专题08 第1和2章合集压轴题数轴上的动点问题分类训练1（4种类型40道）-2024-2025学年七年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版2024）

专题08 第1和2章合集压轴题数轴上的动点问题分类训练1 （4种类型40道） 目录 【题型1 数轴动点变速问题】 1 【题型2 数轴双动点问题】 5 【题型3 数轴动点重合问题】 9 【题型4 数轴动点求时间】 13 【题型1 数轴动点变速问题】 1．将一条数轴在原点和点处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点表示，点表示，点表示．我们称点和点在数轴上的“友好距离”为个单位长度．动点从点出发，以单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为原来的一半．经过点后立刻恢复原速：同时，动点从点出发，以单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点与点之间时速度变为原来的两倍，经过后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．    (1)动点从点运动至点需要_______秒，动点从点运动至点需要______秒； (2)两点相遇时，求出值，并求出相遇点在“折线数轴”上所对应的数； 2．已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足.动点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为：从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.当点M到达点C时，两点都停止运动.设运动的时间为t秒.    (1) ， ， ； (2)M，N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数. (3)点D为线段中点，当t为多少秒时，？ 3．已知三点在数轴上所对应的数分别为且满足．动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为: 从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． (1) ______，______，______； (2)①动点从点运动至点时，求的值； ②两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； (3)若点为线段中点，当________秒时，． 4．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 5．已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，c满足，a，b互为相反数（如图1）．    (1)求a，b，c的值； (2)如图1，若点A，B，C分别同时以每秒4个单位长度，1个单位长度和个单位长度向左运动，假设经过t秒后，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间距离表示为，若的值始终保持不变，求m的值； (3)如图2，将图1中的数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为56个单位长度）．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发仍以（2）中的每秒m个单位长度的速度沿“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 6．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半；当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的2倍；经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点B需要______秒； (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，则点P表示的数______（用含t的式子表示）； 7．已知a、b为常数，且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． (1)求a、b的值； (2)请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：______；点F在数轴上对应的数为：______； (3)当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍，在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，请求出运动时间t的值． 8．已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． （1）求a、b的值； （2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：　 　，点F在数轴上对应的数为：　 　． （3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）． 9．如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问： (1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒； (2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？ (3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数． 10．数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________； (2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇； (3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等． 【题型2 数轴双动点问题】 11．数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） (3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 12．如图1，点A表示的数为，点B表示的数为4，现将点A和点B的位置保持不变，将原点向上平移，得到图2的“等腰数轴”．在“等腰数轴”上，若两个点落在之间，并且两个点表示的数互为相反数，则这两个点的“等腰距离”即为所代表两个数绝对值之和的，例如：点C和点D分别表示的数为和2，点C和点D的“等腰距离”为；其余两点之间的“等腰距离”为两个数之差的绝对值，例如：点C和点E的“等腰距离”为． (1)点A和点B的“等腰距离”为__________；若点F表示的数为9，则点A和点F的“等腰距离”为__________． (2)若点M表示的数为，且点M和点N的“等腰距离”为，则点N表示的数为__________．（提示：分情况讨论） (3)点G表示的数为，点F表示的数为9，点P和点Q是“等腰数轴”上的两个动点．点P从点G出发，以每秒1个单位长度的速度向点F运动，同一时刻，点Q从点F出发，以每秒2个单位长度的速度向点G运动，当有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． ①当点P运动时，点P和点Q的“等腰距离”为__________； ②在点P和点Q运动的过程中，设运动时间为，是否存在某一时刻，使点P和点Q的“等腰距离”为5？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 13．阅读下面的材料，回答问题： 材料一：在数轴上，我们把到两个点距离相等的点，叫做这两个点的“中点”，例如： ①表示1和5的点到表示3的点距离都为2，所以它们“中点”表示的数是3． ②表示和的点到表示的点距离都为1，所以它们的“中点”表示的数是．      材料二：对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得的数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点． (1)表示和6的点的“中点”表示的数是___________． (2)若“中点”表示的数是2023，其中一点表示的数是2020，则另一个点表示的数是___________． (3)点A、B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述“材料二”的操作后得到线段，其中，点A、B的对应点分别是、，线段AB的中点C与线段的中点对应． ①若点A表示的数是2，点B表示的数是6，请求出点表示的数． ②若点表示的数是2，请求出点C表示的数． 14．如图，在数轴上点A表示的数a，点B表示数b，a和b满足，点O是数轴原点． (1)点A表示的数为______，点B表示的数为______，线段的长为______． (2)若点P从点A出发，以3个单位长度每秒的速度向点B运动，与此同时，点Q从点B出发，以2个单位长度每秒的速度向点A运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点Q表示的数；若不存在，请说明理由． (3)若数轴上表示和10的两点之间有一条可移动的线段（C，D均不与A，B重合），点C在点D左侧，且，点M为线段中点，点N为线段中点，试探究线段的长度． 15．在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，，两点之间的距离表示为，记为．    (1)如图，点在数轴上所对应的数为，，则点对应的数为________． (2)在（1）的条件下，若点在的右侧，同时点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点时，求，两点间的距离． (3)在（2）的条件下，若点运动到后静止不动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，求经过多长时间，． 16．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数轴上数和点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，如图，请同学们解决下面有关数轴的问题： (1)若将数轴折叠，使得1表示的点与表示点重合，此时M、N两点也互相重合，若数轴上M、N两点之间的距离为（M在的左侧），则M、N两点表示的数分别是：______，______． (2)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若表示一个有理数，则的最小值=_______． ②若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的和是____． ③当______时，取最小值． (3)①数轴上点表示的数分别为，动点P从B出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒P与A的距离是2个单位长度． ②在①的条件下，动点P出发的同时，动点Q从A出发，沿着数轴反方向以每秒1个单位长度的速度运动，经过______秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍？ 17．如图，已知数轴上有两点，点表示的数是，点表示的数是，动点分别从两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，它们的速度分别为个单位长度秒、个单位长度秒，设运动时间为． (1)当时，点对应的数是______，点对应的数是______； (2)当为何值时，两点之间相距个单位长度； (3)当时，若线段和线段同时以个单位长度秒的速度同时相向匀速运动，是否存在某一时刻？使得．若存在，求出此时的距离，若不存在，请说明理由． 18．唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点P，Q在数轴上分别表示有理数p，q，P，Q两点之间的距离表示为．例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数5与对应的两点之间的距离为；…；解决问题： 已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，． (1)分别求a，b，c的值； (2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的4倍时，请求出x的值； (3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 19．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．    请用上面的知识解答下面的问题： 如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，满足，．    (1)______，______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数______表示的点重合； (3)点，，开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． 则______，______，______．（用含的代数式表示） (4)请问，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 20．已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 【题型3 数轴动点重合问题】 21．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______． A、       B、 C、       D、 ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示______的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则点表示的数是__________，点表示的数是__________． 22．数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为_______，点对应的数为_______； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒．动点从点向右出发，为何值时，、点之间的距离为15个单位长度； 23．已知在纸面上有一数轴，根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)已知、两点相距个单位长度，请你根据图中、两点的位置，分别写出它们所表示的有理数． (2)在数轴上标出与点的距离为2的点（用不同于、的字母表示），并写出这些点表示的数． (3)折叠纸面，若数轴上对应的点与5对应的点重合，回答以下问题： ①10对应的点与_______对应的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数． (4)如图，半径为2的圆上有一点落在数轴上点处，求将圆在数轴上向右滚动（无滑动）一周后点在数轴上所表示的数． 24．折叠数轴，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：    (1)数轴上9表示的点与　 　表示的点重合． (2)若数轴上M、N两点之间的距离为2024（M在N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示的数各是多少？ (3)如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动100次后，落在数轴上一边的右端点表示的数与折叠后的哪个数重合？ 25．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，根据你对上述内容的理解，解答下列问题：    若数轴上数表示的点与数0表示的点重合． (1)则数轴上数3表示的点与数___________表示的点重合； (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，两点经折叠后重合，求点表示的数； (3)若数轴上，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，直接写出点，点表示的数． 26．已知在数轴上，一动点从原点出发，沿着数轴以每秒个单位长度的速度来回移动，第次移动是向右移动个单位长度，第次移动是向左移动个单位长度，第次移动是向右移动个单位长度，第次移动是向左移动个单位长度，第次移动是向右移动个单位长度，……. (1)求出秒钟后动点所在的位置； (2)第次移动后，点在表示数______的位置上，运动时间为______； (3)第次移动后，点运动时间为______，当为奇数时，点在表示数______的位置上；当为偶数时，点在表示数______的位置上； (4)如果在数轴上有一个定点，且与原点相距个单位长度，问：动点从原点出发，可能与重合，若能，则第一次与点重合需要多长时间？若不能，请说明理由． 27．如图，在数轴上有三点，分别表示有理数，，，且，，满足式子；如图：动点从点出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点运动5秒后，长度为6个单位的线段（为线段左端点且与点重合，为线段右端点）从点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点到达点后，线段立即以同样的速度返回向左运动，当点到达点后线段再以同样的速度向右运动，如此往返．设点运动时间为秒． (1)求，，的值； (2)当______秒时，点与点重合，并求出此时线段上点所表示的数； (3)记线段的中点为，在运动过程中，当点与点的距离为1个单位时，求的值． 28．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4，表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题： 若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（请依据此情境解决下列问题） （1）则数轴上数4表示的点与数________表示的点重合． （2）若点A到原点的距离是6个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B点表示的数是________． （3）若数轴上M，N两点之间的距离为2020，并且M，N两点经折叠后重合，如果M点表示的数比N点表示的数大，则M点表示的数是________，则N点表示的数是________． 29．已知数轴上，M表示－10，点N在点M的右边，且距M点40个单位长度，点P，点Q是数轴上的动点． （1）直接写出点N所对应的数； （2）若点P从点M出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q从点N出发，以3个单位长度/秒向左运动，设点P、Q在数轴上的D点相遇，求点D的表示的数； （3）若点P从点M出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q从点N出发，以3个单位长度/秒向右运动，问经过多少秒时，P，Q两点重合？ 30．如图，已知数轴上依次有三点 A、B、C，点 B 对应的数是，且点 B 到点A、C的距离均为600.    (1)写出点A所对应的数； (2)若动点P、Q分别从B、C两点同时向右运动，点 P、Q 的速度分别为 10 单位长度每秒、5单位长度每秒，问多少秒时点P与点Q重合； (3)若动点P、Q分别从A、C两点相向而行，点P运动20秒后，点Q开始运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，问点 P 运动多少秒时P，Q两点的距离为200. 【题型4 数轴动点求时间】 31．综合与探究 已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是数轴上的一个动点． (1)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右运动，到达点后，再从点出发沿着数轴向左运动，最终回到点．当点运动的时间为秒时，求点运动的路程及此时点在数轴上所表示的数． (2)若点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左运动，问经过多少秒时，点之间的距离恰好为点之间的距离的？ (3)若点从原点出发，沿着数轴按向右前进个单位长度，然后向左后退个单位长度的路径做往返运动，每秒运动一次（前进个单位长度或后退个单位长度），秒为一个周期． 第秒时，点所在的位置表示的数是________． 若点所在的位置表示的数是，求运动的时间是第多少秒？ 32．已知点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，M、N两点之间的距离表示为，则在数轴上M、N两点之间的距离，如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为和6． (1)直接写出A、B两点之间的距离______； (2)若在数轴上存在一点C，使得C到B的距离是到A的距离的2倍，求点C表示的数； (3)如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在之间进行往返运动，点P出发的同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴一直向左运动，求当时，时间t的取值． 33．小明早晨跑步，他从自家向东跑了2千米到达小彬家，继续向东跑了2.5千米到达小红家，然后向西跑了6.5千米到达中心广场，最后回到家． (1)以小明家为原点，向东的方向为正方向，1个单位长度表示1千米，请在数轴上表示出中心广场A，小彬家B和小红家C的位置： (2)小彬家在中心广场的什么方向？距离中心广场多远？ (3)若小明跑步的速度为6.5千米/小时，小明这次晨跑一共用了多少小时？ 34．数学实验室：点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上数到原点的距离为，可能在原点左边个单位，此时的值为_____，也可能在原点右边个单位，此时的值为_____． (2)与之间的距离表示为_____，结合上面的理解，若，则____． (3)当是_____时，代数式． (4)若点表示的数，点与点的距离是，且点在点的右侧，动点分别从同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 35．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是______；写出【N，M】美好点H所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 36．如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)求两点之间的距离； (2)点在点的右侧，在点的左侧，为14个单位长度，为8个单位长度，求点与点之间的距离； (3)在（2）的条件下，动点以3个单位长度/秒的速度从点出发沿正方向运动，同时点以2个单位长度/秒的速度从点出发沿负方向运动，则它们几秒钟相遇？相遇点表示的数是多少？ 37．若A、、为数轴上三点，若点到A的距离是点到的距离2倍，我们就称点是【A，】的好点．例如，如图1，点A表示的数为，点表示的数为2．表示1的点到点A的距离是2，到点的距离是1，那么点是【A，】的好点；又如，表示0的点到点A的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是【A，】的好点，但点是【，A】的好点． 知识运用：如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4． (1)数 所表示的点是【，】的好点； (2)如图3，A、为数轴上两点，点A所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当为何值时，、A和中恰有一个点为其余两点的好点？ 38．如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P从B开始向左移动6个单位长度，则　　．若点P移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是 　　． (2)当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是 ，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数 　　表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q到点A距离等于点P到点A距离的2倍，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 39．如图，已知，两点在数轴上，点表示的数为，且．点以每秒3个单位长度的速度从点出发沿数轴运动，同时，点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿数轴运动，设运动的时间为． (1)数轴上点对应的数是______； (2)若点，沿相同方向运动，当秒时，______； (3)求点，点重合时的的值； (4)直接写出时的值． 40．十一到了，嘉嘉和同学要表演节目．嘉嘉骑车到同学家拿东西，再到学校，她从自己家出发，向东骑了到达淇淇家，继续向东骑了到达小敏家，然后又向西骑了到达学校．演出结束后又向东骑回到自己家． (1)以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示，在图中的数轴上，分别用点A表示出淇淇家，用点B表示出小敏家，用点C表示出学校的位置； (2)求淇淇家与学校之间的距离； (3)如果嘉嘉骑车的速度是300米/分，那么嘉嘉骑车一共用了多长时间？ 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 第1和2章合集压轴题数轴上的动点问题分类训练1 （4种类型40道） 目录 【题型1 数轴动点变速问题】 1 【题型2 数轴双动点问题】 17 【题型3 数轴动点重合问题】 34 【题型4 数轴动点求时间】 46 【题型1 数轴动点变速问题】 1．将一条数轴在原点和点处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点表示，点表示，点表示．我们称点和点在数轴上的“友好距离”为个单位长度．动点从点出发，以单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为原来的一半．经过点后立刻恢复原速：同时，动点从点出发，以单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点与点之间时速度变为原来的两倍，经过后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．    (1)动点从点运动至点需要_______秒，动点从点运动至点需要______秒； (2)两点相遇时，求出值，并求出相遇点在“折线数轴”上所对应的数； 【答案】(1)，； (2)，相遇点在“折线数轴”上所对应的数为 【分析】（1）根据时间=路程÷速度，分别求出动点在、、段的时间即可； （2）根据题意得出两点在段相遇，分别表示出点运动到上时表示的数即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：、、， ∴动点从点运动至点需要：（秒）， 动点从点运动至点需要：（秒）， 故答案为：，； （2）解：∵点到点需要：（秒）， 点到点需要：（秒）， ∴两点在段相遇 点运动到上时表示的数为：； 点运动到上时表示的数为：； ∴ 解得：； 此时，相遇点在“折线数轴”上所对应的数为： 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了数轴上的动点问题．掌握动点的运动方向、运动速度和运动起点是得出动点在数轴上表示的数的关键． 2．已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足.动点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为：从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.当点M到达点C时，两点都停止运动.设运动的时间为t秒.    (1) ， ， ； (2)M，N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数. (3)点D为线段中点，当t为多少秒时，？ 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据绝对值的非负性，数轴上两点间的距离公式计算即可． （2）设M，N相遇于点P，且点P表示的数为m，则点M用时为，，点N用时为，根据题意，得，计算即可． （3）根据线段中点的性质求出点D的坐标，设时间为t，分五种情况进行讨论，分别求出每种情况下点M和点N的坐标，再根据两点间的距离公式求出和，令，解方程即可得出答案． 【详解】（1）∵A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足， ∴， 故A表示的数是，C表示的数是， ∴， 故答案为：． （2）设M，N相遇于点P，且点P表示的数为m， ①当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时无法相遇； ②当点M在上，点N在上时，无法相遇； ③当点M在上，点N在上时， 则，， ∴点M用时为，点N用时为， 根据题意，得， 解得， 故相遇点在数轴上所对应的数． （3）∵A表示的数是，点B表示的数是10，C表示的数是，点D为线段中点， ∴点D表示的数是5； 设运动t秒时， ， ①当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； ②当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 无解； ③当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； ④当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； ⑤当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； 综上所述，当或或或时，． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，点表示的有理数，分类思想，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键. 3．已知三点在数轴上所对应的数分别为且满足．动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为: 从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． (1) ______，______，______； (2)①动点从点运动至点时，求的值； ②两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； (3)若点为线段中点，当________秒时，． 【答案】（1）；（2）①19s；②；（3）当秒时，． 【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性计算即可求出a和b的值，再根据两点间的距离公式即可求出AC的长度； （2）①分别求出AO，BO和BC的距离，再根据“时间=路程÷速度”计算即可得出答案；②设P点在数轴上所对应的数为y，根据题意列出方程，解方程即可得出答案； （3）根据线段中点的性质求出点D的坐标，设时间为t，分五种情况进行讨论，分别求出每种情况下点M和点N的坐标，再根据两点间的距离公式求出MD和ND，令MD=ND，解方程即可得出答案. 【详解】解：（1）； （2）①∵ ∴ ∴动点从点运动至点时，； ②设两点在点相遇，点在数轴上所对应的数为． 易知点落在线段段，依题意有: 解得: ∴两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数为． （3）若点为线段中点，则D在数轴上表示的数为5 设时间为t时，MD=ND ①当点N在CB上，点M在AO上运动时，M=-10+2t，N=18-t 则MD=15-2t，ND=13-t 即15-2t=13-t，解得t=2； ②当点N在CB上，点M在OD上运动时，M=t-5，N=18-t 则MD=10-t，ND=13-t 即10-t=13-t,无解； ③当点N在OB上，点M在OD上运动时，M=t-5,N=10-2(t-8) 则MD=10-t，ND=5-2(t-8) 即10-t=5-2(t-8)，解得t=11； ④当点N在OB上，点M在DB上运动时，M=t-5，N=26-2t 则MD=t-10，ND=21-2t 即t-10=21-2t，解得t=； ⑤当点N在OA上，点M在BC上运动时，M=2t-20，N=13-t 则MD=2t-25，ND=t-8 即2t-25=t-8，解得t=17； 综上所述，当秒时，． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，难度偏高，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键. 4．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】探索1：从点A运动至点B的时间为秒；探索2：表示的数为；探索3：动点运动的时间是秒或秒． 【分析】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识． 探索1：根据时间路程速度，即可求解； 探索2：由探索1可得在段运动时间为：秒，进而得到，结合点表示，即可求解； 探索3：分两种情况：①当在上时，②当在上时，根据线段的和差以及时间路程速度，即可求解． 【详解】解：探索1：点表示，点表示， ，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒， 从点运动至点的时间为：（秒）； 探索2： 的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒， ， 点表示， 表示的数为：； 探索3：设秒后， ①当在上时， ， ， ， ， ， ， （秒）； ②当在上时， ， ， ， ， （秒）． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 5．已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，c满足，a，b互为相反数（如图1）．    (1)求a，b，c的值； (2)如图1，若点A，B，C分别同时以每秒4个单位长度，1个单位长度和个单位长度向左运动，假设经过t秒后，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间距离表示为，若的值始终保持不变，求m的值； (3)如图2，将图1中的数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为56个单位长度）．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发仍以（2）中的每秒m个单位长度的速度沿“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1) (2) (3)或或11或17 【分析】（1）根据绝对值与偶次方的非负性可分别求出a和c的值，又由a，b互为相反数即可求出b的值； （2）分别用含有t的式子表示出、的长度，再根据列式计算即可； （3）P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等有五种情况，分别进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，即， ， 解得， 又∵a，b互为相反数， ， 综上所述：； （2）解：经过t秒后，，，， 由（1）知， ， ， 整理得， 的值始终保持不变， ， 解得； （3）解：图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为56个单位长度，且a，b互为相反数， ， P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等有五种情况， 由题意得：P在上运动的速度，在上运动的速度，在上运动的速度； Q在上运动的速度，在上运动的速度，在上运动的速度； ①：P在，Q在上运动时， ， ， 解得：； ②P在，Q在上运动时， ，， ， 解得：； ③P在，Q在上运动时， ， ， 解得：； ④P在，Q在上运动时， ， ， 解得：， ⑤当P在，Q在上时， ，， ， ． 综上所述，当或或11或17时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【点睛】本题重点考查如何表示线段的长度，根据题目要求正确列出方程求解是解题的关键，另外还要注意运动过程中速度的变化． 6．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半；当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的2倍；经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点B需要______秒； (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，则点P表示的数______（用含t的式子表示）； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识． （1）根据时间路程速度，即可求解； （2）由探索1可得在段运动时间为：秒，进而得到，结合点表示，即可求解． 【详解】（1）解：点表示，点表示， ，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒， 从点运动至点的时间为：（秒）； （2）解： 的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒， ， 点表示， 表示的数为：． 7．已知a、b为常数，且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． (1)求a、b的值； (2)请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：______；点F在数轴上对应的数为：______； (3)当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍，在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，请求出运动时间t的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式， （1）根据绝对值和平方式的非负性得出a和b的值即可； （2）根据点的运动得出代数式即可； （3）分四种不同情况进行分类讨论，根据路程=速度×时间，列方程求解即可． 解题的关键是要运用分类讨论的思想． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：由题意可知，E点对应的数为：， F对应的数为， 故答案为：，； （3）解：在相遇前：， 设时E、F相遇， 即； 解得， ①当E点在F点左侧时，且F点没动时， 由题意可得，， 解得：， ②当E点在F点左侧时，且F点已动时， ， 解得：， ③当点E在点F右侧时， 由题意， 解得：， 综上所述，符合条件的t的值为：． 8．已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． （1）求a、b的值； （2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：　 　，点F在数轴上对应的数为：　 　． （3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）． 【答案】（1）a＝12，b＝﹣20；（2）12﹣6t，﹣20+2t；（3）秒或秒秒或秒 【分析】（1）由题意根据关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，即可求出a、b； （2）由题意根据点E、F的运动方向和速度可得解； （3）根据题意分相遇前和相遇后两种情况，然后正确列出方程进行分析计算即可． 【详解】解：（1）∵关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关， ∴（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3） ＝﹣20x2+ax﹣y+12﹣bx2﹣12x﹣6y+3） ＝（﹣20﹣b）x2+（a﹣12）x﹣7y+15， ∴﹣20﹣b＝0或a﹣12＝0， 解得b＝﹣20，a＝12； （2）设运动时间为t秒． 由题意得：点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣20+2t， 故答案为：12﹣6t，﹣20+2t； （3）设当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为t秒， 相遇前：12﹣6t＝﹣20+2t+2，解得：t＝； 相遇后：E、F相遇的时间为：（20+12）÷（2+6）＝4（秒）， 相遇点为﹣20+2×4＝﹣12， 点F在原地停留4秒时，6（t﹣4）＝2，解得：t＝； 由题意得：当E、F相遇后，点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣12﹣2×5（t﹣4﹣4）＝68﹣10t． 当E在F左侧时，68﹣10t﹣（12﹣6t）＝2，解得：t＝； 当E在F右侧时，12﹣6t﹣（68﹣10t）＝2，解得：t＝． 答：当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为秒或秒秒或秒 【点睛】本题考查数轴和一元一次方程的应用，能根据题意列出代数式和方程是解答此题的关键． 9．如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问： (1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒； (2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？ (3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数． 【答案】(1)2.5 (2)15 (3) 【分析】（1）求出BC长度，“下坡路段”速度是4个单位/秒，即得动点Q从点C运动到点B的时间； （2）先求出AB，BC，CD的长度，再根据“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，即得动点P从点A运动至D点需要的时间； （3）设运动时间为秒，分四种情况：①当0≤t≤2，②当2＜t≤3，③当3<t<4.5，④当4.5＜t≤7.5，列方程求出t． 【详解】（1）∵点B表示的数为-1，点C表示的数为9， ∴BC=1-(-9)=10(个单位)， ∵“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍，“水平路线”速度是2个单位/秒， ∴“下坡路段”速度是4个单位/秒， ∴动点Q从点C运动到点B需要的时间为10÷4=2.5(秒)； （2）根据题意知：AB=|-7-(-1)|=6(个单位)，BC=1-(-9)=10(个单位)，CD=13-9=4(个单位)， ∴“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半， ∴动点P从点A运动至D点需要的时间为 6÷2+10÷+4÷2=3+10+2=15(秒)； （3）设运动时间为t秒， ①当0≤t≤2，即P在AB上，Q在CD上，显然P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度不会相等； ②当2＜t≤3，即P在AB上，Q在CB上时，P表示的数是-7+2t，Q表示的数是9-4(t-2)， ∴0-(-7+2t)=9-4(t-2)-0， 解得t=5， 此时P已不在AB上，不符合题意，这种情况不存在； ③当3<t<4.5，即P在BC上，Q在CB上时，P表示的数是-1+(t-3)=t-4，Q表示的数是9-4(t-2)=17-4t， ∴|t-4|=|17-4t|， 解得t=或t=， ∴P表示的数是或； ④当4.5＜t≤7.5，即P在BC上，Q在AB上时，P表示的数是t-4，Q表示的数是-1-2(t-4.5)=8-2t， ∴t-4-0=0-(8-2t)， 解得t=4(不合题意，舍去)， 综上所述，当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，动点P在数轴上所对应的数是或． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示动点表示的数，根据运动过程分类讨论． 10．数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________； (2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇； (3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等． 【答案】(1)12 (2)，， (3)或；8或 【分析】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，即的M、N两点在折线数轴上的和谐距离为； （2）当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，而M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，即得，可解得答案； （3）根据M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得，可解得或，由时，M运动到O，同时N运动到C，可知时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当，即M在从点O运动到点C时，有，可解得或，当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，即可得答案． 【详解】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是， ∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离为， 故答案为：12； （2）由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C， ∴当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是， ∴O、M两点间的和谐距离，C、N两点间的和谐距离， ∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同， ∴， 解得， 故答案为：，，； （3）∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度， ∴，即， ∴或， 解得或， 由（1）知，时，M运动到O，同时N运动到C， ∴时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等， 当，即M在从点O运动到点C时， ，即， ∴或， 解得或， 当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等， 故答案为：或；8或． 【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数及分类讨论． 【题型2 数轴双动点问题】 11．数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） (3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或 (4)或或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上线段的中点对应的数的计算方法，（1）利用数轴上两点之间的距离公式，数轴上线段的中点计算公式可得答案； （2）数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离，数轴上点向左移动终点对应的数等于起点对应的数减去移动距离，从而可得答案； （3）由t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，表示，再构建绝对值方程，再解方程即可； （4）分①当时，O是线段的中点，②当时，P为线段的中点，③当时，Q为线段的中点，④当时，O为线段的中点，再利用中点对应的数的计算方法构建方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：由数轴可得，A、B两点的距离为，线段的中点M所表示数为， 故答案为：16，； （2）解：点P运动t秒后所在位置的点表示的数为， 点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为 ． 故答案为：，； （3）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵P、Q两点相距5个单位长度， ∴， 解得：或， ∴P、Q两点经过或时相距5个单位长度； （4）解：①当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得． ②当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间， 当P、Q两点重合时，，即， ∴此时， 由题意得， 解得； ③当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间，此时， 由题意得， 解得； ④当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得不合题意，舍去， 综上所述：或或． 12．如图1，点A表示的数为，点B表示的数为4，现将点A和点B的位置保持不变，将原点向上平移，得到图2的“等腰数轴”．在“等腰数轴”上，若两个点落在之间，并且两个点表示的数互为相反数，则这两个点的“等腰距离”即为所代表两个数绝对值之和的，例如：点C和点D分别表示的数为和2，点C和点D的“等腰距离”为；其余两点之间的“等腰距离”为两个数之差的绝对值，例如：点C和点E的“等腰距离”为． (1)点A和点B的“等腰距离”为__________；若点F表示的数为9，则点A和点F的“等腰距离”为__________． (2)若点M表示的数为，且点M和点N的“等腰距离”为，则点N表示的数为__________．（提示：分情况讨论） (3)点G表示的数为，点F表示的数为9，点P和点Q是“等腰数轴”上的两个动点．点P从点G出发，以每秒1个单位长度的速度向点F运动，同一时刻，点Q从点F出发，以每秒2个单位长度的速度向点G运动，当有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． ①当点P运动时，点P和点Q的“等腰距离”为__________； ②在点P和点Q运动的过程中，设运动时间为，是否存在某一时刻，使点P和点Q的“等腰距离”为5？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2  13 (2)1或或 (3)①；②存在，t的值为或 【分析】（1）根据“等腰距离”的定义，即可求解； （2）设点N表示的数为x，分两种情况讨论若M，N两个点表示的数互为相反数；若M，N两个点表示的数不是互为相反数，结合“等腰距离”的定义，即可求解； （3）①先求出当点P运动时，点P，Q表示的数，结合“等腰距离”的定义，即可求解；②根据题意可得P，Q两个点表示的数不是互为相反数，再根据“等腰距离”的定义，可得，解出即可． 【详解】（1）解：根据题意得：点A和点B的“等腰距离”为； ∵点F表示的数为9， ∴点A和点F的“等腰距离”为； 故答案为：2；13 （2）解：设点N表示的数为x， 若M，N两个点表示的数互为相反数，则点N表示的数为1，此时满足点M和点N的“等腰距离”为， 若M，N两个点表示的数不是互为相反数， ∵点M表示的数为，点M和点N的“等腰距离”为， ∴， 解得：或； 综上所述，点N表示的数为1或或； 故答案为：1或或 （3）解：①根据题意得：当点P运动时，点P表示的数是， 点Q表示的数是， 点P和点Q的“等腰距离”为； 故答案为： ②存在， 根据题意得：P，Q两个点表示的数互为相反数，则点P和点Q的“等腰距离”最大为， ∴P，Q两个点表示的数不是互为相反数， ∴， 解得：或； 即存在某一时刻，使点P和点Q的“等腰距离”为5，此时 t的值为或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，绝对值方程，理解“等腰距离”的定义是解题的关键． 13．阅读下面的材料，回答问题： 材料一：在数轴上，我们把到两个点距离相等的点，叫做这两个点的“中点”，例如： ①表示1和5的点到表示3的点距离都为2，所以它们“中点”表示的数是3． ②表示和的点到表示的点距离都为1，所以它们的“中点”表示的数是．      材料二：对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得的数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点． (1)表示和6的点的“中点”表示的数是___________． (2)若“中点”表示的数是2023，其中一点表示的数是2020，则另一个点表示的数是___________． (3)点A、B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述“材料二”的操作后得到线段，其中，点A、B的对应点分别是、，线段AB的中点C与线段的中点对应． ①若点A表示的数是2，点B表示的数是6，请求出点表示的数． ②若点表示的数是2，请求出点C表示的数． 【答案】(1) (2) (3)①② 【分析】（1）设“中点”表示的数是，由“中点”的定义即可求解； （2）设另一个点表示的数是由“中点”的定义即可求解； （3）①由（1）同理可求点和点的“中点”表示的数是，由点P到对应点的操作即可求解； ②由操作可得C表示的数可以由点表示的数对应的点先向左平移1个单位，再除以得到，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 所以“中点”表示的数是， 故答案：． （2）解：由题意得 ， 所以另一个点表示的数是， 故答案：． （3）解：①由（1）同理可求点和点的“中点”表示的数是， 所以表示的数是； ②表示的数是由点C表示的数乘以，再把所得的数对应的点向右平移1个单位得到， 所以C表示的数可以由点表示的数对应的点先向左平移1个单位，再除以得到， 所以C表示的数为； 【点睛】本题考查了“中点”的新定义，点在数轴上的平移，用方程解决问题，理解新定义是解题的关键． 14．如图，在数轴上点A表示的数a，点B表示数b，a和b满足，点O是数轴原点． (1)点A表示的数为______，点B表示的数为______，线段的长为______． (2)若点P从点A出发，以3个单位长度每秒的速度向点B运动，与此同时，点Q从点B出发，以2个单位长度每秒的速度向点A运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点Q表示的数；若不存在，请说明理由． (3)若数轴上表示和10的两点之间有一条可移动的线段（C，D均不与A，B重合），点C在点D左侧，且，点M为线段中点，点N为线段中点，试探究线段的长度． 【答案】(1)，4， (2)当运动时间为2秒时，，此时点Q表示的数为；当运动时间为秒时，，此时点Q表示的数为 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，再根据数轴上两点距离公式求出的长即可； （2）设运动时间为t，则点P表示的数为，点Q表示的数为，然后分当P、Q两点相遇前，时，当P、Q两点相遇后，时，利用数轴上两点距离公式列出方程求解即可； （3）设点C表示的数为m，则点D表示的数为，根据数轴上两点中点公式得到点M表示的数为，点N表示的数为，再根据数轴上两点距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点A表示的数为，点B表示的数为， ∴， 故答案为：，4，； （2）解：设运动时间为t， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P、Q两点相遇前，时， ∴， 解得， ∴此时点Q表示的数为； 当P、Q两点相遇后，时， ∴， 解得， ∴此时点Q表示的数为； ∵， ∴当运动时间为2秒时，，此时点Q表示的数为；当运动时间为秒时，，此时点Q表示的数为； （3）解：∵， ∴设点C表示的数为m，则点D表示的数为， ∵点M为线段中点，点N为线段中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点距离公式，非负数的性质等等，熟知数轴上两点距离公式是解题的关键． 15．在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，，两点之间的距离表示为，记为．    (1)如图，点在数轴上所对应的数为，，则点对应的数为________． (2)在（1）的条件下，若点在的右侧，同时点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点时，求，两点间的距离． (3)在（2）的条件下，若点运动到后静止不动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，求经过多长时间，． 【答案】(1)2或 (2)10 (3)8或12 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，绝对值的意义，对于（1），分两种情况根据两点间的距离判断即可； 对于（2），先确定点B，再根据两点之间的距离可得点A运动的路程，即可得出运动的时间，进而得出答案； 对于（3），结合（2）分两种情况用两点之间的距离除以速度可得答案． 【详解】（1）设点B对应的数是b， 因为， 所以， 解得或． 故答案为：2或； （2）由（1）知点B对应的数是2， 点A运动了（单位长度）， ∴（秒）， ∴点B向左运动了（单位长度）， 则点B运动到了点， 所以A，B之间的距离是； （3）因为， 解得或， ， 所以经过8秒或12秒． 16．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数轴上数和点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，如图，请同学们解决下面有关数轴的问题： (1)若将数轴折叠，使得1表示的点与表示点重合，此时M、N两点也互相重合，若数轴上M、N两点之间的距离为（M在的左侧），则M、N两点表示的数分别是：______，______． (2)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若表示一个有理数，则的最小值=_______． ②若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的和是____． ③当______时，取最小值． (3)①数轴上点表示的数分别为，动点P从B出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒P与A的距离是2个单位长度． ②在①的条件下，动点P出发的同时，动点Q从A出发，沿着数轴反方向以每秒1个单位长度的速度运动，经过______秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍？ 【答案】(1)， (2)①3；②4；③3 (3)①4或6秒；②或6 【分析】（1）将数轴折叠，使得1表示的点与表示的点重合，则中点表示的数为，根据M点表示的数为，N点表示的数为，计算求解即可； （2）①由绝对值的几何意义求解作答即可；②由题意知，，表示数轴上表示的点，到数轴上表示和的点之间的距离为7，由，可知满足条件的所有整数为，然后求和计算即可；③由题意知，表示数轴上表示与2两点之间的距离；表示数轴上表示与3两点之间的距离；表示数轴上表示与4两点之间的距离；当时，取最小值，当且时，，此时，取最小值； （3）①设经过秒P与A的距离是2个单位长度，则点表示的数为，依题意得，，则，计算求解即可；②设经过秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍，则点表示的数为，点表示的数为，则，，依题意得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵将数轴折叠，使得1表示的点与表示的点重合， ∴中点表示的数为， ∴M点表示的数为，N点表示的数为， 故答案为：，； （2）①解：由题意知，表示数轴上表示的点，到数轴上表示和6的点之间的距离， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，的最小值为3； 故答案为：3； ②解：由题意知，，表示数轴上表示的点，到数轴上表示和的点之间的距离为7， ∵， ∴满足条件的所有整数为， ∴满足条件的所有整数的和是， 故答案为：4； ③解：由题意知，表示数轴上表示与2两点之间的距离；表示数轴上表示与3两点之间的距离；表示数轴上表示与4两点之间的距离； 同理（2）①，当时，取最小值， 当且时，， ∴当时，取最小值； （3）①解：设经过秒P与A的距离是2个单位长度，则点表示的数为， 依题意得，， ∴， 解得，或， ∴经过4或6秒P与A的距离是2个单位长度； ②解：设经过秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍，则点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∵点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍， ∴， ∴， 解得，或， ∴经过或6秒时，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍， 故答案为：或6． 【点睛】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，数轴上的动点问题，绝对值方程等知识，熟练掌握在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，数轴上的动点问题，绝对值方程是解题的关键． 17．如图，已知数轴上有两点，点表示的数是，点表示的数是，动点分别从两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，它们的速度分别为个单位长度秒、个单位长度秒，设运动时间为． (1)当时，点对应的数是______，点对应的数是______； (2)当为何值时，两点之间相距个单位长度； (3)当时，若线段和线段同时以个单位长度秒的速度同时相向匀速运动，是否存在某一时刻？使得．若存在，求出此时的距离，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)当或秒时，此时的距离为或． 【分析】（）由题意得：点沿数轴正方向移动，点沿数轴负方向移动，然后求解即可； （）根据题意得点对应的数是，点对应的数是，再根据两点之间相距个单位长度列出绝对值方程，然后求解即可； （）由题意知点对应的数是，点对应的数是，设再运动秒后，则得出平移后对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，然后分当线段和线段相遇前，当线段和线段相遇后两种情况，列出方程，然后求解即可； 本题考查了一元一次方程的应用，数轴上表示数，数轴两点间的距离，列代数式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：点沿数轴正方向移动，点沿数轴负方向移动， 当时，点对应的数是，点对应的数是， 故答案为：，； （2）解：由题意得：点沿数轴正方向移动，点沿数轴负方向移动， ∴点对应的数是，点对应的数是， ∵两点之间相距个单位长度， ∴，整理得：， ∴或， 解得：或； （3）存在，理由如下： 当时，点对应的数是，点对应的数是， 由题意知点对应的数是，点对应的数是， 设再运动秒后， ∴平移后对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数， 当线段和线段相遇前， ，， ∵， ∴，解得：； 此时点表示的数，对应点表示的数， ∴距离为； 当线段和线段相遇后， ，， ∵， ∴，解得：； 此时点表示的数，对应点表示的数， ∴距离为； 综上可知：当或秒时，此时的距离为或． 18．唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点P，Q在数轴上分别表示有理数p，q，P，Q两点之间的距离表示为．例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数5与对应的两点之间的距离为；…；解决问题： 已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，． (1)分别求a，b，c的值； (2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的4倍时，请求出x的值； (3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查有关数轴的问题，关键是掌握在数轴上两点距离的表示方法． （1）由非负数的概念即可求解； （2）在数轴上应用两点间距离公式，即可求解； （3）表示出的长度，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴或； （3）解：假设存在符合条件的k值， ∵经过t秒点A表示的数是，点B表示的数是， ∴，， ∴， 由题意，， ∴， 即存在符合条件的k值． 19．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．    请用上面的知识解答下面的问题： 如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，满足，．    (1)______，______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数______表示的点重合； (3)点，，开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． 则______，______，______．（用含的代数式表示） (4)请问，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)， (2) (3)，， (4)的值是定值，不随着时间的变化而改变，理由见详解 【分析】（1）根据绝对值，平方数的非负性即可求解； （2）根据折叠的性质，中点的计算方法“”即可求解； （3）根据数轴上点的运动规律和数的表示方法“点的移动规律是左减右加，两点之间的距离是用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数”即可求解； （4）根据（3）中的值进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）解：点表示数，点表示数，点表示数，折叠使得点与点重合， ∴折点为， ∴， ∴点与数表示的点重合， 故答案为：． （3）解：点表示的数为，以每秒2个单位长度的速度向左运动，点表示的数为，以每秒个单位长度向右运动，点表示的数为，以每秒个单位长度向右运动，运动时间为t秒， ∴运动后点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，，， 故答案为：，，． （4）解： ． 【点睛】本题主要考查绝对值的非负性，平方数的非负性，数轴上有理数的表示，折叠的性质，中点的计算，两点之间距离的计算方法，理解并掌握数轴的特点，中点的计算，两点之间距离的计算方法是解题的关键． 20．已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 【答案】(1)1 (2)或4 (3)点P所经过的总路程是个单位长度 【分析】（1）若点P对应的数与、3差的绝对值相等，则点P到点A，点B的距离相等． （2）根据当P在A的左侧以及当P在B的右侧分别求出即可； （3）设经过a分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多4，列出方程，求出a的值，即为点P运动的时间，再乘以点P运动的速度，可得点P经过的总路程． 【详解】（1）∵，2的绝对值是2， ，的绝对值是2， ∴点P对应的数是1． （2）当P在之间，（不可能有） 当P在A的左侧，，得 当P在B的右侧，，得 故点P对应的数为或4； （3）设经过a分钟点A与点B重合，根据题意得： ， 解得． 则． 答：点P所经过的总路程是个单位长度． 【点睛】此题考查动点问题，解题关键是正确表示点和点直接的距离，以及根据数量关系列方程求解． 【题型3 数轴动点重合问题】 21．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______． A、       B、 C、       D、 ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示______的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则点表示的数是__________，点表示的数是__________． 【答案】(1)①D；②1012 (2)①；②，1013 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减混合运算，平移和翻叠性质，读懂题意发现平移和翻折的规律是解题的关键． （1）①根据题意和有理数的加法法则进行计算即可；②读懂题意，根据跳动过程列算式，在算式中发现规律，利用规律计算即可； （2）①根据题意得折叠中点表示的数为1，再根据重合点表示的数与中点表示的数的差相等列式计算即可；②根据折叠中点表示的数为1，，可推出点所表示的数和点所表示的数与折叠中点表示的数的差为1022，结合在的左列式计算即可． 【详解】（1）解：①根据移动过程可得， 故选：D． ②机器人跳动过程可以用算式表示为： 当机器人跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012 故答案为：1012． （2）解：①表示的点与表示3的点重合 折叠中点表示的数为 表示2024的点与表示的点重合 故答案为：． ②折叠中点表示的数为1， 点所表示的数为： 点B所表示的数为： 故答案为：，1013； 22．数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为_______，点对应的数为_______； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒．动点从点向右出发，为何值时，、点之间的距离为15个单位长度； 【答案】(1)3 (2)，4.5 (3)为2时，、两点之间的距离为15个单位长度 【分析】本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离． （1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再根据两点之间的距离求解； （3）根据题意，，点对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； （2）解：∵折叠后数2对应的点与数对应的点重合， ∴对称中心是数对应的点， ∵数轴上、两点之间的距离为11（点在点的右侧）， ∴点到对称中心的距离为，且点在的左边，点到对称中心的距离为，且点在的右边， ∴点对应的数为，点对应的数为， 故答案为：，4.5； （3）解：根据题意，， 点对应的数为， ， 解得：， 答：为2时，、两点之间的距离为15个单位长度． 23．已知在纸面上有一数轴，根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)已知、两点相距个单位长度，请你根据图中、两点的位置，分别写出它们所表示的有理数． (2)在数轴上标出与点的距离为2的点（用不同于、的字母表示），并写出这些点表示的数． (3)折叠纸面，若数轴上对应的点与5对应的点重合，回答以下问题： ①10对应的点与_______对应的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数． (4)如图，半径为2的圆上有一点落在数轴上点处，求将圆在数轴上向右滚动（无滑动）一周后点在数轴上所表示的数． 【答案】(1)1， (2)见解析，和3 (3)①；②点为，点为 (4) 【分析】本题主要考查数轴有关知识，熟练掌握数轴上两点间的距离，中心对称，点的平移规律左移减右移加是解题的关键． （1）根据数轴上原点左侧的数为负数，原点右侧的数为正数可知表示1，表示为，即可求解； （2）与点距离为2的点，即左右两边距离两个单位长度的点，也就是数为和的点； （3）①先求出和5的中点，再根据中心对称列式计算即可得解；②根据中点的定义求出的一半，然后分别列式计算即可得解； （4）先求出圆的周长，再根据平移规律即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，点表示的数为1， 则点表示的数为． （2）解：数轴与点的距离为2的点分别为和， 即数轴中和为所求， 其中点表示3，点表示． （3）解：① 故答案为：； ② 、两点之间的距离为2024 由①可知，对折点的数为2，且在的左侧 点为，点为． （4）解：圆的半径 圆的周长 将圆在数轴上向右滚动（无滑动）一周后点所处的位置的点在数轴上所表示的数为． 24．折叠数轴，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：    (1)数轴上9表示的点与　 　表示的点重合． (2)若数轴上M、N两点之间的距离为2024（M在N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示的数各是多少？ (3)如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动100次后，落在数轴上一边的右端点表示的数与折叠后的哪个数重合？ 【答案】(1) (2)M、N两点表示的数分别是，1014 (3) 【分析】本题考查了有理数与数轴，数轴上点的距离，有理数混合运算，解决本题的关键是根据题意得到折痕所对应的数． （1）先求出和5的中点，进而得到结论； （2）根据中点定义求出的一半，然后分别列式计算即可； （3）根据边长为2的正方形有一顶点A落在数轴上表示的点处，正方形滚动一次后一个顶点落在表示3的点处，正方形滚动2次后一个顶点落在表示5的点处，正方形滚动3次后一个顶点落在表示7的点处，即可求出正方形滚动100次后一边右端点的位置，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵折叠数轴，在数轴上表示的点与5表示的点重合， ∴， ∴在数轴上表示的点与5表示的点的中点是2表示的点， ∴数轴上9表示的点与表示的点重合． 故答案为：． （2）解：∵数轴上M、N两点之间的距离为2024（M在N的左侧）， ∴ ∴， ∴M点表示的数是，N点表示的数是1014． ∴M、N两点表示的数分别是，1014； （3）解：∵边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处， ∴正方形在数轴上向右滚动一次后落在数轴上一边的右端点表示的数是； 正方形在数轴上向右滚动2次后落在数轴上一边的右端点表示的数是； 正方形在数轴上向右滚动3次后落在数轴上一边的右端点表示的数是； …… ∴正方形在数轴上向右滚动100次后落在数轴上一边的右端点表示的数是   ∵ ∴正方形滚动100次后，落在数轴上一边的右端点表示的数与折叠后的－197重合． 25．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，根据你对上述内容的理解，解答下列问题：    若数轴上数表示的点与数0表示的点重合． (1)则数轴上数3表示的点与数___________表示的点重合； (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，两点经折叠后重合，求点表示的数； (3)若数轴上，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，直接写出点，点表示的数． 【答案】(1) (2)或1 (3)1009， 【分析】（1）数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，，而即可解答； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或，然后分A表示的数为5或两种情况分别求出B点表示的数即可； （3）依据M、N两点之间的距离为2022，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数． 【详解】（1）解：因为数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，，而，所以数轴上数3表示的点与数-7表示的点重合． 答案： （2）解：由题意知：点A表示的数为5或， 因为A，两点经折叠后重合， 所以当点A表示时，点表示1；当点A表示5时，点表示， 所以点表示的数是或1． （3）解：∵，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合， ∴ ，， 又∵点表示的数比点表示的数大， ∴点表示的数是1009，点表示的数是． 【点睛】本题主要考查的是数轴的认识，掌握数轴的定义和点的对称性是解题的关键． 26．已知在数轴上，一动点从原点出发，沿着数轴以每秒个单位长度的速度来回移动，第次移动是向右移动个单位长度，第次移动是向左移动个单位长度，第次移动是向右移动个单位长度，第次移动是向左移动个单位长度，第次移动是向右移动个单位长度，……. (1)求出秒钟后动点所在的位置； (2)第次移动后，点在表示数______的位置上，运动时间为______； (3)第次移动后，点运动时间为______，当为奇数时，点在表示数______的位置上；当为偶数时，点在表示数______的位置上； (4)如果在数轴上有一个定点，且与原点相距个单位长度，问：动点从原点出发，可能与重合，若能，则第一次与点重合需要多长时间？若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)，， (4)1140秒或1164秒 【分析】（1）先根据路程=速度×时间求出2.5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解； （2）根据左减右加列式计算即可得解，根据路程=速度×时间求出路程，进而求得时间； （3）根据（1）（2）的规律，表示出运动的路程，进而分奇数与偶数分类讨论，即可求解； （4）分点A在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解． 【详解】（1）解：， 点走过的路程是， 处于：； （2）解：Q处于：； ∴点Q走过的路程是 秒， 故答案为：，． （3）解：第次移动后，点运动时间为 ， 设，当为奇数时， ∴点在表示数为的位置上； 当为偶数时，点在表示数的位置 故答案为：，，． （4）解：①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则 ， 解得， 动点走过的路程是 ， 时间秒； ②当点原点左边时，设需要第次到达点，则 ， 解得， 动点走过的路程是 ， 时间秒． 【点睛】本题考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键．分情况讨论求解，弄清楚跳到点处的次数的计算方法是关键． 27．如图，在数轴上有三点，分别表示有理数，，，且，，满足式子；如图：动点从点出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点运动5秒后，长度为6个单位的线段（为线段左端点且与点重合，为线段右端点）从点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点到达点后，线段立即以同样的速度返回向左运动，当点到达点后线段再以同样的速度向右运动，如此往返．设点运动时间为秒． (1)求，，的值； (2)当______秒时，点与点重合，并求出此时线段上点所表示的数； (3)记线段的中点为，在运动过程中，当点与点的距离为1个单位时，求的值． 【答案】(1)，， (2)22秒，11 (3)或15 【分析】（1）根据绝对值的非负的性质求解即可； （2）结合（1）确定之间的距离，然后根据点运动的速度可计算当秒时，点与点重合；当秒时，线段的运动时间为秒，即可确定线段从运动到所用时间为秒，结合数轴上点起始位置所表示数为，即可确定线段运动17秒后，点所表示数为； （3）由点为线段的中点，首先确定点的起始位置所表示数为，然后结合在运动过程中点所表示数为，分，，三个阶段逐一分析计算即可获得答案． 【详解】（1）解：， ，，， ，，， ，，； （2）所表示数为，所表示数为14， ， 点从运动到所用时间为秒， 即当秒时，点与点重合； 线段的运动时间为秒， 线段从运动到所用时间为秒， 数轴上点起始位置所表示数为， 线段运动17秒后，点所表示数为； （3）点的起始位置所表示数为：； 在运动过程中，点所表示数为：， ①当时，点所表示数为：， ，（舍），（舍）； ②当时，点所表示数为：， ，，； ③当时，点所表示数为：， ，，． 综上所述，或15． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质、数轴与有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题等知识，理解题意，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 28．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4，表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题： 若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（请依据此情境解决下列问题） （1）则数轴上数4表示的点与数________表示的点重合． （2）若点A到原点的距离是6个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B点表示的数是________． （3）若数轴上M，N两点之间的距离为2020，并且M，N两点经折叠后重合，如果M点表示的数比N点表示的数大，则M点表示的数是________，则N点表示的数是________． 【答案】（1）-6；（2）4或-8；（3）1009，-1011 【分析】（1）数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点关于点﹣1对称，4﹣（﹣1）＝5，而﹣1﹣5＝﹣6，可得数轴上数4表示的点与数﹣6表示的点重合； （2）点A到原点的距离是6个单位长度，则点A表示的数为6或﹣6，分两种情况讨论，即可得到B点表示的数是5或7； （3）依据M、N两点之间的距离为2020，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数是1007，N点表示的数是﹣1013． 【详解】解：（1）∵数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点关于点﹣1对称， 4﹣（﹣1）＝5，而﹣1﹣5＝﹣6， ∴数轴上数4表示的点与数﹣6表示的点重合； 故答案为：﹣6； （2）点A到原点的距离是6个单位长度，则点A表示的数为6或﹣6， ∵A、B两点经折叠后重合， ∴当点A表示﹣6时，﹣1﹣（﹣6）＝5，﹣1+5＝4， 当点A表示6时，6﹣（﹣1）＝7，﹣1﹣7＝﹣8， ∴B点表示的数是4或﹣8； 故答案为：4或﹣8； （3）M、N两点之间的距离为2020，并且M、N两点经折叠后重合， ∴﹣1+×2020＝1009，﹣1﹣×2020＝﹣1011， 又∵M点表示的数比N点表示的数大， ∴M点表示的数是1009，N点表示的数是﹣1011， 故答案为：1009，﹣1011． 【点睛】本题主要考查的是数轴的认识，掌握数轴的定义和点的对称性是解题的关键． 29．已知数轴上，M表示－10，点N在点M的右边，且距M点40个单位长度，点P，点Q是数轴上的动点． （1）直接写出点N所对应的数； （2）若点P从点M出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q从点N出发，以3个单位长度/秒向左运动，设点P、Q在数轴上的D点相遇，求点D的表示的数； （3）若点P从点M出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q从点N出发，以3个单位长度/秒向右运动，问经过多少秒时，P，Q两点重合？ 【答案】（1）30；（2）15；（3）20秒 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离得出结果； （2）利用时间=路程÷速度和算出相遇时间，再计算出点D表示的数； （3）利用时间=路程÷速度差算出相遇时间即可． 【详解】解：（1）-10+40=30， ∴点N表示的数为30； （2）40÷（3+5）=5秒， -10+5×5=15， ∴点D表示的数为15； （3）40÷（5-3）=20， ∴经过20秒后，P，Q两点重合． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握相遇问题和追击问题之间的数量关系． 30．如图，已知数轴上依次有三点 A、B、C，点 B 对应的数是，且点 B 到点A、C的距离均为600.    (1)写出点A所对应的数； (2)若动点P、Q分别从B、C两点同时向右运动，点 P、Q 的速度分别为 10 单位长度每秒、5单位长度每秒，问多少秒时点P与点Q重合； (3)若动点P、Q分别从A、C两点相向而行，点P运动20秒后，点Q开始运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，问点 P 运动多少秒时P，Q两点的距离为200. 【答案】（1）；（2）120秒；（3）运动73.3或100秒时PQ距离为200. 【分析】(1)根据求数轴上两点之间的距离的方法计算. (2)根据追及问题的计算公式，路程差=速度差时间，直接计算或者列方程解答即可. (3)首先要想到问题P，Q两点的距离为200有两种情况，即P，Q相遇之前和相遇之后，再根据相遇问题的计算公式，路程和=甲运动路程+乙运动路程，路程=速度时间，直接计算或者列方程解答. 【详解】（1）由题意得，，所以点A所对应的数. （2）点 P 与点 Q 运动的路程差为 600，速度差为 5，故， 则120秒后P、Q两点重合. 另解：假设运动 x 秒时 P、Q 重合， 则有.解得 (3)PQ 距离为 200 时有两种情况： 相遇前（Q 在 P 的右边）： 相遇后（P 在Q的右边）： 故运动73.3或100秒时PQ距离为 200. 【点睛】本题结合数轴考查了两点之间的距离，还有追及问题和相遇问题，点的运动问题一定要思考清楚其整个运动过程，化动为静，找到其符合题意的时刻，再寻找数量关系解答. 【题型4 数轴动点求时间】 31．综合与探究 已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是数轴上的一个动点． (1)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右运动，到达点后，再从点出发沿着数轴向左运动，最终回到点．当点运动的时间为秒时，求点运动的路程及此时点在数轴上所表示的数． (2)若点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左运动，问经过多少秒时，点之间的距离恰好为点之间的距离的？ (3)若点从原点出发，沿着数轴按向右前进个单位长度，然后向左后退个单位长度的路径做往返运动，每秒运动一次（前进个单位长度或后退个单位长度），秒为一个周期． 第秒时，点所在的位置表示的数是________． 若点所在的位置表示的数是，求运动的时间是第多少秒？ 【答案】(1) (2)当经过5秒或秒时，点之间的距离恰好为点之间的距离的 (3)①6；②当点所在的位置表示的数为2025时，运动的时间为第2023秒 【分析】（1）根据点运动的速度和时间求出点运动的路程是个单位长度，而点和点之间的距离为个单位长度，所以点从点运动到点后又向左运动了个单位长度，求出点所在位置表示的数； （2）首先根据点、所表示的数得到，所以点、之间的距离的是个单位长度，而点、之间的距离为个单位长度分为两种情况：点、相遇前两点之间的距离为个单位长度；点、相遇后继续运动两点之间的距离为个单位长度； （3）根据点运动的规律计算可得第秒时点所在位置表示的数； 根据点运动的规律计算出当运动秒、秒、秒、秒、秒、秒时点表示的数找到规律，根据规律求出点表示时运动的时间． 【详解】（1）解：点运动的路程为个单位长度． 两点之间的距离为个单位长度， 点到达点后，又继续向左运动了个单位长度， 此时点表示的数为； 点之间的距离为个单位长度， （2）点之间的距离为个单位长度， 当点与点还没有相遇时，在点的左边：； 当点与点相遇后继续运动，点在点的右边时，； 综上所述，当经过5秒或秒时，点之间的距离恰好为点之间的距离的． （3） ，第秒时，点原点出发从运动了个周期， 点所在位置表示的数为：； 根据点运动的规律可得：点第秒所在的位置为， 第秒所在的位置为， 第秒所在的位置为， 第秒所在的位置为， 第秒所在的位置为， 第秒所在的位置为， …， 根据此规律，可知当点所在的位置表示的数为时，运动的时间为第秒． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题．解决本题的关键是根据动点出发的位置、运动的方向、运动的速度和时间，求出动点所到达的位置表示的数． 32．已知点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，M、N两点之间的距离表示为，则在数轴上M、N两点之间的距离，如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为和6． (1)直接写出A、B两点之间的距离______； (2)若在数轴上存在一点C，使得C到B的距离是到A的距离的2倍，求点C表示的数； (3)如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在之间进行往返运动，点P出发的同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴一直向左运动，求当时，时间t的取值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或或 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴两点间的距离，绝对值方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，得出，即可作答． （2）进行分类讨论，则点C在B点的右边；当点C在A点与B点的之间，当点C在A点的左边，分别运用数轴两点间的距离进行列式计算，即可作答． （3）考虑，则点P表示的数是，列式，解得或，点P第一次从点往点移动时，则点P表示的数是，得，解得或；当点P第二次从出发，列式，解得．据此即可作答． 【详解】（1）解：∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6． ∴ ∴A、B两点之间的距离为； （2）解：设点C在数轴上表示有理数c， 点C在B点的右边，则结合数轴，， 不满足C到B的距离是到A的距离的2倍，故舍去； 当点C在A点与B点的之间， ∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍， 则 解得， 当点C在A点的左边， ∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍， 则 解得， ∴点C表示的数为或； （3）解：依题意，时间为t， 点Q表示的数是， ∵， ∴， ∴则点P表示的数是， ∵， ∴， 即， ∴或， 解得或， 当点P表示的数去到点，且点P第一次从点往点移动时， 则， ∴则点P表示的数是， ∵， ∴， ， 即或， 此时或， 当点P刚好回到，此时点Q表示的数是， ∵， ∴， ∵， ∴当点P第二次从A出发，， 则点P表示的数是， ∵， ∴， ∴， 综上或，或或． 33．小明早晨跑步，他从自家向东跑了2千米到达小彬家，继续向东跑了2.5千米到达小红家，然后向西跑了6.5千米到达中心广场，最后回到家． (1)以小明家为原点，向东的方向为正方向，1个单位长度表示1千米，请在数轴上表示出中心广场A，小彬家B和小红家C的位置： (2)小彬家在中心广场的什么方向？距离中心广场多远？ (3)若小明跑步的速度为6.5千米/小时，小明这次晨跑一共用了多少小时？ 【答案】(1)见解析 (2)小彬家在中心广场的东方，距离中心广场4千米； (3)小明这次晨跑一共用了2小时． 【分析】本题考查了有理数的加减运算、正数和负数的意义及绝对值等知识点． （1）根据题意画出图形即可； （2）结合（1）中的数轴，利用数轴上两点间的距离公式求解即可； （3）求出每个数的绝对值，相加即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，所求的数轴如图所示： ； （2）解：由数轴可知，小彬家在中心广场的东方， 距离中心广场的距离：（千米）， 小彬家距离中心广场4千米； （3）解：小明跑的路程：（千米）， 小明跑步的时间为：（小时）， 答：小明这次晨跑一共用了2小时． 34．数学实验室：点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上数到原点的距离为，可能在原点左边个单位，此时的值为_____，也可能在原点右边个单位，此时的值为_____． (2)与之间的距离表示为_____，结合上面的理解，若，则____． (3)当是_____时，代数式． (4)若点表示的数，点与点的距离是，且点在点的右侧，动点分别从同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 【答案】(1)，； (2)，或； (3)0或； (4)运动或秒后，． 【分析】（）根据绝对值的定义即可求解； （）去绝对值符号解方程即可； （）分当时，当时，当时三种情况分析即可； （）设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，然后分当在左侧时，当在右侧时两种情况分析即可求解； 本题考查了数轴和绝对值的意义，解一元一次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵数轴上数到原点的距离为， ∴在原点左边个单位时，的值为，在原点右边个单位时，的值为， 故答案为：，； （2）根据题意：与之间的距离表示为， 当时，；当时，； 故答案为：，或； （3）当时，，解得：， 当时，（舍去）， 当时，，解得：， 综上可知：当时，代数式， 故答案为：0或； （4）∵点表示的数，点与点的距离是，且点在点的右侧， ∴点表示的数， 设运动时间为秒， ∵分别从同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴当在左侧时， ，解得：； 当在右侧时， ，解得：； ∴运动或秒后，． 35．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是______；写出【N，M】美好点H所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)，或 (2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5 【分析】本题考查数轴上两点间的距离及数轴动点问题、点是[，]的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． （1）根据美好点的定义，结合图2，直观考查点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据没好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）根据美好点的定义，，，，只有点符合条件， 结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离2倍的点，点的右侧不存在满足条件的点，点和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：，或； （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当为[，]的美好点，点在，之间，如图1， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第二种情况，当为[，]的美好点，点在，之间，如图2， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第三种情况，为[，]的美好点，点在左侧，如图3， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第四种情况，为[，]的美好点，点在左侧，如图4， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第五种情况，为[，]的美好点，点在左侧，如图5， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第六种情况，为[，]的美好点，点在，左侧，如图6， 当时，，因此秒； 第七种情况，为[，]的美好点，点在左侧， 当时，，因此秒， 第八种情况， 为[，]的美好点，点在右侧， 当时，，因此秒， 综上所述，的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5． 36．如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)求两点之间的距离； (2)点在点的右侧，在点的左侧，为14个单位长度，为8个单位长度，求点与点之间的距离； (3)在（2）的条件下，动点以3个单位长度/秒的速度从点出发沿正方向运动，同时点以2个单位长度/秒的速度从点出发沿负方向运动，则它们几秒钟相遇？相遇点表示的数是多少？ 【答案】(1)18 (2)4 (3)经过秒相遇，点表示的数为 【分析】本题主要考查绝对值的非负性、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）根据绝对值的性质可得点表示的数，再根据两点之间距离的计算方法即可求解； （2）根据两点之间的距离分别求出点表示的数，由此即可求解； （3）根据题意，设运动时间为秒，且由（1）可得的距离为18，由此列式可得，再根据点的移动可求出点表示的数． 【详解】（1）解：已知，且，， ∴，，解得，， ∴点表示的数是，点表示的数为6， ∴、两点之间的距离为：； （2）解：点在点的右侧，为14个单位长度，在点的左侧，为8个单位长度， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴点与点之间的距离为：； （3）解：根据题意，设经过秒相遇，由（1）可得，两点之间距离为18， ∴，解得（秒）， ∴点表示的数为， ∴经过秒相遇，点表示的数为． 37．若A、、为数轴上三点，若点到A的距离是点到的距离2倍，我们就称点是【A，】的好点．例如，如图1，点A表示的数为，点表示的数为2．表示1的点到点A的距离是2，到点的距离是1，那么点是【A，】的好点；又如，表示0的点到点A的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是【A，】的好点，但点是【，A】的好点． 知识运用：如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4． (1)数 所表示的点是【，】的好点； (2)如图3，A、为数轴上两点，点A所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当为何值时，、A和中恰有一个点为其余两点的好点？ 【答案】(1)2或10 (2)秒或20秒或15秒 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题： （1）根据数轴求出两点距离，再根据新定义的概念求出结果，注意有两种情况； （2）分情况讨论，根据好点的定义可求出结果； 正确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：设点是【，】的好点， ， 当在、之间时， ， ， ， 表示的数为， 当在右边时， 设表示的数为， ， ， 故答案为：2或10； （2）解：当是【A，】好点时， 即， ， ； 当是【，A】好点时， 即， ， ； 当是【A，】好点时， 即， ， ， 当A是【，】好点时， 即， ， ； 综上所述，当秒或20秒或15秒时，、A和中恰有一个点为其余两点的好点． 38．如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P从B开始向左移动6个单位长度，则　　．若点P移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是 　　． (2)当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是 ，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数 　　表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q到点A距离等于点P到点A距离的2倍，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；或 (2)， (3)或 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离， 利用数形结合法列出方程. （1）根据点的移动过程可以得到答案； （2）先根据移动得到P点表示的数，然后根据中点坐标公式解题即可； （3）先写出点P和点Q对应的数，然后根据体力列方程解题即可. 【详解】（1）点P从B开始向左移动6个单位长度， ∴， 点P移动到与点A距离3个单位长度时，点P对应的数是或， 故答案为：；或； （2）P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是， 折叠后，点P所在的位置表示的数为， 故答案为：，； （3）解：t秒后，点P所在的位置表示的数为，点Q所在的位置表示的数为， ∴点Q到点A的距离为：，点P到点A的距离为：， ∵点Q到点A距离等于点P到点A距离的2倍， 即， 解得或． 39．如图，已知，两点在数轴上，点表示的数为，且．点以每秒3个单位长度的速度从点出发沿数轴运动，同时，点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿数轴运动，设运动的时间为． (1)数轴上点对应的数是______； (2)若点，沿相同方向运动，当秒时，______； (3)求点，点重合时的的值； (4)直接写出时的值． 【答案】(1)30 (2)42或38 (3)8或40 (4)10或90或18或2 【分析】（1）由已知条件可得出，即可表示出点B对应的数． （2）分两种情况①当点，沿数轴左边运动，②当点，沿数轴右边运动时， 分别画出图形，根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （3）设当经过后点，点重合，根据题意列出关系t的一元一次方程求解即可． （4）分六种情况根据，列出关于t的一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：点表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴数轴上点对应的数是30． 故答案为：30； （2）①当点，沿数轴左边运动， 当秒时，点M离点A的距离为： 点N离点B的距离为∶， ， ②当点，沿数轴右边运动时， 当秒时，点M离点A的距离为：， 点N离点B的距离为∶， 综上：若点，沿相同方向运动，当秒时，或38． （3）设当经过后点，点重合，此时， ①如下图： 点M离点A的距离为：， 点N离点A的距离为∶， 此时， 即， 解得：， ②当点，沿数轴右边运动时， 则，解得， 故当或时，点，点重合． （4）①当点，沿数轴左边运动， 设经过后，， 点M离点A的距离为： 点N离点B的距离为∶， 此时 即， 解得： ②当点，沿数轴右边运动时，点M在中间时， 设经过后，， 点M离点A的距离为： 点N离点B的距离为∶， 此时， 即， 解得：（舍去） ③当点，沿数轴右边运动时，点M在中间时， 设经过后，， 点M离点A的距离为： 点N离点B的距离为∶， 此时： 即， 解得：（舍去） ④当点，沿数轴右边运动时，点M在N右边时， 设经过后，， 点M离点A的距离为： 点N离点B的距离为：， 此时：， 即， 解得： ⑤当点，向相运动时，由（3）①可知，时相遇后，然后由向相反方向运动， 则当时，即， 解得：， ， ⑥当点，向相反方向运动时，如下图： 此时， 解得：， 综上：当时的值为10或90或18或2． 【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识．掌握数轴上两点之间的距离以及分类讨论的思想是解题的关键． 40．十一到了，嘉嘉和同学要表演节目．嘉嘉骑车到同学家拿东西，再到学校，她从自己家出发，向东骑了到达淇淇家，继续向东骑了到达小敏家，然后又向西骑了到达学校．演出结束后又向东骑回到自己家． (1)以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示，在图中的数轴上，分别用点A表示出淇淇家，用点B表示出小敏家，用点C表示出学校的位置； (2)求淇淇家与学校之间的距离； (3)如果嘉嘉骑车的速度是300米/分，那么嘉嘉骑车一共用了多长时间？ 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数的运算等知识，正确确定淇淇家、小敏家、学校的位置是解题的关键． （1）结合题意确定淇淇家、小敏家、学校的位置即可； （2）结合数轴计算淇淇家与学校之间的距离； （3）首先计算嘉嘉骑车的总路程，然后根据“时间路程速度”求解即可 【详解】（1）解：在图中的数轴上，分别用点A、点B、点C表示出淇淇家、小敏家、学校的位置，如下图所示： （2）由数轴知，， 答：淇淇家与学校之间的距离为； （3）由数轴可知，嘉嘉家与学校之间的距离为， ． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$