专题01 集合与常用逻辑用语（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【学考必备】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（广东专用）

专题01 集合与常用逻辑用语 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 1 考点精讲讲练 4 考点一：元素与集合 4 考点二：集合的表示 5 考点三：集合间的关系 6 考点四：集合的基本运算 7 考点五：充分条件与必要条件 8 考点六：全称量词与存在量词 10 实战能力训练 11 明晰学考要求 1、了解集合的含义、元素与集合的属于关系； 2、能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题； 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 4、在具体情境中，了解全集与空集的含义； 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； 6、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 7、能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算； 8、理解命题的概念，了解“若,则"形式的命题； 9、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义； 10、理解全称量词与存在量词的意义； 11、能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 基础知识梳理 一、集合的基本概念 1．元素与集合的关系： 若属于集合，则记作； 若不属于集合，则记作； 2．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 3．空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 4．常用数集及其记法： 集合 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 或 5．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. 二、集合间的基本关系 文字语言 符号语言 图示 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 且 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.三、集合的基本运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 四、充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； p⇒q且qp p是q的充分不必要条件 pq且q⇒p p是q的必要不充分条件 p⇔q p是q的充要条件 pq且qp p是q的既不充分也不必要条件 2．必记结论 集合判断法判断充分条件、必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即， p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 且 p是q的既不充分也不必要条件 3.充分必要条件判断的常用方法： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件； 若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 五、全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词和存在量词 量词名称 符号表示 常见量词 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 2．含有一个量词的命题的否定 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所示： 命题 命题的否定 考点精讲讲练 考点一：元素与集合 判断元素与集合关系的方法： （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【典型例题】 例1．（2024高二下·湖南·学业考试）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．已知集合，则有（    ） A． B． C． D． 例3．（2023高三·河北·学业考试）设集合，，，则中的元素个数为 ． 例4．（2023高三·上海·学业考试）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是 例5．（2023·高三 广西·学业考试）已知集合，则与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．已知集合，，则的值为 . 2．若集合是16和24的公约数，则8 ． 3．已知集合，，若且，则 4．已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 5．若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 考点二：集合的表示 表示集合的方法： 1.列举法：求出集合的元素，把元素—一列举出来，且相同元素只能列举一次，用花括号括起来 2.描述法：（1）用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． （2）用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． （3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． 【典型例题】 例1．（2023高三上·广西·学业考试）图中阴影区域所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023高二上·黑龙江·学业考试）方程的所有实数根组成的集合（    ） A． B． C． D． 例3．（2022高二下·广西·学业考试）已知M是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M可表示为（    ） A．{x|x=1} B．{x|x=2} C．{1，2} D．{1，2，3} 例4．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）已知集合，则A中元素个数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 例5．（2020高二·广西·学业考试）设M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合M等于（   ） A．{长江，黄河} B． {长江，黑龙江} C． {长江，珠江} D． {长江，黄河，黑龙江，珠江} 【即时演练】 1．用列举法可将集合表示为（   ） A． B． C． D． 2．能被整除余的自然数组成的集合可以用描述法表示为 ． 3．集合，用描述法可表示为 ． 4．集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 5．方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 考点三：集合间的关系 判断集合间关系的方法： （1）列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系． （2）元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断． （3）图示法：利用数轴或图判断两集合间的关系． 【典型例题】 例1．（2023高二·湖北·学业考试）设集合，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2．设集合，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 例3．（2023高三上·广东·学业考试）已知， 设集合， ，则（ ） A．​ B．​ C．  ​ D．​ 例4．（2020高三上·广东·学业考试）已知集合，，若，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 例5．（2020高三·湖南·学业考试）集合的所有子集的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【即时演练】 1．集合的真子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．设集合，，则集合，的关系是（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，且，满足这样的集合的个数 . 考点四：集合的基本运算 求集合交、并、补集的2种方法： （1）定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据交、并、补集的定义直接观察或用图表示出集合运算的结果． （2）数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示． 【典型例题】 例1．（2024高三上·广东·学业考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2021高三上·广东·学业考试）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2023高三上·广西·学业考试）已知集合，，则的元素个数为 ． 例4．（2023高三下·湖南邵阳·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 例5．（2023高三·北京·学业考试）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若全集，集合，则 （   ） A． B． C． D． 3．若集合，则（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（   ） A．A B．B C． D． 5．已知全集，，，则=（   ） A． B． C． D． 考点五：充分条件与必要条件 充分、必要条件一般采取集合法：（小集合可以推出大集合）若对应的集合为，对应的集合为， 若，则是的充分条件；若，则是的必要条件． 【典型例题】 例1．（2024高二上·北京·学业考试）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．（2021高二·湖北·学业考试）“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3．（2023高一下·吉林·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 例4．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例5．（2022高二下·浙江温州·学业考试）已知，，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时演练】 1．已知是的必要条件，则可以为（    ） A． B． C． D． 2．“”，是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知集合，则“”是“”（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 5．在中国传统的十二生肖中，马､牛､羊､鸡､狗､猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属于六畜”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点六：全称量词与存在量词 【典型例题】 例1．（2023高三上·广西·学业考试）下列命题中，含有存在量词的是（    ） A．存在一个直角三角形三边长均为整数 B．所有偶函数图象关于y轴对称 C．任何梯形都不是平行四边形 D．任意两个等边三角形都相似 例2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）命题：“”的否定是（    ） A． B． C． D． 例3．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 例4．（2024高三上·广东·学业考试）设命题，则p为（    ） A． B． C． D． 例5．（2023高三·广东·学业考试）下列存在量词命题是假命题的是（    ） A．存在，使 B．存在，使 C．存在钝角三角形的内角不是锐角或钝角 D．有的有理数没有倒数 【即时演练】 1．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知命题，使得成立，则下列说法正确的是（    ） A．，为假命题 B．，为假命题 C．，为真命题 D．，为真命题 3．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 4．已知命题：，；命题：，，则（    ） A．和都是假命题 B．和的否定都是假命题 C．的否定和都是假命题 D．的否定和的否定都是假命题 5．已知命题，命题，则下列说法中正确的是（   ） A．命题都是真命题 B．命题是真命题，是假命题 C．命题是假命题，是真命题 D．命题都是假命题 实战能力训练 1．已知集合，则用列举法表示（   ） A． B． C． D． 2．设集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则的真子集个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知命题，则是（    ） A． B． C． D． 5．“是等腰三角形”是“是等边三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，，则的子集个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 9．若，，则是的 条件. 10．已知集合，，则 . 11．已知集合，则的真子集的个数是 . 12．已知集合，若，则实数 . 13．已知集合，用列举法表示M＝ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 2 考点精讲讲练 4 考点一：元素与集合 4 考点二：集合的表示 7 考点三：集合间的关系 10 考点四：集合的基本运算 13 考点五：充分条件与必要条件 15 考点六：全称量词与存在量词 18 实战能力训练 21 明晰学考要求 1、了解集合的含义、元素与集合的属于关系； 2、能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题； 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 4、在具体情境中，了解全集与空集的含义； 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； 6、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 7、能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算； 8、理解命题的概念，了解“若,则"形式的命题； 9、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义； 10、理解全称量词与存在量词的意义； 11、能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 基础知识梳理 一、集合的基本概念 1．元素与集合的关系： 若属于集合，则记作； 若不属于集合，则记作； 2．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 3．空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 4．常用数集及其记法： 集合 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 或 5．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. 二、集合间的基本关系 文字语言 符号语言 图示 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 且 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 三、集合的基本运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 四、充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； p⇒q且qp p是q的充分不必要条件 pq且q⇒p p是q的必要不充分条件 p⇔q p是q的充要条件 pq且qp p是q的既不充分也不必要条件 2．必记结论 集合判断法判断充分条件、必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即， p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 且 p是q的既不充分也不必要条件 3.充分必要条件判断的常用方法： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件； 若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 五、全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词和存在量词 量词名称 符号表示 常见量词 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 2．含有一个量词的命题的否定 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所示： 命题 命题的否定 考点精讲讲练 考点一：元素与集合 判断元素与集合关系的方法： （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【典型例题】 例1．（2024高二下·湖南·学业考试）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由元素与集合的关系可知：若集合，则. 故选：B. 例2．已知集合，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据元素与集合的关系进行判断即可. 【详解】集合． 对于不对． 对于对； 对于不对； 对于不对． 故选：． 【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题． 例3．（2023高三·河北·学业考试）设集合，，，则中的元素个数为 ． 【答案】4 【详解】因为集合中的元素，，，所以当时，，2，3，此时，6，7．当时，，2，3，此时，7，8． 根据集合元素的互异性可知，，6，7，8．即，共有4个元素． 故答案为：4． 例4．（2023高三·上海·学业考试）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是 【答案】7 【详解】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7； 故答案为：7. 例5．（2023·高三 广西·学业考试）已知集合，则与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，所以与集合的关系为. 故选：B. 【即时演练】 1．已知集合，，则的值为 . 【答案】/ 【详解】因为，， 所以是的一个解，即，解得， 经检验，满足题意. 故答案为： 2．若集合是16和24的公约数，则8 ． 【答案】 【详解】根据题意求得集合，即可得结果. 因为是16和24的公约数，所以． 故答案为：. 3．已知集合，，若且，则 【答案】 【详解】由，，若且，则，所以. 故答案为： 4．已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，所以，故A正确； 当时，，所以，故B错误； 当或时，，所以，故C错误； 当时，，所以，故D错误. 故选：A 5．若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，， 故，所有元素之和为. 故选：B. 考点二：集合的表示 表示集合的方法： 1.列举法：求出集合的元素，把元素—一列举出来，且相同元素只能列举一次，用花括号括起来 2.描述法：（1）用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． （2）用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． （3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． 【典型例题】 例1．（2023高三上·广西·学业考试）图中阴影区域所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】阴影中有两个数字，分别是1，2所以表示的集合为. 故选：C 例2．（2023高二上·黑龙江·学业考试）方程的所有实数根组成的集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解方程，得或， 方程的所有实数根组成的集合为. 故选：C 例3．（2022高二下·广西·学业考试）已知M是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M可表示为（    ） A．{x|x=1} B．{x|x=2} C．{1，2} D．{1，2，3} 【答案】D 【详解】由于集合是由三个元素构成， 所以. 故选：D 例4．