精品解析：山东省淄博市张店区2024-2025学年七年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年度第一学期期中学业水平检测 初二数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下面四幅作品分别代表“大雪”、“立春”、芒种”、“白露”四个节气，其中是中心对称图形的是(　　　　) A B. C. D. 2. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 3. 在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和 3cm，则它的周长为（ ） A. 19cm B. 19cm 或 14cm C. 11cm D. 10cm 4. 如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则该直角三角形边上高的长为（ ） A. 5 B. C. D. 或 6. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 7. 将甲，乙，丙三个大小不同的正方形如图所示放置，顶点E，F处分别两两相接，顶点A，B，M，C，D在同一条直线上．若正方形甲的边长为2，正方形丙的边长为3，则正方形乙的面积为（ ） A. B. 5 C. 13 D. 25 8. 如图，是等边三角形，于点D，点P是线段上的一个动点，于点E，连接，则当最小时，的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 9. 如图，在四边形中，，P为边的中点，连接．若，，且，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，在等边三角形内部取一点P，连接．若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若三角形两边的长分别为3和2，则该三角形第三边的长x的取值范围是______． 12. 如图，，，与关于直线对称，则中的______． 13. 如图所示的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．若在该网格中，与全等的格点三角形共有个（不含本身），则______． 14. 如图，在中，是角平分线．若，，，则线段的长为______． 15. 如图，点E，F分别是直角边上的动点（点E，F不与该直角三角形的顶点重合），连接，作，的角平分线相交于点P，M为的中点，连接．若，，则的最小值为______． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. 【阅读材料】：为了说明“三角形的内角和是”，小明给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 方法①：过顶点C作； 方法②：点P在的边上，过点P作交于点E，交于点F； 方法③：点P在的内部，过点P作交于点E，F，交于点D，G，交于点M，N； 方法④：点P在的外部，过点P作交于点E，F，交于点D，． 【解答问题】： （1）小明的四种作辅助线的方法中，能说明“三角形的内角和是”的是______；（只填写序号） （2）请从你在（1）中填写的方法里选择一种方法，说明“三角形的内角和是”． 17. 如图，和中，，，． （1）请判断和的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 18. 如图，四边形中，，，求四边形的面积． 19. 如图（1），在中，，． （1）若边的长度是奇数，求的长； （2）如图（2），为的中线． ①的周长为16，求的周长； ②求中线取值范围． 20. 如图，已知的三个顶点在格点上（每个小正方形的顶点叫做格点），直线经过格点M，N． （1）画出，使与关于直线对称； （2）在直线上找一点P，使； （3）在直线上找一点Q，使最大．（画图过程用虚线表示，只需画图，不需说明理由） 21. 如图（1），在等边中，厘米，点E以2厘米/秒的速度从点B出发向点A运动（不与点A重合），点F以1厘米/秒的速度从点A出发向点C运动（不与点C重合），设点E，F同时运动，运动时间为t秒． （1）在点E，F运动过程中，经过几秒时为等边三角形？ （2）在点E，F运动过程中，的形状能否为直角三角形？若能，请求出时间t的值；若不能，请说明理由． 22. 如图（1），已知等腰直角三角形． （1）用尺规作图：求作等腰直角三角形的角平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）用无刻度的直尺画图：如图（2），将等腰直角三角形放置在的正方形网格中，顶点A，B，C都在小正方形的格点上（每个小正方形的顶点叫做格点），是等腰直角三角形的角平分线，请利用网格用无刻度的直尺在网格中先画出等腰直角三角形的角平分线，再在射线上画点P，连接，使得，画图过程用虚线表示．（只需画图，不需说明理由） 23. 【问题呈现】：我们知道，正方形的四个角都是直角，四条边都相等．如图（1），小明在正方形的边上取一动点，在的延长线上取一动点，使，并连接，．小明发现：线段，之间存在数量关系，请直接写出线段，之间的数量关系：______． 【问题探索】：如图（2），小明在【问题呈现】条件下，又在正方形的边上取了该边的中点，并连接，． （1）小明又发现：当时，线段，，之间也存在数量关系．请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，当正方形的边长为时，请求出的长． 【问题解决】：如图（3），小明在【问题探索】及其（1）和（2）的条件下，过点作于点，连接，请帮助小明求出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中学业水平检测 初二数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下面四幅作品分别代表“大雪”、“立春”、芒种”、“白露”四个节气，其中是中心对称图形的是(　　　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】A．是中心对称图形，符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键． 2. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴不一定是的中点，即不一定成立， ∴不一定成立，D说法错误，符合题意． 故选：D． 3. 在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和 3cm，则它的周长为（ ） A. 19cm B. 19cm 或 14cm C. 11cm D. 10cm 【答案】A 【解析】 【分析】从①当等腰三角形的腰长为8cm，底边长为3cm时；②当等腰三角形的腰长为3cm，底边长为8cm时，两种情况去分析即可． 【详解】当8cm的边是腰时，三角形的周长=8+8+3=19cm， 当3cm的边是腰时，因为3+3＜8，所以不能组成三角形， 所以等腰三角形ABC的周长=19cm， 故选：A． 4. 如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形性质，三角形内角和定理等．根据题意可知，继而得到本题答案． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴由题意得：， 故选：A． 5. 在中，，，，则该直角三角形边上高的长为（ ） A. 5 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键．先根据勾股定理求出，然后利用面积法求解即可． 【详解】解：如图，是直角三角形边上高． ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 7. 将甲，乙，丙三个大小不同的正方形如图所示放置，顶点E，F处分别两两相接，顶点A，B，M，C，D在同一条直线上．若正方形甲的边长为2，正方形丙的边长为3，则正方形乙的面积为（ ） A. B. 5 C. 13 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，证明，得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：根据正方形的性质得，， ，， ， 在和中 ， ， ， ， 在中，由勾股定理得，即正方形乙的面积为13， 故选C． 8. 如图，是等边三角形，于点D，点P是线段上的一个动点，于点E，连接，则当最小时，的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，设的边长为．证明B，P，E共线时，最小，利用30度角直角三角形的性质和勾股定理分别求出，，进而可求出的值． 【详解】解：如图，连接，设的边长为． ∵是等边三角形，于点D， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴当B，P，E共线时，最小，此时， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】此题考查了垂线段最短，直角三角形的性质，等边三角形的性质，确定B，P，E共线时，最小是解答本题的关键． 9. 如图，在四边形中，，P为边的中点，连接．若，，且，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质．延长和相交于点，由，P为边的中点，证明，得到，，推出是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：延长和相交于点， ∵， ∴，， ∵P为边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即是线段的垂直平分线， ∴， 故选：C． 10. 如图，在等边三角形内部取一点P，连接．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将绕点A顺时针旋转得，连接，由旋转的性质可知，，由勾股定理逆定理得是直角三角形且，取的中点H，连接，则，证明是等边三角形得，然后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． 如图，将绕点A顺时针旋转得，连接， 由旋转的性质可知，，， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形且． 取的中点H，连接，则， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理的逆定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若三角形两边的长分别为3和2，则该三角形第三边的长x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形两边的长分别为3和2，得出第三边的长x的取值范围是，即可作答． 【详解】解：∵三角形两边的长分别为3和2， ∴ ∴ 则第三边的长x的取值范围是， 故答案为：． 12. 如图，，，与关于直线对称，则中的______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据对称可得，，再根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∵，且， ∴， 故答案为： ． 13. 如图所示的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．若在该网格中，与全等的格点三角形共有个（不含本身），则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定，数形结合是解题的关键．由图可知，在的正方形网格中，与全等的格点三角形共有个（包含本身），而在的正方形网格中，一共有个的正方形网格，据此即可求解． 【详解】解：在的正方形网格中，与全等的格点三角形共有个（包含本身）， 在的正方形网格中，一共有个的正方形网格， 在的正方形网格中，与全等的格点三角形共有个（包含本身）， 与全等的格点三角形共有个（不含本身）， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，是角平分线．若，，，则线段长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，在上截取线段，使，连接，证明，得到，再证明，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在上截取线段，使，连接，如图： ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， 设，则，，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点E，F分别是直角边上的动点（点E，F不与该直角三角形的顶点重合），连接，作，的角平分线相交于点P，M为的中点，连接．若，，则的最小值为______． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，勾股定理，作，，，根据角平分线的性质可得，，进而得出，可推出平分，再根据角平分线的对称性作点M关于的对称点，可得，的最小值等于，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：作，，， ，的角平分线相交于点P， ，， ， 点P在的角平分线上，即平分， 作点M关于的对称点，则点在线段上，，， ，当P，B，共线时等号成立， 的最小值等于． M为的中点，， ， ， 的最小值为45， 故答案为：45． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. 【阅读材料】：为了说明“三角形的内角和是”，小明给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 方法①：过的顶点C作； 方法②：点P在的边上，过点P作交于点E，交于点F； 方法③：点P在的内部，过点P作交于点E，F，交于点D，G，交于点M，N； 方法④：点P在的外部，过点P作交于点E，F，交于点D，． 【解答问题】： （1）小明的四种作辅助线的方法中，能说明“三角形的内角和是”的是______；（只填写序号） （2）请从你在（1）中填写的方法里选择一种方法，说明“三角形的内角和是”． 【答案】（1）①②③④ （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明方法． （1）根据辅助线的作法，结合平行线的性质逐个图分析即可； （2）选择方法①，由平行线的性质得，，结合可证． 【小问1详解】 解：根据辅助线的作法，结合平行线的性质可知①②③④均能说明“三角形的内角和是”． 故答案为：①②③④； 【小问2详解】 解：选择方法①， 因为 所以，， 所以， 因为， 所以， 所以三角形内角和为． 17. 如图，在和中，，，． （1）请判断和的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据边角边证即可； （2）根据全等三角形的性质可得，根据三角形的内角和定理求出，再根据角的和差计算即可． 【小问1详解】 ，理由如下： ∵ ∴， ∴ 在和中， ∵，， ∴， ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴． 18. 如图，四边形中，，，求四边形的面积． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 19. 如图（1），在中，，． （1）若边的长度是奇数，求的长； （2）如图（2），为的中线． ①的周长为16，求的周长； ②求中线的取值范围． 【答案】（1） （2）①的周长为11；② 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，掌握“倍长中线法”是解题的关键． （1）直接根据三角形三边的关系求解即可； （2）①根据三角形中线的定义，结合周长的计算求解即可； ②延长线段到点E，使得，连接，根据边角边证，再利用三角形三边的关系求解即可． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∵的长度是是奇数， ∴； 【小问2详解】 ①∵，， ∴， ∵是中线， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为11； ②延长线段到点E，使得，连接， 在和中 ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 即， ∴， 即中线的取值范围为． 20. 如图，已知的三个顶点在格点上（每个小正方形的顶点叫做格点），直线经过格点M，N． （1）画出，使与关于直线对称； （2）在直线上找一点P，使； （3）在直线上找一点Q，使最大．（画图过程用虚线表示，只需画图，不需说明理由） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了轴对称作图，轴对称的性质，三角形三条边的关系，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）先找出点A，B，C的对应点，然后连接即可； （2）连接交于点P即可； （3）延长交于点Q即可． 【小问1详解】 如图，即为所求， 【小问2详解】 如图，点P即为所求， 连接， 由轴对称性质可知经过点P，， ∵， ∴； 【小问3详解】 如图，点Q即为所求， ∵， ∴当B，C，Q共线时，最大． 21. 如图（1），在等边中，厘米，点E以2厘米/秒的速度从点B出发向点A运动（不与点A重合），点F以1厘米/秒的速度从点A出发向点C运动（不与点C重合），设点E，F同时运动，运动时间为t秒． （1）在点E，F运动过程中，经过几秒时为等边三角形？ （2）在点E，F运动过程中，的形状能否为直角三角形？若能，请求出时间t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）经过5s时，为等边三角形 （2）当运动时间为或6s时，为直角三角形 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半．关键是分情况讨论． （1）由等边三角形的判定，当时，是等边三角形，由此即可解决问题； （2）分两种情况，由直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：，， 则，当时，是等边三角形， 所以，，解得：， 所以，经过时，为等边三角形； 【小问2详解】 解：的形状能为直角三角形． 分两种情况，理由如下： ①如图1，当时， 因为，， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，； ②如图2，当时，， 所以，， 所以，． 所以，， 所以，在点E，F运动过程中，当运动时间为或时，为直角三角形． 22. 如图（1），已知等腰直角三角形． （1）用尺规作图：求作等腰直角三角形的角平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）用无刻度的直尺画图：如图（2），将等腰直角三角形放置在的正方形网格中，顶点A，B，C都在小正方形的格点上（每个小正方形的顶点叫做格点），是等腰直角三角形的角平分线，请利用网格用无刻度的直尺在网格中先画出等腰直角三角形的角平分线，再在射线上画点P，连接，使得，画图过程用虚线表示．（只需画图，不需说明理由） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可； （2）取格点K，连接，交于M，连接交于点E，则即为所求；取格点H，G，连接，相交于点N，连接并延长交于F，延长交PF于点P，点P即为所求． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 如图，和点P即所求， 由四边形是正方形可知，平分， ∵是等腰直角三角形的角平分线， ∴平分； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图－作角的平分线，无刻度直尺作图，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 23. 【问题呈现】：我们知道，正方形的四个角都是直角，四条边都相等．如图（1），小明在正方形的边上取一动点，在的延长线上取一动点，使，并连接，．小明发现：线段，之间存在数量关系，请直接写出线段，之间的数量关系：______． 【问题探索】：如图（2），小明在【问题呈现】的条件下，又在正方形的边上取了该边的中点，并连接，． （1）小明又发现：当时，线段，，之间也存在数量关系．请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，当正方形的边长为时，请求出的长． 【问题解决】：如图（3），小明在【问题探索】及其（1）和（2）的条件下，过点作于点，连接，请帮助小明求出的面积． 【答案】【问题呈现】；【问题探索】（1），理由见解析；（2）的长度为5；【问题解决】． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． [问题呈现]根据正方形的性质得出，，利用可证明，根据全等三角形的性质得出，即可得答案； [问题探索]（1）根据全等三角形的性质可得，，利用角的和差关系得出，利用可证明，即可得出，根据线段的和差关系即可得答案； （2）设，用表示出、的长，在中利用勾股定理列方程求出的值即可得答案； [问题解决]如图，过点作于点，于点N，根据，得出，利用直角三角形两锐角互余的性质得出，利用可证明，即可得出，，设，利用表示出、的长，利用列方程可求出的长，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】[问题呈现]解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 故答案为： [问题探索]解：（1），理由如下： 由[问题呈现]可知：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）设， ∵点为的中点，， ∴ ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴的长度为． [问题解决]解：如图，过点作于点，于点N， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴ ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $