做简谐运动，此振动与一个摆长为的单摆振动模型相同，重力沿凹槽圆弧线方向的分力提供回复力，重力垂直于圆弧切线方向的分力和支持力的合力提供了向心力，故回复力不是重力和支持力的合力提供的，故B正确，A错误； C选项：故此等效摆长为，那么其周期，故C错误； D选项：单摆的最低点为其平衡位置，回复力为零，合外力不为零，最低点的合外力充当向心力，故D错误； 故选B． 学生总结 变式训练 27 .如图所示，一圆锥摆摆长为，下端拴着质量为的小球，小球做匀速圆周运动时，绳子与竖直方向夹角为．求： ( 1 )绳的拉力大小是多少？ ( 2 )圆锥摆的周期是多少？ 【答案】 (1)． (2)． 【解析】 (1)设绳子的拉力为，则：． 绳的拉力大小是． 故答案为：． (2)小球所受重力和绳子的拉力的合力提供了向心力，解得：，圆锥摆的周期是． 故答案为：． 真题演练 28 .质量为、摆长为的单摆，拉开一定角度后在时刻由静止释放．在、、（）时刻，摆球的动能与势能第一次出现如图所示关系，图中为单摆的总机械能．此单摆的周期为           ，摆球在最低点的向心加速度为           （取摆球在最低点时的位置为零势能点）．          【答案】 【解析】 单摆在摆动过程中，只有重力做功，机械能守恒为，故重力势能和动能之和为，在时刻，即在摆动的最高点，单摆的速度为零，动能为零；在时刻，单摆的重力势能为零，故此时摆球在最低点，则摆球从最高点运动到最低点所用的时间为，故周期； 在最低点，摆球的动能为，根据牛顿第二定律得，． 29 .图甲中的装置水平放置，将小球从平衡位置拉到后释放，小球在点附近来回振动；图乙中被细绳拴着的小球由静止释放后可绕固定点来回摆动．若将上述装置安装在太空中的我国空间站内进行同样操作，下列说法正确的是（    ） A.甲图中的小球将保持静止 B.甲图中的小球仍将来回振动 C.乙图中的小球仍将来回摆动 D.乙图中的小球将做匀速圆周运动 【答案】 B 【解析】 AB．空间站中的物体处于完全失重状态，甲图中的小球所受的弹力不受失重的影响，则小球仍将在弹力的作用下来回振动，A错误，B正确； CD．图乙中的小球在地面上由静止释放时，所受的回复力是重力的分量，而在空间站中处于完全失重时，回复力为零，则小球由静止释放时，小球仍静止，不会来回摆动；也不会做匀速圆周运动，若给小球一定的初速度，则小球在竖直面内做匀速圆周运动，C、D错误． 故选B． 三、共振 【教法备注】  （一）阻尼振动与受迫振动 1. 物体在振动过程中要不断克服外界阻力做功，消耗能量，振幅逐渐减小，最后停下来。这种振幅逐渐减小的振动叫 阻尼振动。 振幅不断 减小，能量不断 减小，频率 不变. 2. 通过周期性的外力作用于振动系统，外力对系统做功，补偿系统的能量损失，使系统的振动维持下去。这种周期性的外力就叫做驱动力，系统在驱动力作用下的振动叫做 受迫振动。 物体做受迫振动时，振动稳定后的频率 等于驱动力的频率，跟物体的固有频率 没有关系 。 【教法备注】  （二）共振 【教法备注】  1.耦合摆球实验： 如图，先让球摆动起来，稳定后五个小球的振幅特点是怎样的？实验现象：先摆动后，驱动着其他球随着一起振动，稳定后球的振幅 最大 ， 球振幅 最小，所有小球振动频率 相等且 等于球的驱动力频率 实验结论：当系统做受迫振动时，如果驱动力的频率十分接近系统的固有频率，系统的振幅会很大。驱动力频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅 最大 。 【教法备注】  2.共振： 当系统做受迫振动时，如果驱动力的频率十分接近系统的固有频率，系统的振幅会很大。驱动力频率（） 等于 系统的固有频率（）时，受迫振动的振幅 最大，这种现象叫做 共振 。共振曲线如图所示。由共振曲线可知，当 时，振幅随的减小而 增大 ；当时，振幅随增大而 增大； 利用共振，使驱动力的频率接近，直至 等于振动系统的固有频率；防止共振，使驱动力的频率 远离 振动系统的固有频率 共振在生活中有很多应用，例如声音震碎高脚杯；提琴的琴身是用来增强声音的共鸣器；调节偏心轮转速，与筛子发生共振，提高筛选效率；火车过桥慢速前进；杀伤武器发出次声波的频率与人体器官固有频率接近引起共振。 【教法备注】 经典例题 30 .如图所示，在一根张紧的水平绳上挂几个摆，其中、摆长相等．先让摆振动起来，其他各摆随后也跟着振动起来，则（    ） A.其它各摆摆动周期跟摆相同 B.其它各摆振动振幅大小相同 C.其它各摆振动振幅大小不相同，摆振幅最小 D.其它各摆振动周期大小不同，摆周期最大 【答案】 A 【解析】摆摆动，其余各摆也摆动起来，它们均做受迫振动，则它们的振动频率均等于摆、摆长相同，所以这两个摆的固有频率相同，则摆出现共振现象，振幅最大；故A正确，BCD错误． 故选A． 31 .(多选)如图为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，则下列说法正确的是（    ） A.若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线表示月球上单摆的共振曲线 B.若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比 C.图线若是在地面上完成的，则该摆摆长约为 D.若摆长均为，则图线是在地面上完成的 【答案】 ABC 【解析】 受迫振动的频率与固有频率无关，但当驱动力的频率与物体固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，所以，可以根据物体做受迫振动的共振曲线判断出物体的固有频率．根据单摆振动周期公式，可以得到单摆固有频率为，根据图像中的信息可以推断摆长或重力加速度的变化情况． A选项：图像中振幅最大处对应频率应与该单摆的固有频率相等，从图像上可以看出，固有频率，．当单摆在月球和地球上分别做受迫振动且摆长相等时，根据公式知，越大，也越大，所以，又因为，可以推知图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，故A正确； B选项：若两次受迫振动在地球上同一地点进行，相同，摆长长的小，且有．所以，故B正确； C选项，D选项：由地面上的受迫振动共振图线，可知，，可以计算出，故C正确，D错误； 故选ABC． 知识点总结 ①阻尼振动的振幅变小，频率不变 ②阻尼振动的振幅减小，则机械能不断减小（机械能看振幅） ③物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率没有关系。 ④当系统做受迫振动时，如果驱动力的频率十分接近系统的固有频率，系统的振幅会很大。驱动力频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大 巩固练习 32 .将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行（图甲），让秋千以小摆角（小于）自由摆动，此时秋千可看作一个理想的单摆，摆长为。从手机传感器中得到了其垂直手机平面方向的关系图如图乙所示。则以下说法正确的是（　　） A.秋千从摆动到停下的过程可看作受迫振动 B.当秋千摆至最低点时，秋千对手机的支持力小于手机所受的重力 C.秋千摆动的周期为 D.该地的重力加速度 【答案】 D 【解析】 【详解】A．秋千从摆动到停下的过程受空气阻力，振幅不断减小，为阻尼振动，故A错误；B．在最低点，根据牛顿第二定律 可得秋千对手机的支持力 可知秋千对手机的支持力大于手机所受的重力，故B错误；C．秋千的周期为从最大振幅偏角到另外一最大振幅偏角位置再回到最大振幅偏角位置所用得时间，所以两次经过最低点，有两次向心加速度最大，故周期为 故C错误；D．根据单摆周期公式 可得当地重力加速度 故D正确。故选D。 33 .(多选)如图所示为一个弹簧振子做受迫振动时振幅与驱动力频率之间的关系图线，由图可知（    ） A.振子振动频率为时，它处于共振状态 B.驱动力频率为时，振子振动频率为 C.若撤去驱动力让振子做自由振动，频率是 D.振子做自由振动的频率可以为、、 【答案】 AB 【解析】 驱动力频率等于振子频率时产生共振，故A、B正确． 故选AB． 34 .把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一驱动力，这就做成了一个共振筛，如图所示．不开电动机让这个筛子自由振动时，完成次全振动用，在某电压下，电动偏心轮的转速是．已知增大电动偏心轮电压可使其转速提高，而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期，为使共振筛的振幅增大，以下做法可行的是（    ） ①降低输入电压　 ②提高输入电压　 ③增加筛子质量　 ④减小筛子质量 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】 C 【解析】 根据题意，得筛子的故有频率为， 电动机某电压下，电动偏心轮的转速是， 此时频率为， 此时频率小于筛子的故有频率，要使振幅增大，可以提高输入电压或增加筛子质量． 故选C． 35 .为了交通安全，常在公路上设置如图所示的减速带，减速带使路面稍微拱起以达到车辆减速的目的．一排等间距设置的减速带，可有效降低车速，称为“洗衣板效应”．如果某路上减速带的间距为，一辆固有频率为的汽车匀速驶过这排减速带，下列说法正确的是（    ） A.汽车速度越大，颠簸的越厉害 B.汽车速度越小，颠簸的越不厉害 C.汽车以的速度行驶时颠簸的最厉害 D.当汽车以的速度行驶时，其振动频率为 【答案】 C 【解析】 当汽车振动频率与其固有频率接近时会产生共振现象，此时振幅最大，颠簸最厉害． 当车速为时，振动周期，． 此时颠簸最厉害． 故选C． 36 . 汽车的重量一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上，弹簧的等效劲度系数，汽车开动时，在振幅较小情况下，其上下自由振动的频率满足（为车厢在平衡位置时，弹簧的压缩长度），若人体可以看成一个弹性体，其固有频率约为，已知汽车的质量为，每个人的质量为，则这辆车乘坐几个人时，人感觉最难受？ 【答案】 5 【解析】 人体固有频率为，当汽车的振动频率与其相等时，人体与之发生共振，人感觉最难受． 即，则， 根据胡克定律可知， 解得． 学生总结 真题演练 37 .(多选)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示．则（    ） 甲               　      乙 　　　 A.针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同 B.随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大 C.打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同 D.稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同 【答案】 AD 【解析】 A选项：根据共振的条件，当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振，此时落果效果最好，而不同的树木的固有频率不同，针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同，故A正确； B选项：当振动器的振动频率等于树木的固有频率时产生共振，此时树干的振幅最大，则随着振动器频率的增加，树干振动的幅度不一定增大，故B错误； C选项：打击结束后，树干做阻尼振动，阻尼振动的频率为树干的固有频率，所以粗细不同的树干频率不同，故C错误； D选项：树干在振动器的振动下做受迫振动，则稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同，故D正确； 故选AD. 四、实验：用单摆测重力加速度 （一）实验目的 学会用单摆测定当地重力加速度，正确熟练使用秒表． （二）实验器材 球心开有小孔的小金属球、长度大于米的细尼龙线、铁夹、铁架台、游标卡尺、米尺、秒表． （三）实验原理 根据单摆周期公式，得： ．据此，只要测得摆长和周期即可算出当地的重力加速度． （四）实验步骤 1.用细线拴好小球，悬挂在铁架台上，使摆线自由下垂，如图所示．注意：线要细且不易伸长，球要用密度大且直径小的金属球，以减小空气阻力影响．摆线上端的悬点要固定不变，以防摆长改变； 2.用米尺和游标卡尺测出悬线长度和小球直径； 注意：摆长应为悬点到球心的距离，即 ． 3.从 平衡位置 开始计时，用秒表测出摆球摆动次的时间，算出周期． 注意：计时从平衡位置开始是因为此处摆球的速度 最大 ，人在判定它经过此位置的时刻，产生的计时误差较小（绝对误差不变，但相对误差减小）． 4.重复上述步骤，按公式 算出每次，然后求平均值． （五）注意事项 1.为减小计算误差，不应先算的平均值再求，而应 先求出每次的值再平均 ． 2.为减小系统误差，摆角应 不大于° ，这可以用量角器粗测． 3.为减小操作误差，小球应静止释放，避免小球做圆锥摆运动，这样圆锥摆运动周期 ，这样导致周期 偏小 。 4.实验过程中： ①易混淆的是：从平衡位置开始计时，单摆通过平衡位置的次数与全振动的次数关系是：若开始平衡位置数0开始，则 ，若开始平衡位置数1开始，则     ②易错的是：图象法求值，，而是 ；和也经常错用，（n为全振动的次数，前者是摆经平衡位置数“”开始计时，后者是数“1”开始计时）． ③易忘的是：漏加或多加小球半径，悬点未固定；忘了多测几次，取平均值． 经典例题 38 .用单摆测定重力加速度的实验装置如图1所示． ( 1 )组装单摆时，应在下列器材中选用（    ） A.长度为左右的细线 B.长度为左右的细线 C.直径为左右的塑料球 D.直径为左右的铁球 ( 2 )选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在铁架台横梁上，应采用图2中           （选填“甲”或者“乙”）所示的固定方式． ( 3 )将单摆正确组装后进行如下操作，其中正确的是（    ） A.测出摆线长作为单摆的摆长 B.把摆球从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动 C.在摆球经过平衡位置时开始计时 D.用秒表测量单摆完成次全振动所用时间并作为单摆的周期 ( 4 )甲同学用游标卡尺测得摆球的直径为，用秒表测得摆球完成次全振动所用的时间为，用米尺测得摆线长为，根据以上数据，可得到当地的重力加速度为                               ． ( 5 )乙同学多次改变单摆的摆长并测得相应的周期，他根据测量数据画出了如图3所示的图像．你认为横坐标所代表的物理量应为           （选填“”、“”、“”）． 【答案】 (1)AD (2)乙 (3)BC (4) (5) 【解析】 (1)AB选项：为减小实验误差，摆长应适当大些，应选择左右的摆线，故A正确，B错误； CD选项：为减小空气阻力影响，摆球应选质量大而体积小的金属球，故C错误，D正确； 故选AD． (2)在该实验的过程中，悬点要固定，应采用图乙中所示的固定方式． (3)A选项：摆线长度与摆球半径之和是单摆的摆长，故A错误； B选项：单摆在小角度下的运动为简谐运动，把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动，故B正确； C选项：为减小测量误差，在摆球经过平衡位置时开始计时，故C正确； D选项：为减小测量误差，应测出个周期的总时间，然后求出周期：，用单摆完成次全振动所用时间并作为单摆的周期实验误差较大，故D错误； 故选BC. (4)， 代入，， 解得：． (5)∵，图中所给图线为过原点的一条直线，所以横坐标代表． 题型总结 注意单摆实验的误差分析和注意事项，特别是易混淆的全振动次数与经过平衡位置次数关系，易错的图像法测g，易忘的摆长长度的测量 巩固练习 39 .(多选)某实验小学在研究单摆时改进了实验方案，将一力传感器连接到计算机上．图甲中点为单摆的固定悬点，现将小摆球（可视为质点）拉至点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球将在竖直平面内的、、之间来回摆动，其中点为运动中的最低位置，，小于且是未知量．同时由计算机得到了细线对摆球的拉力大小随时间变化的曲线图乙（均为已知量），且图中时刻为摆球从点开始运动的时刻（重力加速度为）．根据题中（包括图中）所给的信息，下列说法正确的是（    ）     A.该单摆的周期为 B.根据题中（包括图中）所给的信息可求出摆球的质量 C.根据题中（包括图中）所给的信息不能求出摆球在最低点时的速度 D.若实验时，摆球做了圆锥摆，则测得的周期变长 E.若增加摆球的质量，摆球的周期不变 【答案】 ABE 【解析】 A．小球运动到最低点时，绳子的拉力最大，在一个周期内两次经过最低点，由乙图可知单摆的周期，故A正确； BC．在点拉力有最大值，根据牛顿第二定律有：；在、两点拉力有最小值：，由到机械能守恒可得：，由此可求得摆球的质量，故B正确，C错误； D．若实验时，摆球做了圆锥摆，则周期是表达式为，显然周期变小，故D错误； E．根据单摆周期公式可知，单摆周期与摆球质量无关，故E正确． 故选ABE． 40 .将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为（未知）且开口向下的小筒中（单摆的下部分露于筒外），如图（甲）所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心间的距离，并通过改变而测出对应的摆动周期，再以为纵轴、为横轴做出函数关系图象，就可以通过此图象得出小简的深度和当地的重力加速度． ( 1 )现有如下测量工具：A．时钟；B．秒表；C．天平；D．毫米刻度尺． 本实验所需的测量工具有           ． ( 2 )如果实验中所得到的，关系图象如图（乙）所示，那么真正的图象应该是，，中的           ． ( 3 )由图象可知，小筒的深度          ；当地          ． 【答案】 (1)BD (2) (3) 【解析】 (1)本实验需要测量时间求出周期，并要测量筒的下端口到摆球球心的距离，则所需的测量工具是天平和毫米刻度尺．故选BD． (2)由单摆周期公式得：， 得到， 当时，，则真正的图象是． (3)当时，，即图象与轴交点坐标． ． 图线的斜率大小，由图，根据数学知识得到， 解得． 41 .单摆在偏角很小时的摆动，可以看成是简谐运动．如图所示为一单摆，摆球的质量为，摆长为，重力加速度为． ( 1 )以下关于摆球在运动过程中受力的情况说法正确的是（    ） A.摆球通过平衡位置时合力为零 B.摆球在最大位移处合力为零 C.摆角为时，摆球的回复力大小为 D.摆角为时，摆球的回复力大小为 ( 2 )其固有周期          ，由此可得          ，据此，只要测出摆长和周期，即可计算出当地的重力加速度值． ( 3 )为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除秒表外，在下列器材中，还应该选用           ．（用器材前的字母表示） A.长度接近的细绳 B.长度为左右的细绳 C.直径为的塑料球 D.直径为的铁球 E.最小刻度为的米尺 F.最小刻度为的米尺 【答案】 (1)C (2) (3)ADF 【解析】 (1)平衡位置小球为圆周最低点合力不为零．有摆角时，重力的分力为回复力． (2) (3)摆长尽量长一些，小球重一些，体积小一些，刻度尺尽量精确． 42 .用单摆测定重力加速度的实验装置如图甲所示． 测出悬点到小球球心的距离（摆长）及单摆完成次全振动所用的时间，用多组实验数据作出图象，可以求出重力加速度． ( 1 )有三个同学作出的图线如图乙中的、、所示，其中和平行，和都过原点，图线对应的值最接近当地重力加速度的值，则相对于图线，下列分析正确的是（    ）（选填选项前字母） A.出现图线的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长 B.出现图线的原因可能是误将次全振动记为次 C.出现图线的原因可能是误将次全振动记为次 D.图线对应的值小于图线对应的值 ( 2 )某同学在家里测重力加速度，他找到细线和铁锁，制成了一个单摆，如图丙所示，由于家里只有一根量程为的刻度尺，于是他在细线上的点做了一个标记使得悬点到点间的细线长度小于刻度尺量程．保持该标记以下的细线长度不变，通过改变、间细线长度以改变摆长．实验中，当、间细线的长度分别为、时，测得相应单摆的周期为、．由此可得重力加速度          ．（用、、、） 【答案】 (1)C (2) 【解析】 (1)A．若测量摆长时忘了加上摆球的半径，则摆长变成摆线的长度，则有，根据数学知识可以知道，对图象来说，与线斜率相等，两者应该平行，是截距；故做出的图象中线的原因可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长，故A错误； BC．实验中误将次全振动记为次，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，图线的斜率偏小，故B错误，C正确； D．由图可以知道，图线对应的斜率偏小，根据图象的斜率，当地的重力加速度可以知道，值大于图线对应的值，故D错误． 故选C. (2)摆线A点以下为，当、间细线的长度为时实际摆长变为；由单摆周期公式有： ， 当、间细线的长度为的实际摆长变为；由单摆周期公式有：， 计算得出：． 故答案为:． 学生总结 五、课堂总结 六、出门测 43 .一个单摆在竖直平面内沿圆弧做往复运动。某时刻摆球由 A点从静止开始摆动，如图所示摆线与竖直方向的夹角为， O点为摆动的最低点，则下列说法正确的是（　　） A.摆球在 O点受重力、拉力、向心力 B.摆球摆动到 O点时所受合外力为零 C.摆球从 A点摆动到 O点的过程中，拉力不做功，动能增加 D.摆球经过 P点时摆角小于，则摆球所受拉力与重力的合外力充当回复力 【答案】 C 【解析】 A．摆球在 O点受重力、拉力，A为错误选项；B．摆球摆动到 O点时所受合外力提供向心力，合外力不为零，B为错误选项；C．摆球从 A点摆动到 O点的过程中，拉力不做功，重力做正功，合外力做正功，由动能定理可知，动能增加，C为正确选项；D．摆球经过 P点时摆角小于，则摆球重力沿切线方向的分力充当回复力，D为错误选项。故答案为C。 44 .老师带着几名学生进行野外考察．登上一山峰后，他们想粗略测出山顶处的重力加速度．于是他们用细线拴好石块P系在树干上做成一个简易单摆，如图所示．然后用随身携带的钢卷尺、秒表进行相应的测量．同学们首先测出摆长 L，然后将石块拉开一个小角度由静止释放，使石块在竖直平面内摆动．用秒表测出单摆完成 n次全振动所用的时间 t．（1）利用测量数据计算山顶处重力加速度的表达式 g=          （2）若某次用秒表测量若干次全振动所用的时间如图所示，则所时间为 t=          s（3）若同学们在某次测量中，振动周期测量正确，但测量摆长时从悬点一直量到石块下端，所以用这次测量数据计算出来的山顶处重力加速度值比真实值           （选填“偏大”、“偏小”或“相等”）． 【答案】          99.8     偏大 【解析】 【详解】（1）[1]由题，单摆完成 n次全振动所用的时间 t得，单摆的周期 由单摆的周期公式 得 （2）[2]秒表的读数为60s+39.8s=99.8s（3）[3]单摆的摆长应等于悬点到石块重心的距离，若测量摆长时从悬点一直量到石块下端，摆长 L偏大，则由重力加速度的表达式 可知，重力加速度值比真实值偏大．【点睛】单摆的周期采用累积法测量，周期的表达式．根据测量原理分析实验误差是常用的思路． 学科网（北京）股份有限公司 $$