精品解析：天津市第七中学2025届高三上学期期中考试数学试卷

天津市河东区第七中学2024—2025学年高三上学期期中考试 数学试卷 一、选择题： 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集及交集运算即可. 【详解】由题意得,所以. 故选：B. 2. 设，则“”是的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先化简两个不等式，再利用充要条件的定义来判断. 【详解】由得，所以.由得， 因为，所以“”是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 第19届亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如下表所示：（ ） 时间 1 2 3 4 5 销售量/万只 5 4.5 4 3.5 2.5 若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 由题中数据可知，变量与负相关 B. 当时，残差为0.2 C. 可以预测当时销量约为2.1万只 D. 线性回归方程中 【答案】B 【解析】 【分析】对于选项A，利用表中数据变化情况或看回归方程的正负均可求解；对于选项B，利用样本中心点求出线性回归方程，再利用回归方程即可求出预测值，进而可求出残差；对于选项C，利用回归方程即可求出预测值；对于选项D，利用回归方程一定过样本中心点即可求解. 【详解】对于选项A，从数据看，随的增大而减小，所以变量与负相关， 故正确，A不符合题意； 对于选项B，由表中数据知，， 所以样本中心点为，将样本中心点代入中得， 所以线性回归方程为， 所以，残差，故错误，B符合题意； 对于选项C，当时销量约为（万只），故正确，C不符合题意； 对于选项D，由B选项可知，故正确，D不符合题意. 故选：B. 4. 函数（）的图象大致为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性排除选项；由,可排除选项,从而可得结果. 【详解】因为， 所以函数是偶函数，函数图象关于轴对称，可排除选项； 因为,可排除选项,故选A. 【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 5. 若，，，则a、b、c的大小关系为（ ） A. a>b>c B. b>a>c C. c>b>a D. c>a>b 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，借助0,1比较大小即可. 【详解】，且， ，， 故选：A 6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】由线面、面面位置关系即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，若，且，则或斜交或或，故A错误； 对于B，由线面平行的性质可知，若，则，故B正确； 对于C，设，，，又，所以，但不成立，故C错误； 对于D，若，则或异面，故D错误. 故选：B. 7. 已知函数，将的图象向右平移个单位，得到的图象，下列关于函数的性质说法正确的是 A. 的图象关于对称 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】通过平移规则得到函数,再逐一对每个选项进行判断得到答案. 【详解】由题意知，令，得， 即在区间上单调递增.故选D. 【点睛】本题考查了三角函数的平移,对称和单调性等性质,属于中档题型. 8. 已知命题，，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得命题的否定，结合不等式恒成立，求解即可. 【详解】命题，是假命题， ，恒成立是真命题； 当时，恒成立， 当时，需，，解得， 当时，，不可能满足恒成立， 综上可得a的取值范围为. 故选：. 9. 已知圆台上、下底面圆周在半径为2的球面上，且下底面过球心，母线与底面所成角为，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出球的半径，求出圆台上底面半径，圆台的高，求出圆台体积，球的体积即可． 【详解】如图， 设球的半径，由题意可知，故是等边三角形， ∴，∴，∴，． ∴圆台的体积为：． 故选：B． 二、填空题： 10. 若复数为纯虚数，则实数_______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及纯虚数的概念求解. 【详解】由为纯虚数， 可得且，解得. 故答案为：5 11. 的二项展开式中x的系数为_______． 【答案】112 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出指定项的系数即得. 【详解】二项式的展开式通项， 由，解得，则， 所以的二项展开式中x的系数为112. 故答案为：112 12. 已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得． 【详解】因为圆心到直线的距离， 由可得，解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题． 13. 袋子中有10十个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． ①在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率为__________． ②两次都摸到白球的概率为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，先求和，然后根据条件概率公式来求；先求第一次摸到白球的概率，再求第二次摸到白球的概率. 【详解】解：设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，由题意即求， 因为 ， ， 所以， 即在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率 . 因为摸出的球不放回，所以两次都摸到白球的概率为. 故答案为：；. 14. 如图，在中，，，D，E分别是直线AB，AC上的点，，，且，则______．若P是线段DE上的一个动点，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，根据向量的线性运算以及向量基本定理，将转化为之间的运算，即可求得答案；第二空，设，，根据数量积的运算律，化简为之间的相关运算，结合二次函数的性质，即可求得答案. 【详解】∵，，∴，， ∵，又，， ∴ ， 解得，∵，∴． 设，， ∴ ，， ∴当时，有最小值，最小值为， 当时，有最大值，最大值为16， 故答案为：； 15. 设函数，若关于x的方程有5个不相等的实数根，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数数求函数的单调区间和零点，可得的大致图象，令，由关于x的方程有5个不相等的实数根，则与的图象有5个交点，且关于t的方程有两个解，不妨设为，，，分两种情况讨论：①若，那么②若，，即可求解实数m的取值范围. 【详解】解：令，， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 而， 由零点存在定理可得：存在， 当时， 又，故可大致画出的图象，如下图所示： 令，由关于x的方程有5个不相等的实数根， 则与的图象有5个交点， 且关于t的方程有两个解，不妨设为，， ①若，那么才能满足条件. 由是方程的解，所以， 解得，此时与的图象只有4个交点，不满足条件. ②若，，此时与的图象有5个交点， 关于t的方程要满足，， 则，解得 综上所述，实数m的取值范围是 故答案为： 三、解答题： 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求：的值． （2）求：的值． （3）若，求：的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及余弦定理，等量代换及整式化简，可得答案； （2）根据二倍角公式，结合差角公式，可得答案； （3）利用三角形的面积公式，可得答案. 【小问1详解】 ，由正弦定理得： 将这入上式得，由余弦定理可得. 【小问2详解】 ，由，则， 又，即，，又， 又. 【小问3详解】 ，由知：，由（2）可知， 又， 的面积为. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 【答案】（1） 因为，，， 所以四边形为矩形， 在中，，，， 则， 所以，则， 且平面平面，平面，平面平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理的值，再由勾股定理可得，根据面面垂直的性质定理即可证明线面垂直； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解面APB与面PBC的法向量，从而可得面面夹角的余弦值，利用平方公式得正弦值； （3）设，确定的坐标，利用空间向量线面夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，可得， 则，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，取， 设平面的法向量为，， 由，取， ， 又由图可知二面角是钝角， 所以二面角的正弦值为； 【小问3详解】 设，则， 又平面的法向量为， 直线与平面所成的角的正弦值为，解得， 所以. 18. 已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列． （1）求数列、的通项公式； （2）设的前项和为，求 （3）设，的前n项和为，若恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）；；（2）；（3）． 【解析】 【分析】(1) 设等差数列的公差为，由已知条件，结合等差数列的通项公式和求和公式可得，从而可求出首项和公差，即可求出通项公式；设等比数列公比为，由已知条件结合等比数列的通项公式即可求出公比，从而可求出的通项公式. (2)由错位相减法即可求出前项和. (3)由(1)可知，整理可得，由裂项相消法可得，由恒成立可得恒成立，结合的单调性即可求出实数的最大值. 【详解】解：(1)设等差数列的公差为， ，，. 设等比数列公比为（其中），因为， 由，可得，解得或（舍去）； 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， 则①． ② 由①减去②得， 则，所以的前n项和. （3）由(1)可知，， 则 恒成立，恒成立， 单调递增，时，， 最大值为. 【点睛】方法点睛: 常见数列求和的方法有：公式法；裂项相消法；错位相减法；分组求和法等. 19. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）求； （3）若，求数列前项和． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）类比题目中的和式再写出一个把换成的和式，然后与原来的和式作差即可求出结果； （2）利用（1）的结果求出，然后利用裂项相消法即可求和； （3）利用（1）的结果求出，然后分组利用错位相减法即可求出. 【小问1详解】 ， 当时，，即， 当时，， 得，即， 满足上式， 数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）得， ； 【小问3详解】 由（1）知， 数列前项和 ， 令， ， ， ， 得 . 得 ， . 20. 已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围； （3）若，且，证明：. 【答案】 (1)函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 极小值为，无极大值． (2)； (3)证法1 因为，由（1）知，函数在区间上单调递减， 在区间上单调递增，且． 不妨设，则， 要证，只要证，即证． 因为在区间上单调递增，所以， 又，即证， 构造函数， 即，． ， 因为，所以，即， 所以函数在区间上单调递增，故， 而，故， 所以，即，所以成立． 证法2 要证成立，只要证：. 因为，且，所以， 即，， 即， ，同理， 从而， 要证，只要证， 令不妨设，则， 即证，即证， 即证对恒成立， 设，， 所以在单调递增，，得证，所以. 【解析】 【详解】（1）， ①时，因为，所以， 函数的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值； ②当时，令，解得， 当时，；当，． 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 在区间上的极小值为，无极大值． （2）由题意，， 即问题转化为对于恒成立， 即对于恒成立， 令，则， 令，则， 所以在区间上单调递增，故，故， 所以在区间上单调递增，函数． 要使对于恒成立，只要， 所以，即实数k的取值范围为． （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市河东区第七中学2024—2025学年高三上学期期中考试 数学试卷 一、选择题： 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 第19届亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如下表所示：（ ） 时间 1 2 3 4 5 销售量/万只 5 4.5 4 3.5 2.5 若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 由题中数据可知，变量与负相关 B. 当时，残差为0.2 C. 可以预测当时销量约为2.1万只 D. 线性回归方程中 4. 函数（）的图象大致为 A. B. C. D. 5. 若，，，则a、b、c的大小关系为（ ） A. a>b>c B. b>a>c C. c>b>a D. c>a>b 6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知函数，将的图象向右平移个单位，得到的图象，下列关于函数的性质说法正确的是 A. 的图象关于对称 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增 8. 已知命题，，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 已知圆台上、下底面圆周在半径为2的球面上，且下底面过球心，母线与底面所成角为，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题： 10. 若复数为纯虚数，则实数_______. 11. 的二项展开式中x的系数为_______． 12. 已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________． 13. 袋子中有10十个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． ①在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率为__________． ②两次都摸到白球的概率为__________． 14. 如图，在中，，，D，E分别是直线AB，AC上的点，，，且，则______．若P是线段DE上的一个动点，则的取值范围是______． 15. 设函数，若关于x的方程有5个不相等的实数根，则实数m的取值范围是__________. 三、解答题： 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求：的值． （2）求：的值． （3）若，求：的面积． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 18. 已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列． （1）求数列、的通项公式； （2）设的前项和为，求 （3）设，的前n项和为，若恒成立，求实数的最大值． 19. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）求； （3）若，求数列前项和． 20. 已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围； （3）若，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $