专题3-9 抛物线与直线联立韦达化运算-【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学常考题专练（新高考）

【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学常考题专练（新高考） 专题3-9 抛物线与直线联立韦达化运算 总览 题型解读 【题型1】焦点弦中点相关运算与证明 【题型2】向量数量积的处理 【题型3】过焦点的直线与抛物线联立韦达化计算 【题型4】不过焦点的直线与抛物线联立计算 【题型5】垂直关系的处理 【题型6】弦长公式与面积计算 【题型7】抛物线中三角形与四边形面积最值问题 【题型8】抛物线中的定点与定值问题 题型汇编 知识梳理与常考题型 直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式 ①抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，则有. ②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么 . 【题型1】焦点弦中点相关运算与证明 1． 已知抛物线 的焦点为 F，直线与该抛物线交于A、B 两点，过的中点Q作y轴的垂线与抛物线交于点P，若，则 ． 2． 直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________． 3． 已知抛物线 的焦点为 F，直线与该抛物线交于A、B 两点，过的中点Q作y轴的垂线与抛物线交于点P，若，则 ． 4． 已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线交于两点．若为线段的中点，且，则 ． 5． 设抛物线W：y2＝4x的焦点为F，直线l：y＝x＋m与抛物线W相交于A，B两点，点Q为线段AB的中点． (1)求m的取值范围；(2)求证：点Q的纵坐标为定值． 6． 物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程． 【题型2】向量数量积的处理 数量积一般化为过坐标运算的形式，再韦达化处理 7． （23-24高二上·河南信阳·期末）直线与抛物线交于A，B两点，则（O为抛物线顶点）的值为（   ） A． B． C．4 D．12 8． （高二上·四川成都·期末）已知抛物线上的两点A，B满足（O为坐标原点），且A，B分处对称轴的两侧，则直线AB所过定点为 ． 9． 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且A到的焦点的距离为1． (1)求的方程； (2)若直线与抛物线C交于两点，，且，试探究直线是否过定点，若是，请求出定点坐标，否则，请说明理由． 10． 已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，若直线l经过焦点F，且，则________ 11． 过抛物线的焦点作直线l与C交于A，B两点，已知点，若，则的值为 ． 12． 已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的A、两点． (1)求抛物线的方程； (2)如果，证明直线过定点，并求定点坐标. 13． 已知抛物线y2＝2px(p＞0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4. (1)求t，p的值； (2)如图所示，设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且 (其中O为坐标原点)．求证直线AB必过定点，并求出该定点的坐标． 【题型3】过焦点的直线与抛物线联立韦达化计算 抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，则有. 14． （2023上·广东广州·高二统考期末）已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，弦长为12，则直线的方程为 . 15． （广东深圳·高二校考期末）已知点是抛物线C：上的点，F为抛物线的焦点，且，直线l：与抛物线C相交于不同的两点A，B. （1）求抛物线C的方程；（2）若，求k的值. 16． 过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为，求抛物线C的方程． 17． 已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程． 18． （23-24高二上·湖南益阳·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与拋物线交于两点，（为坐标原点），则分别在点的抛物线的切线交点轨迹方程是 ． 【题型4】不过焦点的直线与抛物线联立计算 1、若直线过x轴上的定点，可以考虑设直线方程为 2、一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么 . 19． 过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 20． 已知点，，中恰有两个点在抛物线上． (1)求的标准方程 (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 21． 设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大. (1)求点P的轨迹方程； (2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值． 【题型5】垂直关系的处理 坐标系中的垂直关系一般化为数量积相乘为0或斜率之积为-1 22． 若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB. 23． 