29.1 点与圆的位置关系（题型专练）数学冀教版九年级下册

29.1点与圆的位置关系 题型1 判断点与圆的位置关系 1．已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（    ） A．点P在圆内 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．不能确定 2.若的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是（    ） A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．不能确定 3．已知的半径是5，点P在内，则OP的长可能是（    ） A．4 B．5 C．5.5 D．6 题型2 利用点与圆的位置关系求半径 4.如果圆外一点P到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9，那么这个圆的半径为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 5．已知，如图，，点在第二象限运动，求的最小值为（     ）. A． B． C． D． 6．已知的半径为，点在外，则点到圆心的距离的取值范围是 ． 7.如图，在中，．以点为圆心，为半径作圆． （1）当点在内时，的取值范围是 ； （2）若，则点在 ，点在 ； （3）当点中只有两点在内时，的取值范围是 ． 8．如图，在矩形中，，， 以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，则的取值范围是 ． 题型3 已知半径和圆上两点作圆 9．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 10．如图，在中，，平分， (1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的半径． 11．如图，在中，，点D是平面内的一动点，且为的中点，在点D运动的过程中，线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．在矩形中，，，且满足，点M是平面内一点，且满足N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ． 13．如图，已知菱形，对角线、相交于点，，．点从点A出发，以每秒4个单位的速度沿线段向点运动，同付，点从点出发，以每秒3个单位的速度沿折线向点运动，当点P、Q中有一个点达到终点时，两点同时停止运动．连接、、，设点的运动时间为秒． (1)求线段的长； (2)在整个运动过程中，能否成为直角三角形？若能，请求出符合题意的t的值；若不能，请说明理由； (3)以为圆心，为半径作，当与线段只有一个公共点时，求的值或的取值范围． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 14.点A是半径为2的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB． （1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整． 解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′． 由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形． ∴OO′＝BO＝6 又∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝60°，AB＝BC ∴∠OBO′＝∠ABC＝60° ∴∠OBA＝∠O′BC 在△OBA和△O′BC中， ∴　 　（SAS） ∴OA＝O′C 在△OO′C中，OC＜OO′+O′C 当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C 即OC≤OO′+O′C ∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是 　 　． （2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值； （3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 29.1点与圆的位置关系 题型1 判断点与圆的位置关系 1．已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（    ） A．点P在圆内 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．不能确定 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵，的半径为3， ∴半径， ∴点P与的位置关系为：点P在圆外． 故选：B． 2.若的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是（    ） A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．不能确定 【分析】直接利用点与圆的位置关系进而判断得出答案，点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外；假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：，点在圆内，点在圆上，点在圆外．本题主要考查了点与圆的位置关系，正确把握判定方法是解题关键． 【详解】解：∵的半径为，点A到圆心O的距离为，， ∴点A与的位置关系是点A在圆内， 故选：B． 3．已知的半径是5，点P在内，则OP的长可能是（    ） A．4 B．5 C．5.5 D．6 【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断． 【详解】解：∵的半径为5，点P在内， ∴． 故选：A． 题型2 利用点与圆的位置关系求半径 4.如果圆外一点P到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9，那么这个圆的半径为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【分析】利用最长距离减去最短距离即得圆的直径,从而得出圆的半径． 【详解】∵P为圆外一点，点P到圆的最短距离为3，最长距离为9， ∴圆的直径为：9−3=6， ∴圆的半径为3， 故选C. 5．已知，如图，，点在第二象限运动，求的最小值为（     ）. A． B． C． D． 【分析】根据题意知点P的运动轨迹是以点M为圆心，半径的圆弧，当点P在BC上时，PC有最小值，据此可求解. 【详解】如图， ∵A（-1，0），B（-3，0）， ∴AB=2， ∵∠APB=30°， ∴点P的轨迹是以M为圆心，半径r=2的圆弧； 易得圆心坐标为， ， . 故选 6．已知的半径为，点在外，则点到圆心的距离的取值范围是 ． 【分析】若半径为，点到圆心的距离为，根据当时，点在圆外即可求解． 【详解】解：∵的半径为，点在外， ∴点到圆心的距离的取值范围是． 故答案为：． 7.如图，在中，．以点为圆心，为半径作圆． （1）当点在内时，的取值范围是 ； （2）若，则点在 ，点在 ； （3）当点中只有两点在内时，的取值范围是 ． 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．也考查了勾股定理．利用勾股定理求出． （1）根据点与圆的位置关系即可解答即可； （2）根据点与圆的位置关系即可解答即可； （3）根据点与圆的位置关系即可解答即可． 【详解】解：中，， ． （1）当点在内时，则，即， 故答案为：； （2），， 则， 点在上，点在外， 故答案为：上，外； （3）点中只有两点在内，， 点两点在内，点B在外， 的取值范围是：． 故答案为： 8．如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，则的取值范围是 ．    【分析】如图，连接，根据点与圆心的距离与半径大小的关系进行判断，当时，点在圆外，当时，点在圆内，由图可知当时，矩形的另外三个顶点至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，由勾股定理得的值即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，    四边形 是矩形， ， 又， 在中，， 由图可知 ， 故答案为：． 题型3 已知半径和圆上两点作圆 9．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意． 【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图， 得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 10．如图，在中，，平分， (1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的半径． 【分析】（1）作的垂直平分线与的交点为圆心，为半径作圆即可； （2）设的半径为x，根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：如图：即为所求；   ； （2）解：连接，设的半径为x，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴的半径为2． 11．如图，在中，，点D是平面内的一动点，且为的中点，在点D运动的过程中，线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．作的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，然后在中根据三边关系即可求解． 【详解】解：作的中点，连接、． 在直角中，， 是直角斜边上的中点， ． 是的中点，是的中点， ． 在中，， 即． 故选：B 12．在矩形中，，，且满足，点M是平面内一点，且满足N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，点和圆的位置关系等知识点，灵活运用所学知识点得出点N的运动轨迹是解本题的关键． 连接，取的中点O，连接，可知为的中位线，则可得，进而可知点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动，在矩形中，根据进而得出答案． 【详解】解：连接，取的中点O，连接， ∵N为的中点， 为的中位线， ∴， ∴点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动， 在矩形中，， 的取值范围为， 即， 故答案为：． 13．如图，已知菱形，对角线、相交于点，，．点从点A出发，以每秒4个单位的速度沿线段向点运动，同付，点从点出发，以每秒3个单位的速度沿折线向点运动，当点P、Q中有一个点达到终点时，两点同时停止运动．连接、、，设点的运动时间为秒． (1)求线段的长； (2)在整个运动过程中，能否成为直角三角形？若能，请求出符合题意的t的值；若不能，请说明理由； (3)以为圆心，为半径作，当与线段只有一个公共点时，求的值或的取值范围． 【分析】（1）首先根据四边形是菱形，可得，，，利用勾股定理即可求出． （2）情形1：如图1中，当时，，利用得列出方程求解；情形2：如图2，当时，，作垂足为，利用得到列出方程即可解决． （3）情形1：如图3，当点在线段上时，与线段相切于，连接，此时与线段只有一个交点，利用得到列出方程解决． 情形2：如图4，当时，作垂足为，由得到列出方程求解． 【详解】（1）解： 四边形是菱形， ，，， ， ， 在中，，， ． （2）解：能．理由如下： 如图1，当时，， ，， ， ， ， ， ， 或不合题意舍弃） ． 如图2，当时，，作垂足为， ， ， ， ，，，， ，， ， ， ， ， ， 解得或不合题意舍弃） 综上所述或时是直角三角形． （3）解：①如图3，当点在线段上时，与线段相切于，连接， 此时与线段只有一个交点， 在中，，， ， ，， ， ， ，解得或不合题意舍弃）． ②如图4，当时，作垂足为， ，， ， ， ，解得． 时与线段只有一个交点． 综上所述或时与线段只有一个交点． 14.点A是半径为2的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB． （1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整． 解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′． 由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形． ∴OO′＝BO＝6 又∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝60°，AB＝BC ∴∠OBO′＝∠ABC＝60° ∴∠OBA＝∠O′BC 在△OBA和△O′BC中， ∴　 　（SAS） ∴OA＝O′C 在△OO′C中，OC＜OO′+O′C 当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C 即OC≤OO′+O′C ∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是 　 　． （2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值； （3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长. 【分析】（1）根据全等三角形的性质，，从而求得OC的最大值； （2）将线段OB绕点B顺时针旋转90°到O′B，连接OO′，CO′，按照（1）中的思路，求证，从而求得OC的最小值； （3）分别以为顶角进行讨论，按照上述方法求证，从而求得OC的最小值，过点作于点，根据勾股定理求得长度，从而求得△ABC的周长． 【详解】解：（1）根据上下文题意可得： ∴ ∴ （2）将线段OB绕点B顺时针旋转90°到O′B，连接OO′，CO′ 由旋转的性质知：∠OBO′＝90°，BO′＝BO＝6，为等腰直角三角形 ∴ 又∵四边形为正方形 ∴ ∴ 在△OBA和△O′BC中， ∴（SAS） ∴ 在△OO′C中， 当O，O′，C三点共线，且点C在线段OO′上时， 即 （3）以为顶点，构建等腰三角形，将线段OB绕点B顺时针旋转120°到O′B，连接OO′，CO′，过点作于点，如下图： 由旋转的性质知：∠OBO′＝120°，BO′＝BO＝6，为等腰三角形 在中，，，∴ ∴， ∴ 由（2）可得 ∴ 在△OO′C中， 当O，O′，C三点共线，且点C在线段OO′上时， 即 又∵，在线段上 ∴ ∴ ∴ 的周长为 以为顶点，构建等腰三角形，将线段OA绕点A顺时针旋转120°到O′A，连接OO′，CO′，如下图： 由旋转的性质得：，，为等腰三角形 ∴ 由（2）可得 ∴ 在中， ∴当点在线段上时，最小 ∴点与点重合， 的周长为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$