专题07 直线与圆大题压轴专练六大类型-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题07 直线与圆大题压轴专练 目录 类型一、直线的方程问题 1 类型二、直线与坐标轴围成三角形面积问题 4 类型三、直线与圆相交问题 8 类型四、圆与圆的位置关系 12 类型五、圆中的定点定值问题 18 类型六、圆中的探索性问题 24 类型一、直线的方程问题 例．（24-25高二上·陕西西安·月考）三角形的三个顶点是． (1)求边所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程； (3)求经过两边和中点的直线的方程． 【变式训练1】（24-25高二上·北京·期中）已知顶点、、． (1)求线段的中点及其所在直线的斜率； (2)求线段的垂直平分线的方程； (3)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 【变式训练2】（24-25高二上·黑龙江大庆·月考）已知直线与直线的交点为. (1)求点的坐标； (2)求经过点且与直线平行的直线的方程； (3)求经过点且与直线垂直的直线的方程. 【变式训练3】（24-25高二上·湖北·期中）已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． (1)求点B的坐标； (2)若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 【变式训练4】（24-25高二上·福建·期中）已知直线过点，且的一个法向量是. (1)求直线的方程； (2)若直线与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求的角平分线所在的直线方程. 类型二、直线与坐标轴围成三角形面积问题 例．（24-25高二上·四川内江·期中）已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 【变式训练1】（24-25高二上·重庆·期中）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值. 【变式训练2】（24-25高二上·山东菏泽·月考）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，求面积的最小值及此时的直线方程. 【变式训练3】（24-25高二上·福建莆田·月考）已知直线过定点 (1)若到直线的距离为，求直线的方程； (2)若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 【变式训练4】（24-25高二上·山东菏泽·月考）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值． 类型三、直线与圆相交问题 例．（24-25高二上·宁夏银川·期中）已知关于直线对称，且圆心在轴上. (1)求的标准方程； (2)已知动点在直线上，过点引的切线MA，求的最小值. 【变式训练1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长； (3)在（2）的条件下，求以短弦长为直径的圆的方程. 【变式训练2】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知圆方程为. (1)求实数的取值范围； (2)求与圆相切于点的直线方程； (3)直线与圆交于A，B两点，若，求实数的值. 【变式训练3】（24-25高二上·吉林长白·月考）已知圆，直线过点. (1)求圆的圆心坐标及半径长； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 【变式训练4】（24-25高二上·广东广州·期中）已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. (1)求外接圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (3)若是圆上的两个动点，当最大时，求直线的方程. 类型四、圆与圆的位置关系 例．（24-25高二上·天津武清·期中）已知圆经过点，，且圆心在直线上，圆． (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆的位置关系并说明理由；若相交，求两圆公共弦的长． 【变式训练1】（24-25高二上·江西抚州·月考）已知圆的方程为． (1)若圆与圆关于直线对称，求圆的方程； (2)若，圆与圆交于A，B两点，且，求圆的方程． 【变式训练2】（24-25高二上·河南洛阳·月考）已知圆与圆相交于两点，直线的方程为． (1)若圆的圆心在圆外，求圆的半径的取值范围； (2)若是圆上的动点，且的面积的最大值为，求圆的方程． 【变式训练3】（24-25高二上·江苏南京·月考）已知圆与圆 (1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围; (2)若，且圆与圆有两个不同的交点求线段DE的长; (3)若r=1，求圆与圆的公切线方程. 【变式训练4】（24-25高二上·四川成都·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，圆. (1)求圆与圆的公共弦所在的直线方程和圆的方程； (2)为平面内一动点，分别为圆与圆的切线（为切点）且，求点的轨迹方程； (3)斜率为的直线过点与圆交于两点（在轴上方）.将平面沿轴折叠，使平面平面，设折叠后的长度为．求函数的解析式，并求函数的值域. 类型五、圆中的定点定值问题 例．（24-25高二上·北京·期中）已知圆过点和点，且圆心在直线上，直线过点. (1)求圆的方程； (2)若与圆相切，求的方程； (3)若与圆相交于，两点，线段的中点为，与：的交点为，求证：为定值. 【变式训练1】（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点. (1)当时，求的长； (2)是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由； (3)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【变式训练2】（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)若 是圆C上任意一点，求的取值范围 (3)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练3】（24-25高二上·山东济南·月考）已知直线，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方. (1)求圆C的方程； (2)直线与圆C交于不同的M，N两点，且，求直线的斜率； (3)过点的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在y轴正半轴上是否存在定点N，使得y轴平分？若存在，请求出点N的坐标：若不存在，请说明理由. 【变式训练4】（24-25高二上·湖北·月考）已知圆：，过直线：上的动点作圆的切线，切点分别为，． (1)当时，求出点的坐标； (2)经过，，三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标； (3)求线段的中点的轨迹方程． 类型六、圆中的探索性问题 例．（23-24高二上·广东广州·期中）已知圆C经过两点，且与y轴的正半轴相切． (1)求圆C的标准方程； (2)在圆C上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆：和点，为圆外一点，直线与圆相切于点，. (1)求点的轨迹方程； (2)记（1）中的点的轨迹为，是否存在斜率为的直线，使以被曲线截得得弦为直径得圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【变式训练2】（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知圆的圆心在轴上，且过． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点（点位于轴上方），在轴上是否存在点，使得当直线变化时，均有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练3】（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆关于轴对称，圆心在直线上，与轴相交的弦长为4. (1)求圆的方程； (2)若点是圆上的动点，动点与两个定点，的距离之比为2，求的最大值和最小值； (3)若在给定直线上任取一点，从点向圆引一条切线，切点为，若存在定点，恒有，求的取值范围. 【变式训练4】（24-25高二上·湖北黄冈·期中）已知动点M与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线PQ，为切点），连接PD交QR于点， （ⅰ）证明：直线QR过定点，并求该定点坐标； （ⅱ）是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 直线与圆大题压轴专练 目录 类型一、直线的方程问题 1 类型二、直线与坐标轴围成三角形面积问题 4 类型三、直线与圆相交问题 8 类型四、圆与圆的位置关系 12 类型五、圆中的定点定值问题 18 类型六、圆中的探索性问题 24 类型一、直线的方程问题 例．（24-25高二上·陕西西安·月考）三角形的三个顶点是． (1)求边所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程； (3)求经过两边和中点的直线的方程． 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）根据题意可知， 则根据直线截距式可得，即； （2）设高所在的直线方程的斜率为，直线斜率为， 由(1)知直线斜率为，根据高所在的直线方程的斜率与斜率乘积为， 即，则可得，再由点斜式可得， 即； （3）设和中点分别为， 则由， 所以 则根据两点式可得直线方程为， 即. 【变式训练1】（24-25高二上·北京·期中）已知顶点、、． (1)求线段的中点及其所在直线的斜率； (2)求线段的垂直平分线的方程； (3)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 【答案】(1)中点为，；(2)；(3)或. 【解析】（1）由、，可知中点为，且， （2）由（1）可得，垂直平分线斜率满足，即， 又的垂直平分线过， 所以边的垂直平分线的方程为，即； （3）当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 【变式训练2】（24-25高二上·黑龙江大庆·月考）已知直线与直线的交点为. (1)求点的坐标； (2)求经过点且与直线平行的直线的方程； (3)求经过点且与直线垂直的直线的方程. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）联立方程，解得，可得交点. （2）因为直线的斜率， 由已知直线与直线平行，则直线的斜率， 所以直线，即； （3）因为直线的斜率， 由已知直线与直线垂直，则直线的斜率， 所以直线，即. 【变式训练3】（24-25高二上·湖北·期中）已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． (1)求点B的坐标； (2)若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可设点， 因为，则的中点在直线上， 可得，解得， 所以点B的坐标为. （2）设关于直线的对称点为， 则，解得，即 所以反射光线所在的直线方程为，可得. 【变式训练4】（24-25高二上·福建·期中）已知直线过点，且的一个法向量是. (1)求直线的方程； (2)若直线与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求的角平分线所在的直线方程. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为直线的一个法向量是， 又过点所以可得直线的方程为， 化简得，所以所求直线的方程为. （2）因为直线与轴交于点，由（1）知的方程为，所以， 因为，所以， 将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为， 则，所以. 由点可知直线方程为，即. （3）设直线的倾斜角为，因为， 所以，，则， 所以，的角平分线所在直线的倾斜角为， 则的角平分线所在直线的斜率为 ， 因此，的角平分线所在直线的方程为，即. 类型二、直线与坐标轴围成三角形面积问题 例．（24-25高二上·四川内江·期中）已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意，整理得， 所以不管取何值时，直线恒过定点的坐标满足方程组， 解得，即. （2）设直线方程为，则， 由直线恒过定点，得， 由整理得：，解得或， 所以直线方程为：或， 即或， 又直线的斜率， 所以不合题意，则直线方程为. 【变式训练1】（24-25高二上·重庆·期中）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2)4 【解析】（1）由，可得， 令，所以直线过定点. （2）由（1）知，直线恒过定点，由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点为，，令，得；令，得， 所以面积， 当且仅当，即时，面积最小值为4. 【变式训练2】（24-25高二上·山东菏泽·月考）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，求面积的最小值及此时的直线方程. 【答案】(1)或；(2)面积最小值，此时直线的方程为 【解析】（1）由圆可得：圆心坐标为，半径为，分以下两种情况讨论： 若直线斜率不存在，则直线方程为，此时点到直线的距离为， 故直线与圆相切，符合题意； 若直线斜率存在，设直线方程为，即. 由直线与圆相切可得：，解得. 此时直线的方程为：， 综上直线的方程为：或. （2）由题意，设点、，则，， 所以，直线的方程为，则， 由基本不等式可得，即，即， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时，直线的方程为，即， 所以，面积的最小值为，此时，直线的方程为. 【变式训练3】（24-25高二上·福建莆田·月考）已知直线过定点 (1)若到直线的距离为，求直线的方程； (2)若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)或；(2)最小值为，直线l的方程为. 【解析】（1）当直线斜率不存在时， 由过得，满足到的距离为3， 当直线斜率存在时，设直线方程为即， 点到直线的距离为，解得. 此时直线的方程为即， 综上所述，所求的直线方程为或. （2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点， 则设直线为，，则， . ， 当且仅当时取等号，故面积的最小值为12， 此时直线l的方程为. 【变式训练4】（24-25高二上·山东菏泽·月考）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)4 【解析】（1）证明：直线l的方程可化为， 故无论k取何值，直线l总过定点． （2）直线l的方程为， 则直线l在y轴上的截距为，要使直线l不经过第四象限，则， 解得，故k的取值范围是． （3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为， ∴，． 又且，∴ ． 故， 当且仅当，即时，取等号． 故S的最小值为4． 类型三、直线与圆相交问题 例．（24-25高二上·宁夏银川·期中）已知关于直线对称，且圆心在轴上. (1)求的标准方程； (2)已知动点在直线上，过点引的切线MA，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为圆的方程为， 所以圆心坐标为，由题意得圆关于直线对称， 故是圆的直径，即在直线上， 得到，而圆心在轴上，故，解得， 代入到中，得到，解得， 故圆的一般方程为， 我们把它换为标准方程，得到圆的标准方程为， （2）首先，可化为， 如图，作，且记直线为， 由勾股定理得，故， 当最小时，一定最小，也一定最小， 由平面几何性质得当时，取得最小值， 由点到直线的距离公式得， 故. 【变式训练1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长； (3)在（2）的条件下，求以短弦长为直径的圆的方程. 【答案】(1)证明见解析；(2)当的方程为时最短；，最短弦长为； (3) 【解析】（1）直线的方程可化为， 由，解得， 所以直线恒过定点. （2）圆的圆心，半径， 令点，当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 直线的斜率为，由得直线的斜率为，解得 此时的方程为，即， 圆心到直线的距离为，最短弦长为 所以当的方程为时最短；，最短弦长为. （3）由（2）知，以短弦长为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以短弦长为直径的圆的方程. 【变式训练2】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知圆方程为. (1)求实数的取值范围； (2)求与圆相切于点的直线方程； (3)直线与圆交于A，B两点，若，求实数的值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1），可化为， 所以. （2）将点带入圆方程得，圆为， 圆心坐标，得直线CD的斜率为，故切线的斜率为， 切线方程为，整理得. （3）由（1）得，圆心坐标， 圆心到直线的距离为， 又，所以，得. 【变式训练3】（24-25高二上·吉林长白·月考）已知圆，直线过点. (1)求圆的圆心坐标及半径长； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 【答案】(1)圆的圆心坐标为，半径长为；(2)或；(3). 【解析】（1）圆方程可化为:，圆心坐标为，半径长为. （2）①当直线的斜率不存在时，方程为，圆心到直线距离为，满足题意． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程是，即. 由圆心到直线的距离等于半径得，，解得， 此时直线的方程为. 综上，直线的方程为或. （3） ∵圆的圆心坐标为，， ∴. 如图，由相切得，，， ∴. 【变式训练4】（24-25高二上·广东广州·期中）已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. (1)求外接圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (3)若是圆上的两个动点，当最大时，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或；(3) 【解析】（1）设圆的方程为，， 则，解得， 则圆的方程为， 即圆的标准方程为； （2）由（1）得圆心，半径， 又，可知圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为，成立； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离， 解得，则直线方程为，即； 综上，直线方程为或. （3）由在圆M外，当与圆相切时（E，F不重合），取的最大值, 此时的中点为，, 所以以为直径的圆的方程为, 即①, 又圆M的方程为②, ①②：, 所以直线的方程为. 类型四、圆与圆的位置关系 例．（24-25高二上·天津武清·期中）已知圆经过点，，且圆心在直线上，圆． (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆的位置关系并说明理由；若相交，求两圆公共弦的长． 【答案】(1)；(2)相交， 【解析】（1），中点坐标 直线的斜率为， 直线的垂直平分线的斜率为， 直线的垂直平分线的方程， 即，联立方程， 解方程组得，所以圆心为， 半径， 所以圆的方程为：. （2）由（1）圆圆心，半径， 圆圆心，半径， ， ∵， 所以圆和圆相交， 设交点为，，直线方程为 即：. ，运用点到直线距离公式计算得到到直线的距离， 所以． 两圆公共弦的长． 【变式训练1】（24-25高二上·江西抚州·月考）已知圆的方程为． (1)若圆与圆关于直线对称，求圆的方程； (2)若，圆与圆交于A，B两点，且，求圆的方程． 【答案】(1)；(2)或. 【解析】（1）圆的方程为，则圆心坐标为，半径， 设点关于直线对称的点， 则，解得， 所以圆的方程为. （2）圆的方程为，设圆的方程为， 两圆圆心距， 因为圆与圆相交，则，所以， 两圆的方程相减，可得两圆公共弦AB所在的直线的方程为， 可得到直线AB的距离， 由弦长，可得，即，可得或， 所以圆的方程为或. 【变式训练2】（24-25高二上·河南洛阳·月考）已知圆与圆相交于两点，直线的方程为． (1)若圆的圆心在圆外，求圆的半径的取值范围； (2)若是圆上的动点，且的面积的最大值为，求圆的方程． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）由，得， 所以圆的半径，圆心为，且圆心在直线上． 因为圆的圆心在圆外，所以连结，． 又因为，连接，所以在中，圆的半径为． 故圆的半径的取值范围为． （2）设圆的圆心为，由题意可得，所以，即①． 设圆的半径为，在中，边上的高为h， 所以的面积为， 当时，即此时取得最大值，的面积取得最大值， 最大值为，解得， 所以②． 由①②得，或， 所以圆的方程为或． 【变式训练3】（24-25高二上·江苏南京·月考）已知圆与圆 (1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围; (2)若，且圆与圆有两个不同的交点求线段DE的长; (3)若r=1，求圆与圆的公切线方程. 【答案】(1)；(2)；(3)，，. 【解析】（1）圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为4， 由圆与圆有两个不同的交点，得，而， 因此，解得， 所以的取值范围是. （2）当时，圆，此时圆与圆相交，两圆方程相减得直线方程， 点到直线的距离， 所以. （3）当时，，即圆与圆外切，圆与圆有1条内公切线，2条外公切线， 显然切线的斜率存在，设方程为，则， 整理得或，解，得 解，得或， 因此内公切线的方程为，即； 外公切线的方程为，的方程为，即， 所以圆与圆的公切线方程为，，. 【变式训练4】（24-25高二上·四川成都·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，圆. (1)求圆与圆的公共弦所在的直线方程和圆的方程； (2)为平面内一动点，分别为圆与圆的切线（为切点）且，求点的轨迹方程； (3)斜率为的直线过点与圆交于两点（在轴上方）.将平面沿轴折叠，使平面平面，设折叠后的长度为．求函数的解析式，并求函数的值域. 【答案】(1)，； (2)；(3)； 【解析】（1）如图所示，由 两式相减， 化简得． 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为. 又圆与圆关于直线对称，设圆的圆心为， 解得, 圆方程为. （2）如图，根据切线长公式,， 因为，所以，即， 设，则， 化简得， 点Q的轨迹方程 （3）如图：设直线的方程为，且设. 由得， 显然，且. 分别过作轴，轴，折叠后， 可知, 由，所以, ， 又由 由 , ， 综上:的值域为. 类型五、圆中的定点定值问题 例．（24-25高二上·北京·期中）已知圆过点和点，且圆心在直线上，直线过点. (1)求圆的方程； (2)若与圆相切，求的方程； (3)若与圆相交于，两点，线段的中点为，与：的交点为，求证：为定值. 【答案】(1)；(2)或；(3)证明见解析. 【解析】（1）设圆心，由圆心在直线上及点和点都在圆上， 得， 即，解得，即， 所以圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，点到直线的距离为2，直线与圆相切，方程为； 当直线的斜率存在，设直线为，即， 圆心到直线的距离等于半径2，即 ，解得，方程为， 所以直线方程是或. （3）由（2）知，直线的斜率必定存在，且不为0，其方程为：， 由，解得，即， 又直线与垂直，则直线所在的直线方程为， 由，解得，即， 因此 . 所以为定值. 【变式训练1】（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点. (1)当时，求的长； (2)是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由； (3)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】(1)；(2)存在，；(3)证明见解析 【解析】（1）因为，所以，直线的方程为， 设圆心到直线的距离为，则， 所以 （2）取的中点为，如图， 假设存在弦被点三等分，设，，则， ，解得， 当斜率不存在时，，故斜率存在， 设斜率为，则：， ，解得， 即存在弦被点三等分，直线的斜率为. （3）由题意知，, 当直线斜率不存在时，，， 不妨取， 则，此时 直线斜率存在时，设方程为， 代入圆的方程可得， 设，则， 又， 所以 综上，为定值. 【变式训练2】（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)若 是圆C上任意一点，求的取值范围 (3)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)存在， 【解析】（1）依题可设圆心坐标为， 则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以，故圆的标准方程为. （2） 若 是圆C上任意一点， 则表示圆上任意一点到点距离的平方， 所以的最大值为， 的最小值为： ， 所以的取值范围为： （3）假设存在定点，设， ， 则， 则， 当，即，（舍去）时，为定值， 且定值为，故存在定点，且的坐标为. 【变式训练3】（24-25高二上·山东济南·月考）已知直线，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方. (1)求圆C的方程； (2)直线与圆C交于不同的M，N两点，且，求直线的斜率； (3)过点的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在y轴正半轴上是否存在定点N，使得y轴平分？若存在，请求出点N的坐标：若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）设圆心，则，解得或（舍）， 故圆的方程为． （2）由题意可知圆心到直线的距离为， 则有，解得. （3）当直线的斜率存在时， 设直线的方程为， 由得， 若y轴平分，则，即，即， 即，即，即， 当时，上式恒成立，即； 当直线的斜率不存在时，易知满足题意； 综上，当点的坐标为时，y轴平分. 【变式训练4】（24-25高二上·湖北·月考）已知圆：，过直线：上的动点作圆的切线，切点分别为，． (1)当时，求出点的坐标； (2)经过，，三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标； (3)求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1)或；(2)过定点或；(3) 【解析】（1）（1） 直线的方程为，点在直线上，设， 因为，由对称性可得：由对称性可知， 由题所以，所以， 解之得：故所求点的坐标为或． （2）设，则的中点，因为是圆的切线， 所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆， 故圆E方程为： 化简得：，此式是关于的恒等式， 故解得或, 所以经过三点的圆必过定点或． （3）由 可得：，即， 由可得过定点. 因为N为圆的弦的中点，所以，即， 故点N在以为直径的圆上， 点N的轨迹方程为. 类型六、圆中的探索性问题 例．（23-24高二上·广东广州·期中）已知圆C经过两点，且与y轴的正半轴相切． (1)求圆C的标准方程； (2)在圆C上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在，两个，理由见解析 【解析】（1）设圆的圆心坐标为，方程为， 因为圆与轴正半轴相切，所以，， 将点，代入圆的方程得，解得， 所以圆的标准方程为. （2） 存在两个点，使得，理由如下， 设点，则， 因为，所以，整理得， 所以圆上存在几个点， 使得可转化为直线与圆有几个交点， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，有两个交点， 所以存在两个点，使得. 【变式训练1】（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆：和点，为圆外一点，直线与圆相切于点，. (1)求点的轨迹方程； (2)记（1）中的点的轨迹为，是否存在斜率为的直线，使以被曲线截得得弦为直径得圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1)；(2)存在，或 【解析】（1）设点坐标为，直线与圆相切于点， 则，所以， 即， 化简得. （2）设直线方程为，点，. 联立方程，得， 所以. 因为以为直径得圆过点，则， 即， 化简得， 代入根与系数关系中，得， 解得或， 故直线的方程为或. 【变式训练2】（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知圆的圆心在轴上，且过． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点（点位于轴上方），在轴上是否存在点，使得当直线变化时，均有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在，且 【解析】（1）设圆为，则有， 解得，故圆的方程为； （2）由题意可得，直线斜率不为，故可设，，， 联立，有， ， ，， 设，，由，则有， 即， 即， ， 即， 则当时，恒成立， 故存在定点，使得当直线变化时，均有. 【变式训练3】（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆关于轴对称，圆心在直线上，与轴相交的弦长为4. (1)求圆的方程； (2)若点是圆上的动点，动点与两个定点，的距离之比为2，求的最大值和最小值； (3)若在给定直线上任取一点，从点向圆引一条切线，切点为，若存在定点，恒有，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)的最大值为和最小值；(3) 【解析】（1）因为圆关于轴对称，所以圆心在轴上，又圆心在直线上， 所以圆心为直线直线与轴的交点，即， 因为与轴相交的弦长为4，所以， 圆的方程：. （2）设动点， 因为动点与两个定点，的距离之比为2， 所以，所以 化简得，圆沁为，半径为， 由（1）知圆的方程：，所以圆心，半径为. 两圆心，所以两圆相离， 所以的最大值为和最小值； （3）设， 因为，， 所以，对任意恒成立， 即，对任意恒成立， 得，即， 消元得， 当时，显然不成立； 当时，， 所以， 又直线上的点不能在圆内，解得， 所以的取值范围是. 【变式训练4】（24-25高二上·湖北黄冈·期中）已知动点M与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线PQ，为切点），连接PD交QR于点， （ⅰ）证明：直线QR过定点，并求该定点坐标； （ⅱ）是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，以为圆心，半径为2的圆； (2)（ⅰ）证明见解析，定点为；（ⅱ）存在，. 【解析】（1）设，则，即， 所以，整理得. （2）（ⅰ）由题设，易知四点共圆，即在以为直径的圆上， 而的中点坐标为，， 以为直径的圆为，又在上， 即为两圆的公共弦，两圆方程作差，得直线为， 显然该直线恒过定点，得证. （ⅱ）存在，，理由如下： 由（i）及题设，易知在以为直径的圆上，即为圆心、半径为， 且轴，则，且到直线的距离为，故到直线的最大距离为， 所以，当与重合时，面积最大，此时. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$