第22讲诱导公式（5个知识点+1个要点+5种题型+1个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

第22讲 诱导公式 （5个知识点+1个要点+5种题型+1个易错点+过关检测） 知识点一、三角函数的诱导公式 公式一 sin(α+2kπ)=sin α k∈Z 揭示了终边相同的角的同一三角函数值的 关系 cos(α+2kπ)=cos α tan(α+2kπ)=tan α 公式二 sin(-α)=-sin α 揭示了终边关于x轴对称的两个角的同一三角函数值的关系 cos(-α)=cos α tan(-α)=-tan α 公式三 sin(π-α)=sin α 揭示了终边关于y轴对称的两个角的同一三角函数值的关系 cos(π-α)=-cos α tan(π-α)=-tan α 公式四 sin(π+α)=-sin α 揭示了终边关于原点对称的两个角的同一 三角函数值的关系 cos(π+α)=-cos α tan(π+α)=tan α 公式五 sin=cos α 揭示了终边关于直线y=x对称的两个角的三角函数值的关系 cos=sin α 公式六 sin=cos α cos=-sin α 2. 诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. (1)“奇变偶不变”：“奇”“偶”是指k·±α(k∈Z)中k的奇偶性. 当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变. (2)“符号看象限”：在记忆诱导公式时，把α看成锐角，再根据k·±α(k∈Z)所在的象限及“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定符号. 知识点二、利用诱导公式解决给角求值问题 1. 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 (1)负化正：化负角为正角； (2)大化小：将大于2π的角化为区间[0，2π)内的角； (3)角化锐：将区间内的角转化为区间内的角； (4)锐求值：求所得的锐角的三角函数值. 知识点三、利用诱导公式解决条件求值问题 1. 解决条件求值问题时，首先要仔细观察条件中的已知式与所求式的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系，再将已知式向所求式转化，或将所求式向已知式转化. 2. 当角比较复杂时，要注意分析已知式与待求式中两个角之间是否具有互余、互补关系，或分析已知式与待求式中两个角的和、差是不是特殊角等. 常见的互余关系: -α与+α， +α与-α 等；常见的互补关系： +α与-α， +α与-α等. 知识点四、利用诱导公式化简、证明三角函数式 1. 化简三角函数式的方法和技巧 (1)方法：化简三角函数式的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，灵活应用相关的公式及其变形解决问题. (2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③弦切互化. 2. 证明三角函数式的常用方法 (1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则. (2)证明左边=A，右边=A，则左边=右边，这里的A起着桥梁的作用. (3)通过作差或作商证明，即证左边-右边=0或=1(右边≠0). 题型1：利用诱导公式求值 【例题1】（2023高一上·全国·专题练习）求下列三角函数值（参考数据） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】利用诱导公式化简，结合和特殊角的三角函数值，求出答案. 【详解】（1） （2） （3） （4）. 【变式1】（23-24高一上·湖南株洲·期末）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合指数、对数运算求得正确答案. （2）利用诱导公式求得正确答案. 【详解】（1） （2） ． 【变式2】（23-24高一上·贵州安顺·期末）已知，求下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式，结合同角三角函数的关系求解即可； （2）根据，结合同角三角函数的关系求解即可. 【详解】（1）. （2） . 【变式3】（21-22高一上·全国·课后作业）求下列各三角函数的值 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】利用诱导公式一求解即可. 【详解】（1）. （2）. （3）. 题型2：利用诱导公式进行三角函数式的化简 【例题2】（24-25高一上·全国·课前预习）化简：． 【答案】 【分析】根据诱导公式即可求解. 【详解】原式 ． 【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）化简：（）. 【答案】. 【分析】根据给定的三角式，利用诱导公式分奇偶讨论求解. 【详解】依题意，， 则原式 当n为奇数，即（）时，原式； 当n为偶数，即（）时，原式， 所以原式. 【变式2】（24-25高一上·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用诱导公式和同角关系式中的商数关系化简即可； （2）利用诱导公式化简即可. 【详解】（1）原式． （2）原式 【变式3】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）化简： (1)； (2)； 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）由诱导公式进行求解即可； （2）由诱导公式进行求解即可． 【详解】（1）， ， 则原式； （2）原式． 题型3：利用诱导公式进行三角函数式的证明 【例题3】（2024高一上·全国·专题练习）求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据诱导公式证明即可. 【详解】左边右边， 故原式得证. 【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式证明即可. 【详解】左边右边， 故原式成立. 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】由已知可得（），代入等式左边，再利用诱导公式推理即得. 【详解】由，得（），则（）， 因此 ， 所以原等式成立. 【变式3】（20-21高一·全国·课后作业）求证：当或3时，. 【答案】证明见解析 【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可. 【详解】当时，左边=； 当时，左边=； 综上，或有原等式恒成立. 题型4：诱导公式在三角形中的应用 【例题4】（22-23高一上·天津和平·期末）已知在三角形中，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形内角和定理、诱导公式和同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】因为在三角形中，，则， 所以， 又，所以， 所以， 故选：. 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）在中，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形内角和与题设条件，求出，再利用同角的三角函数基本关系式即得. 【详解】因中，，则， 则， 因，则，故. 故选：C. 【变式2】（高一上·贵州遵义·阶段练习）若是锐角三角形的内角，则点在第 象限. 【答案】二 【分析】由是锐角三角形的内角可知, 再利用诱导公式分析的正负即可. 【详解】由题得,因为锐角三角形, 故,故,即. 又,同理.即. 故点在第二象限. 故答案为：二 【点睛】本题主要考查了根据三角函数的诱导公式以及单调性求三角函数值范围的问题等.属于中等题型. 【变式3】（高一·全国·课后作业）在锐角三角形ABC中,已知,求的值. 【答案】 【解析】利用三角形的内角和为，结合诱导公式对等式进行变形，消去角得到关于的三角方程，再将代入求值即可. 【详解】 . 在锐角三角形中,∵,∴. 又,∴. ∴原式. 【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意同角三角函数的应用. 题型5：诱导公式的综合应用 【例题5】（23-24高一上·四川绵阳·期末）设函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由分段函数解析式，根据诱导公式、特殊角正弦值确定函数值. 【详解】. 故选：B 【变式1】（23-24高一上·浙江台州·期末）下列四组函数中，表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐项判断选项中两个函数的定义域与对应法则是否相同，即可得出结果. 【详解】A选项中，函数与，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； B选项中，函数定义域为，函数定义域为，定义域不同，不是同一函数； C选项中，函数定义域为，函数定义域为R，定义域不同，不是同一函数； D选项中，函数与函数，对应关系不同，不是同一函数. 故选：A 【变式2】（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）设函数，则 . 【答案】-1 【分析】根据三角函数、对数的运算性质结合分段函数的特点即可求解. 【详解】因为， 所以 故答案为：-1. 【变式3】（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）（1）求函数的最小值. （2）若是关于的方程的两个根，求. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用同角三角函数的关系将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的图象和性质，即可求解； （2）根据题意，利用韦达定理，得出方程，求得的值，得出，再结合诱导公式化简、求值即可. 【详解】（1）解：由函数， 因为，所以当时，函数取最小值. （2）解：因为是关于的方程的两个根， 由，即，解得或， 且， 因为，即， 解得或（舍去），所以， 所以 . 易错点：应用诱导公式时忽视函数名和符号改变致错 【例题6】（23-24高一上·广东汕头·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简得，再利用齐次式代入求值即可. 【详解】因为，所以得 则 故选：C 【变式1】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对平方，得到的值，然后对化简求值即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 故选：A. 【变式2】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知 ，则 【答案】/ 【分析】由诱导公式、平方关系可得的值即可求解. 【详解】. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求的值． 【答案】7 【分析】根据已知求出，再利用诱导公式化简计算即得. 【详解】由，，得， 所以原式 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则cosα的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简计算即得. 【详解】由可得，， 即. 故选：A. 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式化解即可求解. 【详解】. 故选：B 3．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数之间的基本关系和诱导公式计算可得结果. 【详解】易知. 故选：D 4．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以. 故选：A 5．（23-24高一上·河北石家庄·期末）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【详解】由诱导公式可得， ． 故选：A． 6．（23-24高一上·重庆·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，再利用诱导公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 7．（24-25高一上·全国·随堂练习）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式以及特殊角三角函数值即可求解. 【详解】. 故选：A 8．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断，根据同角的三角函数关系求得的值，再根据诱导公式，即可求得答案. 【详解】因为，故， 则由，可得， 故， 故选：D 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由已知条件及诱导公式计算，再由平方关系即可求解. 【详解】因为，所以. 所以. 故选：AB. 10．（21-22高一上·广东湛江·期末）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意利用诱导公式化简所给的式子，可得结果． 【详解】解：∵，故A正确； ,故B正确； ，故C不正确； ，故D不正确， 故选：AB． 11．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用诱导公式判断A，再利用同角基本关系得出判断BC，再次利用诱导公式判断D，从而得解. 【详解】因为，所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．（23-24高一上·天津·期末） . 【答案】 【分析】根据对数的运算性质和特殊角的三角函数值可求原式的值. 【详解】原式. 故答案为：. 13．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）若为第一象限角，则 . 【答案】 【分析】应用诱导公式可得. 【详解】. 故答案为：. 14．（23-24高一上·浙江台州·期末）已知， 的值为 . 【答案】2 【分析】利用诱导公式化简，结合齐次式代入计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：2. 四、解答题 15．（23-24高一上·河南郑州·期末）已知，求的值． 【答案】 【分析】根据诱导公式将条件式化简得代入求解的式子得解. 【详解】由诱导公式可得，， 则． 16．（21-22高一·全国·课后作业）已知、、为的三个内角，求证： 【答案】证明见解析 【分析】利用三角形的内角和定理可得出，再结合诱导公式可证得原等式成立. 【详解】证明：在中，，则. 所以， ， 故原等式得证. 17．（24-25高一上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】用诱导公式化简，然后再用商数关系切化弦即可． 【详解】（1）． （2）. 18．（21-22高一上·全国·课前预习）求下列三角函数值： (1)； (2)． 【答案】(1)-1； (2). 【分析】(1)根据三角函数诱导公式即可化简计算； (2)根据三角函数诱导公式即可化简计算. 【详解】（1）原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝. （2）原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝. 19．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）已知. (1)化简函数； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】⑴利用诱导公式化简即可； ⑵由题意求得，化齐次式为求解. 【详解】（1） （2）因为，所以，， 所以 分子分母同除以有 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22讲 诱导公式 （5个知识点+1个要点+5种题型+1个易错点+过关检测） 知识点一、三角函数的诱导公式 公式一 sin(α+2kπ)=sin α k∈Z 揭示了终边相同的角的同一三角函数值的 关系 cos(α+2kπ)=cos α tan(α+2kπ)=tan α 公式二 sin(-α)=-sin α 揭示了终边关于x轴对称的两个角的同一三角函数值的关系 cos(-α)=cos α tan(-α)=-tan α 公式三 sin(π-α)=sin α 揭示了终边关于y轴对称的两个角的同一三角函数值的关系 cos(π-α)=-cos α tan(π-α)=-tan α 公式四 sin(π+α)=-sin α 揭示了终边关于原点对称的两个角的同一 三角函数值的关系 cos(π+α)=-cos α tan(π+α)=tan α 公式五 sin=cos α 揭示了终边关于直线y=x对称的两个角的三角函数值的关系 cos=sin α 公式六 sin=cos α cos=-sin α 2. 诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. (1)“奇变偶不变”：“奇”“偶”是指k·±α(k∈Z)中k的奇偶性. 当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变. (2)“符号看象限”：在记忆诱导公式时，把α看成锐角，再根据k·±α(k∈Z)所在的象限及“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定符号. 知识点二、利用诱导公式解决给角求值问题 1. 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 (1)负化正：化负角为正角； (2)大化小：将大于2π的角化为区间[0，2π)内的角； (3)角化锐：将区间内的角转化为区间内的角； (4)锐求值：求所得的锐角的三角函数值. 知识点三、利用诱导公式解决条件求值问题 1. 解决条件求值问题时，首先要仔细观察条件中的已知式与所求式的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系，再将已知式向所求式转化，或将所求式向已知式转化. 2. 当角比较复杂时，要注意分析已知式与待求式中两个角之间是否具有互余、互补关系，或分析已知式与待求式中两个角的和、差是不是特殊角等. 常见的互余关系: -α与+α， +α与-α 等；常见的互补关系： +α与-α， +α与-α等. 知识点四、利用诱导公式化简、证明三角函数式 1. 化简三角函数式的方法和技巧 (1)方法：化简三角函数式的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，灵活应用相关的公式及其变形解决问题. (2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③弦切互化. 2. 证明三角函数式的常用方法 (1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则. (2)证明左边=A，右边=A，则左边=右边，这里的A起着桥梁的作用. (3)通过作差或作商证明，即证左边-右边=0或=1(右边≠0). 题型1：利用诱导公式求值 【例题1】（2023高一上·全国·专题练习）求下列三角函数值（参考数据） (1) (2) (3) (4) 【变式1】（23-24高一上·湖南株洲·期末）求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式2】（23-24高一上·贵州安顺·期末）已知，求下列各式的值. (1)； (2). 【变式3】（21-22高一上·全国·课后作业）求下列各三角函数的值 (1) (2) (3) 题型2：利用诱导公式进行三角函数式的化简 【例题2】（24-25高一上·全国·课前预习）化简：． 【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）化简：（）. 【变式2】（24-25高一上·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【变式3】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）化简： (1)； (2)； 题型3：利用诱导公式进行三角函数式的证明 【例题3】（2024高一上·全国·专题练习）求证：. 【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）求证：. 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求证：. 【变式3】（20-21高一·全国·课后作业）求证：当或3时，. 题型4：诱导公式在三角形中的应用 【例题4】（22-23高一上·天津和平·期末）已知在三角形中，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）在中，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（高一上·贵州遵义·阶段练习）若是锐角三角形的内角，则点在第 象限. 【变式3】（高一·全国·课后作业）在锐角三角形ABC中,已知,求的值. 题型5：诱导公式的综合应用 【例题5】（23-24高一上·四川绵阳·期末）设函数，则（    ） A． B． C． D．1 【变式1】（23-24高一上·浙江台州·期末）下列四组函数中，表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）设函数，则 . 【变式3】（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）（1）求函数的最小值. （2）若是关于的方程的两个根，求. 易错点：应用诱导公式时忽视函数名和符号改变致错 【例题6】（23-24高一上·广东汕头·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知 ，则 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求的值． 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则cosα的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河北石家庄·期末）计算（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·重庆·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·全国·随堂练习）的值是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（21-22高一上·广东湛江·期末）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高一上·天津·期末） . 13．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）若为第一象限角，则 . 14．（23-24高一上·浙江台州·期末）已知， 的值为 . 四、解答题 15．（23-24高一上·河南郑州·期末）已知，求的值． 16．（21-22高一·全国·课后作业）已知、、为的三个内角，求证： 17．（24-25高一上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 18．（21-22高一上·全国·课前预习）求下列三角函数值： (1)； (2)． 19．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）已知. (1)化简函数； (2)若，求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$