29.2 直线与圆的位置关系（题型专练）数学冀教版九年级下册

29.2直线与圆的位置关系 题型1 判断直线与圆的位置关系 1．已知的半径为2，直线上有一点．若，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切 2．已知的半径为，若直线与圆心的距离为，则直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相离 D．相交 3．在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆一定（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 4.的直径为，若圆心O与直线l的距离为，则l与的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 5.已知，的半径分别为一元二次方程的两根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是 ． 题型2 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 6．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 7.已知在中，，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边有交点，那么r的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 8.在矩形中，与相交于点O．经过点B，如果与有公共点，且与边没有公共点，那么的半径长r的取值范围是 ． 9.的半径为，点到直线的距离为，，是方程的两根，当直线与相切时，的值为 . 题型3 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 10.已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是 ． 11.已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为 ； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． 题型4 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 12.如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    13．如图，在中，，，，点以的速度在边上沿的方向运动．以为圆心作半径为的圆，运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔为 秒． 14．点A是半径为2的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB． （1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整． 解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′． 由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形． ∴OO′＝BO＝6 又∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝60°，AB＝BC ∴∠OBO′＝∠ABC＝60° ∴∠OBA＝∠O′BC 在△OBA和△O′BC中， ∴　 　（SAS） ∴OA＝O′C 在△OO′C中，OC＜OO′+O′C 当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C 即OC≤OO′+O′C ∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是 　 　． （2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值； （3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长． 15．已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 29.2直线与圆的位置关系 题型1 判断直线与圆的位置关系 1．已知的半径为2，直线上有一点．若，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解题的关键． 直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于2． 此时和半径2的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能． 故选：D． 2．已知的半径为，若直线与圆心的距离为，则直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相离 D．相交 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：根据题意，得 的半径为，若直线与圆心的距离为， 直线和圆相交； 故选：D． 3．在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆一定（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 【分析】本题主要考查对直线与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用直线与圆的位置关系定理进行判断是解此题的关键，首先画出图形，根据点的坐标得，到圆心到轴的距离是，到轴的距离是，根据直线与圆的位置关系，即可求出答案． 【详解】解：圆心到轴的距离是，到轴的距离是， ∴圆与轴相切，与轴相交， 故选：C． 4.的直径为，若圆心O与直线l的距离为，则l与的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，由的直径为，求得的半径为，而圆心O与直线l的距离为，则圆心O与直线l的距离小于的半径，所以l与相交，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵的直径为，， ∴的半径为， ∵圆心O与直线l的距离为， ∴圆心O与直线l的距离小于的半径， ∴l与相交， 故答案为：相交． 5.已知，的半径分别为一元二次方程的两根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是 ． 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 当，直线与圆相交，当，直线与圆相切，当，直线与圆相离，据此即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程0的两根是，， ∵，不符合题意，舍去， ∴， ∵， ∴， ∴直线l与的位置关系是相切． 故答案为：相切． 题型2 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 6．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 【分析】当圆的圆心到直线的距离等于圆半径时，直线与圆相切，即可求解． 【详解】解：（1）当的圆心P在y轴左侧时， P到y轴距离时，⊙P与y轴相切， ∴移动时间（秒）； （2）当 的圆心P在y轴右侧时， P到y轴距离时，与y轴相切， ∴移动时间（秒）． 故选C． 7.已知在中，，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边有交点，那么r的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【分析】此题注意两种情况：（1）圆与相切时；（2）点在圆内部，点在圆上或圆外时．根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．本题考查了直线与圆的位置关系和三角形的面积等知识点，解此题的关键是画出符合条件的所有情况． 【详解】解：依题意，， 根据勾股定理求得． 当圆与相切时，此时半径最小，即； 当点在圆上，此时半径最大，即， 综上：即． 故选：D． 8.在矩形中，与相交于点O．经过点B，如果与有公共点，且与边没有公共点，那么的半径长r的取值范围是 ． 【分析】过点O作于点E，根据勾股定理得到，然后根据，得到，根据题意分两种情况，当线段在外时和当线段在内时，分别得到r的取值范围即可． 【详解】解：过点O作于点E， ∵是矩形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵与有公共点，且与边没有公共点， 当线段在外时，如图，此时， 当线段在内时，如图，此时    ∴的半径r的取值范围是：或 故答案为：或． 9.的半径为，点到直线的距离为，，是方程的两根，当直线与相切时，的值为 . 【分析】本题主要考查了切线的性质，一元二次方程根的判别式．根据切线的性质可得，再由一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两个根，且直线与相切， ∴， ∴方程有两个相等的实根， ∴， 解得，． 题型3 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 10.已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是 ． 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：因为直线l与圆没有交点，所以直线l与圆相离， 所以圆心到直线的距离大于圆的半径，即． 故答案为：. 11.已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为 ； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理， （1）如图1，当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大，可得结论； （2）如图2，根据已知条件得到线段是的直径，根据勾股定理即可得到结论； 正确作出图形是解题的关键． 【详解】解：（1）如图1， ∵，的半径是，， ∴当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大， 最大值为：， 故答案为：； （2）如图2， ∵，是直线与的公共点，线段的长度最大， ∴线段是的直径， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 题型4 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 12.如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； ∴(秒)； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． ∴(秒)； 故答案为：2或10 13．如图，在中，，，，点以的速度在边上沿的方向运动．以为圆心作半径为的圆，运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔为 秒． 【分析】要求第一次相切和第三次相切的时间间隔，题目已知速度，那么就要求第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差，根据公式：时间=路程÷速度即可求解． 【详解】解：第一次相切如图①， ∵，， ∴， 即第一次相切圆心运动的距离为． 第二次相切如图②， ，， 第三次相切如图③， ∵，， ∴， 第三次相切圆心运动的距离为， ∴第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差为：， ∴， 故答案为：． 14．点A是半径为2的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB． （1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整． 解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′． 由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形． ∴OO′＝BO＝6 又∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝60°，AB＝BC ∴∠OBO′＝∠ABC＝60° ∴∠OBA＝∠O′BC 在△OBA和△O′BC中， ∴　 　（SAS） ∴OA＝O′C 在△OO′C中，OC＜OO′+O′C 当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C 即OC≤OO′+O′C ∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是 　 　． （2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值； （3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长． 【分析】（1）根据全等三角形的性质，，从而求得OC的最大值； （2）将线段OB绕点B顺时针旋转90°到O′B，连接OO′，CO′，按照（1）中的思路，求证，从而求得OC的最小值； （3）分别以为顶角进行讨论，按照上述方法求证，从而求得OC的最小值，过点作于点，根据勾股定理求得长度，从而求得△ABC的周长． 【详解】解：（1）根据上下文题意可得： ∴ ∴ （2）将线段OB绕点B顺时针旋转90°到O′B，连接OO′，CO′ 由旋转的性质知：∠OBO′＝90°，BO′＝BO＝6，为等腰直角三角形 ∴ 又∵四边形为正方形 ∴ ∴ 在△OBA和△O′BC中， ∴（SAS） ∴ 在△OO′C中， 当O，O′，C三点共线，且点C在线段OO′上时， 即 （3）以为顶点，构建等腰三角形，将线段OB绕点B顺时针旋转120°到O′B，连接OO′，CO′，过点作于点，如下图： 由旋转的性质知：∠OBO′＝120°，BO′＝BO＝6，为等腰三角形 在中，，，∴ ∴， ∴ 由（2）可得 ∴ 在△OO′C中， 当O，O′，C三点共线，且点C在线段OO′上时， 即 又∵，在线段上 ∴ ∴ ∴ 的周长为 以为顶点，构建等腰三角形，将线段OA绕点A顺时针旋转120°到O′A，连接OO′，CO′，如下图： 由旋转的性质得：，，为等腰三角形 ∴ 由（2）可得 ∴ 在中， ∴当点在线段上时，最小 ∴点与点重合， 的周长为 15．已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 【分析】（）如图作于，求出的值即可判断； （）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ； （）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图作于，    在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴当半径时，直线与相切， 故答案为：； （2）观察图形可知， 当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ， 故答案为：或； （3）观察图形可知， 当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 故答案为：或． 16．已知点和直线，则点P到直线的距离d可用公式计算，利用公式解决下列问题： (1)求直线与直线之间的距离． (2)已知直线分别交x，y轴于A，B两点，是以为圆心，2为半径的圆，P为上的动点，试求出面积的最大值． 【分析】（1）在直线上任取一点，由直线与平行，则两直线间的距离即为点到的距离；再根据题干所给距离公式解答即可； （2）分别令、求得对应的y和x，进而确定点A，B的坐标和的长度；设圆心到直线即的距离为的半径为，然后根据题干所给距离公式求得半径R，然后再根据直线与圆的位置关系列出不等式，求得点到直线的距离的最大值，最后运用圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在直线上任取一点， ∵直线与平行， ∴这两条平行线之间的距离等于点到直线的距离． ∵直线可变形为，其中． ∴点到直线的距离． ∴这两条直线之间的距离等于； （2）解：令得；令得， ∴， 设圆心到直线即的距离为的半径为， ∴，， 又∵上任意点到直线的距离， ∴上任意点到直线的距离的最大值，此时，直线与相切， 所以的面积的最大值为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$