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于P，Q两点，为坐标原点．证明：． 24． 过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2. (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程． 【题型6】弦长公式与面积计算 抛物线中弦长公式与椭圆双曲线一致 （为直线的斜率，且）. 25． 过抛物线的焦点F分别作两条相互垂直的直线，，若直线与抛物线C交于，两点，直线与抛物线C交于，两点，且，则四边形ADBE的面积为 ． 26． 过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，若，求的面积（为坐标原点）. 27． 已知抛物线的焦点为和定点为抛物线上一动点．设直线交抛物线于两点，当时，求的面积． 28． 已知A、B是抛物线上异于顶点的两个动点，直线与x轴交于P． (1)若，求P的坐标； (2)若P为抛物线的焦点，且弦的长等于6，求的面积． 29． 如图，已知直线与抛物线C：交于两点，且， 交于点，点的坐标为 (1)求的值． (2)若线段的垂直平分线于抛物线C交于E，F两点，求的面积. 30． 已知动圆过点且与直线相切，记该动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若过点的直线交于两点，且，求的面积． 【题型7】抛物线中三角形与四边形面积最值问题 面积的表示：可以考虑结合铅锤高或水平宽来表示面积 求解最值：一般化为二次函数模型或利用基本不等式来求最值 31． 已知抛物线，过该抛物线焦点的直线与该抛物线相交于两点（其中点在第一象限），当直线的倾斜角为时，，为坐标原点，则面积的最小值为 ． 32． （23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是抛物线的焦点，直线与抛物线交于不同的两点，且，则面积的最小值等于 ． 33． 已知抛物线经过点，直线与的交点为，且直线与倾斜角互补． (1)求的值；(2)若，求面积的最大值． 34． （23-24高二上·浙江宁波·期末）设为抛物线的焦点，直线l与抛物线交于两点，且，则的面积最小值为 . 35． 已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是 ． 36． 已知抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1． (1)求E的标准方程； (2)，，交E于A，C两点，交E于B，D两点．求四边形ABCD的面积的最小值． 【题型8】抛物线中的定点与定值问题 常见定点问题与定值问题的常见条件有数量积为定值，斜率和或积为定值，其中数量积可以化为坐标运算再代入韦达定理，斜率和积为定值时可以考虑平移齐次化来解决定点问题. 1、过抛物线上的一定点作两条斜率之和为的直线，，分别交抛物线于，两点，则直线必过定点 2、过抛物线上的一定点作两条斜率之积为的直线，，分别交抛物线于，两点，则直线必过定点 以上称为手电筒模型，注意点P不在曲线上时，上式并不适用，常数也需要齐次化乘“1²” 【坐标平移+齐次化处理】（左加右减，上减下加为曲线平移） Step1：平移点P到原点，写出平移后的曲线方程，设出直线方程，并齐次化处理 Step2：根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到等式，求得m，n之间的关系， Step3：得出定点，此时别忘了，还要平移回去! 37． （23-24高二下·广东茂名·阶段练习）已知抛物线：，为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且直线，斜率之积为，则点到直线的最大距离为 . 38． 已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，y0）（y0＞0）到其焦点的距离为2． （1）求点P的坐标及抛物线C的方程； （2）若点M、N在抛物线C上，且kPM•kPN＝，证明：直线MN过定点. 39． 在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标． 40． 已知抛物线，直线交抛物线于两点，中点为．    (1)求抛物线的标准方程； (2)记抛物线上一点，直线斜率为，直线斜率为，求． 41． 已知抛物线为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5. （1）求E的标准方程； （2）设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为，求证：直线过定点. 42． 已知抛物线，O是坐标原点，过的直线与E相交于A，B两点，满足． (1)求抛物线E的方程； (2)若在抛物线E上，过的直线交抛物线E于M，N两点，直线，的斜率都存在，分别记为，，求的值． 10 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学常考题专练（新高考） 专题3-9 抛物线与直线联立韦达化运算 总览 题型解读 【题型1】焦点弦中点相关运算与证明 【题型2】向量数量积的处理 【题型3】过焦点的直线与抛物线联立韦达化计算 【题型4】不过焦点的直线与抛物线联立计算 【题型5】垂直关系的处理 【题型6】弦长公式与面积计算 【题型7】抛物线中三角形与四边形面积最值问题 【题型8】抛物线中的定点与定值问题 题型汇编 知识梳理与常考题型 直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式 ①抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，则有. ②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么 . 【题型1】焦点弦中点相关运算与证明 1． 已知抛物线 的焦点为 F，直线与该抛物线交于A、B 两点，过的中点Q作y轴的垂线与抛物线交于点P，若，则 ． 【答案】 【分析】先求出的纵坐标，再联立直线与抛物线方程表示的纵坐标，故可求斜率. 【详解】易知设， 因为，故，故，而，故,故， 联立直线与抛物线方程得，， 所以的纵坐标，故 2． 直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________． 【答案】(3,2) 【解析】将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6， ＝3，∴＝＝＝2.∴所求点的坐标为(3,2) 3． 已知抛物线 的焦点为 F，直线与该抛物线交于A、B 两点，过的中点Q作y轴的垂线与抛物线交于点P，若，则 ． 【答案】 【分析】先求出的纵坐标，再联立直线与抛物线方程表示的纵坐标，故可求斜率. 【详解】易知设， 因为，故，故，而，故,故， 联立直线与抛物线方程得，， 所以的纵坐标，故 4． 已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线交于两点．若为线段的中点，且，则 ． 【答案】 【分析】直线的斜率存在，可设为，与抛物线方程联立得到韦达定理，求出点坐标，利用求解，再结合抛物线定义得到结果. 【详解】设，，，显然当直线垂直于轴时，与重合， 此时不满足条件，所以可设直线的方程为， 代入的方程有，， 所以，，， 所以，解得，， 由抛物线的几何性质可知，，所以． 5． 设抛物线W：y2＝4x的焦点为F，直线l：y＝x＋m与抛物线W相交于A，B两点，点Q为线段AB的中点． (1)求m的取值范围；(2)求证：点Q的纵坐标为定值． 【答案】(1)m＜1，(2)Q的纵坐标为定值2 【解析】(1)直线l：y＝x＋m与抛物线W联立得x2＋(2m－4)x＋m2＝0， ∴Δ＝(2m－4)2－4m2＞0，解得m＜1. (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4－2m，x1x2＝m2，则点Q的纵坐标为 ＝＝2.∴点Q的纵坐标为定值2. 6． 物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程． 【答案】y2＝4x或y2＝－4x 【详解】解：如图，依题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)， 则直线方程为y＝－x＋p. 设直线交抛物线于A(x1，y1)， B(x2，y2)， 过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则由抛物线定义，得 |AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋， 即x1＋x2＋p＝8.① 又A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，由消去y，得x2－3px＋＝0. 所以x1＋x2＝3p，② 将②代入①，得p＝2. 所以抛物线的标准方程为y2＝4x. 当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，同理可求得抛物线标准方程为y2＝－4x. 故抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝－4x. 【题型2】向量数量积的处理 数量积一般化为过坐标运算的形式，再韦达化处理 7． （23-24高二上·河南信阳·期末）直线与抛物线交于A，B两点，则（O为抛物线顶点）的值为（   ） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程求得，从而利用平面向量数量积的坐标表示即可得解. 【详解】由，得，易得， 设，则， . 8． （高二上·四川成都·期末）已知抛物线上的两点A，B满足（O为坐标原点），且A，B分处对称轴的两侧，则直线AB所过定点为 ． 【答案】 【分析】设，，写出直线AB方程，由及A，B位置可解得，即可化简解析式，确定定点. 【详解】设，，则，即，即. 由A，B分处对称轴的两侧得，又∵，解得（舍）或，故，则直线过定点. 9． 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且A到的焦点的距离为1． (1)求的方程； (2)若直线与抛物线C交于两点，，且，试探究直线是否过定点，若是，请求出定点坐标，否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线过定点 【分析】（1）利用抛物线的定义及点在抛物线上计算即可； （2）设的方程，由平面向量数量积的坐标表示及韦达定理求参数即可. 【详解】（1）依题意可得，解得，所以抛物线方程为：； （2）设直线显然存在， 联立方程，化简可得 所以 在抛物线C上，故， ，解得或， 因为，所以，得 所以直线过定点. 10． 已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，若直线l经过焦点F，且，则________ 【答案】 【解析】过的直线l的方程可设为， 联立抛物线方程，可得， 所以，， 则，解得 11． 过抛物线的焦点作直线l与C交于A，B两点，已知点，若，则的值为 ． 【答案】8 【分析】首先设直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示，即可求直线的方程，并代入焦点弦长公式，即可求解. 【详解】抛物线的焦点，显然的斜率不为0，设直线， 联立 ，得，， ，， 则，， ，， ， 解得：，所以， . 12． 已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的A、两点． (1)求抛物线的方程； (2)如果，证明直线过定点，并求定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）将已知点坐标代入抛物线方程求得即得； （2）设，，设，代入抛物线方程应用韦达定理得，，代入可求得，从而得定点坐标. 