专题09 第1和2章合集压轴题数轴上的动点问题分类训练2（5种类型45道）-2024-2025学年七年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版2024）

专题09 第1和2章合集压轴题数轴上的动点问题分类训练2 （5种类型45道） 目录 【题型1 动点问题最小值】 1 【题型2 动点问题最大值】 16 【题型3 动点问题定值】 30 【题型4 动点问题存在性】 45 【题型5 动点问题探索数量关系】 60 【题型1 动点问题最小值】 1．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离； 可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离． 从“数”的角度看：数轴上表示4和的两点之间的距离可用代数式表示为：． 根据以上阅读材料探索下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是______；______；______；（直接写出最终结果） (2)等式几何意义______，则的值为______； (3)若为数轴上某动点表示的数，则式子有最小值吗？若有求出最小值，若没有，写出理由． 【答案】(1)7；2；6 (2)数轴上表示x和两点之间的距离是4；或2 (3)有；最小值是4 【分析】（1）直接根据数轴上两点之间的距离公式和绝对值的意义求解即可； （2）根据绝对值的几何意义进行解答即可； （3）由于所给式子表示x到和3的距离之和，当x在和3之间时和最小，故只需求出和3的距离即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和的两点之间的距离是， ， ； 故答案为：5；2；6． （2）解：等式几何意义表示：数轴上表示x和两点之间的距离是4； 当x表示的点在表示点的左侧时，， 当x表示的点在表示点的右侧时，， 故答案为：数轴上表示x和两点之间的距离是4；或2； （3）解：式子有最小值；且最小值为4； ∵表示x到和3的距离之和， ∴当x在和3之间时距离和最小，最小值为：， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数；会灵活运用数轴上两点之间的距离解决问题是解答的关键． 2．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示2和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示2与的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示2和的两点之间的距离可列式表示为：． 根据以上阅读材料探索下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是______；______；_____；（直接写出最终结果） (2)若数轴上表示x和两点之间的距离是5，则x的值为______； (3)若x为数轴上某动点表示的数，则式子有最小值吗？若有，直接写出最小值，若没有，写出理由． 【答案】(1)5，4，7 (2)或2 (3)有，3 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，有理数的加减运算： （1）根据两点间的距离公式，绝对值的意义求解即可； （2）根据两点间的距离，分两种情况进行求解即可； （3）根据绝对值的意义，表示数轴的数到数之间的距离之和，进而得到当在之间时，有最小值为数之间的距离，进行求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和的两点之间的距离是，，； 故答案为：5，4，7 （2）∵数轴上表示x和两点之间的距离是5， ∴表示的数为：或； 故答案为：或2； （3）有最小值，最小值为；理由如下： 表示数轴的数到数之间的距离之和， ∴当当在之间时，有最小值为数之间的距离，即：． 3．如图，数轴上点A，B，C分别表示的有理数为是这个数轴上的动点，点P，Q分别表示的有理数为x，y，定义表示点与点之间的距离，即，当P，Q重合时，． (1)在，，4这三个数中，绝对值最小的数是 ； (2)当时，求的值； (3)探究的最小值，并写出取得最小值时的值； (4)当时，直接写出的最小值，并写出此时的取值范围是． 【答案】(1) (2)10或8 (3)的最小值是7，此时 (4) 【分析】本题主要考查数轴上两点距离及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点距离及绝对是解题是关键． （1）求出，，4的绝对值，比较即可解答； （2）分和，两种情况，利用两点间距离公式计算即可； （3）根据绝对值的几何意义求解即可； （4）根据绝对值的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：，， 在，，4这三个数中，绝对值最小的数是； 故答案为：； （2）解：当时， ； 当时， ； 当时，求的值为8或10； （3）解： 的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，，4的三点的距离之和， 只有当表示的数与点B重合时，距离之和才最小为点A和点C之间的距离为：， 此时：； （4）解： 的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，4的两点的距离之和， 只有当表示的数在点B点C之间时（包含点B，点C），距离之和才最小，最小距离为； 同理，的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，5的两点的距离之和， 只有当表示的数在点A点P之间时（包含点A，点P），距离之和才最小，最小距离为； 的几何意义是：数轴上表示数的点到表示,，4，5的四点的距离之和， 只有当表示的数在点B点C之间时（包含点B，点C），距离之和才最小， 最小距离为：； 此时：． 4．阅读材料： 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示：如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数5与对应的两点之间的距离为；有理数与对应的两点之间的距离为；… 如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为或，记为． 解决问题： （1）数轴上有理数与3对应的两点之间的距离等于________；数轴上有理数x与对应的两点之间的距离用含x的式子表示为________；若数轴上有理数x与1对应的两点A，B之间的距离，则x等于________； 联系拓广： （2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x．若点P在点M，N两点之间，则________；若，则点P表示的数x为________；由此可得：当取最小值时，整数x的所有取值的和为________． 【答案】（1）13；；或7；（2）6，或6；22 【分析】本题主要考查了列代数式，数轴，绝对值，正确列出含绝对值的代数式是基础，通过分类讨论去掉绝对值符号是解答本题的关键． （1）根据数轴上A、B两点之间的距离，代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离； （2）根据P是动点，分析点P的位置，再计算即可． 【详解】解：（1）数轴上有理数与3对应的两点之间的距离等于； 数轴上有理数x与对应的两点之间的距离用含x的式子表示为； 若数轴上有理数x与1对应的两点A，B之间的距离，则， ∴或； 故答案为：13；；或7； （2）∵P在点M，N之间，且点M表示的数为4，点N表示的数为， ∴ ∵， ∴点在线段外， 当P在N左边，即，， 解得，； 当P在M点右边时，即，， 解得，； ∴点表示的数为或6； 当取最小值时，整数x在和7之间，可能为 ∴； 故答案为：6，或6；22． 5．预备知识：在数学中，把点与点之间的距离用表示 如图，在数轴上点表示数点表示数点表示数，已知数是最小的正整数，且满足．    (1) ， ， ； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，运动秒钟后，求三点在数轴上所表示的数（用含的式子表示），若在此过程中，的值保持不变，求的值． (3)在此数轴有上一动点对应的数为，求的最小值． 【答案】(1)，1，7 (2)点A表示的数为，点B表示的数为；点C表示的数为， (3)9 【分析】（1）根据数是最小的正整数，得出，根据绝对值和平方的非负性得出，即可得出a和c的值； （2）根数两点之间的距离表示方法，即可得出t秒后A、B、C三点表示的数，得出关于t的表达式，根据的值保持不变可知，的值与t无关，即可求出m的值． （3）根据绝对值的几何意义，可得表示点Q和的距离，表示点Q和7的距离，则当点Q在和7之间时，的值最小，即可求解． 【详解】（1）解：∵数是最小的正整数， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：，1，7； （2）解：根据题意可得： ∵， ∴t秒中后，点A表示的数为，点B表示的数为；点C表示的数为， ∴，， ∴， ∵的值保持不变， ∴的值与t无关，即， 解得：； （3）解：∵， ∴表示点Q和的距离， ∵表示点Q和7的距离， ∴当点Q在和7之间时，的值最小， 此时． 【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，绝对值的几何意义，数轴上两点之间距离的表示方法，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0，以及数轴上两点之间距离的表示方法． 6．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且a，c满足，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点B在点A，C之间，且满足． (1)______，______，______． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则点C与数______表示的点重合． (3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x． ①的最小值为_____，此时x可以取_____；（写出满足条件的一个数即可） ②当代数式取得最小值时，_____，最小值为_____． 【答案】(1)；1；9； (2)； (3)①6，中任一个数都可以；②1，12． 【分析】（1）根据题意及非负数的性质求解即可； （2）先求出的中点表示的数，由此即可得到答案； （3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） 故答案为：；1；9； （2）解：∵点A表示的数为，点B表示的数为1， ∴AB中点表示的数为， ∴点C到AB中点的距离为10， ∴点C与数表示的点重合， 故答案为：； （3）①表示数轴上的点到5和-1的距离之和， ∴的最小值为， 此时x可以取的值为中任一个数都可以； 故答案为：6；（中任一个数都可以）； ②由题意得 ， ∴代数式的值即为点P到A、B、C三点的距离和， 如图3-1所示，当点P在A点左侧时 如图3-2所示，当点P在线段AB上时， 如图3-3所示，当点P在线段BC上时， 如图3-4所示，当点P在C点右侧时， ∴综上所述，当P与B点重合时，． 【点睛】本题主要考查了非负性的性质，绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，用数轴表示有理数等等，熟知相关知识是解题的关键． 7．点Ａ，在数轴上的位置如图所示，点是数轴上的一动点． (1)若，则点表示的是什么数？ (2)若，且点是的中点，求线段的长． (3)是否存在点，使的值最小？若存在，则点在数轴上的什么位置？的最小值是多少？ 【答案】(1)3或9 (2)或 (3)存在，P在A、B两点之间，8 【分析】本题主要考查了两点间的距离、数轴的特征等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． （1）分点P在点B的左边和右边两种情况，分别求出点P表示的数即可； （2）先分点P在点B的左边和右边两种情况，先分别的长，再根据点Q是的中点，求得线段的长即可； （3）根据图示，可得当点P在A、B两点之间时，的值最小，据此判断并求解即可． 【详解】（1）解：①点P在点B的左边时， ∵，， ∴点P表示的是3． ②点P在点B的右边时， ∵，， ∴点P表示的是9． 综上，可得点P表示的是3或9． （2）解：∵， ∴线段的长度是8． ①点P在点B的左边时， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴线段的长是． ②点P在点B的右边时， ∵， ∵点是的中点， ∴， ∴线段的长是． 综上，可得线段的长是2.5或5.5． （3）解：如图：当点P在A、B两点之间时，的值最小， 此时， 所以的最小值是8． 8．问题提出 (1)点，在数轴上分别表示实数，，，两点之间的距离可表示为． 代数式的几何意义是表示有理数的点到表示数2的点与表示数的点的距离之和．利用几何意义，可求得的最小值为___________． (2)问题探究 如图，点，，，在数轴上分别表示的数为，，，，是数轴上一动点，从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，当点出发___________秒后，到，，三点的距离和最小，此时点所处位置对应的数字为___________，此时到，，三点的距离之和的最小值为___________． (3)问题解决 同心抗疫，情暖居民．疫情防控期间，某一直线沿街有9个小区，依次记为，假定相邻两个小区间隔相同，将这个间隔记为100米．社区想为这9个小区的居民提供防疫物资，决定在路旁建立一个物资供应站．请问点选在何处，才能使这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小？最小值是多少？ 【答案】(1)3； (2)3，2，7； (3)当点在位置时，这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小，最小值是2000米． 【分析】（1）根据数轴的意义即可得解； （2）分四种情况分析点到三个点距离的和，通过比较确定最小值，从而求出所表示的数及运动的时间即可； （3）根据两点间的距离即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可得，表示有理数的点到表示数的点与表示数的点的距离之和， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：根据题意，设点表示的数为， 当时，点到，，三点的距离和是：； 当时，点到，，三点的距离和是：，且； 当时，点到，，三点的距离和是：，且； 当时，点到，，三点的距离和是：，且； ∴当时，点到，，三点的距离和最小值在范围内， 当即时，点到，，三点的距离和最小值是7，点所处位置对应的数字为2， 当时，点出发时间是：（秒）； 故答案为：3，2，7； （3）解：， 当点在或之间时，最小，为800米， 当点在或之间时，最小，为600米， 当点在或之间时，最小，为400米， 当点在或之间时，最小，为200米， 当点在位置时，最小，为0米， ∴最小距离和为：（米）， ∴当点在位置时，这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小，最小值是2000米． 【点睛】本题考查数轴，绝对值的几何意义以及两点间距离，解题的关键是熟练运用数形结合的思想． 9．如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答： (1)若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动 ___________个单位（其中点C不与点A重合）． (2)若在表示﹣1的点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长，小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步…按此规律继续跳下去，那么跳第99次时，应跳 ___________步，落脚点表示的数是 ___________； (3)若移动A、B、C三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有 ___________种，其中移动所走的距离和最小的是 ___________个单位； (4)若数轴上有个动点表示的数是x，则的最小值是 ___________． 【答案】(1)3 (2)197， (3)3，7 (4)7 【分析】（1）由AB＝2，结合数轴即可得出点C向左移动的距离； （2）根据规律发现，所跳步数是奇数列，写出表达式，然后把n＝100代入进行计算即可求解，根据向左跳是负数，向右跳是正数，列出算式，然后两个数一组，计算后再求和即可，当跳了n次时，分n是偶数与n是奇数两种情况讨论求解； （3）分为三种：移动B、C；移动A、C；移动A、B．然后计算每种情况移动所走的距离和即可； （4）根据绝对值的意义和线段的性质，两点之间，线段最短，可知当−5≤x≤4时，|x＋1|＋|x−4|＋|x＋5|有最小值． 【详解】（1）解：由数轴可知：A、B两点的距离为2，B点、C点表示的数分别为：−2、3， 所以当C、B两点的距离与A、B两点的距离相等时，需将点C向左移动3个单位， 故答案为：3； （2）∵第1次跳1步，第2次跳3步，第3次跳5步，第4次跳7步， … ∴第n次跳（2n−1）步， 当n＝99时，2×99−1＝198−1＝197， 此时，所表示的数是：−1−1＋3−5＋7−…＋195−197 ＝−1＋（−1＋3）＋（−5＋7）＋…＋（−195＋197） ＝−1−197＋2× ＝−100； 故答案为：197，−100； （3）有3种方法：①移动B、C，把点B向左移动2个单位长度，把C向左移动7个单位长度，移动距离之和为：2＋7＝9； ②移动A、C，把点A向右移动2个单位长度，把C向左移动5个单位长度，移动距离之和为：2＋5＝7； ③移动B、A，把点A向右移动7个单位长度，把B向左右移动5个单位长度，移动距离之和为：7＋5＝12． 所以移动所走的距离和最小的是7个单位， 故答案为：3，7； （4）∵|x＋4|≥0， |x＋2|≥0，|x−3|≥0， 当x≥3，原式＝x＋4＋x＋2＋x﹣3＝3x＋3 最小值为x＝3时，3x＋3＝12， 当−2≤x＜3时，原式＝x＋4＋x＋2﹣x＋3＝x＋9 最小值为x＝−2时，x＋9＝7， 当−4＜x＜−2时，原式＝x＋4﹣x﹣2﹣x＋3＝−x＋5 最小值大于7， 当 x≤−4时，原式＝﹣x﹣4﹣x﹣2﹣x＋3＝−3x−3， 最小值为x＝−4时，−3x−3＝9， 综上，的最小值是7， 故答案为：7． 【点睛】本题借助数轴考查了数轴上两点之间的距离的求解问题，以及数字变化规律的探讨问题，综合性较强，难度较大，但只要仔细分析，从中理清问题变化的思路便不难求解，此题计算求解时一定要仔细认真． 10．已知点A．B在数轴上表示的数分别为m、n． (1)填写下表： m 5 n 3 0 4 A，B两点的距离 2 5 (2)若A、B两点的距离为d，则___（用含m，n的式子表示） (3)由（2）的结论可知的意义是：数轴上表示数x的点到表示___的点的距离． (4)若动点C表示的数为x，则的最小值是___． (5)若动点C表示的数为x，则当x＝___时，取最小值． 【答案】(1)10；2 (2) (3)2 (4)5 (5)2 【分析】（1）直接由两点代表的数字作差再取绝对值即可表示距离； （2）根据绝对值的几何意义列式表达即可； （3）根据（2）的结论及绝对值的几何意义解释即可； （4）利用绝对值的几何意义对两个式子分别理解，再求解即可； （5）根据绝对值的意义，得出动点C正好中间那个数上时，到三个数的距离之和最小，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：，； 填表如下： m 5 n 3 0 4 A，B两点的距离 2 5 10 2 故答案为：10；2． （2）解：∵点A．B在数轴上表示的数分别为m、n， ∴． 故答案为：． （3）解：由（2）的结论可知：的意义是：数轴上表示数x的点到表示2的点的距离； 故答案为：2． （4）解：∵表示点C到表示2的点的距离， 表示点C到表示−3的点的距离， ∴表示数轴上动点C到表示2的点和表示−3的点的距离之和， ∴动点C位于−3和2之间时，有最小值， 此时最小值即为：． 故答案为：5． （5）解：∵表示点C到表示2的点的距离， 表示点C到表示−3的点的距离， 表示点C到表示5的点的距离， ∴表示数轴上动点C到表示2的点、表示−3的点和表示5的点的距离之和， ∴当动点C在中间的数2上，即时，的值最小， 此时最小值为：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，熟练掌握几何意义并灵活求解是解题关键． 【题型2 动点问题最大值】 11．如图，有理数，分别对应数轴上的点，，且，满足． (1)直接写出，的值：______；______； (2)若动点，分别从，同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，以每秒2个单位的长度的速度沿数轴向右运动，当，相遇时停止运动，当为何值时，； (3)我们规定，若在线段上存在满足，则我们称点是线段的一个分点．点从线段上的2分点出发，以每秒1个单位长度在数轴上按以下规律往返运动：第一回合，从点到点，再从点到点回到点；第二回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点；第三回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点，如此循环下去，若第秒时满足，求的最大值． 【答案】(1)； (2)当或时， (3)的最大值为秒 【分析】（1）根据平方的非负性，和绝对值的非负性，得到，，即可求解， （2）用含的代数式表示出，，代入，分，两种情况，即可求解， （3）先求出点对应的有理数，化简，求出等式成立时，对应的点的位置，找到点的运动规律，求出点最后一次经过该位置的时间，即可求解， 本题考查了数轴上的动点，解题的关键是：通过讨论化简等量关系式求解，找到运动规律． 【详解】（1）解：∵， ∴，，解得：，， 故答案为：；， （2）解：设有理数，分别对应数轴上的点，， 则：，， ∴，， ∵两球相遇时停止运动， ∴，解得：， ∴， 当时，由，可得：，解得：， 当时，由，可得：，解得：， 故答案为：当或时，， （3）解：∵点是线段上的2分点， ∴， ∵， ∴点对应的有理数， ∵，即：， ∵点一直在的左侧， ，， ∴，即：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 根据题意得： 、、、、…所对应的数为：、、、…， 、、、、…所对应的数为：、、、、…， 第三回合，点从回到点的过程中，最后一次经过点， 第一回合用时：（秒）， 第二回合用时：（秒）， 第三回合，点从点到用时：（秒）， 点从点到用时：（秒）， 点从点到点用时：（秒）， 故总用时（秒）， 故答案为：的最大值为秒． 12．阅读与运用：若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点间的距离表示为．如数轴上表示4和-1的两点之间的距离是，利用上述结论，回答以下问题：如图，在数轴上A、B两点对应的数分别为、20，数轴上有一动点P．      (1)若点P在A、B两点之间，则点P到A、B两点的距离的和为___________． (2)如图，设点P对应的数为x，数轴上一点Q在点P的右侧，且与点P始终保持相距18个单位长度，当x取何值时，点A与点P的距离、点B与点Q的距离的和为48？ (3)结合对前面问题的思考，若，求的最大值． 【答案】(1)60 (2)或5 (3)7 【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式即可求解； （2）分在点左边，、都在、中间，点在、中间，在点右边，和、都在点右边四种情况讨论，列出相应方程即可求解； （3）， 可推出，进而求出即可求解． 【详解】（1）∵， ∴点到、两点的距离的和为60， 故答案为：60； （2）若在点左边，则点与点的距离为， 点与点的距离为， 由题意得： 解得：， 若、都在、中间，此时距离和为，不符合题意， 若点在、中间，在点右边， 则点与点的距离为， 点与点的距离为， 由题意得： 解得， 若、都在点右边，此时仅点与点的距离，不符合题意： 综上所述，当或5时，满足题意． （3）由前面可知，， ∵已知 当时，有最大值： 综上所述，的最大值为7． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，关键是根据、相对的位置关系分类． 13．如图两点之间相距3个单位长度，两点之间相距7个单位长度，点、在数轴上表示的数分别为．    (1)若以为原点，求． (2)若以为原点，求． (3)现有一动点从点开始沿数轴的正方向运动到达点停止： ①设点到两点的距离之和为，求的最小值； ②设点到三点的距离之和为，直接写出的最大值与最小值． 【答案】(1) (2) (3)①3；②最大值17，最小值10． 【分析】（1）若以为原点，确定，计算即可； （2）若以为原点，确定，计算即可； （3）①分点在两点之间和点在两点之间两种情况讨论即可； ②分点P在不同的位置进行讨论即可； 【详解】（1）若以为原点，则 ， ； （2）若以为原点，则， ； （3）①当点在两点之间时，为定值，此时； 当点在两点之间时，两点之间的距离大于，即大于3，故的最小值是3； ②当点在点时，； 当点在点时，； 当点在点时，； 当点在两点之间时，； 当点在两点之间时； 故最大值17，最小值10． 【点睛】该题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是进行分类讨论． 14．阅读：表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示5与两点之间的距离是______． (2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为______． (3)请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是______． (4)由以上探索猜想的最小值是______，此时x的值为______． (5)借助继续探索的最大值为______． 【答案】(1) (2) (3)，，，， (4)， (5) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可得解； （2）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可得解； （3）由绝对值的意义可得表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，利用数轴并结合即可得解； （4）由绝对值的意义可得表示数轴上有理数所对应的点到、和所对应的点的距离之和，再结合数轴即可得解； （5）分情况讨论：当时，当时，当时，结合绝对值的意义计算即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示5与两点之间的距离是； （2）解：数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为； （3）解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，且， ∴ 结合数轴可得，这样的整数有，，，，； （4）解：∵表示数轴上数所对应的点到、和所对应的点的距离之和， ∴结合数轴可得，当时，由最小值，最小值为； （5）解：当时，，，故； 当时，，，故，此时当时，的值最大，为； 当时，，，故； 综上所述，的最大值为． 15．若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，且．则 ； (4)若表示一个有理数，且，则有理数的取值范围是 ； (5)若表示一个有理数，则有最小值为 ，此时 ； (6)当时，则的最大值为 ． 