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）已知集合，则A中元素个数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【详解】，共有9个元素. 故选：B 例5．（2020高二·广西·学业考试）设M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合M等于（   ） A．{长江，黄河} B． {长江，黑龙江} C． {长江，珠江} D． {长江，黄河，黑龙江，珠江} 【答案】D 【详解】∵M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合， ∴M ={长江，黄河，黑龙江，珠江}. 故选：D. 【即时演练】 1．用列举法可将集合表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知 故选：C 2．能被整除余的自然数组成的集合可以用描述法表示为 ． 【答案】 【详解】由题意，设被除的商为，余数为， 可表示为， 所以被除余的自然数组成的集合为. 故答案为：. 3．集合，用描述法可表示为 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】. 故答案为：（答案不唯一）． 4．集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，则 ． 故选：C 5．方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以代入， 即，解得. 当时，； 当时，. 故的解集是. 故选：A. 考点三：集合间的关系 判断集合间关系的方法： （1）列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系． （2）元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断． （3）图示法：利用数轴或图判断两集合间的关系． 【典型例题】 例1．（2023高二·湖北·学业考试）设集合，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为，，且， 所以. 故选：D 例2．设集合，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【详解】解：因为，， 所以，解得， 所以1. 故选：B. 例3．（2023高三上·广东·学业考试）已知， 设集合， ，则（ ） A．​ B．​ C．  ​ D．​ 【答案】D 【详解】由题意，, 得, 故，A错误；,故B错误， ，故属于集合间符号使用不正确， C错误， ,D正确， 故选：D 例4．（2020高三上·广东·学业考试）已知集合，，若，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】就分类讨论后可得实数的取值范围. 【详解】当时，，此时，故满足. 当时，，因为，故即. 当时，，此时不成立， 综上，. 故选：C. 【点睛】本题考查含参数的集合的包含关系，注意对含参数的集合，要优先讨论其为空集或全集的情形，本题属于基础题. 例5．（2020高三·湖南·学业考试）集合的所有子集的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【解析】用列举法求出集合的子集即可得解. 【详解】解：因为集合，则集合的子集为： 、、、、 、、共8个， 故选：D. 【点睛】本题考查了集合子集的概念，属基础题. 【即时演练】 1．集合的真子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】集合含有个元素， 所以集合的真子集有个. 故选：C 2．已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合，若， 则若，则满足题意； 若，且，则， 综上所述，实数的取值范围是. 故选： 3．设集合，，则集合，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，集合， 所以. 故选：A． 4．已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴满足：，∴的取值范围是， 故选：D. 5．已知，，且，满足这样的集合的个数 . 【答案】7 【详解】由题意，集合可以取：共7个. 故答案为：7. 考点四：集合的基本运算 求集合交、并、补集的2种方法： （1）定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据交、并、补集的定义直接观察或用图表示出集合运算的结果． （2）数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示． 【典型例题】 例1．（2024高三上·广东·学业考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， . 故选：D. 例2．（2021高三上·广东·学业考试）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】全集，，则. 故选：C. 例3．（2023高三上·广西·学业考试）已知集合，，则的元素个数为 ． 【答案】1 【详解】集合，，则， 所以的元素个数为1. 故答案为：1. 例4．（2023高三下·湖南邵阳·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 故选：A. 例5．（2023高三·北京·学业考试）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以； 故选：D. 【即时演练】 1．集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以，. 故选：D. 2．若全集，集合，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为，， 所以， 所以. 故选：A. 3．若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 故选：D. 4．已知集合，，则（   ） A．A B．B C． D． 【答案】C 【详解】由可得, 故， 故选：C 5．已知全集，，，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，所以． 故选：D 考点五：充分条件与必要条件 充分、必要条件一般采取集合法：（小集合可以推出大集合）若对应的集合为，对应的集合为， 若，则是的充分条件；若，则是的必要条件． 【典型例题】 例1．（2024高二上·北京·学业考试）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，，∴“”是“”充分条件； 当时，，此时满足要求，而，故不一定成立，∴“”是“”不必要条件. 故选：A. 例2．（2021高二·湖北·学业考试）“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】时，一定有，满足充分性， 但时，如，不满足，即不满足必要性， “”是“”的为充分不必要条件． 故选：A． 例3．（2023高一下·吉林·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为可以推出，即充分性成立； 但不能推出，例如，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 例4．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 例5．（2022高二下·浙江温州·学业考试）已知，，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，，，，得，于是， 由，，取，满足，显然“，”不成立， 所以“，”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【即时演练】 1．已知是的必要条件，则可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是的必要条件， 结合各选项知． 故选：C. 2．“”，是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，因此， 当，时，， 所以“”，是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．已知集合，则“”是“”（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】 所以, 所以“”是“” 的充分不必要条件. 故选：C 4．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】D 【详解】若，如，则，所以不能推出； 若，如，但，所以不能推出. 所以“”是“”的既非充分也非必要条件. 故选：D 5．在中国传统的十二生肖中，马､牛､羊､鸡､狗､猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属于六畜”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若甲的生肖不是马，则甲的生肖未必不属于六畜； 若甲的生肖不属于六畜，则甲的生肖一定不是马， 所以“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属于六畜”的必要不充分条件， 故选：B 考点六：全称量词与存在量词 【典型例题】 例1．（2023高三上·广西·学业考试）下列命题中，含有存在量词的是（    ） A．存在一个直角三角形三边长均为整数 B．所有偶函数图象关于y轴对称 C．任何梯形都不是平行四边形 D．任意两个等边三角形都相似 【答案】A 【详解】“存在”、“有一些”、“某些”等等，这些叫做存在量词. 故选：A. 例2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）命题：“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“”的否定为：“”. 故选：C. 例3．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由全称量词命题的否定是存在量词命题，所以原命题的否定为：. 故选：C. 例4．（2024高三上·广东·学业考试）设命题，则p为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】该命题含有量词“”，故该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题， 故p为：． 故选：B 例5．（2023高三·广东·学业考试）下列存在量词命题是假命题的是（    ） A．存在，使 B．存在，使 C．存在钝角三角形的内角不是锐角或钝角 D．有的有理数没有倒数 【答案】C 【详解】当时，.故A正确. 当时，.故B正确. 因为对任意的钝角三角形，其内角和是，所以内角是锐角或是钝角，所以选项C不正确. 0是有理数，0没有倒数.所以有的有理数没有倒数.所以D正确. 故选：C 【即时演练】 1．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】“，”的否定是：，. 故选：A 2．已知命题，使得成立，则下列说法正确的是（    ） A．，为假命题 B．，为假命题 C．，为真命题 D．，为真命题 【答案】B 【详解】命题是真命题， ，是假命题. 故选：B 3．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为“”的否定是“”. 故选：C 4．已知命题：，；命题：，，则（    ） A．和都是假命题 B．和的否定都是假命题 C．的否定和都是假命题 D．的否定和的否定都是假命题 【答案】B 【详解】当时，不成立，所以为假命题，故CD错误； 当时，成立，所以为真命题，即的否定为假命题，故A错误，B正确. 故选：B 5．已知命题，命题，则下列说法中正确的是（   ） A．命题都是真命题 B．命题是真命题，是假命题 C．命题是假命题，是真命题 D．命题都是假命题 【答案】C 【详解】因为时,,是假命题； 因为时，,是真命题； 故选：C. 实战能力训练 1．已知集合，则用列举法表示（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得可为、， 即可为，即. 故选：B. 2．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，故C正确. 故选：C 3．已知集合，则的真子集个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】因为， 所以， 所以的真子集个数为个. 故选：B. 4．已知命题，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】全称命题的否定，否定结论，全称量词换成存在量词. 则，则是. 故选：A. 5．“是等腰三角形”是“是等边三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为等腰三角形不一定是等边三角形，所以“是等腰三角形”推不出“是等边三角形”， 又等边三角形一定是等腰三角形，所以“是等边三角形”可以推出“是等腰三角形”， 所以“是等腰三角形”是“是等边三角形”的必要不充分条件， 故选：B. 6．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 7．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合， ，A选项错误； ，元素与集合不能用符号，B选项错误； 根据子集的定义，有，C选项正确； 集合不是集合中的元素，不能用符号，D选项错误. 故选：C. 8．已知集合，，则的子集个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【详解】，， 当，时，， 当，或，时，， 当，时，， ， 中元素的个数是个， 的子集个数为个. 故选：A. 9．若，，则是的 条件. 【答案】既非充分又非必要 【详解】， ， 既不能推出，也不能被推出， 故答案为：既非充分又非必要. 10．已知集合，，则 . 【答案】 【详解】因为集合，， 所以. 故答案为：. 11．已知集合，则的真子集的个数是 . 【答案】3 【详解】依题意，，所以的真子集的个数是. 故答案为：3 12．已知集合，若，则实数 . 【答案】1 【详解】由，可得， 故答案为：1 13．已知集合，用列举法表示M＝ ． 【答案】 【详解】根据题意，应该为6 的因数，故可能取值为1，2，3，6，其对应的值分别为：4，3，2，. 又，所以的值分别为：4，3，2. 故集合. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 $$