【详解】（1）由题意可知，将点代入抛物线方程， 可得，解得，则抛物线方程为． （2）因为直线与抛物线相交于不同的A、两点， 所以直线不与x轴平行，可设，与联立，得， 设，，∴，．， 由 ，解得， ∴过定点． 13． 已知抛物线y2＝2px(p＞0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4. (1)求t，p的值； (2)如图所示，设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且 (其中O为坐标原点)．求证直线AB必过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】p＝2，t＝±2 直线AB过定点(5,0) 解：(1)由已知得3＋＝4，∴p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，代入可解得t＝±2. (2)设直线AB的方程为x＝my＋n，A，B.由得y2－4my－4n＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n.由，得＋y1y2＝5，∴y1y2＝－20或y1y2＝4(舍去)． 即－4n＝－20，∴n＝5，∴直线AB过定点(5,0) 【题型3】过焦点的直线与抛物线联立韦达化计算 抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，则有. 14． （2023上·广东广州·高二统考期末）已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，弦长为12，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】根据题意可得抛物线的焦点，设直线的方程为，,，,，联立直线与抛物线方程，消掉得关于的一元二次方程，利用韦达定理可得，由，解得，即可求解． 【详解】解：根据题意可得抛物线的焦点， 根据题意可得直线的斜率存在， 设直线的方程为，,，,， 联立，得， 所以，， 因为， 解得，， 则直线的方程为或 15． （广东深圳·高二校考期末）已知点是抛物线C：上的点，F为抛物线的焦点，且，直线l：与抛物线C相交于不同的两点A，B. （1）求抛物线C的方程；（2）若，求k的值. 【答案】（1）；（2）1或. 【分析】(1)根据抛物线的定义，即可求得p值；(2)由过抛物线焦点的直线的性质，结合抛物线的定义，即可求出弦长AB 【详解】（1）抛物线C：的准线为， 由得：，得. 所以抛物线的方程为. （2）设，，由， ， ∴， ∵直线l经过抛物线C的焦点F， ∴ 解得：， 所以k的值为1或 16． 过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为，求抛物线C的方程． 【答案】y2＝4x 【解析】由于抛物线的焦点F，故可设直线AB的方程为x＝my＋. 由得y2－2pmy－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2， ∴－p2＝－4，由p>0，可得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x. 17． 已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程． 【答案】y2＝3x 【解析】解：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点F，直线l的方程为y＝x－.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝＋＝x1＋x2＋p＝6，∴x1＋x2＝6－p.　① 由消去y，得2＝2px，即x2－3px＋＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝.∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x. 18． （23-24高二上·湖南益阳·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与拋物线交于两点，（为坐标原点），则分别在点的抛物线的切线交点轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】由标准方程表示出焦点坐标，设出直线方程与交点坐标，联立方程，写出韦达定理，利用数量积可得，进而求切线方程和交点坐标，根据交点坐标分析轨迹分析. 【详解】由题意可得，设， 显然直线的斜率存在，则可设为， 联立可得，消去可得， 则，可得，， 则 ， 因为，， 由可得， 由，解得. 此时抛物线，即，可得， 可知在点处的切线斜率存在，设切线方程为， 联立方程，消去y得， 可得，解得， 则切线方程为，即， 同理可得在点处的切线方程为， 联立方程，解得， 即交点坐标为，可知所求轨迹方程为. 故答案为：. 【题型4】不过焦点的直线与抛物线联立计算 1、若直线过x轴上的定点，可以考虑设直线方程为 2、一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么 . 19． 过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 【答案】B 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2. 由得x2－4x＋1＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝1. ∴|AB|＝ 20． 已知点，，中恰有两个点在抛物线上． (1)求的标准方程 (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据点的坐标可得抛物线也关于轴对称，将点代入抛物线方程即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理可得，即可求定点坐标． 【详解】（1）因为点，关于轴对称，抛物线也关于轴对称， 所以点，在上， 将点代入抛物线得，，即， 所以抛物线的方程为：； （2）由题意可知，直线的斜率一定存在，则设直线的方程为， 由消得：， 由韦达定理得， 所以直线，显然恒过定点．    21． 设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大. (1)求点P的轨迹方程； (2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值． 【答案】x2＝2y，k＝±1 【详解】解：(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝，∴ ＝y＋，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y. (2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y化简得x2－2kx－2＝0，∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2. ∵|AB|＝·＝·＝2， ∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1. 【题型5】垂直关系的处理 坐标系中的垂直关系一般化为数量积相乘为0或斜率之积为-1 22． 若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB. 【详解】由消去y，得x2－12x＋16＝0. ∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B， ∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有x1＋x2＝12，x1x2＝16. ∵＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝ x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0， ∴，即OA⊥OB. 23． 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于P，Q两点，为坐标原点．证明：． 【解析】直线 由，得 则由，得：， 整理得：，即：． 所以， 则，即： 24． 过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2. (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程． 【答案】（1）x2＝4y，（2）y＝2x＋1 解：(1)C：x2＝2py的准线方程为y＝－，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，∴1＋＝2，∴p＝2，抛物线C的方程为x2＝4y． (2)∵M(－2，y0)在C上，∴y0＝＝1，又F(0，1)，设l的方程为y＝kx＋1，由得x2－4kx－4＝0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，＝(x1＋2，y1－1)， ＝(x2＋2，y2－1)，∵MA⊥MB，∴＝0，∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴－4＋8k＋4－4k2＝0，∴k＝2或0，当k＝0时，l过M点(舍)，当k＝2时，l不过M点，∴k＝2，∴l的方程为y＝2x＋1． 【题型6】弦长公式与面积计算 抛物线中弦长公式与椭圆双曲线一致 （为直线的斜率，且）. 25． 过抛物线的焦点F分别作两条相互垂直的直线，，若直线与抛物线C交于，两点，直线与抛物线C交于，两点，且，则四边形ADBE的面积为 ． 【答案】 【分析】设出两直线的方程，求出、，表示出四边形面积，即可得出答案. 【详解】抛物线的焦点， 因为和的横坐标相同且在抛物线上，易知关于x轴对称且夹角为， 所以直线的斜率为，则直线的斜率为，显然直线和的斜率都存在， 则设直线的方程为，直线的方程为， 联立方程组，消元得，则， 即，同理， 所以四边形的面积为： 26． 过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，若，求的面积（为坐标原点）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设直线，联立抛物线方程，结合弦长公式即可列方程求得参数，进而得解； （2）由题意设直线，联立抛物线方程，结合韦达定理、数量积的坐标公式列方程即可求得参数，进一步即可求解的面积. 【详解】（1）抛物线焦点的坐标为， 当直线的倾斜角为时，直线，联立抛物线方程， 化简并整理得，，显然， 设，则， 则 ，解得， 所以抛物线的方程为； （2）设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线，联立抛物线方程， 化简并整理得，显然， 所以， 又，所以， 因为， 所以 ， 所以，则， 设的面积为， 则， 所以的面积为. 27． 已知抛物线的焦点为和定点为抛物线上一动点．设直线交抛物线于两点，当时，求的面积． 【答案】答案见解析 【分析】由抛物线可知焦点，又，因此可知直线的方程，与抛物线联立，可求出弦长；因为，由抛物线的定义可求，进而可求出，分两种情况求的面积即可. 【详解】    因为，所以，所以直线方程为． 设， 联立得，显然， 所以， 则， 因为，所以，则． 当时，到的距离； 当时，到的距离． 28． 已知A、B是抛物线上异于顶点的两个动点，直线与x轴交于P． (1)若，求P的坐标； (2)若P为抛物线的焦点，且弦的长等于6，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理及平面向量数量积公式可求得t的值，从而求出P的坐标； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理及弦长公式可求得的值，再求出点到直线的距离，从而求出的面积. 【详解】（1）因为直线不垂直于y轴，设直线的方程为，，， 由消去x得，， 所以，，， 由，得， 解得，满足，所以直线方程为， 令得，即P的坐标. （2）由题意知抛物线的焦点为，因为直线不垂直于y轴，设直线的方程为，点， 由消去x得，， 所以，，， 所以，解得， 点到直线的距离为， 所以, 故的面积为.    29． 如图，已知直线与抛物线C：交于两点，且， 交于点，点的坐标为 (1)求的值． (2)若线段的垂直平分线于抛物线C交于E，F两点，求的面积. 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由两直线垂直得到直线，再联立曲线方程，由韦达定理结合向量的数量积为零求出即可； （2）设线段的中点为，由中点坐标公式得到方程，联立曲线方程，得到韦达定理，结合两点间距离公式化简即可； 【详解】（1）设， 因为交于点，点的坐标为， 所以直线的方程为， 联立，消去可得，， 则， 因为，所以， 即，即，解得， （2） 设线段的中点为， 由（1）知，所以， 所以，即， 联立，消去可得，， 设，则， 所以， 又点到直线的距离为， 所以的面积为. 30． 已知动圆过点且与直线相切，记该动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若过点的直线交于两点，且，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据抛物线的定义，利用两点之间距离公式以及点到直线的距离公式，建立方程方程，可得答案； （2）设出点的坐标以及直线方程，结合韦达定理以及向量的坐标表示，建立方程，可得答案. 【详解】（1）设，动圆的半径， 整理可得．故曲线的方程为. （2）法一： 设，不妨设点在轴上方， 由可得， 由已知直线斜率必不为0，故可设直线， 联立方程，可得， 故，解得，故， ． 法二： 设，不妨设点在轴上方， 由可得， 若直线的斜率不存在，则，不符合题意，舍去； 设直线， 联立方程可得， ，解得，， ，解得． 原点到直线的距离， 故的面积. 【题型7】抛物线中三角形与四边形面积最值问题 面积的表示：可以考虑结合铅锤高或水平宽来表示面积 求解最值：一般化为二次函数模型或利用基本不等式来求最值 31． 已知抛物线，过该抛物线焦点的直线与该抛物线相交于两点（其中点在第一象限），当直线的倾斜角为时，，为坐标原点，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】结合题意求出,设直线，结合韦达定理表示出面积，结合基本不等式即可求解. 【详解】如图所示，分别过向准线作垂线，垂足分别为、，过作的垂线，垂足为， 当直线的倾斜角为时，结合题意易得， 所以，即， 设，，满足，， 设直线，代入抛物线方程， 可得，， 所以， 当时，三角形面积取最小值，此时最小值为． 故答案为：． 32． （23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是抛物线的焦点，直线与抛物线交于不同的两点，且，则面积的最小值等于 ． 【答案】2 【分析】设方程为，代入抛物线方程，应用韦达定理得，，由求得，距离公式求得，再求得原点到直线l的距离可得三角形面积，从而得最小值． 【详解】抛物线C的方程为， 由题可知直线l斜率若存在，则斜率不为0，故设l为， 由，得，则，即， ∴，， 则，解得， 直线方程为，恒过定点， ， 到直线的距离为， ∴， ∴时，为最小值， 故答案为： 33． 已知抛物线经过点，直线与的交点为，且直线与倾斜角互补． (1)求的值； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点在抛物线上，得，联立直线与抛物线方程得，再通过计算即可； （2）先求弦长，再求到直线的距离，可表示出，再结合基本不等式可求面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知，，所以， 所以抛物线的方程为；     如图：设， 将直线的方程代入，得，     所以，     因为直线与倾斜角互补， 所以，     即， 所以， 即， 所以. （2）由（1）可知， 所以， 则，      因为， 所以，即，     又点到直线的距离为，     所以，     因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积最大值为． 34． （23-24高二上·浙江宁波·期末）设为抛物线的焦点，直线l与抛物线交于两点，且，则的面积最小值为 . 【答案】 【分析】设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，由，得，求出的关系，进而可求出的范围，再根据计算即可. 【详解】由已知，设直线的方程为， 联立，消得， ， 则， 由，得， 即， 所以， 化简得， 所以， 化简得，解得或， 则，则或， 所以或， ， 所以当时，， 所以的面积最小值为. 故答案为：. 35． 已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是 ． 【答案】12 【分析】先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及可求出，进而求出直线在轴上的截距，最后将面积之和表示出来，利用基本不等式求最值，即可得到结果． 【详解】由题意可知：， 设直线的方程为：，点， 直线与x轴的交点为， 联立方程，消去x得， 根据韦达定理有， 因为，所以，解得或， 由点在该抛物线上且位于轴的两侧，可知， 所以，故，此时，即， 不妨设点A在轴上方，则，，且， 则 , 当且仅当，即时，等号成立， 所以与面积之和的最小值是. 故答案为：12．    36． 已知抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1． (1)求E的标准方程； (2)，，交E于A，C两点，交E于B，D两点．求四边形ABCD的面积的最小值． 【答案】(1) (2)32 【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义可知，从而可得抛物线E的标准方程； （2）设出的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及抛物线定义求出，，由结合基本不等式求出最小值． 【详解】（1）抛物线的焦点，准线． ∵抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1． 根据抛物线的定义可知，，∴， ∴抛物线E的标准方程为. （2）由题可知均有斜率且斜率不为零，且过焦点，    设，，，设， 由，消可得， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 当且仅当时取等号， ∴四边形ABCD面积的最小值为32． 【题型8】抛物线中的定点与定值问题 常见定点问题与定值问题的常见条件有数量积为定值，斜率和或积为定值，其中数量积可以化为坐标运算再代入韦达定理，斜率和积为定值时可以考虑平移齐次化来解决定点问题. 1、过抛物线上的一定点作两条斜率之和为的直线，，分别交抛物线于，两点，则直线必过定点 2、过抛物线上的一定点作两条斜率之积为的直线，，分别交抛物线于，两点，则直线必过定点 以上称为手电筒模型，注意点P不在曲线上时，上式并不适用，常数也需要齐次化乘“1²” 【坐标平移+齐次化处理】（左加右减，上减下加为曲线平移） Step1：平移点P到原点，写出平移后的曲线方程，设出直线方程，并齐次化处理 Step2：根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到等式，求得m，n之间的关系， Step3：得出定点，此时别忘了，还要平移回去! 37． （23-24高二下·广东茂名·阶段练习）已知抛物线：，为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且直线，斜率之积为，则点到直线的最大距离为 . 【答案】1 【分析】设出直线的方程，把直线与抛物线联立，表示出，运用韦达定理即可. 【详解】设直线：，，，则， 所以，，，， ，所以， 则直线：，直线恒过点，则点到直线的最大距离为1. 38． 已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，y0）（y0＞0）到其焦点的距离为2． （1）求点P的坐标及抛物线C的方程； （2）若点M、N在抛物线C上，且kPM•kPN＝，证明：直线MN过定点. 答案：（2）（9，﹣2） 【简析】将点P移到原点，抛物线与所有点和线跟着平移，再设平移后的直线MN，然后齐次化，同除x²，得出两根之积为，从而求出直线MN中的参数. 39． 在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）利用抛物线的定义或者直接把条件转化可得答案； （2）设出方程，利用垂直可得，进而得到定点或者利用直线的两点式方程，结合韦达定理可得定点. 【详解】（1）法一因为到点的距离与到直线的距离相等； 所以的轨迹是以为焦点为准线的抛物线故可设的方程为, 则有  所以, 故的方程为. 法二设的坐标为则有, 所以. 即, 所以的方程为. （2）法一设方程为， 因为，所以，即. 所以，即； 由得， 所以. 所以，即，所以； 所以方程为， 故恒过定点. 法二设，因为，所以； 所以，所以. 所以的方程为， 整理得， 所以，即， 所以直线恒过定点. 40． 已知抛物线，直线交抛物线于两点，中点为．    (1)求抛物线的标准方程； (2)记抛物线上一点，直线斜率为，直线斜率为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点作差再结合中点坐标和斜率值即可得到答案. （2）设点计算出，，则得到，再将直线与抛物线联立得到韦达定理式再整体代入即可. 【详解】（1）设，则有， ①②得③ 均在直线上，， 又中点为，则有， 代入③有抛物线的标准方程为. （2）由题意知，设， 同理有， ④ 联立直线与抛物线，易得， 则有，代入④式有. 41． 已知抛物线为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5. （1）求E的标准方程； （2）设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为，求证：直线过定点. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题可知，求解即可得到抛物线的方程；（2）先求解，设，根据斜率公式结合题意可得，分斜率存在和不存在分别求得直线的方程，从而可确定过定点. 【详解】（1）由题可知，解得. 所以的标准方程为； （2）由（1）知，，且，解得，所以. 设，则，同理可得，， 则，即. 当直线斜率存在时，直线的方程为， 整理得. 所以，即， 所以直线过定点； 当直线的斜率不存在时，可得. 综上，直线过定点. 2024·重庆巴蜀中学·月考 42． 已知抛物线，O是坐标原点，过的直线与E相交于A，B两点，满足． (1)求抛物线E的方程； (2)若在抛物线E上，过的直线交抛物线E于M，N两点，直线，的斜率都存在，分别记为，，求的值． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）设的直线方程为：，，， 联立方程，利用韦达定理求出，再根据，可得，求出，即可得解； （2）先求出点的坐标，设的直线为，，，联立方程，利用韦达定理求出，，再利用斜率公式化简整理即可得解. 【详解】（1）当直线的斜率为0时不成立， 设的直线方程为：，，， 联立，消去x得， 则恒成立， 故， 又，，故， 又，则， 故，解得， 故抛物线E的方程是； （2）因为，在抛物线上，故，则， 当直线的斜率为0时不成立， 设的直线为，，， 联立，消去x得：， 则，， 因为，， 则， 故的值为． 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$