【答案】(1)3 (2) (3)4 (4)或 (5)5， (6)3 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）根据数轴上两点之间距离公式求解即可； （2）根据数轴上两点之间距离公式求解即可； （3）根据题意化简绝对值，即可获得答案； （4）根据数轴上两点之间距离公式可知所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数，1两点的距离之和，且当时，的最小值为，据此即可获得答案； （5）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数3，，三个点的距离之和，结合数轴及绝对值的性质，即可获得答案； （6）将原式整理为时，结合数轴确定、的取值范围，即可获得答案． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5两点之间的距离是． 故答案为：3； （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为． 故答案为：； （3）当时，则． 故答案为：4； （4）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数，1两点的距离之和， 当时，的最小值为， 所以时，有理数的取值范围是或． 故答案为：或； （5）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数3，，三个点的距离之和， 当时， ， 则时，存在最小值，为； 当时， ， 则时，存在最小值，为； 当时， ， 则时，存在最小值，为； 当时， ， 则时，存在最小值，为， 综上所述，当时，有最小值为5． 故答案为：5，； （6）由（5）可知，当时，的最小值为， 当时，的最小值为， 而， 即时，，， 所以的最大值为3． 故答案为：3． 16．阅读理解：小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x取值范围是 ，最小值是 ”. 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单.” 小明说：“利用数轴可以解决这个问题.” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3.请你根据他们的解题解决下面的问题： (1) (2)若，则就化简为 (3)解决问题： ①当式子取最小值时，相应 ，最小值是 . ②已知，求相应的x的取值范围及y的最大值，写出解答过程. 【答案】(1)5 (2) (3)①4，4；②时，有最大值 【分析】（1）直接去绝对值即可 （2）根据，去绝对值即可 （3）①根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案； ②根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案． 【详解】（1） 故答案为5； （2）∵， ∴ ∴ 故答案为： （3）①当式子取最小值时，相应的，最小值是4； 故答案为4，4； ②当时，当时，最大； 当时，，当时，最大； 当，时，当时，最大， 所以时，有最大值． 【点睛】本题考查了绝对值以及数轴的应用，熟练掌握绝对值的定义，数轴以及分类讨论是解题关键． 17．若点，在数轴上分别表示有理数，，则，两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是______； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为______； (3)若表示一个有理数，且，则______； (4)若表示一个有理数，且，则有理数的取值范围是______； (5)若表示一个有理数，则，有最小值为______，此时______； (6)当时，则的最大值为______． 【答案】(1)3 (2) (3)4 (4)或 (5)5， (6)8 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离公式直接计算解答即可； （2）根据数轴上两点之间距离公式直接计算解答即可； （3）根据数轴上两点之间距离的意义求解即可； （4）根据数轴上两点之间距离的意义即可求出x的取值范围； （5）根据数轴上两点之间距离的意义求解即可； （6）根据数轴上两点之间距离的意义求出x，y的取值范围，再根据乘法法则求解． 【详解】（1）∵2和5的两点之间的距离， ∴数轴上表示2和5的两点之间的距离是3． 故答案为：3； （2）∵x和的两点之间的距离为：， ∴数轴上表示x和−2的两点之间的距离表示为：． 故答案为：； （3）表示数x的点到2和表示点的距离之和， ∵， ∴． 故答案为：4； （4）表示数x的点到1和表示点的距离之和， ∵， ∴或； （5）∵表示数x的点到3、和表示点的距离之和， ∴的最小值为，此时． 故答案为：5，； （6）∵， ∴， ∵表示数x的点到1和表示点的距离之和，最小值为3，表示数x的点到3和表示点的距离之和，最小值为7， ∴，， ∴的最大值为． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了绝对值，两点间的距离公式，解题的关键是明确两点间距离的意义． 18．已知点在数轴上分别表示．    (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 两点的距离 (2)若两点间的距离记为，则与的数量关系为___________； (3)在数轴上标出所有到5和的距离之和为10的整数点，它们所表示的数的和为___________； (4)满足（3）且到5和的距离之差大于1而小于5的整数点所表示的数为___________； (5)若点表示的数为，则当满足___________时，取得最大值，最大值为___________． 【答案】(1) (2) (3)见详解；0 (4) (5) 【分析】（1）通过观察数轴作答即可； （2）根据数轴上两点之间的距离为这两点表示的数差的绝对值作答即可； （3）（含）和5（含）之间的所有整数到5和的距离之和为10，据此作答即可； （4）在（3）的基础上，根据数轴解答即可； （5）表示数轴上数为的点到的距离与到5的距离之差，根据数轴解答即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 6 2 4 0 两点的距离 2 6 12 故答案为：． （2）， 故答案为：． （3）如图，数轴上所有到5和的距离之和为10的整数点分别为，．   ． ∴它们所表示的数的和为0． 故答案为：0． （4）满足（3）且到5和的距离之差大于1而小于5的整数点所表示的数分别为，2． 故答案为：． （5）表示数轴上数为的点到的距离与到5的距离之差， ∴当时，取得最大值，最大值为8． 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴和绝对值等知识等，熟练掌握有理数的基本知识是解本题的关键． 19．阅读理解：目前，我们学过两类非负数，它们分别是绝对值和平方数． 小明学习后总结如下：因为，所以的最小值为m，所以的最大值为m． 迁移发现： 绝对值是否有类似的结论呢？下面是小明的探究过程，请将其补充完整． (1)对和进行讨论，发现可以求得的最______值，可以求得的最______值； (2)多选择一些特殊实例进行讨论，请你写出一般的结论：________________ (3)请用迁移发现中的结论讨论是否有最小值或最大值，最值是什么？ 【答案】(1)小，大 (2)的最小值为，的最大值为 (3)有最大值，最大值为 【分析】（1）根据绝对值的非负性进行判断即可； （2）选择几组特殊实例，讨论后，得到一般规律即可； （3）根据（2）中结论进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即：的最小值为：；的最大值为； 故答案为：小，大； （2）∵， ∴， ∴， ∴； ∴ ∴； 故答案为：的最小值为，的最大值为； （3）由（2）可知：有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查绝对值的非负性．熟练掌握是解题的关键． 20．数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上表示数m，n的两点之间的距离等于，如：数轴上表示4和的两点之间的距离是，根据以上材料，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)若数轴上表示数x的点位于表示与5的点之间，求的值． (2)若P是数轴上一点，它表示数p，若对任意的有理数p都成立，求a的最大值． 【答案】(1) (2)a的最大值为7 【分析】（1）直接化简绝对值即可得到答案； （2）分当时，当时，当时，三种情况化简绝对值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：当时， ； 当时， 当时，； 当时，； ∴要使得无论p取何值都成立，a的最大值为7． 【点睛】本题主要考查了化简绝对值，熟知化简绝对值的方法是解题的关键． 【题型3 动点问题定值】 21．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（）；（）当时，的中点所对应的数为； （） ；当时，存在定值，为． 【分析】（）先由非负数的性质求出，进而可得的中点所对应的数； （）求出点表示的数为，点表示的数为，然后根据的中点所对应的数为，得即可； （）依题意可得出对应的数； 由（）可知：点所表示的数为，点表示的数为，再求出点所表示的数为，点所表示的数为，进而求出，，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案； 此题主要考查了数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：（）， ∴，， ∴，， ∴点对应的数为，点对应的数为 ∴的中点所对应的数为， 故答案为：； （）由题意可得，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得， 当时，的中点所对应的数为； （）根据题意：五等分点公式点对应的数为， 故答案为：； 由题意，得点表示的数为，点所表示的数为， ∴，， ∴， ∴当时，，不是定值； 当时，，是定值； 当时，，不是定值， ∴当时，存在定值，为． 22．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是16．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶． (1)若点到的距离相等，则距离______，所表示的数为______； (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头、的距离和加上的两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值，若不正确，请说明理由． 【答案】(1)12，4 (2)再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度 (3)结论正确，这个时间是0.5秒，定值是6单位长度 【分析】本题考查了两点的距离、数轴，有理数混合运算的应用，熟练掌握行程问题的等量关系：时间路程速度，根据数形结合的思想理解和解决问题． （1）根据题意得出，，再根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据时间路程和速度和，列式计算即可求解； （3）由于，只需要是定值，从快车上乘客与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：，， 此时刻快车头与慢车头之间相距单位长度， 则距离， 所表示的数为4， 故答案为：12，4； （2） （秒． 或（秒 答：再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度 （3）结论正确． 理由：， 当在之间时，是定值4， （秒， 此时（单位长度）． 故这个时间是0.5秒，定值是6单位长度． 23．如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足，且．    (1)____________；_____________；线段____________； (2)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当A、C两点之间的距离为11个单位长度时，求运动时间t的值； (3)若线段和同时开始向右运动，且线段的速度小于线段的速度．在点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足，此时线段为定值吗?若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)运动时间为12秒或1秒 (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题， （1）根据题意和平方绝对值的非负性可求出a，b，c，用点B表示的数减去点A表示的数，即可求解； （2）运动t秒后点A表示的数为，点B表示的数为，根据A、C两点之间的距离为11个单位长度列式求解即可； （3）设运动时间为t秒，线段的速度为a，线段的速度为b，根据题意表示出即可求解 【详解】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴； ∵， ∴，解得， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意得：运动t秒后点A表示的数为，点B表示的数为， ∵A、C两点之间的距离为11个单位长度， ∴， ∴或， 解得：或， ∴运动时间为12秒或1秒； （3）解：线段为定值； 设运动时间为t秒，线段的速度为a，线段的速度为b， 由（1）得：，， ∵， ∴， 则点A：，点B：，点C：，点D：， ∵点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足， ∴，， ∴． 24．若点在数轴上对应的数分别为，其中是最小的正整数，满足，请回答问题： (1)请直接写出的值； (2)在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)若点同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动．经过秒后，是否存在常数，使得为定值？若存在，请求出的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)存在；当时，为定值；当时，为定值． 【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性可求出的值； （2）设点表示的数为，分在之间、在点左边、在之间、在点右边四种情况考虑，由利用两点间的距离公式，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）表示出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，分①当，即时，②当时，进行讨论，分别表示出，再根据是定值，确定出的值即可． 【详解】（1）解：， ，， ，, 是最小的正整数, ． （2）解：设点表示的数为， ， ①在之间， ， ， ； ②在左边， ， ， ； ③在之间， ， ， （舍去）； ④在的右边， ， ， （舍去）； 综上所述，或 点对应的数为：或； （3）解：存在， 运动时间为 ， 由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ①当，即时， ， ， ， 为定值， ， ， ； ②当时， ， ， ， 为定值， ， ， ； 综上所述，存在常数，使得为定值；当时，为定值；当时，为定值． 【点睛】本题考查了绝对值与偶次方的非负性，数轴上两点间的距离的表示，熟练掌握两点间的距离的表示方法是解答本题的关键．注意分类讨论思想的运用． 25．如果A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b，那么它们之间的距离AB＝|a﹣b|．如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣3和8，数轴上另有一个点P对应的数为x （1）点P、B之间的距离PB＝　 　． （2）若点P在A、B之间，则|x+3|+|x﹣8|＝　 　． （3）①如图2，若点P在点B右侧，且x＝12，取BP的中点M，试求2AM﹣AP的值． ②若点P为点B右侧的一个动点，取BP的中点M，那么2AM﹣AP是定值吗？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）|8﹣x|；（2）11；（3）①11；②2AM﹣AP是定值，. 【分析】（1）在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，依此即可求解； （2）根据点P在A、B之间可得﹣3＜x＜8，然后去绝对值符号求解即可； （3）①根据中点坐标公式求出点M对应的数，然后列式求2AM﹣AP即可； ②根据中点坐标公式求出点M对应的数，然后列式求2AM﹣AP即可． 【详解】解：（1）点P、B之间的距离， 故答案为：； （2）∵点P在A、B之间， ∴﹣3＜x＜8， ∴， 故答案为：11； （3）①∵B对应的数为8，P对应的数为12，点M是BP的中点， ∴M对应的数为＝10， ∴2AM﹣AP＝2×（10+3）﹣（12+3）＝11； ②设点P对应的数为x， ∵点M是BP的中点， ∴M对应的数为， ∴2AM﹣AP＝2×（+3）﹣（x+3）＝11， ∴2AM﹣AP是定值，． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的意义，读懂题目意思，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意数形结合思想在解题中的运用． 26．如图，在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且满足 （1）A、B两点对应的数分别为_____，______； （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则原点与数______表示的点重合. （3）若点A、B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A、B两点相距2个单位长度？ （4）若点A、B以（3）中的速度同时向右运动，点从原点以7个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为秒，请问：在运动过程中，的值是否会发生变化?若变化，请用表示这个值；若不变，请求出这个定值． 【答案】（1）-8；6；（2）-2；（3）2秒或秒后A、B两点相距2个单位长度；（4）不会发生变化，定值为20. 【分析】根据绝对值及平方的非负数性质即可求出a、b的值；（2）根据a、b的值可得AB对折点表示的数，根据两点间的距离即可得答案；（3）分两种情况：①相遇前相距2个单位长度；②相遇后相距2个单位长度；利用距离=时间×速度即可得答案；（4）根据两点间距离公式，利用距离=时间×速度用t分别表示出AP、OB、OP的长，计算的值即可得答案. 【详解】（1）∵， ∴a+8=0，b-6=0， 解得：a=-8，b=6， 故答案为-8，6 （2）∵a=-8，b=6，将数轴折叠，使得A点与B点重合， ∴对折点表示的数是[6+(-8)]÷2=-1， ∵-1与原点的距离是1， ∴原点关于-1的对称点表示的数是-2，即原点O与数-2表示的点重合， 故答案为-2 （3）①相遇前相距2个单位长度： t=[6-(-8)-2]÷(4+2)=2(秒) ②相遇后相距2个单位长度： t=[6-(-8)+2]÷(4+2)=(秒) 综上所述：2秒或秒后A、B两点相距2个单位长度. （4）AP+2OB-OP的值不会发生变化. ∵OP=7t，OA=-8+4t， ∴AP=7t-(-8+4t)=3t+8， ∵OB=6+2t， ∴AP+2OB-OP=3t+8+2(6+2t)-7t=3t+8+12+4t-7t=20， ∴AP+2OB-OP的值不会发生变化，定值为20. 【点睛】此题综合考查了数轴上的点和数之间的对应关系、中心对称的性质及数轴上的动点问题，熟练掌握数轴的性质及绝对值和平方的非负数性质是解题关键. 27．A，B两点在数轴上如图所示，其中O为原点，点A对应的有理数为a，点B对应的有理数为b，且点A距离原点6个单位长度，a．b满足b﹣|a|＝2． （1）a＝　 　；b＝　 　； （2）动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒（t＞0） ①当PO＝2PB时，求点P的运动时间t：②当PB＝6时，求t的值： （3）当点P运动到线段OB上时，分别取AP和OB的中点E、F，则的值是否为一个定值？如果是，求出定值，如果不是，说明理由． 【答案】(1)-6，8；(2)①t=或11；②t=4或10；(3)为定值2． 【分析】（1）由点A距离原点6个单位长度，点A在原点左边，推出a=-6，由b-|a|=2．可得b=8； （2）①②根据题意构建方程即可解决问题； （3）根据中点坐标公式分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算  即可． 【详解】(1)∵点A距离原点6个单位长度，点A在原点左边， ∴a=-6， ∵b-|a|=2． ∴b=8， 故答案为-6，8． (2)①∵OP=2PB， 观察图象可知点P在点O的右侧：2t-6=2（14-2t）或2t-6=2（2t-14）， 解得t=或11． ②（14-2t）=6或（2t-14）=6 解得t=4或10． (3)当点P运动到线段OB上时， AP中点E表示的数是=-6+t，OB的中点F表示的数是4， 所以EF=4-（-6+t）=10-t， 则==2． 所以的值为定值2． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离公式，中点坐标公式．解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 28．如图，已知数轴上有两点，点A在的左边，原点是线段上的一点，已知点A与点之间的距离表示为，点对应的数分别是、3，且，点为数轴上的一动点，其对应的数为 (1)_______ (2)若，求的值； (3)若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为1秒．请问在运动过程中，的值是否随着时间1的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1) (2)或7 (3)见解析 【分析】本题考查了数轴的动点问题，掌握用数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离是解题关键． （1）根据点对应的数分别是、3，且，得，求解即可； （2）分三种情况分析，当P点在A点左侧时，当P点位于A、B两点之间时，当P点位于B点右侧时，依次令，即可解答； （3）表示出t秒后的各点表示的数，再计算，得出固定结果，即可说明． 【详解】（1）解：∵点对应的数分别是、3，且， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①当P点在A点左侧时，，不合题意，舍去． ②当P点位于A、B两点之间时， 因为， 所以， 所以； ③当P点位于B点右侧时， 因为， 所以， 所以． 故x的值为或7． （3）解：t秒后，A点的值为，P点的值为，B点的值为， 所以 =9+3t-（2t+1+t） ． 所以的值为定值，不随时间变化而变化． 29．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 回答下列问题： (1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______； ②在①的情况下，如果，那么x为______． (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数、2、x，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的最小值是3， 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： 解决问题： ①直接写出式子的最小值是______； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______米． (3)若点A、B、C在数轴上分别表示数、1、5，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)；或5 (2)2．C，12 (3)的值是不随着时间t的变化而改变，其值为2 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离： （1）根据两点间距离公式可得结论； （2）①根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；②以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值12； （3）根据两点间的距离公式分别表示，代入计算可得答案． 【详解】（1）①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是； ②∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或5． 故答案为：；或5． （2）①当时，则有： ， ∴的最小值是 2； ②设C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，则工作人员取配件所走的路程为， 当时，有最小值12， 即：一只配件箱应该放在工作C处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是 12米． 故答案为：2．C，12． （3）根据题意得：，， ∴． ∴的值是不随着时间t的变化而改变，其值为2． 30．已知：是最小的正整数，且、、满足，请回答问题： (1)请直接写出、、的值，______，______，______． (2)、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． (3)在（1）（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，， (2)当时，；当时， (3)不变，2 【分析】（1）根据有理数的分类，偶次幂和绝对值的非负性求解； （2）根据点所在的位置结合绝对值的意义进行化简，然后按照整式加减运算法则进行计算； （3）根据运动方向和运动速度分别表示出点，，在运动过程中所表示的数，然后利用数轴上两点间的距离公式列式计算． 【详解】（1）解：由于是最小的正整数， ， ， ， ， 故答案为：，，； （2）因为点在到之间运动时，且点所对应的数为，所以， 当时，，，， 所以 ； 当时，，，， 所以 ； （3）不变，由题意，得 秒钟过后点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， 所以，， 所以． 所以的值是不随着时间的变化而改变的，其值为2． 解：（1）因为是最小的正整数，所以， 因为，所以，， 所以，，所以的值为，的值为1，的值为5， 故答案为：，，； 【点睛】本题为数轴上的动点问题，考查整式加减的应用，非负数的性质、理解数轴上点所对应数的表示，应用数形结合思想解题是关键． 【题型4 动点问题存在性】 31．如图，已知数轴上有两点，点表示的数是，点表示的数是，动点分别从两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，它们的速度分别为个单位长度秒、个单位长度秒，设运动时间为． (1)当时，点对应的数是______，点对应的数是______； (2)当为何值时，两点之间相距个单位长度； (3)当时，若线段和线段同时以个单位长度秒的速度同时相向匀速运动，是否存在某一时刻？使得．若存在，求出此时的距离，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)当或秒时，此时的距离为或． 【分析】（）由题意得：点沿数轴正方向移动，点沿数轴负方向移动，然后求解即可； （）根据题意得点对应的数是，点对应的数是，再根据两点之间相距个单位长度列出绝对值方程，然后求解即可； （）由题意知点对应的数是，点对应的数是，设再运动秒后，则得出平移后对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，然后分当线段和线段相遇前，当线段和线段相遇后两种情况，列出方程，然后求解即可； 本题考查了一元一次方程的应用，数轴上表示数，数轴两点间的距离，列代数式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：点沿数轴正方向移动，点沿数轴负方向移动， 当时，点对应的数是，点对应的数是， 故答案为：，； （2）解：由题意得：点沿数轴正方向移动，点沿数轴负方向移动， ∴点对应的数是，点对应的数是， ∵两点之间相距个单位长度， ∴，整理得：， ∴或， 解得：或； （3）存在，理由如下： 当时，点对应的数是，点对应的数是， 由题意知点对应的数是，点对应的数是， 设再运动秒后， ∴平移后对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数， 当线段和线段相遇前， ，， ∵， ∴，解得：； 此时点表示的数，对应点表示的数， ∴距离为； 当线段和线段相遇后， ，， ∵， ∴，解得：； 此时点表示的数，对应点表示的数， ∴距离为； 综上可知：当或秒时，此时的距离为或． 32．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数与数轴；熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键． （1）利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； （2）①利用中点坐标公式求出折痕点，设A点表示的数是x，则B点表示的数是，根据中点坐标公式求出x，即可求解； （3）根据题意分别求得表示的数，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵1表示的点和表示的点重合， ∴折叠点对应的数是0， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：∵表示的点和表示的点重合， ∴折叠的点表示的数是， 设点表示的数是，则B点表示的数是， ∴， 解得， ∴点A表示的数， 故答案为：； （3）解：∵点C是数轴上最大的负整数点， ∴点C表示的数是， ∵点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7， ∴点D表示的数是， ∵折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”． ∴点E表示的数是； ∵存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，． ∴，即点F表示的数是， ∴点F到“叠点”E的距离为． 33．【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为．例如：两点A，B表示的数分别为3，，那么．    (1)若，则x的值为__________． (2)当__________（x是整数）时，式子成立． (3)在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义：当时，点P叫点A的1倍伴随点，当时，点P叫点A的2倍伴随点，……当时，点P叫点A的n倍伴随点． 试探究以下问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出A点与B点之间的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)）1或3 (2)或或0或1 (3)存在，1或3 【分析】（1）根据数轴上，两点间的距离计算公式，即可求解； （2）根据题意可得表示x的点到表示1的点和表示的点的距离之和为3，由此分图1，图2，图3三种情况讨论求解即可； （3）设点M表示的数为m，则点M与点N重合时，点N表示的数为m，根据题意可得 ，然后分四种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，表示数轴上表示x的数到表示2的数的距离为1， ∴或， 故答案为：1； （2）解：表示的是表示数x的点到表示数1的点的距离和表示数的点的距离之和， 分下列三种情况：①当表示数x的点在到1之间时，如图1，    此时成立； 满足条件的x的整数为，，0，1； ②当表示数x的点在左侧时，如图2， 此时，不存在这样的点； ③表示数x的点在1右侧时，如图3， 此时，不存在这样的点． 故答案为：或或0或1． （3）解：存在，理由如下： 设点M所表示的数位m，点A所表示的数为a，点B所表示的数为b， ∵点M和N重合， ∴点N所表示的数为n， ∵点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点， ∴，， ∴， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时． 综上，存在，此时的长为1或3． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的性质，理解新定义，并利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 34．如图，在数轴上点A表示的数a，点B表示数b，a和b满足，点O是数轴原点． (1)点A表示的数为______，点B表示的数为______，线段的长为______． (2)若点P从点A出发，以3个单位长度每秒的速度向点B运动，与此同时，点Q从点B出发，以2个单位长度每秒的速度向点A运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点Q表示的数；若不存在，请说明理由． (3)若数轴上表示和10的两点之间有一条可移动的线段（C，D均不与A，B重合），点C在点D左侧，且，点M为线段中点，点N为线段中点，试探究线段的长度． 【答案】(1)，4， (2)当运动时间为2秒时，，此时点Q表示的数为；当运动时间为秒时，，此时点Q表示的数为 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，再根据数轴上两点距离公式求出的长即可； （2）设运动时间为t，则点P表示的数为，点Q表示的数为，然后分当P、Q两点相遇前，时，当P、Q两点相遇后，时，利用数轴上两点距离公式列出方程求解即可； （3）设点C表示的数为m，则点D表示的数为，根据数轴上两点中点公式得到点M表示的数为，点N表示的数为，再根据数轴上两点距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点A表示的数为，点B表示的数为， ∴， 故答案为：，4，； （2）解：设运动时间为t， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P、Q两点相遇前，时， ∴， 解得， ∴此时点Q表示的数为； 当P、Q两点相遇后，时， ∴， 解得， ∴此时点Q表示的数为； ∵， ∴当运动时间为2秒时，，此时点Q表示的数为；当运动时间为秒时，，此时点Q表示的数为； （3）解：∵， ∴设点C表示的数为m，则点D表示的数为， ∵点M为线段中点，点N为线段中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点距离公式，非负数的性质等等，熟知数轴上两点距离公式是解题的关键． 35．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，在一次数学探究活动中，数学兴趣小组通过探究发现可以通过用“两数的差”来表示“数轴上两点间的距离”，例如图1中线段的长度可表示为：，，，……结论：数轴上任意两点表示的数分别、，则这两个点间的距离为（即：用较大的数减去较小的数） (1)如图1，计算：______，______； (2)如图2，点表示数，点表示数，点表示数，且，求点和点表示的数； (3)在（2）条件下，在图2的数轴上是否存在点，使，若存在，请直接写出点表示的数；若不存在，请说明理由 【答案】(1)3，7 (2)点F表示的数为，点H表示的数为1 (3)或 【分析】（1）根据数轴上两点距离公式求解即可； （2）根据数轴上两点的距离得到，再由建立方程求解即可； （3）设点Q表示的数为m，则，再由，得到方程，然后分m不同的取值范围进行去绝对值进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：3，7； （2）解：∵点表示数，点表示数，点表示数， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点F表示的数为，点H表示的数为1； （3）解：设点Q表示的数为m， ∴， ∵， ∴， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得（舍去）； 当时，则， 解得； 当时，则， 解得（舍去）； 综上所述，m的值为或， ∴点Q表示的数为或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离公式，用数轴表示有理数，绝对值方程，熟知数轴上两点距离公式是解题的关键． 36．阅读与思考： 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ； (3)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究： ①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在与4之间移动时，的值总是一个固定的值为 ②请你画出数轴，探究：是否存在数x，使？如果存在，则在数轴上表示出来，并写出x的值；如果不存在，简要说明理由． 【答案】(1)3，4 (2) (3)①7；②存在，数轴见解析，x为5或 【分析】（1）（2）根据数轴上A、B两点之间的距离的表达式计算出绝对值； （3）①先化简绝对值，然后合并同类项即可；②分为和两种情况讨论． 【详解】（1）解：根据题意知： 2和5两点之间的距离是， 1和的两点之间的距离是， （2）x和的两点之间的距离表示为； （3）①当时，； ②当时，， 解得：， 当时，． 解得：． ∴或． 即表示数轴上到4和距离之和为9， 这样的x值为5或． 【点睛】本题主要考查的是绝对值的定义和化简，根据题意找出数轴上任意两点之间的距离公式是解题的关键． 37．如图，数轴上A，B两点对应的数分别．有一动点P从点A出发第一次向右运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向左运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向右运动3个单位长度，…按照如此规律不断地左右运动． (1)当点P运动到第5次时，求点P所对应的有理数； (2)当点P运动到第2021次时，求点P所对应的有理数； (3)琪琪发现：点P在线段AB之间运动时，恰好存在某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍．请你验证琪琪的说法是否正确？ 【答案】(1)-1 (2)1007 (3)琪琪的说法正确；理由见解析 【分析】（1）根据往右用加，往左用减，计算即可得出答案； （2）根据往右用加，往左用减，找出运动时，点的规律，即可得出答案； （3）点P在点A和点B之间，再分别求出PA和PB所表示的代数式，根据PB=3PA计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：点P运动到第5次时，点P所对应的有理数为： ． （2）当点P运动到第2021次时，点P所对应的有理数为： （3）设点P对应的有理数的值为x， ∵点P在点A和点B之间， ∴PA=x-(-4)=x+4，PB=8-x， ∵PB=3PA， ∴， 解得：， ∴琪琪的说法正确． 【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的应用，数轴以及有理数的运算，综合性较强，难度系数较大． 38．【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为．例如：两点A，B表示的数分别为3，-1，那么． (1)若，则x的值为 ． (2)当x＝ （x是整数）时，式子成立． (3)在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义： 当时，点P叫点A的1倍伴随点， 当时，点P叫点A的2倍伴随点， …… 当时，点P叫点A的n倍伴随点． 试探究以下问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出线段AB的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5或1 (2)-2、-1、0、1 (3)存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，线段AB的长为3或1 【分析】（1）根据数轴上，两点间的距离，即可求解； （2）根据题意可得表示x的点到表示1的点与表示x的点到表示2的点的距离之和为3，再由，即可求解； （3）设点M表示的数为m，则点M与点N重合时，点N表示的数为m，根据题意可得 ，然后分四种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴在数轴上到3和x的点的距离为2， ∴x=5或x=1， 故答案为：5或1； （2）解：∵， ∴表示x的点到表示1的点与表示x的点到表示2的点的距离之和为3， ∵， ∴， ∵ x是整数， ∴x取-2、-1、0、1； 故答案为：-2、-1、0、1； （3）解：存在，理由如下： 设点M表示的数为m，则点M与点N重合时，点N表示的数为m， ∵点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点， ∴， ∴， 当时，， ∴，即AB=1； 当时，， ∴，即AB=3； 当时，， ∴，即AB=3； 当时，， ∴，即AB=1； 综上所述，存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，线段AB的长为3或1． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的性质，理解新定义，并利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 39．已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值，例：点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|，根据以上知识解决下列问题 （1）数轴上表示3和﹣1的两点之间的距离为 　 　； （2）①当a＞b时，AB两点之间的距离为 　 　； ②当a＜b时，A、B两点之间的距离为 　 　； （3）已知|a+8|+|b+6|+|c﹣2|＝0，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c，问在数轴上是否存在一点M，使点M与点B的距离是点M与点C的距离的2倍．若存在，请求出点M与点A之间的距离，若不存在说明理由． 【答案】（1）；（2）① ；② ；（3）存在，或 【分析】（1）根据两点间的距离即可得出答案； （2）根据两点间的距离即可得出①②答案； （3）根据绝对值的非负性求出、、的值，设点表示的数是，列出等量关系式求出的值即可． 【详解】（1）， 和的两点之间的距离为， 故答案为：； （2）①、两点之间的距离表示为，， ， ， 故答案为：； ②， ， ， 故答案为：； （3）存在． ， ，，， 解得：，，， 设点表示的数是， 当点在之间时， ， 解得：， ， 当点在点右边时， ， 解得：， ， 综上，与点之间的距离为：或． 【点睛】本题考查数轴的应用，掌握数轴上两点的距离表示是解题的关键． 40．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．譬如：数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．如图，数轴上点A表示的数为﹣4，点B表示的数为2． （1）求线段AB的长和线段AB的中点表示的数． （2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+1|+|x﹣2|＝3． （3）并由此探索猜想，对于任意的有理数x，|x﹣2|+|x+4|是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由． （4）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x﹣1＝x+1的解．数轴上是否存在一点P，使得PA+PB＝PC，若存在，写出点P所对应的数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）AB＝6，线段AB的中点表示的数为﹣1；（2）2,1，0、﹣1；（3）它的最小值是6；（4）存在，p点作对应的数为﹣6或﹣2． 【分析】（1）根据点A表示的数为，点B表示的数为2，代入运算即可； （2））根据绝对值的几何意义：x表示在数轴上，到﹣1和2两点之和为3的点，运算求解即可； （3）根据绝对值的几何意义：x表示在数轴上，到2和-4两点之和的最小值，运算求解即可； （4）先解方程，算出x的值，然后根据题意计算即可. 【详解】解：（1）由题意得：AB＝|﹣4﹣2|＝6， 线段AB的中点表示的数为： （2）x表示在数轴上，到﹣1和2两点之和为3的点，这些点在-1和2及其之间的数都满足， 所以符合条件的整数点有：2,1，0，﹣1． （3）|x﹣2|+|x+4|在数轴上一点x到2与﹣4距离之和，设x表示的点为E 当E在A的左边时，此时距离之和=AB+AE=6+AE＞6 同理当E在B的右边时，此时距离之和=AB+BE=6+AE＞6 当E与A或B重合时，此时距离之和=AE或EB=6 当E在AB之间时，，此时距离之和=AE+ EB=AB=6 所以它的最小值是|6． （4）当P点在A点左侧时， PA+PB＝PC， （﹣4﹣x）+（2﹣x）＝4﹣x， x＝﹣6． 当P点在AB之间时， PA+PB＝PC， |﹣4﹣2|＝4﹣x， x＝﹣2． 当P点在BC之间时， PA+PB＝PC， （x+4）+（x﹣2）＝（4﹣x）， x＝（不合题意，舍去）． 当P点在点C右侧时， PA+PB＝PC， （x+4）+（x﹣2）＝（x﹣4）， x＝﹣2（不合题意，舍去）． 所以P点作对应的数为：﹣6或﹣2． 【点睛】本题主要考查了数轴与绝对值，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键. 【题型5 动点问题探索数量关系】 41．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)10，1 (2)当或或时，P，Q两点间距离为3 (3)，理由见详解 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离和中点坐标，数轴上动点问题以及分类讨论思想， 结合点和点表示的数，利用两点之间距离即可求得，利用中点坐标即可求得线段的中点表示的数； 当点P与点B重合时，求得；同理求得点Q与点A重合时的t；当点Q返回到点B时的t，当时，点P表示的数，点Q表示的数，结合题意即可列出方程求的t；当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，同理求的t即可； 根据题意得，，当点到达点之前，即当时，点M表示的数是，点N表示的数是，即可得即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为6， ∴， 线段的中点表示的数为∶， 故答案为：10，1 （2）当点P与点B重合时，； 当点Q与点A重合时，； 当点Q返回到点B时，， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得或 (不符合题意，舍去)， 综上所述，当或或时，P，Q两点间距离为3． （3），理由如下： ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， 当点到达点之前，即当时， 点M表示的数是， 点N表示的数是， ∵， ∴， ∴． 42．我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为4，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“整2关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ． (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 【答案】(1)是 (2)0或 (3)2；1 (4) 【分析】本题是数轴上新定义应用题，主要运用“数轴上表示数、的两点之间的距离为”来解题． （1）根据已知条件及新定义即可判定； （2）根据已知条件及新定义得出等式，再分类讨论点的位置，得出满足条件的值； （3）设运动秒，根据数轴是两点距离的计算方法用含的代数式表示、，再根据新定义得出关于等量关系，由“是正整数”求出、即可； （4）设点表示的数为，根据新定义、已知条件，得出用、、表示的代数式，再由“点运动时，式子为定值”知：关于的代数式中的系数为0，从而得出整数、满足的数量关系． 【详解】（1）解：点A，点B表示的数分别为4，， ，， ， 原点是“，2关联点”， 故答案为：是； （2）点A，点B表示的数分别为4，， ， 若点是“，整2关联点”，则， 当点在线段上时，， 此时，点所表示的数为； 当点在线段的延长线上时，， 此时，点所表示的数为， 综上所述，点所表示的数0或， 故答案为：0或； （3）若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，设运动秒， 则，， 原点O恰好是“[A，B]n关联点”， 是正整数），即有， ， 是正整数， 而，为3的约数， ，即， 即运动时间为2秒时，原点恰好是“，整关联点”，此时的值为1， 故答案为：2；1； （4）点在、之间运动，且不与、两点重合，作“，整2关联点”，记为，作“，整3关联点”，记为，且满足、分别在线段和上， 设点表示的数为，则 ，， ，， ，， ， 当点运动时，若存在整数、，使得式子为定值，则， ． 即整数、满足的数量关系是． 43．如图，在数轴上，点A、B、C表示的数分别为－2、1、6（点A与点B之间的距离表示为AB）． （1）AB= ，BC= ，AC= ． （2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：2BC－AC的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求其值． （3）若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．求随着运动时间t的变化，AB、BC、AC之间的数量关系． 【答案】（1）3，5，8；（2）不会，理由见解析；（3）当t<1时，AB+BC=AC；当t大于或等于1，且t小于或等于2时，BC+AC=AB；当t>2时，AB+AC=BC 【分析】（1）根据点A、B、C在数轴上的位置，写出AB、BC、AC的长度； （2）求出BC和AC的值，然后求出2BC−AC的值，判断即可； （3）分别表示出AB、BC、AC的长度，然后分情况讨论得出之间的关系． 【详解】解：（1）由图可得，AB＝3，BC＝5，AC＝8， 故答案为：3，5，8； （2）2BC−AC的值不会随着时间t的变化而改变． 设运动时间为t秒， 则2BC−AC ＝2[6＋5t−（1＋2t）]−[6＋5t−（−2−t）] ＝12＋10t−2−4t−8−6t ＝2， 故2BC−AC的值不会随着时间t的变化而改变； （3）由题意得，AB＝t＋3， BC＝5−5t（t＜1时）或BC＝5t−5（t≥1时）， AC＝8−4t（t≤2时）或AC＝4t−8（t＞2时）， 当t＜1时，AB＋BC＝（t＋3）＋（5−5t）＝8−4t＝AC； 当1≤t≤2时，BC＋AC＝（5t−5）＋（8−4t）＝t＋3＝AB； 当t＞2时，AB＋AC＝（t＋3）＋（4t−8）＝5t−5＝BC． 【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是能求出两点间的距离． 44．点O为数轴的原点，点A，B在数轴上分别表示数a，b，且a，b满足． (1)填空： ___________，___________，___________． (2)如图1，在数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上表示的数； (3)如图2，在数轴上有两个动点P，Q，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系． 【答案】(1)，3，8 (2)或 (3) 【分析】（1）根据，利用非负数的性质得，可得，； （2）设点M对应的数为x，点A对应的数为，点B对应的数为3，分三种情况分别讨论：①当点M在点A的左侧时，，，根据题意得，可得；②当点M在线段之间时，，，根据题意得，可得；③当点M在点B右侧时，不满足题意； （3）设运动时间为t秒，根据题意得，，，，，根据线段的长度总为一个固定的值，可得． 【详解】（1）解： 得 （2）解：设点M对应的数为x，点A对应的数为，点B对应的数为3， ①当点M在点A的左侧时 则， 点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍 解得 ②当点M在线段之间时 则， 点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍． 解得 ③当点M在点B右侧时，不满足题意． 综上所述：点M对应的数为或． （3）解：，理由如下： 设运动时间为t秒，根据题意得： ，， ， 点C为线段的中点， 线段的长度总为一个固定的值． 【点睛】本题考查非负数的性质，数轴上两点的距离公式，绝对值方程的应用，数轴上的动点问题，熟练掌握各知识点，并利用数形结合的思想是解答本题的关键． 45．我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点左侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“整关联点”． 如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．    (1)原点________（填“是”或“不是”）“整关联点”； (2)若点是“整关联点”，则点所表示的数_______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，直接写出，满足的数量关系________． 【答案】(1)不是 (2)或者 (3) 【分析】（1）根据关联点的定义，即可； （2）根据关联点的定义得到等式，再讨论点的位置，求出满足的值； （3）设点表示的数为，根据关联点的定义，得出用，，表示的代数式，再由点运动时，式子为定值，得关于的代数式中的系数为，即可求出，的数量关系． 【详解】（1）∵在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为， ∴，， ∴， ∵不是整数， ∴原点不是“整关联点”． 故答案为：不是． （2）∵在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，， ∴，， ∴， 若点是“整关联点”， ∴， 当点在线段之间，， ∴点表示的数为：； 当点在线段的延长线上，， ∴， ∴点表示的数为：； 综上所述，点表示的数为：或者． 故答案为：或者． （3）设点表示的数为， ∵点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上， ∴，；，， ∴，， ∴， 当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值， ∴， 解得：， ∴整数，满足的数量关系为：， 故答案为：． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 第1和2章合集压轴题数轴上的动点问题分类训练2 （5种类型45道） 目录 【题型1 动点问题最小值】 1 【题型2 动点问题最大值】 5 【题型3 动点问题定值】 8 【题型4 动点问题存在性】 12 【题型5 动点问题探索数量关系】 16 【题型1 动点问题最小值】 1．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离； 可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离． 从“数”的角度看：数轴上表示4和的两点之间的距离可用代数式表示为：． 根据以上阅读材料探索下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是______；______；______；（直接写出最终结果） (2)等式几何意义______，则的值为______； (3)若为数轴上某动点表示的数，则式子有最小值吗？若有求出最小值，若没有，写出理由． 2．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示2和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示2与的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示2和的两点之间的距离可列式表示为：． 根据以上阅读材料探索下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是______；______；_____；（直接写出最终结果） (2)若数轴上表示x和两点之间的距离是5，则x的值为______； (3)若x为数轴上某动点表示的数，则式子有最小值吗？若有，直接写出最小值，若没有，写出理由． 3．如图，数轴上点A，B，C分别表示的有理数为是这个数轴上的动点，点P，Q分别表示的有理数为x，y，定义表示点与点之间的距离，即，当P，Q重合时，． (1)在，，4这三个数中，绝对值最小的数是 ； (2)当时，求的值； (3)探究的最小值，并写出取得最小值时的值； (4)当时，直接写出的最小值，并写出此时的取值范围是． 4．阅读材料： 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示：如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数5与对应的两点之间的距离为；有理数与对应的两点之间的距离为；… 如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为或，记为． 解决问题： （1）数轴上有理数与3对应的两点之间的距离等于________；数轴上有理数x与对应的两点之间的距离用含x的式子表示为________；若数轴上有理数x与1对应的两点A，B之间的距离，则x等于________； 联系拓广： （2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x．若点P在点M，N两点之间，则________；若，则点P表示的数x为________；由此可得：当取最小值时，整数x的所有取值的和为________． 5．预备知识：在数学中，把点与点之间的距离用表示 如图，在数轴上点表示数点表示数点表示数，已知数是最小的正整数，且满足．    (1) ， ， ； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，运动秒钟后，求三点在数轴上所表示的数（用含的式子表示），若在此过程中，的值保持不变，求的值． (3)在此数轴有上一动点对应的数为，求的最小值． 6．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且a，c满足，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点B在点A，C之间，且满足． (1)______，______，______． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则点C与数______表示的点重合． (3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x． ①的最小值为_____，此时x可以取_____；（写出满足条件的一个数即可） ②当代数式取得最小值时，_____，最小值为_____． 7．点Ａ，在数轴上的位置如图所示，点是数轴上的一动点． (1)若，则点表示的是什么数？ (2)若，且点是的中点，求线段的长． (3)是否存在点，使的值最小？若存在，则点在数轴上的什么位置？的最小值是多少？ 8．问题提出 (1)点，在数轴上分别表示实数，，，两点之间的距离可表示为． 代数式的几何意义是表示有理数的点到表示数2的点与表示数的点的距离之和．利用几何意义，可求得的最小值为___________． (2)问题探究 如图，点，，，在数轴上分别表示的数为，，，，是数轴上一动点，从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，当点出发___________秒后，到，，三点的距离和最小，此时点所处位置对应的数字为___________，此时到，，三点的距离之和的最小值为___________． (3)问题解决 同心抗疫，情暖居民．疫情防控期间，某一直线沿街有9个小区，依次记为，假定相邻两个小区间隔相同，将这个间隔记为100米．社区想为这9个小区的居民提供防疫物资，决定在路旁建立一个物资供应站．请问点选在何处，才能使这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小？最小值是多少？ 9．如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答： (1)若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动 ___________个单位（其中点C不与点A重合）． (2)若在表示﹣1的点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长，小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步…按此规律继续跳下去，那么跳第99次时，应跳 ___________步，落脚点表示的数是 ___________； (3)若移动A、B、C三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有 ___________种，其中移动所走的距离和最小的是 ___________个单位； (4)若数轴上有个动点表示的数是x，则的最小值是 ___________． 10．已知点A．B在数轴上表示的数分别为m、n． (1)填写下表： m 5 n 3 0 4 A，B两点的距离 2 5 (2)若A、B两点的距离为d，则___（用含m，n的式子表示） (3)由（2）的结论可知的意义是：数轴上表示数x的点到表示___的点的距离． (4)若动点C表示的数为x，则的最小值是___． (5)若动点C表示的数为x，则当x＝___时，取最小值． 【题型2 动点问题最大值】 11．如图，有理数，分别对应数轴上的点，，且，满足． (1)直接写出，的值：______；______； (2)若动点，分别从，同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，以每秒2个单位的长度的速度沿数轴向右运动，当，相遇时停止运动，当为何值时，； (3)我们规定，若在线段上存在满足，则我们称点是线段的一个分点．点从线段上的2分点出发，以每秒1个单位长度在数轴上按以下规律往返运动：第一回合，从点到点，再从点到点回到点；第二回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点；第三回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点，如此循环下去，若第秒时满足，求的最大值． 12．阅读与运用：若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点间的距离表示为．如数轴上表示4和-1的两点之间的距离是，利用上述结论，回答以下问题：如图，在数轴上A、B两点对应的数分别为、20，数轴上有一动点P．      (1)若点P在A、B两点之间，则点P到A、B两点的距离的和为___________． (2)如图，设点P对应的数为x，数轴上一点Q在点P的右侧，且与点P始终保持相距18个单位长度，当x取何值时，点A与点P的距离、点B与点Q的距离的和为48？ (3)结合对前面问题的思考，若，求的最大值． 13．如图两点之间相距3个单位长度，两点之间相距7个单位长度，点、在数轴上表示的数分别为．    (1)若以为原点，求． (2)若以为原点，求． (3)现有一动点从点开始沿数轴的正方向运动到达点停止： ①设点到两点的距离之和为，求的最小值； ②设点到三点的距离之和为，直接写出的最大值与最小值． 14．阅读：表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示5与两点之间的距离是______． (2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为______． (3)请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是______． (4)由以上探索猜想的最小值是______，此时x的值为______． (5)借助继续探索的最大值为______． 15．若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，且．则 ； (4)若表示一个有理数，且，则有理数的取值范围是 ； (5)若表示一个有理数，则有最小值为 ，此时 ； (6)当时，则的最大值为 ． 16．阅读理解：小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x取值范围是 ，最小值是 ”. 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单.” 小明说：“利用数轴可以解决这个问题.” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3.请你根据他们的解题解决下面的问题： (1) (2)若，则就化简为 (3)解决问题： ①当式子取最小值时，相应 ，最小值是 . ②已知，求相应的x的取值范围及y的最大值，写出解答过程. 17．若点，在数轴上分别表示有理数，，则，两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是______； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为______； (3)若表示一个有理数，且，则______； (4)若表示一个有理数，且，则有理数的取值范围是______； (5)若表示一个有理数，则，有最小值为______，此时______； (6)当时，则的最大值为______． 18．已知点在数轴上分别表示．    (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 两点的距离 (2)若两点间的距离记为，则与的数量关系为___________； (3)在数轴上标出所有到5和的距离之和为10的整数点，它们所表示的数的和为___________； (4)满足（3）且到5和的距离之差大于1而小于5的整数点所表示的数为___________； (5)若点表示的数为，则当满足___________时，取得最大值，最大值为___________． 19．阅读理解：目前，我们学过两类非负数，它们分别是绝对值和平方数． 小明学习后总结如下：因为，所以的最小值为m，所以的最大值为m． 迁移发现： 绝对值是否有类似的结论呢？下面是小明的探究过程，请将其补充完整． (1)对和进行讨论，发现可以求得的最______值，可以求得的最______值； (2)多选择一些特殊实例进行讨论，请你写出一般的结论：________________ (3)请用迁移发现中的结论讨论是否有最小值或最大值，最值是什么？ 20．数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上表示数m，n的两点之间的距离等于，如：数轴上表示4和的两点之间的距离是，根据以上材料，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)若数轴上表示数x的点位于表示与5的点之间，求的值． (2)若P是数轴上一点，它表示数p，若对任意的有理数p都成立，求a的最大值． 【题型3 动点问题定值】 21．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 22．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是16．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶． (1)若点到的距离相等，则距离______，所表示的数为______； (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头、的距离和加上的两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值，若不正确，请说明理由． 23．如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足，且．    (1)____________；_____________；线段____________； (2)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当A、C两点之间的距离为11个单位长度时，求运动时间t的值； (3)若线段和同时开始向右运动，且线段的速度小于线段的速度．