04.类碰撞问题-【师者匠心系列】2024-2025学年高二下学期物理讲义

04.类碰撞问题 课前检测 1 .现有甲、乙两滑块，质量分别为3 m 和 m ，以相同的速率 v 在光滑水平面上相向运动，发生了碰撞．已知碰撞后，甲滑块静止不动，那么这次碰撞是(　　) A.弹性碰撞 B.非弹性碰撞 C.完全非弹性碰撞 D.条件不足，无法确定 2 .(多选)A、B两个物块在光滑的水平地面上发生正碰，碰撞时间极短，两物块运动的 图像如图所示，则下列判断正确的是（　　） A.碰撞后A、B两个物块运动方向相同 B.碰撞前、后A物块的速度大小之比为5：3 C.A、B的质量之比 m1 ： m2 =2：3 D.此碰撞为弹性碰撞 考情分析 知识点 试卷 题号 分值 难度    碰撞 2023年 上海卷 20 16 中档 2023年 全国乙卷 25 20 较难 2023年 全国甲卷 24 12 中档 2023年 山东卷 18 16 较难 2023年 浙江卷 18 11 中档 2023年 广东卷 15 15 中档 爆炸与反冲 2023年 上海卷 3 3 较易 2021年 山东卷 11 4 中档 2021年 湖北卷 3 4 较易 目标解读 知识导图 一、 含弹簧问题 （一） 弹簧模型概述 1.模型介绍 弹簧问题与碰撞问题类似，它们明显的差别就是弹簧的作用过程                                   ，而碰撞类问题的作用时间                  。 如图，质量为 的物体 静止在光滑的水平面上， 的左边固定有轻质的弹簧，质量为 的物体 以速度 向 运动并与弹簧发生碰撞， 、 始终沿同一直线； ①动量守恒（系统合外力为零）： ； ②机械能守恒： ； 2.过程分析 ：（假设 ） ①碰后物块与弹簧不粘连： 时刻接触弹簧开始（弹簧原长）， 在                 ， 在                 ，加速度大小逐渐                 ，直到 二者                 ，此时压缩                 ，弹簧弹性势能                 ，       ，这一阶段为                                                              ； 时刻共速后， 仍会                 ，                ， 加速度大小逐渐                 ，直到 弹簧                                   ，此时 ，弹性势能为零，整个过程就为                                   。 之后由于物块与弹簧不粘连， 就会                 。 ②碰后物块与弹簧粘连 ： 经典例题 3 .在足够大的光滑水平面上放有两物块 和 ，已知 ， 物块连接一个轻弹簧并处于静止状态， 物体以初速度 向着 物块运动，在 物块与弹簧作用过程中（ 与弹簧接触后不再分开），两物块在同一条直线上运动，下列判断正确的是（    ） A.弹簧恢复原长时， 物块的速度为零 B.弹簧恢复原长时， 物块的速度不为零，且方向向右 C.在弹簧压缩过程中， 物块动能先减小后增大 D.在与弹簧相互作用的整个过程中， 物块的动能先减小后增大 题型总结 如图 所示，两个质量相等的物体用弹簧连接着，分析其过程： ① ② ③ ④ 巩固练习 4 .(多选)如图所示，三小球 a 、 b 、 c 的质量都是 m ，放于光滑的水平面上，小球 b 、 c 与水平轻弹簧相连且处于静止状态，小球 c 右侧有一固定挡板。现让小球 a 以速度 向右运动，碰后与小球 b 黏在一起， a 、 b 两小球碰撞时间极短，当弹簧被压缩到最短时，撤去挡板，则下列说法中正确的是（　　）     A.撤去挡板前，三小球及弹簧组成的系统动量守恒，机械能不守恒 B.弹簧的被压缩到最短时，其弹性势能为 C.撤去挡板后，三个小球及弹簧组成的系统动量守恒，机械能守恒 D.在此后的运动过程中，小球 c 的最大速度大小为 5 .如图所示，在光滑水平面上，质量为 的小球 连接着一个轻质弹簧，弹簧与小球均处于静止状态．质量为 的小球 以大小为 的水平速度向右运动，接触弹簧后逐渐压缩弹簧并使 运动，当弹簧压缩至最短时，弹簧的弹性势能 为（    ） A. B. C. D. 6 .如图所示，用轻弹簧相连的质量均为 的 、 两物块静止在光滑的水平地面上，质量为 的物块 以 的速度向左运动， 与 碰撞后，立即粘在一起运动．求：在弹簧压缩到最短的过程中， ( 1 )弹簧最大的弹性势能为多大． ( 2 )弹簧对 的冲量是多大． 学生总结     真题演练 7 .如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦．用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动．在地面参考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统（    ） A.动量守恒，机械能守恒 B.动量守恒，机械能不守恒 C.动量不守恒，机械能守恒 D.动量不守恒，机械能不守恒 （二） 两物体夹弹簧问题 经典例题 8 .在光滑的水平面上有静止的物体 和 ，物体 的质量是 的 倍，两物体中间用细绳束缚的处于压缩状态的轻质弹簧相连．当把细绳剪断，弹簧在恢复原长的过程中（    ） A. 的速率是 的 倍 B. 的动量大小大于 的动量大小 C. 受的力大于 受的力 D. 、 组成的系统的总动量为零 9 .如图所示，在光滑水平桌面 EAB 上有质量为 M ＝0.2 kg的小球 P 和质量为 m ＝0.1 kg的小球 Q ， P 、 Q 之间压缩一轻弹簧（轻弹簧与两小球不拴接），桌面边缘 E 处放置一质量也为 m ＝0.1 kg的橡皮泥球 S ，在 B 处固定一与水平桌面相切的光滑竖直半圆形轨道。释放被压缩的轻弹簧， P 、 Q 两小球被轻弹簧弹出，小球 P 与弹簧分离后进入半圆形轨道，恰好能够通过半圆形轨道的最高点 C ；小球 Q 与弹簧分离后与桌面边缘的橡皮泥球 S 碰撞后合为一体飞出，落在水平地面上的 D 点。已知水平桌面高为 h ＝0.2 m， D 点到桌面边缘的水平距离为 x ＝0.2 m，重力加速度为 g ＝10 m/s2 ，求：（1）小球 P 经过半圆形轨道最低点 B 时对轨道的压力大小 NB ′；（2）小球 Q 与橡皮泥球 S 碰撞前瞬间的速度大小 vQ ；（3）被压缩的轻弹簧的弹性势能 Ep 。 题型总结 注意： 两物体夹弹簧问题 ①能量转化： 弹性势能转化为                 ； ②动量关系：两物体若同时释放那么满足                                   ； ③求解思路： 已知弹性势能，根据动量守恒和能量守恒求解二者                                   或                                   已知分离后运动状态，根据运动求解速度，再根据动量守恒求解二者                                   ，最终根据能量守恒求解                                   巩固练习 10 .(多选)如图所示，把两个大小相同的金属球A和B用细线连接，中间夹一被压缩的轻弹簧，静止在光滑的水平桌面上。已知A的质量为 M ，B的质量为 m ，弹簧的压缩量为 x ，原长为 L 。现烧断细线，在弹簧恢复原长的过程中，下列说法正确的是（        ）     A.小球A、B组成的系统动量守恒 B.当弹簧恢复至原长时，小球A与小球B的动能之比为 C.金属球B发生的位移大小为 D.金属球A发生的位移大小为 11 .(多选)如图所示，水平光滑轨道宽和弹簧自然长度均为 d 。 的左边有一固定挡板。 由图示位置静止释放，当 与 相距最近时 速度为 ，则求在以后的运动过程中（　　） A. 的最小速度一定是0 B. 的最小速度可能是 C. 的最大速度可能是 D. 的最大速度一定是 12 .如图所示，光滑水平面上有质量均为 的 、 两个小物块（均视为质点）， 、 用细绳连接，中间有一压缩的较短轻弹簧（弹簧与物块不拴接）．开始时 、 均静止．在物块 右边一定距离处有一半径为 的固定光滑竖直半圆形轨道，半圆形轨道与水平面相切于 点，物块 的左边静置着一个三面均光滑的斜面体（底部与水平面平滑连接）．某一时刻细绳突然断开，物块 、 瞬间分离， 向右运动，恰好能过半圆形轨道的最高点 （物块 过 点后立即撤去）， 向左平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为 （ 小于斜面体的高度）．已知重力加速度为 ，求： ( 1 )细绳断开前弹簧的弹性势能大小？ ( 2 )斜面体的质量？ 变式训练 13 .(多选)如图（ ），质量分别为 、 的 、 两物体用轻弹簧连接构成一个系统，外力 作用在 上，系统静止在光滑水平面上（ 靠墙面），此时弹簧形变量为 ，撤去外力并开始计时， 、 两物体运动的 图像如图（ ）所示， 表示 到 时间内 的 图线与坐标轴所围面积大小， 、 分别表示 到 时间内 、 的 图线与坐标轴所围面积大小． 在 时刻的速度为 ．下列说法正确的是（    ） A. 到 时间内，墙对 的冲量等于 B. C. 运动后，弹簧的最大形变量等于 D. （三） 水平面弹簧碰撞问题 经典例题 14 .如图所示，光滑水平直轨道上静止放置三个质量均为 m 的物块A、B、C，物块B的左侧固定一轻弹簧。给A一个初速度 ，使其向B运动并压缩弹簧（弹簧始终在弹性限度内），当弹簧第一次压缩到最短时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。假设B和C碰撞时间极短，求： （1）从A开始运动到弹簧压缩最短时C受到的冲量大小； （2）从A开始运动到A与弹簧分离的过程中，整个系统损失的机械能； （3）弹簧第一次压缩到最短时的弹性势能。 题型总结 注意： 关键词对应： 碰撞过程中弹性势能最大值——压缩量最       ——                          整个系统损失的机械能——                                  巩固练习 15 .如图（a）所示，一质量为 m 的物块B与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上，物块A向B运动， t =0时与弹簧接触，到 t =2 t0 时与弹簧分离，A、B碰撞结束，A、B的 v - t 图像如图（b）所示。A、B分离后，B与静止在水平面上的C再次碰撞并粘接在一起，之后A与BC间距离不再变化。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内，B和C碰撞过程时间极短。求： （1）A、B碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值； （2）B、C碰撞过程中损失的机械能。 16 .如图所示，小球 在光滑的水平直轨道上处于静止状态．在它左边有一垂直于轨道的固定挡板，右边有两个小球 和 用处于原长的轻质弹簧相连，以相同的速度 向 球运动， 与 发生碰撞并立即结成一个整体 ．在 和 继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被第一次锁定不能伸长但还能继续被压缩．然后 与挡板 发生弹性碰撞，而 的速度不变．过一段时间，弹簧被继续压缩到最短后第二次锁定．已知 、 、 三球的质量均为 ．求： ( 1 )弹簧长度第一次被锁定后 球的速度． ( 2 )弹簧长度第二次被锁定后的最大弹性势能． （四） 斜面弹簧碰撞问题 经典例题 17 .如图所示，在倾角为 的光滑固定斜面上，一轻弹簧下端固定在斜面下端，另一端与滑块 相连接，开始时 静止在斜面上．另有一滑块 在斜面上从距 为 处无初速滑向 ，与 发生完全非弹性正碰（不粘连），在碰撞以后的运动过程中 恰好不再脱离A．已知 的质量为 ， 的质量为 ，重力加速度为 ， ， ．弹簧始终处于弹性限度内，求： ( 1 )经多长时间 与 发生碰撞． ( 2 )弹簧的劲度系数． ( 3 )滑块 、 一起运动过程中系统的最大弹性势能． 题型总结 注意： ①临界条件的分析 ② 可以找两个 分别 拉伸量和压缩量相等 的位置 列能量守恒等式，这样可以排除弹性势能的影响 ③注意结合弹簧振子的 对称性 解题 巩固练习 18 .如图所示，小物块 m1 与 m2 通过一轻弹簧相连，放在倾角为 θ 的光滑固定斜面上，物块 m1 与固定在斜面上的竖直挡板接触，已知物块 m1 与 m2 的质量均为 m ，物块 m3 的质量为 ，弹簧的劲度系数为 k ，且下述过程弹簧形变始终在弹性限度内。开始物块 m1 与 m2 处于静止状态，现让物块 m3 从长木板上的 A 点静止释放，与物块 m2 相碰后粘合在一起，恰好使物块 m2 、 m3 向上反弹到最大高度时，物块 m1 对挡板的压力为零。则： （1）求 m3 运动至最低点时受到 m2 的弹力 N 大小？ （2） A 点与碰撞前物块 m2 的距离为多大？ （3）整个运动过程中弹簧最多比原来增加多少弹性势能？ 19 .如图所示，倾角 的倾斜直轨道 与水平直轨道 在 处平滑连接。在轨道 上的 点固定半径 的圆轨道 ， 点离水平轨道高度 ；在直轨道 的 点固定半径也为 的圆轨道 ；两个圆轨道在 点和 点分别与直轨道对接连通。一劲度系数 的轻质弹簧右端固定在挡板 上，自然状态时弹簧的左端恰好位于 点。已知直轨道的 段和 段为粗糙轨道，与两滑块间的动摩擦因数 ，其余直轨道和圆轨道均光滑。现将质量 的小滑块甲（可视为质点）从轨道 上某处由静止释放，滑块甲恰好能通过圆轨道 的最高点，与 轨道上质量也为 的乙滑块发生弹性正撞。（提示：弹簧弹性势能 与形变量 之间的关系为 ， ， ） (1)求滑块甲在轨道 上释放点到 点的距离； (2)求滑块乙通过圆轨道 的最高点时对轨道压力的大小； (3)现改变小滑块甲在轨道 上的释放点位置，要求甲、乙滑块始终不脱离轨道，并在第一次与弹簧接触过程中能停下，求滑块甲释放点到 点距离的范围；(4)现改变小滑块甲在轨道 上的释放点位置，使乙滑块经过 点时的动能 ，则乙滑块停在何处？ 学生总结     二、 圆弧轨道模型 （一） 轨道底端开始运动 如图所示，质量为 的滑块静止在光滑水平面上，滑块的光滑弧面底部与桌面相切，一个质量为 的小球以速度 向滑块运动．设小球不能越过滑块。 1.上升阶段 小球到达滑块上的最高点时（小球的竖直速度为       ），两物体的速度肯定                 （方向                                   ）． 此过程中，系统在                                                     守恒，动能                 ，减少的动能转化为小球的                                   ，相当于                                            碰撞。 ①水平方向动量守恒（某一方向动量守恒）： ； ②系统机械能守恒： ； ③最高点： 、 具有共同水平速度，        ． 2.下滑阶段 小球在下滑到水平面时（ 小球的竖直速度同样为       ），两物体速度                 ，此时重力势能与初状态                 ，故小球 和轨道 没有                 损失，即相当于                 碰撞 。 ①系统满足动量守恒： ②前后动能不变： ③易得二者速度： ， 。 由此可以看出，小球先上升后下降的过程与                                   类似 （二） 轨道顶端开始运动 如图，小球从顶端开始运动，满足                                                     守恒，同时与                  模型类似， 故，假设圆弧底面长为 ，圆弧高为 ， 小球和圆弧轨道质量分别为 ，易得当小球滑倒圆弧底端时 动量与 能量 满足： 再由运动同时性以及几何关系， 可得船、人的位移分别为： ， 经典例题 20 .如图所示，总质量为 M 的轨道 ABC 置于光滑水平面上，由粗糙水平轨道 AB 和竖直面内四分之一光滑圆弧轨道 BC 组成， AB 恰与圆弧 BC 在 B 点相切。一个质量为 m 的小物块从轨道的 A 端以初速度 v0 向右冲上水平轨道，到达圆弧轨道上某位置后，沿轨道返回。则（　　） A.由于物块在 AB 上运动时受到摩擦力作用，故 M 与 m 组成的系统动量不守恒 B.物块在轨道 ABC 上滑动全过程中， M 与 m 组成的系统总动量始终保持不变 C.物块在圆弧轨道上运动过程中， M 的动量不断减小 D.当物块相对轨道静止时，速度变为 题型总结 注意： 若 圆弧轨道光滑， 整个过程中机械能                  ，动量                          ，仅仅是 水平方向动量守恒 。 若 圆弧轨道粗糙，那么机械能和动量均                           。 21 .(多选)如图所示，一异形轨道由粗糙的水平部分和光滑的四分之一圆弧部分组成，置于光滑的水平面上，如果轨道固定，将可视为质点和物块从圆弧轨道的最高点由静止释放，物块恰好停在水平轨道的最左端．如果轨道不固定，仍将物块从圆弧轨道的最高点由静止释放，下列说法正确的是（    ） A.物块与轨道组成的系统机械能不守恒，动量守恒 B.物块与轨道组成的系统机械能不守恒，动量不守恒 C.物块仍能停在水平轨道的最左端 D.物块将从轨道左端冲出水平轨道 22 .(多选)如图所示，在光滑的水平面上有一静止的质量为 M 的凹槽，凹槽内表面为光滑的半圆弧轨道，半径为 R ，两端 与圆心等高，现让质量为 m 的物块从 A 点以竖直向下的初速度 开始下滑，则在运动过程中（　　） A.物块与凹槽组成的系统动量守恒 B.物块运动到 B 点时速度大于 C.物块运动到 B 点后将从 B 点飞出做竖直上抛运动 D.物块运动到 B 点时，凹槽向左移动了 23 .(多选)如图所示，小车静止在光滑水平面上， 是小车内半圆弧轨道的水平直径，现将一质量为 的小球从距 A 点正上方 R 处由静止释放，小球由 A 点沿切线方向进入半圆轨道，已知半圆弧半径为 ，小车质量是小球质量的 k 倍，不计一切摩擦，则下列说法正确的是（　　） A.小球运动到小车的 点位置时，车与小球的速度相同 B.小球从小车 A 位置运动到 B 位置过程中，小车对小球先做负功后做正功 C.小球从小车的 B 点冲出后可上升到释放的初始高度，并能从小车 A 点冲出到达释放的初始位置（相对于地） D.小球从开始下落至到达圆弧轨道的最低点过程，小车的位移大小为 变式训练 24 .(多选)质量均为 的木块 和 并排放在光滑水平面上， 上固定一竖直轻杆，轻杆上端的 点系一长为 的细线，细线另一端系一质量为 小球C．现将 球拉起使细线水平伸直，并由静止释放 球，在以后的运动过程中，正确的判断是（    ） A. 和 分离之前， 、 、 组成的系统动量守恒 B.小球 到达最低点时速度大小为 C.木块 的最大速度大小为 D.小球 到达左侧最高点时速度大小为 学生总结     三、 子弹打木块问题 （一） 子弹停在木块中的情况 模型分析 如下图，子弹以速度 射入静止在光滑水平面上的木块中。当子弹射入木块并停在其中（即：不穿出，），子弹的最终速度并不是零（停止），而是子弹和木块最终共速，系统损失的动能等于                                                                                                                    ，相当于                                            碰撞。 （二） 子弹射出木块的情况 模型分析 如下图，子弹以速度 射入静止在光滑水平面上的木块，当子弹穿出时，子弹和木块最终的速度分别为 和 ，系统损失的动能等于                                                                                                                    ，相当于一般的                                            。                   经典例题 25 .如图所示，一质量为 、厚度为 的木块，静止在光滑的水平地面上，一颗质量 的子弹，以 的速度射向木块．如果将子弹与木块相互作用力大小 视为恒力．试问： ( 1 )如果子弹没有打穿木块，则木块最终速度为多少？ ( 2 )如果子弹没有打穿木块，系统产生的热是多少？ ( 3 )要使得子弹能打穿木块，则子弹的初速度至少多大？ 题型总结  解决子弹打木块模型类题目时，应注意以下几点： ①子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，则系统                                   。 ②在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能                          ，机械能向                 转化。 ③若子弹不穿出木块，二者最后有                 速度，机械能损失                 。 巩固练习 26 .如图，—质量为 的物块静止在桌面边缘，桌面离水平地面的高度为 ．一质量为 的子弹以水平速度 射入物块后，以水平速度 射出．重力加速度为 ．求： ( 1 )此过程中系统损失的机械能． ( 2 )此后物块落地点离桌面边缘的水平距离． 27 .如图所示，质量为 的物块（可视为质点）放在质量为 的木板左端，木板静止在光滑水平面上，物块与木板间的动摩擦因数 ，质量为 的子弹以速度 沿水平方向射入物块，并以 的速度水平穿出（此过程时间极短）， 取 ，求： ( 1 )子弹刚从物块穿出的瞬间，物块的速度 ． ( 2 )要使物块不从木板上滑落，则木板的长度至少要多少． 28 .如图所示，轻质弹簧的左端固定在竖直墙壁上，右端与静止在光滑水平面上的木块 相连接，子弹 沿水平方向射入木块后留在木块内，再将弹簧压缩到最短．上述这个过程可抽象为两个典型的过程：过程①是子弹射入木块并获得共同速度；过程②是木块与子弹一起压缩弹簧并将弹簧压到最短．已知木块的质量大于子弹的质量，空气阻力可忽略不计，下列说法中正确的是（    ） A.过程①中木块获得的动能一定小于此过程中子弹损失的动能 B.过程①中子弹对木块的冲量大小可能大于木块对子弹的冲量大小 C.过程②中墙壁对弹簧的冲量大小一定小于子弹和木块总动量的减小量 D.过程②中弹簧的最大弹性势能可能等于过程①中木块所获得的动能 学生总结     四、 课堂总结 五、 出门测 29 .(多选)如图，质量为 的小车静止在光滑的水平面上，小车 段是半径为 的四分之一光滑圆弧轨道， 段是长为 的水平粗糙轨道，两段轨道相切于 点．一质量为 的滑块在小车上从 点静止开始沿轨道滑下，然后滑入 轨道，最后恰好停在 点．已知小车质量 ，滑块与轨道 间的动摩擦因数为 ，重力加速度为 ．则（    ） A.全程滑块水平方向相对地面的位移 B.全程小车相对地面的位移大小 C. 、 、 三者之间的关系为 D.滑块 运动过程中的最大速度 30 .如图，用长为 的轻绳悬挂一质量为 的沙箱，沙箱静止．一质量为 的弹丸以速度 水平射入沙箱并留在其中，随后与沙箱共同摆动一小角度．不计空气阻力．对子弹射向沙箱到与其共同摆过一小角度的过程（    ） A.若保持 、 、 不变， 变大，则系统损失的机械能变小 B.若保持 、 、 不变， 变大，则系统损失的机械能变小 C.若保持 、 、 不变， 变大，则系统损失的机械能变大 D.若保持 、 、 不变， 变大，则系统损失的机械能变大 学科网（北京）股份有限公司 $$ 04.类碰撞问题 课前检测 【教法备注】 建议用时3-5分钟 1 .现有甲、乙两滑块，质量分别为3 m 和 m ，以相同的速率 v 在光滑水平面上相向运动，发生了碰撞．已知碰撞后，甲滑块静止不动，那么这次碰撞是(　　) A.弹性碰撞 B.非弹性碰撞 C.完全非弹性碰撞 D.条件不足，无法确定 【答案】 A 【解析】 【详解】由动量守恒3m·v－mv＝0＋mv′，所以v′＝2v碰前总动能：E k ＝ ×3m·v 2 ＋ mv 2 ＝2mv 2 碰后总动能Ek ′＝ mv′ 2 ＝2mv 2 ，Ek ＝E k ′，所以A正确． 2 .(多选)A、B两个物块在光滑的水平地面上发生正碰，碰撞时间极短，两物块运动的 图像如图所示，则下列判断正确的是（　　） A.碰撞后A、B两个物块运动方向相同 B.碰撞前、后A物块的速度大小之比为5：3 C.A、B的质量之比 m1 ： m2 =2：3 D.此碰撞为弹性碰撞 【答案】 CD 【解析】 【详解】A．因为 图像的斜率表示速度，且斜率的正负表示速度的方向，由图像可知，碰撞后A、B两个物块运动方向相反，故A错误；B．由图像可得，碰撞前A物块的速度为 碰撞后A物块的速度为 所以碰撞前、后A物块的速度大小之比为5:1，故B错误；C．同理可得，碰撞前、后B物块的速度分别为 设A、B的质量分别为 ， ，则由动量守恒定律得 解得 m1 ： m2 =2：3 故C正确；D．因为碰撞前后机械能分别为 即碰撞前后系统机械能守恒，故此碰撞为弹性碰撞，故D正确。故选CD。 考情分析 【教法备注】  知识点 试卷 题号 分值 难度    碰撞 2023年 上海卷 20 16 中档 2023年 全国乙卷 25 20 较难 2023年 全国甲卷 24 12 中档 2023年 山东卷 18 16 较难 2023年 浙江卷 18 11 中档 2023年 广东卷 15 15 中档 爆炸与反冲 2023年 上海卷 3 3 较易 2021年 山东卷 11 4 中档 2021年 湖北卷 3 4 较易 【教法备注】 碰撞基本上属于每一年每个地区的高考题中大题必考的，这里仅仅节选2023年高考中出现的部分题目，难度整体也比较大，提醒学生在第一遍学的时候就要打下好的基础 爆炸与反冲高考考的频次不高，但阶段考也会经常考 目标解读 【教法备注】  知识导图 一、 含弹簧问题 （一） 弹簧模型概述 1.模型介绍 弹簧问题与碰撞问题类似，它们明显的差别就是弹簧的作用过程相对较长 ，而碰撞类问题的作用时间 极短 。 如图，质量为 的物体 静止在光滑的水平面上， 的左边固定有轻质的弹簧，质量为 的物体 以速度 向 运动并与弹簧发生碰撞， 、 始终沿同一直线； ①动量守恒（系统合外力为零）： ； ②机械能守恒： ； 【教法备注】 注意： 考虑到物体挤压弹簧是动态变化过程，所以考虑不同的过程，对应的碰撞模型不同 2.过程分析 ：（假设 ） ①碰后物块与弹簧不粘连： 时刻接触弹簧开始（弹簧原长）， 在 减速 ， 在 加速 ，加速度大小逐渐 增大 ，直到 二者 共速 ，此时压缩 最短 ，弹簧弹性势能 最大 ， ，这一阶段为 完全非弹性碰撞 ； 时刻共速后， 仍会 减速 ，加速 ， 加速度大小逐渐 减小 ，直到 弹簧 恢复原长 ，此时 ，弹性势能为零，整个过程就为 弹性碰撞 。 之后由于物块与弹簧不粘连， 就会 分开 。 ②碰后物块与弹簧粘连 ： 经典例题 3 .在足够大的光滑水平面上放有两物块 和 ，已知 ， 物块连接一个轻弹簧并处于静止状态， 物体以初速度 向着 物块运动，在 物块与弹簧作用过程中（ 与弹簧接触后不再分开），两物块在同一条直线上运动，下列判断正确的是（    ） A.弹簧恢复原长时， 物块的速度为零 B.弹簧恢复原长时， 物块的速度不为零，且方向向右 C.在弹簧压缩过程中， 物块动能先减小后增大 D.在与弹簧相互作用的整个过程中， 物块的动能先减小后增大 【答案】 D 【解析】 本题中的情形可视为弹性碰撞，由于 ，故碰撞结束，即弹簧恢复原长后， 的速度 向左， 速度 向右，A、B错．在弹簧压缩过程中， 速度大于 速度，直至 速度相等，在此过程中， 始终做减速运动，故其动能一直减小，C错．在与弹簧相互作用的整个过程中， 始终受到弹簧对其向左的弹力， 先减速到零，再加速到 ，D对． 故选D． 题型总结 如图 所示，两个质量相等的物体用弹簧连接着，分析其过程： ① ② ③ ④ 【教法备注】 ①在 时刻， 和 共速 ， 弹簧伸长量最大 ，弹簧弹力最大，物体加速度最大，对应 图像的斜率最大。此时弹簧弹性势能最大，物体动能总和最小， 的过程可以视为 完全非弹性碰撞 ： ② 在 时刻，弹簧恢复为 原长状态 ，弹簧弹力为零，物体的加速度为零，对应 图像的斜率为零，速度取得极值。此时， 的速度最大， 和 相对速度最大；弹簧弹性势能为零，物体动能总和最大， 可以视为 弹性碰撞 ： ③ 在 时刻， 和 再次共速，弹簧压缩量最大，弹簧弹力最大，物体加速度最大弹簧弹性势能最大，物体动能总和最小。 ④ 在 时刻，系统恢复 的状态。此后的过程周而复始。 巩固练习 4 .(多选)如图所示，三小球 a 、 b 、 c 的质量都是 m ，放于光滑的水平面上，小球 b 、 c 与水平轻弹簧相连且处于静止状态，小球 c 右侧有一固定挡板。现让小球 a 以速度 向右运动，碰后与小球 b 黏在一起， a 、 b 两小球碰撞时间极短，当弹簧被压缩到最短时，撤去挡板，则下列说法中正确的是（　　）     A.撤去挡板前，三小球及弹簧组成的系统动量守恒，机械能不守恒 B.弹簧的被压缩到最短时，其弹性势能为 C.撤去挡板后，三个小球及弹簧组成的系统动量守恒，机械能守恒 D.在此后的运动过程中，小球 c 的最大速度大小为 【答案】 BCD 【解析】 【详解】A．撤去挡板前，三小球及弹簧组成的系统合外力不为零，系统动量不守恒，系统中只有弹力做功，系统机械能守恒，故A错误；B．小球 a 、 b 碰后黏在一起，根据动量守恒有 可得小球 a 、 b 碰后黏在一起的速度为 根据能量守恒可知弹簧的被压缩到最短时，其弹性势能的增加量等于小球 a 、 b 动能的减少量，为 故B正确；C．撤去挡板后，三个小球及弹簧组成的系统合外力为零，系统动量守恒，系统中只有弹力做功，系统机械能守恒，故C正确；D．撤去挡板后，根据动量守恒有 能量守恒有 解得小球 c 的最大速度大小为 故D正确。故选BCD。 5 .如图所示，在光滑水平面上，质量为 的小球 连接着一个轻质弹簧，弹簧与小球均处于静止状态．质量为 的小球 以大小为 的水平速度向右运动，接触弹簧后逐渐压缩弹簧并使 运动，当弹簧压缩至最短时，弹簧的弹性势能 为（    ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 当两个滑块速度相等时弹簧压缩量最大，弹性势能最大；滑块 、 系统动量守恒，根据守恒定律，有： ，解得： ． 弹簧获得的最大弹性势能 为： ，故C正确； 故选C． 6 .如图所示，用轻弹簧相连的质量均为 的 、 两物块静止在光滑的水平地面上，质量为 的物块 以 的速度向左运动， 与 碰撞后，立即粘在一起运动．求：在弹簧压缩到最短的过程中， ( 1 )弹簧最大的弹性势能为多大． ( 2 )弹簧对 的冲量是多大． 【答案】 (1) (2) 【解析】 (1) 与 碰后共速，设向左为正方向，根据动量守恒定律： ； 、 、 三者共速时，设向左为正方向，根据动量守恒定律： ，则弹簧的最大弹性势能为： ，代入数据可得： ． (2)由动量定理可得： ，解得 ． 学生总结     真题演练 7 .如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦．用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动．在地面参考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统（    ） A.动量守恒，机械能守恒 B.动量守恒，机械能不守恒 C.动量不守恒，机械能守恒 D.动量不守恒，机械能不守恒 【答案】 B 【解析】 撤去推力后，小车、弹簧和滑块组成的系统所受合外力为 ，动量守恒，由于滑块与小车底板间有摩擦力做功，故系统机械能不守恒，故B正确． 故选B． （二） 两物体夹弹簧问题 经典例题 8 .在光滑的水平面上有静止的物体 和 ，物体 的质量是 的 倍，两物体中间用细绳束缚的处于压缩状态的轻质弹簧相连．当把细绳剪断，弹簧在恢复原长的过程中（    ） A. 的速率是 的 倍 B. 的动量大小大于 的动量大小 C. 受的力大于 受的力 D. 、 组成的系统的总动量为零 【答案】 D 【解析】 ABD．弹簧在恢复原长的过程中，两滑块系统动量守恒，规定向左为正方向，故： ，由于物体 的质量是 的 倍，故 的速率是 的 倍， 的动量大小等于 的动量大小，故A错误，B错误，D正确； C．根据牛顿第三定律， 受的力等于 受的力，故C错误． 故选D． 9 .如图所示，在光滑水平桌面 EAB 上有质量为 M ＝0.2 kg的小球 P 和质量为 m ＝0.1 kg的小球 Q ， P 、 Q 之间压缩一轻弹簧（轻弹簧与两小球不拴接），桌面边缘 E 处放置一质量也为 m ＝0.1 kg的橡皮泥球 S ，在 B 处固定一与水平桌面相切的光滑竖直半圆形轨道。释放被压缩的轻弹簧， P 、 Q 两小球被轻弹簧弹出，小球 P 与弹簧分离后进入半圆形轨道，恰好能够通过半圆形轨道的最高点 C ；小球 Q 与弹簧分离后与桌面边缘的橡皮泥球 S 碰撞后合为一体飞出，落在水平地面上的 D 点。已知水平桌面高为 h ＝0.2 m， D 点到桌面边缘的水平距离为 x ＝0.2 m，重力加速度为 g ＝10 m/s2 ，求：（1）小球 P 经过半圆形轨道最低点 B 时对轨道的压力大小 NB ′；（2）小球 Q 与橡皮泥球 S 碰撞前瞬间的速度大小 vQ ；（3）被压缩的轻弹簧的弹性势能 Ep 。 【答案】 （1）12 N；（2）2 m/s；（3）0.3 J 【解析】 （1）小球 P 恰好能通过半圆形轨道的最高点 C ，则有 解得 对于小球 P ，从 B → C ，由动能定理有 解得 在 B 点，受力分析有 解得 由牛顿第三定律有 NB ′＝ NB ＝12N （2）设 Q 与 S 做平抛运动的初速度大小为 v ，所用时间为 t ，根据公式 得 t ＝0.2s 根据公式 x ＝ vt 代入数据，得 v ＝1 m/s 碰撞前后 Q 和 S 组成的系统动量守恒，则有 mvQ ＝2 mv 解得 vQ ＝2m/s （3） P 、 Q 和弹簧组成的系统动量守恒，则有 MvP ＝ mvQ 解得 vP ＝1m/s P 、 Q 和弹簧组成的系统，由能量守恒定律有 解得 Ep ＝0.3J 题型总结 注意： 两物体夹弹簧问题 ①能量转化： 弹性势能转化为 动能 ； ②动量关系：两物体若同时释放那么满足 动量守恒 ； ③求解思路： 已知弹性势能，根据动量守恒和能量守恒求解二者 质量关系 或 速度关系 已知分离后运动状态，根据运动求解速度，再根据动量守恒求解二者 速度关系 ，最终根据能量守恒求解 弹性势能 巩固练习 10 .(多选)如图所示，把两个大小相同的金属球A和B用细线连接，中间夹一被压缩的轻弹簧，静止在光滑的水平桌面上。已知A的质量为 M ，B的质量为 m ，弹簧的压缩量为 x ，原长为 L 。现烧断细线，在弹簧恢复原长的过程中，下列说法正确的是（        ）     A.小球A、B组成的系统动量守恒 B.当弹簧恢复至原长时，小球A与小球B的动能之比为 C.金属球B发生的位移大小为 D.金属球A发生的位移大小为 【答案】 ABD 【解析】 【详解】AB．小球A、B组成的系统受到的合外力为零，则小球A、B组成的系统满足动量守恒，当弹簧恢复至原长时，有 可得小球A与小球B的动能之比为 故AB正确；CD．根据 则有 可得 又 联立解得 ， 故C错误，D正确。故选ABD。 11 .(多选)如图所示，水平光滑轨道宽和弹簧自然长度均为 d 。 的左边有一固定挡板。 由图示位置静止释放，当 与 相距最近时 速度为 ，则求在以后的运动过程中（　　） A. 的最小速度一定是0 B. 的最小速度可能是 C. 的最大速度可能是 D. 的最大速度一定是 【答案】 BCD 【解析】 【详解】从小球 m1 到达最近位置后继续前进，此后拉动 m2 前进， m1 减速， m2 加速，达到共同速度时两者相距最远，此后 m1 继续减速， m2 加速，当两球再次相距最近时， m1 达到最小速度， m2 达最大速度：两小球水平方向动量守恒，速度相同时保持稳定，一直向右前进，根据动量守恒可得 m1v1 = m1v1 ′+ m2v2 根据能量守恒可得 解得 所以 m1 的最小速度可能是 ， m2 的最大速度一定是 ；若 m1 = m2 ，可得 即 m1 的最小速度是0， m2 的最大速度为 v1 ，故选BCD。 12 .如图所示，光滑水平面上有质量均为 的 、 两个小物块（均视为质点）， 、 用细绳连接，中间有一压缩的较短轻弹簧（弹簧与物块不拴接）．开始时 、 均静止．在物块 右边一定距离处有一半径为 的固定光滑竖直半圆形轨道，半圆形轨道与水平面相切于 点，物块 的左边静置着一个三面均光滑的斜面体（底部与水平面平滑连接）．某一时刻细绳突然断开，物块 、 瞬间分离， 向右运动，恰好能过半圆形轨道的最高点 （物块 过 点后立即撤去）， 向左平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为 （ 小于斜面体的高度）．已知重力加速度为 ，求： ( 1 )细绳断开前弹簧的弹性势能大小？ ( 2 )斜面体的质量？ 【答案】 (1) (2) 【解析】 (1) 恰好能过半圆形轨道的最高点 ，重力提供向心力，设 到达 点时的速度为 ，由牛顿第二定律得： ， 设 、 分离时的速度分别为 、 ，从 、 分离到 运动到 的过程，对 ，由动能定理得： ， 弹簧释放瞬间 、 组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得： ， 设弹簧弹性势能为 ，由机械能守恒定律得： ， 解得： ． 答：细绳断开前弹簧的弹性势能大小是 ． (2) 与斜面体组成的系统在水平方向动量守恒， 滑上斜面体最高点时两者速度相等，设为 ，以向左为正方向，对 和斜面体组成的系统，在水平方向，由动量守恒定律得： ， 由机械能守恒定律得： ， 解得： ． 答：斜面体的质量是 ． 变式训练 13 .(多选)如图（ ），质量分别为 、 的 、 两物体用轻弹簧连接构成一个系统，外力 作用在 上，系统静止在光滑水平面上（ 靠墙面），此时弹簧形变量为 ，撤去外力并开始计时， 、 两物体运动的 图像如图（ ）所示， 表示 到 时间内 的 图线与坐标轴所围面积大小， 、 分别表示 到 时间内 、 的 图线与坐标轴所围面积大小． 在 时刻的速度为 ．下列说法正确的是（    ） A. 到 时间内，墙对 的冲量等于 B. C. 运动后，弹簧的最大形变量等于 D. 【答案】 ABD 【解析】 A选项：对 、 系统进行分析， 到 ，总动量由 变为 ，根据动量定理可知A正确； B选项： 时在等大的相互作用力作用下 ，所以 ，故B正确； C选项：利用机械能守恒定律分析，开始动能为 ，形变量为 ， 运动后，形变量最大时， 、 共速有动能，不为零，弹性势能相比于初始时刻小，形变量比 小，故C错误； D选项： 时刻， 最大，形变量最大， 、 共速，则 ，图像面积的物理意义是速度变化量，则 ，故D正确． 故选ABD. （三） 水平面弹簧碰撞问题 经典例题 14 .如图所示，光滑水平直轨道上静止放置三个质量均为 m 的物块A、B、C，物块B的左侧固定一轻弹簧。给A一个初速度 ，使其向B运动并压缩弹簧（弹簧始终在弹性限度内），当弹簧第一次压缩到最短时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。假设B和C碰撞时间极短，求：（1）从A开始运动到弹簧压缩最短时C受到的冲量大小；（2）从A开始运动到A与弹簧分离的过程中，整个系统损失的机械能；（3）弹簧第一次压缩到最短时的弹性势能。 【答案】 （1） ；（2）Δ E =m ；（3） 【解析】 （1）从A压缩弹簧到A与B具有相同速度 v1 时，对A、B与弹簧组成的系统，根据动量守恒定律得： B与C发生完全非弹性碰撞时，设碰撞后的瞬时速度为 v2 ，对B、C组成的系统，由动量守恒定律得： A将继续压缩弹簧，直至A、B、C三者速度相同，设此时速度为 v3 ，由动量守恒定律得 对C根据动量定理： I = mv3 -0 联立得： （2）B与C发生完全非弹性碰撞，故只有B与C碰撞损失机械能，设为Δ E ，对B、C组成的系统，由能量守恒定律得 m =Δ E + (2 m ) 得 Δ E =m （3）根据题干可知，弹簧第一次压缩到最短时为B、C碰撞前弹簧压缩到最短时，根据能量守恒，此时的弹性势能： 可得： 题型总结 注意： 关键词对应： 碰撞过程中弹性势能最大值——压缩量最大 —— 共速点 整个系统损失的机械能—— 巩固练习 15 .如图（a）所示，一质量为 m 的物块B与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上，物块A向B运动， t =0时与弹簧接触，到 t =2 t0 时与弹簧分离，A、B碰撞结束，A、B的 v - t 图像如图（b）所示。A、B分离后，B与静止在水平面上的C再次碰撞并粘接在一起，之后A与BC间距离不再变化。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内，B和C碰撞过程时间极短。求：（1）A、B碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；（2）B、C碰撞过程中损失的机械能。 【答案】 （1） ；（2） 【解析】 （1）设物块A、C的质量分别为 、 。对A、B的碰撞过程，由图（b）并根据动量守恒定律有 解得 A、B碰撞过程中，当二者速度相同时弹簧压缩量最大，弹性势能最大，根据机械能守恒定律有 （2）根据题意分析可知B和C碰撞后整体的速度为0.8 v0 ，根据动量守恒定律有 解得 B、C碰撞过程中损失的机械能为 16 .如图所示，小球 在光滑的水平直轨道上处于静止状态．在它左边有一垂直于轨道的固定挡板，右边有两个小球 和 用处于原长的轻质弹簧相连，以相同的速度 向 球运动， 与 发生碰撞并立即结成一个整体 ．在 和 继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被第一次锁定不能伸长但还能继续被压缩．然后 与挡板 发生弹性碰撞，而 的速度不变．过一段时间，弹簧被继续压缩到最短后第二次锁定．已知 、 、 三球的质量均为 ．求： ( 1 )弹簧长度第一次被锁定后 球的速度． ( 2 )弹簧长度第二次被锁定后的最大弹性势能． 【答案】 (1) (2) 【解析】 (1)设 球与 球粘结成 时， 的速度为 ， 由动量守恒定律可得： ， 解得： ； 当弹簧压至最短时， 与 的速度相等，设此速度为 ， 由动量守恒， ， 解得 的速度 ． 答：弹簧长度第一次被锁定后 球的速度为 ． (2)设弹簧长度第一次被锁定后，贮存的弹性势能为 ． 由能量守恒得： ， 解得： ，撞击 后， 的速度大小不变，仍为 ，方向向右； 的速度大小和方向均不变． 然后 与 继续相互作用，设当弹簧压缩到最短时， 与 的速度为 ，根据动量守恒定律可得： ， 解得： ， 弹性势能的增加量为： ， 弹簧长度第二次被锁定后的最大弹性势能 ． 答：弹簧长度第二次被锁定后的最大弹性势能为 ． （四） 斜面弹簧碰撞问题 【教法备注】 这部分较难，酌情讲解和练习 经典例题 17 .如图所示，在倾角为 的光滑固定斜面上，一轻弹簧下端固定在斜面下端，另一端与滑块 相连接，开始时 静止在斜面上．另有一滑块 在斜面上从距 为 处无初速滑向 ，与 发生完全非弹性正碰（不粘连），在碰撞以后的运动过程中 恰好不再脱离A．已知 的质量为 ， 的质量为 ，重力加速度为 ， ， ．弹簧始终处于弹性限度内，求： ( 1 )经多长时间 与 发生碰撞． ( 2 )弹簧的劲度系数． ( 3 )滑块 、 一起运动过程中系统的最大弹性势能． 【答案】 (1) (2) (3) 【解析】 (1) 与 碰撞前沿斜面匀加速下滑，设其加速度为 ，经历时间 与 碰撞，则 ， 解得： ， ， 解得： ． (2) 碰撞 前瞬间速度 ， 解得： ， 开始时 静止在斜面上，弹簧此时压缩量为 ，则有 ， 解得： ， 与 发生完全非弹性正碰，碰撞后瞬间两者共同速度为 ，则有 ， 解得： ， 碰后 、 一起沿斜面下滑，弹簧被压缩到最短之后再沿斜面上滑，此后的运动过程中 恰好不再脱离 ，则 、 上滑末速度为零时两者之间的弹力恰好为零，此时弹簧弹力为 ，对 有 ，对 整体有 ，可得 ，则弹簧此时处于原长． 对于碰后直到 、 一起上滑至末速度为零的过程， 弹簧弹力做功 ， 对 、 整体应用动能定理，有 ， 解得： ， ． (3)设 、 将弹簧压缩到最短时形变量为 ，此时弹性势能最大为 ，对于弹簧被压缩最短到 、 上滑至末速度为零的过程， 弹簧弹力做功 ， 对 、 整体应用动能定理，有 ， 由功能关系得： ， 解得： ． 题型总结 注意： ①临界条件的分析 ② 可以找两个 分别 拉伸量和压缩量相等 的位置 列能量守恒等式，这样可以排除弹性势能的影响 ③注意结合弹簧振子的 对称性 解题 巩固练习 18 .如图所示，小物块 m1 与 m2 通过一轻弹簧相连，放在倾角为 θ 的光滑固定斜面上，物块 m1 与固定在斜面上的竖直挡板接触，已知物块 m1 与 m2 的质量均为 m ，物块 m3 的质量为 ，弹簧的劲度系数为 k ，且下述过程弹簧形变始终在弹性限度内。开始物块 m1 与 m2 处于静止状态，现让物块 m3 从长木板上的 A 点静止释放，与物块 m2 相碰后粘合在一起，恰好使物块 m2 、 m3 向上反弹到最大高度时，物块 m1 对挡板的压力为零。则：（1）求 m3 运动至最低点时受到 m2 的弹力 N 大小？（2） A 点与碰撞前物块 m2 的距离为多大？（3）整个运动过程中弹簧最多比原来增加多少弹性势能？ 【答案】 （1） ；（2） ；（3） 【解析】 （1）开始时弹簧的压缩量为 当 m3 与 m2 相碰后黏在一起，先向下压缩弹簧，到最低点后再向上运动，当 m1 脱离挡板时，弹簧伸长量也为 此时 m3 与 m2 整体的加速度为 由对称性可知， m3 与 m2 在最低点时的加速度也为 方向沿斜面向上，对 m3 受力分析可以知 解得 （2） m3 与 m2 从碰后到到达最高点时，弹簧的弹性势能不变，则 碰撞过程动量守恒 m3 从 A 点到碰撞过程由能量关系 解得 （3） m3 与 m2 在最低点时增加的弹性势能最多，从碰撞结束后到最低点，物块向下移动的距离 由能量关系得 19 .如图所示，倾角 的倾斜直轨道 与水平直轨道 在 处平滑连接。在轨道 上的 点固定半径 的圆轨道 ， 点离水平轨道高度 ；在直轨道 的 点固定半径也为 的圆轨道 ；两个圆轨道在 点和 点分别与直轨道对接连通。一劲度系数 的轻质弹簧右端固定在挡板 上，自然状态时弹簧的左端恰好位于 点。已知直轨道的 段和 段为粗糙轨道，与两滑块间的动摩擦因数 ，其余直轨道和圆轨道均光滑。现将质量 的小滑块甲（可视为质点）从轨道 上某处由静止释放，滑块甲恰好能通过圆轨道 的最高点，与 轨道上质量也为 的乙滑块发生弹性正撞。（提示：弹簧弹性势能 与形变量 之间的关系为 ， ， ）(1)求滑块甲在轨道 上释放点到 点的距离；(2)求滑块乙通过圆轨道 的最高点时对轨道压力的大小；(3)现改变小滑块甲在轨道 上的释放点位置，要求甲、乙滑块始终不脱离轨道，并在第一次与弹簧接触过程中能停下，求滑块甲释放点到 点距离的范围；(4)现改变小滑块甲在轨道 上的释放点位置，使乙滑块经过 点时的动能 ，则乙滑块停在何处？ 【答案】 (1)0.42m；(2)60N；(3) (4)距离 点 处 【解析】 【详解】(1)对于小滑块甲 得 (2)设小滑块甲与乙弹性正碰前速度为 ，碰后甲、乙速度为 ， ，则 得 ， （碰撞后速度交换） 由上可知两滑块的运动可以看作一物块的运动 得 (3)滑块乙刚好能第一次返回 点，最大压缩量到返回 点做简谐运动，平衡位置弹簧压缩 ，则 得 即 (4) 得： 、 滑块乙停在距离 点 处 学生总结     【教法备注】 问题类型 处理思路 问题 两物体夹弹簧 总动量为 从动量守恒和弹性势能转化为动能两个角度解决 求最大弹性势能 求分离后速度 求劲度系数等 水平面弹簧碰撞问题 碰撞的动态分析 结合题意，运用弹性碰撞或 非弹性碰撞知识求解 斜面 弹簧碰撞问 题 受力分析、结合弹簧振子简谐运动分析极值点的受力以及运动情况 分析 隐含条件  二、 圆弧轨道模型 （一） 轨道底端开始运动 如图所示，质量为 的滑块静止在光滑水平面上，滑块的光滑弧面底部与桌面相切，一个质量为 的小球以速度 向滑块运动．设小球不能越过滑块。 1.上升阶段 小球到达滑块上的最高点时（小球的竖直速度为零 ），两物体的速度肯定 相等 （方向 水平向右 ）． 此过程中，系统在 水平方向动量 守恒，动能 减少 ，减少的动能转化为小球的 重力势能 ，相当于 完全非弹性 碰撞。 ①水平方向动量守恒（某一方向动量守恒）： ； ②系统机械能守恒： ； ③最高点： 、 具有共同水平速度， ． 2.下滑阶段 小球在下滑到水平面时（ 小球的竖直速度同样为零 ），两物体速度 不等 ，此时重力势能与初状态 相同 ，故小球 和轨道 没有 动能 损失，即相当于 弹性 碰撞 。 ①系统满足动量守恒： ②前后动能不变： ③易得二者速度： ， 。 由此可以看出，小球先上升后下降的过程与 弹簧模型 类似 （二） 轨道顶端开始运动 如图，小球从顶端开始运动，满足 水平方向动量 守恒，同时与 人船 模型类似， 故，假设圆弧底面长为 ，圆弧高为 ， 小球和圆弧轨道质量分别为 ，易得当小球滑倒圆弧底端时 动量与 能量 满足： 再由运动同时性以及几何关系， 可得船、人的位移分别为： ， 经典例题 20 .如图所示，总质量为 M 的轨道 ABC 置于光滑水平面上，由粗糙水平轨道 AB 和竖直面内四分之一光滑圆弧轨道 BC 组成， AB 恰与圆弧 BC 在 B 点相切。一个质量为 m 的小物块从轨道的 A 端以初速度 v0 向右冲上水平轨道，到达圆弧轨道上某位置后，沿轨道返回。则（　　） A.由于物块在 AB 上运动时受到摩擦力作用，故 M 与 m 组成的系统动量不守恒 B.物块在轨道 ABC 上滑动全过程中， M 与 m 组成的系统总动量始终保持不变 C.物块在圆弧轨道上运动过程中， M 的动量不断减小 D.当物块相对轨道静止时，速度变为 【答案】 D 【解析】 【分析】【详解】A．物块在 上运动时，摩擦力为 与 之间的内力，由动量守恒定律可知， 与 组成的系统动量守恒，A错误B．在运动的全过程，水平方向动量守恒，物块冲上 过程中，竖直方向系统受到的合外力不为零，所以竖直方向动量不守恒， 与 组成的系统总动量不守恒，B错误C．物体在圆弧轨道运动过程中，物块 对轨道的作用力在水平方向的分力向右，则轨道 的动量不断增大，C错误D．当物块相对于轨道静止时，二者水平方向的速度相同，取向右为正，根据动量守恒定律得 得 D正确故选D。 题型总结 注意： 若 圆弧轨道光滑， 整个过程中机械能 守恒 ，动量 不守恒 ，仅仅是 水平方向动量守恒 。 若 圆弧轨道粗糙，那么机械能和动量均 不守恒 。 21 .(多选)如图所示，一异形轨道由粗糙的水平部分和光滑的四分之一圆弧部分组成，置于光滑的水平面上，如果轨道固定，将可视为质点和物块从圆弧轨道的最高点由静止释放，物块恰好停在水平轨道的最左端．如果轨道不固定，仍将物块从圆弧轨道的最高点由静止释放，下列说法正确的是（    ） A.物块与轨道组成的系统机械能不守恒，动量守恒 B.物块与轨道组成的系统机械能不守恒，动量不守恒 C.物块仍能停在水平轨道的最左端 D.物块将从轨道左端冲出水平轨道 【答案】 BC 【解析】 A选项，B选项：轨道不固定时，物块在轨道的水平部分运动时因摩擦产生内能，所以系统的机械能不守恒．物块在轨道的圆弧部分下滑时，有竖直分加速度，系统的合外力不为零，动量不守恒，故A错误，故B正确； C选项，D选项：设轨道的水平部分长为 ．轨道固定时，根据能量守恒定律得 ，轨道不固定时，设物块与轨道相对静止时共同速度为 ，在轨道水平部分滑行的距离为 ．取向左为正方向，根据水平动量守恒得： ，则得 根据能量守恒定律得： ，联立解得 ，所以物块仍能停在水平轨道的最左端，故C正确，故D错误． 故选BC． 22 .(多选)如图所示，在光滑的水平面上有一静止的质量为 M 的凹槽，凹槽内表面为光滑的半圆弧轨道，半径为 R ，两端 与圆心等高，现让质量为 m 的物块从 A 点以竖直向下的初速度 开始下滑，则在运动过程中（　　） A.物块与凹槽组成的系统动量守恒 B.物块运动到 B 点时速度大于 C.物块运动到 B 点后将从 B 点飞出做竖直上抛运动 D.物块运动到 B 点时，凹槽向左移动了 【答案】 CD 【解析】 A．由于物块在竖直方向有加速度，可知物块与凹槽组成的系统在竖直方向的合外力不为零，所以系统动量不守恒。故A为错误选项；BC．该系统水平方向动量守恒，开始时水平动量为零，所以当物块运动到 B 点时只有竖直方向速度，水平方向上两者的速度都为零，之后将从 B 点飞出做竖直上抛运动。此时凹槽速度为零，根据能量关系，可知物块的速度等于 v0 ，故B为错误选项，C为正确选项；D．设物块从 A 到 B 的时间为 t ，物块发生的水平位移大小为 x ，则凹槽产生的位移为 ，取水平向右为正方向，则根据水平方向动量守恒有 解得 凹槽向左移动的位移为 故D为正确选项。故答案为CD。 23 .(多选)如图所示，小车静止在光滑水平面上， 是小车内半圆弧轨道的水平直径，现将一质量为 的小球从距 A 点正上方 R 处由静止释放，小球由 A 点沿切线方向进入半圆轨道，已知半圆弧半径为 ，小车质量是小球质量的 k 倍，不计一切摩擦，则下列说法正确的是（　　） A.小球运动到小车的 点位置时，车与小球的速度相同 B.小球从小车 A 位置运动到 B 位置过程中，小车对小球先做负功后做正功 C.小球从小车的 B 点冲出后可上升到释放的初始高度，并能从小车 A 点冲出到达释放的初始位置（相对于地） D.小球从开始下落至到达圆弧轨道的最低点过程，小车的位移大小为 【答案】 BC 【解析】 AC．因为系统水平方向的总动量保持为零，则小球由 B 点离开小车时小车速度为零，小球竖直上抛，由机械能守恒可知小球能上升到与释放点等高的位置，返回后能从小车 A 点冲出到达释放的初始位置（相对于地），A为错误选项，C为正确选项；B．小球从小车 A 位置运动到 B 位置过程中，小车先向左加速再向左减速，小球对小车先做正功再做负功，故小车对小球先做负功再做正功，B为正确选项；D．小球从开始下落至到达圆弧轨道的最低点过程，由人船模型可得 解得小球、小车的水平位移分别为 ， D为错误选项。故答案为BC。 变式训练 24 .(多选)质量均为 的木块 和 并排放在光滑水平面上， 上固定一竖直轻杆，轻杆上端的 点系一长为 的细线，细线另一端系一质量为 小球C．现将 球拉起使细线水平伸直，并由静止释放 球，在以后的运动过程中，正确的判断是（    ） A. 和 分离之前， 、 、 组成的系统动量守恒 B.小球 到达最低点时速度大小为 C.木块 的最大速度大小为 D.小球 到达左侧最高点时速度大小为 【答案】 BCD 【解析】 A选项：小球摆动过程中， 系统水平方向不受外力，水平方向动量守恒，但竖直方向动量不守恒，故A错误； B选项：小球 下落过程中，水平方向动量守恒，取水平向左为正方向，由水平方向动量守恒定律可得 ，由机械能守恒定律可得 ，解得 ， ，故B正确； C选项：分离后 以原速度做匀速直线运动，则 的最大速度为 ，故C正确； D选项：分离后 以原速度做匀速直线运动， 速度减为 后反方向向左运动，当 速度相等时， 球摆到最高点，此过程 组成的系统动量守恒，则 ，解得 ，故D正确． 故选BCD. 学生总结     三、 子弹打木块问题 （一） 子弹停在木块中的情况 模型分析 如下图，子弹以速度 射入静止在光滑水平面上的木块中。当子弹射入木块并停在其中（即：不穿出，），子弹的最终速度并不是零（停止），而是子弹和木块最终共速，系统损失的动能等于 子弹与木块间摩擦产生的热量 ，相当于 完全非弹性 碰撞。 【教法备注】 【模型】 子弹打木块问题与板块模型本质上是相同的。在动量守恒的情景下，设置的各种运动物体与静止或运动物体通过相互作用面达到共速或非共速状态的题目类型统称为“子弹打木块”题型。 【核心问题】 子弹打木块问题，在能量转化方面，往往会用到 。 （二） 子弹射出木块的情况 模型分析 如下图，子弹以速度 射入静止在光滑水平面上的木块，当子弹穿出时，子弹和木块最终的速度分别为 和 ，系统损失的动能等于 子弹与木块间摩擦产生的热量 ，相当于一般的 非弹性碰撞 。                   经典例题 25 .如图所示，一质量为 、厚度为 的木块，静止在光滑的水平地面上，一颗质量 的子弹，以 的速度射向木块．如果将子弹与木块相互作用力大小 视为恒力．试问： ( 1 )如果子弹没有打穿木块，则木块最终速度为多少？ ( 2 )如果子弹没有打穿木块，系统产生的热是多少？ ( 3 )要使得子弹能打穿木块，则子弹的初速度至少多大？ 【答案】 (1) (2) (3) 【解析】 (1)子弹打木块过程，系统水平方向上动量守恒： ， ． (2)子弹打木块过程中，能量守恒： ， ． (3)恰好打穿过程，水平方向动量守恒： ， 能量守恒： ， ， 联立解得： ． 题型总结  解决子弹打木块模型类题目时，应注意以下几点： ①子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，则系统 动量守恒 。 ②在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能 不守恒 ，机械能向 内能 转化。 ③若子弹不穿出木块，二者最后有 共同 速度，机械能损失 最多 。 巩固练习 26 .如图，—质量为 的物块静止在桌面边缘，桌面离水平地面的高度为 ．一质量为 的子弹以水平速度 射入物块后，以水平速度 射出．重力加速度为 ．求： ( 1 )此过程中系统损失的机械能． ( 2 )此后物块落地点离桌面边缘的水平距离． 【答案】 (1) (2) 【解析】 (1)设子弹穿过物块后物块的速度为 ， 由动量守恒得 ① 解得 ② 系统的机械能损失为 ③ 由②③式得 ． (2)设物块下落到地面所需时间为 ，落地点距桌面边缘的水平距离为 ，则 ，                                                                                         ⑤ ，                                                                                                ⑥ 由②⑤⑥式得 ． 27 .如图所示，质量为 的物块（可视为质点）放在质量为 的木板左端，木板静止在光滑水平面上，物块与木板间的动摩擦因数 ，质量为 的子弹以速度 沿水平方向射入物块，并以 的速度水平穿出（此过程时间极短）， 取 ，求： ( 1 )子弹刚从物块穿出的瞬间，物块的速度 ． ( 2 )要使物块不从木板上滑落，则木板的长度至少要多少． 【答案】 (1) (2) 【解析】 (1)子弹穿过物块前后，子弹与物块组成的系统动量守恒， ． (2)若物块刚好不从木板上滑落，则两者最终有共同速度 ，根据系统能量守恒，动量守恒： ． 28 .如图所示，轻质弹簧的左端固定在竖直墙壁上，右端与静止在光滑水平面上的木块 相连接，子弹 沿水平方向射入木块后留在木块内，再将弹簧压缩到最短．上述这个过程可抽象为两个典型的过程：过程①是子弹射入木块并获得共同速度；过程②是木块与子弹一起压缩弹簧并将弹簧压到最短．已知木块的质量大于子弹的质量，空气阻力可忽略不计，下列说法中正确的是（    ） A.过程①中木块获得的动能一定小于此过程中子弹损失的动能 B.过程①中子弹对木块的冲量大小可能大于木块对子弹的冲量大小 C.过程②中墙壁对弹簧的冲量大小一定小于子弹和木块总动量的减小量 D.过程②中弹簧的最大弹性势能可能等于过程①中木块所获得的动能 【答案】 A 【解析】 A选项：过程①中子弹损失的动能转化为木块的动能和系统摩擦生热，所以木块获得的动能小于此过程中子弹损失的动能，故A正确； B选项：冲量 ，子弹和木块之间的力为相互作用力，它们的大小相等，又因为时间 也相同，所以过程①中子弹对木块的冲量大小等于木块对子弹的冲量大小，故B错误； C选项：由动量定理知，过程②中墙壁对弹簧的冲量大小等于子弹和木块总动量的减小量，故C错误； D选项：过程②中弹簧的最大弹性势能等于过程①中木块和子弹的末动能之和，故D错误； 故选A. 学生总结     四、 课堂总结 五、 出门测 29 .(多选)如图，质量为 的小车静止在光滑的水平面上，小车 段是半径为 的四分之一光滑圆弧轨道， 段是长为 的水平粗糙轨道，两段轨道相切于 点．一质量为 的滑块在小车上从 点静止开始沿轨道滑下，然后滑入 轨道，最后恰好停在 点．已知小车质量 ，滑块与轨道 间的动摩擦因数为 ，重力加速度为 ．则（    ） A.全程滑块水平方向相对地面的位移 B.全程小车相对地面的位移大小 C. 、 、 三者之间的关系为 D.滑块 运动过程中的最大速度 【答案】 BC 【解析】 AB．设全程小车相对地面的位移大小为 ，则滑块水平方向相对地面的位移： ，滑块与小车组成的系统在水平方向动量守恒，取水平向右为正方向， 在水平方向，由动量守恒定律得： ， 即： ，已知： ，解得： ， ，故A错误，B正确； C．系统在水平方向动量守恒，以向右为正方向，对整个过程，由动量守恒定律得： ，解得： ，由能量守恒定律得： ，解得： ，故C正确； D．滑块刚滑到 点时速度最大，取水平向右为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒分别得： ， ． 解得： ，故D错误． 故选BC． 30 .如图，用长为 的轻绳悬挂一质量为 的沙箱，沙箱静止．一质量为 的弹丸以速度 水平射入沙箱并留在其中，随后与沙箱共同摆动一小角度．不计空气阻力．对子弹射向沙箱到与其共同摆过一小角度的过程（    ） A.若保持 、 、 不变， 变大，则系统损失的机械能变小 B.若保持 、 、 不变， 变大，则系统损失的机械能变小 C.若保持 、 、 不变， 变大，则系统损失的机械能变大 D.若保持 、 、 不变， 变大，则系统损失的机械能变大 【答案】 C 【解析】 弹丸击中沙箱过程系统水平方向动量守恒，以弹丸的初速度方向为正方向， 由动量守恒定律得： ，解得： ， 弹丸与沙箱一起摆动过程系统机械能守恒，由能量守恒定律可知， 整个过程系统损失的机械能： ； A．若保持 、 、 不变， 变大，系统损失的机械能： 变大，故A错误； B．若保持 、 、 不变， 变大，则系统损失的机械能： 变大，故B错误； C．若保持 、 、 不变， 变大，则系统损失的机械能： 变大，故C正确； D．若保持 、 、 不变， 变大，则系统损失的机械能： 不变，故D错误． 故选C． 学科网（北京）股份有限公司 $$