在点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足，此时线段为定值吗?若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 24．若点在数轴上对应的数分别为，其中是最小的正整数，满足，请回答问题： (1)请直接写出的值； (2)在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)若点同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动．经过秒后，是否存在常数，使得为定值？若存在，请求出的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 25．如果A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b，那么它们之间的距离AB＝|a﹣b|．如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣3和8，数轴上另有一个点P对应的数为x （1）点P、B之间的距离PB＝　 　． （2）若点P在A、B之间，则|x+3|+|x﹣8|＝　 　． （3）①如图2，若点P在点B右侧，且x＝12，取BP的中点M，试求2AM﹣AP的值． ②若点P为点B右侧的一个动点，取BP的中点M，那么2AM﹣AP是定值吗？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 26．如图，在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且满足 （1）A、B两点对应的数分别为_____，______； （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则原点与数______表示的点重合. （3）若点A、B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A、B两点相距2个单位长度？ （4）若点A、B以（3）中的速度同时向右运动，点从原点以7个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为秒，请问：在运动过程中，的值是否会发生变化?若变化，请用表示这个值；若不变，请求出这个定值． 27．A，B两点在数轴上如图所示，其中O为原点，点A对应的有理数为a，点B对应的有理数为b，且点A距离原点6个单位长度，a．b满足b﹣|a|＝2． （1）a＝　 　；b＝　 　； （2）动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒（t＞0） ①当PO＝2PB时，求点P的运动时间t：②当PB＝6时，求t的值： （3）当点P运动到线段OB上时，分别取AP和OB的中点E、F，则的值是否为一个定值？如果是，求出定值，如果不是，说明理由． 28．如图，已知数轴上有两点，点A在的左边，原点是线段上的一点，已知点A与点之间的距离表示为，点对应的数分别是、3，且，点为数轴上的一动点，其对应的数为 (1)_______ (2)若，求的值； (3)若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为1秒．请问在运动过程中，的值是否随着时间1的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 29．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 回答下列问题： (1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______； ②在①的情况下，如果，那么x为______． (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数、2、x，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的最小值是3， 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： 解决问题： ①直接写出式子的最小值是______； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______米． (3)若点A、B、C在数轴上分别表示数、1、5，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 30．已知：是最小的正整数，且、、满足，请回答问题： (1)请直接写出、、的值，______，______，______． (2)、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． (3)在（1）（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【题型4 动点问题存在性】 31．如图，已知数轴上有两点，点表示的数是，点表示的数是，动点分别从两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，它们的速度分别为个单位长度秒、个单位长度秒，设运动时间为． (1)当时，点对应的数是______，点对应的数是______； (2)当为何值时，两点之间相距个单位长度； (3)当时，若线段和线段同时以个单位长度秒的速度同时相向匀速运动，是否存在某一时刻？使得．若存在，求出此时的距离，若不存在，请说明理由． 32．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 33．【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为．例如：两点A，B表示的数分别为3，，那么．    (1)若，则x的值为__________． (2)当__________（x是整数）时，式子成立． (3)在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义：当时，点P叫点A的1倍伴随点，当时，点P叫点A的2倍伴随点，……当时，点P叫点A的n倍伴随点． 试探究以下问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出A点与B点之间的距离；若不存在，请说明理由． 34．如图，在数轴上点A表示的数a，点B表示数b，a和b满足，点O是数轴原点． (1)点A表示的数为______，点B表示的数为______，线段的长为______． (2)若点P从点A出发，以3个单位长度每秒的速度向点B运动，与此同时，点Q从点B出发，以2个单位长度每秒的速度向点A运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点Q表示的数；若不存在，请说明理由． (3)若数轴上表示和10的两点之间有一条可移动的线段（C，D均不与A，B重合），点C在点D左侧，且，点M为线段中点，点N为线段中点，试探究线段的长度． 35．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，在一次数学探究活动中，数学兴趣小组通过探究发现可以通过用“两数的差”来表示“数轴上两点间的距离”，例如图1中线段的长度可表示为：，，，……结论：数轴上任意两点表示的数分别、，则这两个点间的距离为（即：用较大的数减去较小的数） (1)如图1，计算：______，______； (2)如图2，点表示数，点表示数，点表示数，且，求点和点表示的数； (3)在（2）条件下，在图2的数轴上是否存在点，使，若存在，请直接写出点表示的数；若不存在，请说明理由 36．阅读与思考： 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ； (3)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究： ①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在与4之间移动时，的值总是一个固定的值为 ②请你画出数轴，探究：是否存在数x，使？如果存在，则在数轴上表示出来，并写出x的值；如果不存在，简要说明理由． 37．如图，数轴上A，B两点对应的数分别．有一动点P从点A出发第一次向右运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向左运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向右运动3个单位长度，…按照如此规律不断地左右运动． (1)当点P运动到第5次时，求点P所对应的有理数； (2)当点P运动到第2021次时，求点P所对应的有理数； (3)琪琪发现：点P在线段AB之间运动时，恰好存在某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍．请你验证琪琪的说法是否正确？ 38．【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为．例如：两点A，B表示的数分别为3，-1，那么． (1)若，则x的值为 ． (2)当x＝ （x是整数）时，式子成立． (3)在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义： 当时，点P叫点A的1倍伴随点， 当时，点P叫点A的2倍伴随点， …… 当时，点P叫点A的n倍伴随点． 试探究以下问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出线段AB的长；若不存在，请说明理由． 39．已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值，例：点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|，根据以上知识解决下列问题 （1）数轴上表示3和﹣1的两点之间的距离为 　 　； （2）①当a＞b时，AB两点之间的距离为 　 　； ②当a＜b时，A、B两点之间的距离为 　 　； （3）已知|a+8|+|b+6|+|c﹣2|＝0，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c，问在数轴上是否存在一点M，使点M与点B的距离是点M与点C的距离的2倍．若存在，请求出点M与点A之间的距离，若不存在说明理由． 40．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．譬如：数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．如图，数轴上点A表示的数为﹣4，点B表示的数为2． （1）求线段AB的长和线段AB的中点表示的数． （2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+1|+|x﹣2|＝3． （3）并由此探索猜想，对于任意的有理数x，|x﹣2|+|x+4|是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由． （4）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x﹣1＝x+1的解．数轴上是否存在一点P，使得PA+PB＝PC，若存在，写出点P所对应的数；若不存在，请说明理由． 【题型5 动点问题探索数量关系】 41．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 42．我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为4，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“整2关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ． (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 43．如图，在数轴上，点A、B、C表示的数分别为－2、1、6（点A与点B之间的距离表示为AB）． （1）AB= ，BC= ，AC= ． （2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：2BC－AC的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求其值． （3）若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．求随着运动时间t的变化，AB、BC、AC之间的数量关系． 44．点O为数轴的原点，点A，B在数轴上分别表示数a，b，且a，b满足． (1)填空： ___________，___________，___________． (2)如图1，在数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上表示的数； (3)如图2，在数轴上有两个动点P，Q，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系． 45．我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点左侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“整关联点”． 如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．    (1)原点________（填“是”或“不是”）“整关联点”； (2)若点是“整关联点”，则点所表示的数_______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，直接写出，满足的数量关系________． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$