专题07 第1和2章合集绝对值相关压轴题分类训练（3种类型30道）-2024-2025学年七年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版2024）

专题07 第1和2章合集绝对值相关压轴题分类训练 （3种类型30道） 目录 【题型1 绝对值压轴题求取值范围】 1 【题型2 绝对值压轴题最值类】 5 【题型3 绝对值压轴题定值类】 8 【题型1 绝对值压轴题求取值范围】 1．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3． 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． (2)已知，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程． 2．阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 3．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 4．大家知道，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离，即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：，根据以上信息，回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______；数轴上表示和的两点之间的距离是______； (2)点A、B在数轴上分别表示实数x和． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果，求x的值； (3)直接写出代数式的最小值及相应的x的取值范围． 5．【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】 为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ； (4)的最小值为 ； (5)如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是 ． 6．（1）阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值；从几何角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度．例如：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离可表示为．（完成下面填空） Ⅰ．数轴上有三点A、B、P，分别对应的数为、2、x， 如图①，当时，； 如图②，当 时， _____ ； 如图③，当时，_______； Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，， ∴，， ∴在时有最小值为_______． （2）直接应用：求的最小值． （3）应用拓展：若，当时，直接写出S的取值范围_______． 7．数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程） （1）若，则_______，若，则_______； （2）若，则x能取到的最小值是_______；最大值是_______； （3）若，则x能取到的最大值是_______； （4）关于x的式子的取值范围是_______． 8．如图，数轴上每相邻两点相距一个单位长度，点A、B、C、D是这些点中的四个，且对应的位置如图所示，它们对应的数分别是a、b、c、d． （1）若c与d互为相反数，则a________； （2）若d2b8，那么点C对应的数是________； （3）若abcd0，ab0求的取值范围． 9．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|． （1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_____（用含绝对值的式子表示）． （2）利用数轴探究：①找出满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是_____，②设|x﹣3|+|x+1|=p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是_____；当x的值取在_____的范围时，|x|+|x﹣2|取得最小值，这个最小值是_____． （3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值为_____，此时x的值为_____． （4）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|的最小值，求此时x的取值范围． 10．同学们都知道,|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值,实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离.试探索： (1)求|5－(－2)|=___________． (2)数轴上表示x和-1的两点之间的距离表示为___________． (3)找出所有符合条件的整数x，使|x+5|+|x-2|=7,这样的整数有___________个． (4)若x表示一个有理数，且|x-2|+|x+4|＞6，则有理数x的取值范围是_________． 【题型2 绝对值压轴题最值类】 11．阅读下面材料，回答问题： 已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． （1）当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，． （2）当、两点都不在原点时， ①如图2，点、都在原点的右边，； ②如图3，点、都在原点的左边，； ③如图4，点、在原点的两边，． 综上，数轴上、两点的距离，如数轴上表示4和的两点之间的距离是5． 利用上述结论，回答以下问题： （1）若表示数和的两点之间的距离是5，那么______； （2）若数轴上表示数的点位于与8之间，则的值为______； （3）若表示一个有理数，且，求有理数的取值范围； （4）若未知数，满足，求代数式的最小值和最大值． 12．我们知道，可以理解为，它表示数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点分别表示数，那么两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． 若数轴上点A表示数a，请回答下列问题： (1)如果，那么a的值是______． (2)如果，则整数a的值有几个？ (3)求的最小值． 13．“数形结合”是重要的数学思想．如：表示2与差的绝对值，实际上也可以理解为2与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，，所对应的数分别用，表示，那么A，两点之间的距离表示为．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示和2两点之间的距离是_____； (2)若，则_____； (3)若表示一个有理数，的最小值为_____． 14．数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系．我们知，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，在数轴上，点、表示的数分别为，，那么点与点的距离表示为，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是________，数轴上表示和的两点之间的距离是________； (2)数轴上表示和的两点、之间的距离表示为________，如果，那么的值为________； (3)因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：的最小值是多少？ 探究问题：若点，，分别表示数，，，则． 因为的几何意义是线段与的长度之和，所以当点在线段上时（如图），；当点在点的左侧或点的右侧时，．所以的最小值是． 解决问题： 的最小值是________． 15．我们知道，点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离，所以的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离．根据上述材料，请借助数轴解答下列问题： (1)若，则_______； (2)若，则_______． (3)①若，则的值是_______； ②当为_______时，代数式的最小值是． 16．可理解为数轴上表示a所对应的点与b所对应的点之间的距离； 如可理解为数轴上表示6所对应的点与2所对应的点之间的距离； 可以看作，可理解为数轴上表示6所对应的点与所对应的点之间的距离； 【探索】 回答下列问题： (1)可理解为数轴上表示x所对应的点与______所对应的点之间的距离． (2)若，则数______． (3)式子有最小值吗？若有，直接写出最小值及符合条件的整数x；如果没有，说明理由． (4)当______时，式子有最小值，最小值为______． 17．我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为．如可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点A和点B之间（包含点A和点B）时，点与点A的距离跟点与点B的距离之和最小，且最小值为3，即的最小值是3，且此时的的取值范围为．请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示3的点与的点之间的距离表示为 ； (2)的最小值是 ，此时的值为 ； (3)当的最小值是4.5时，求出的值及的值． 18．阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道：，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时， 可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：①；②；③． 从而化简代数式可分以下种情况： ①当时，原式； ②当时， 原式； ③当时， 原式； 综上讨论， 原式 通过以上阅读， 请你解决以下问题： (1)当时， ； (2)化简代数式；（写出解答过程） (3)直接写出的最大值 ． 19．阅读：表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示5与两点之间的距离是______． (2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为______． (3)请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是______． (4)由以上探索猜想的最小值是______，此时x的值为______． (5)借助继续探索的最大值为______． 20．若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，且．则 ； (4)若表示一个有理数，且，则有理数的取值范围是 ； (5)若表示一个有理数，则有最小值为 ，此时 ； (6)当时，则的最大值为 ． 【题型3 绝对值压轴题定值类】 21．【问题背景】 我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．在数轴上，点，的位置如图所示，． 【问题解决】 （1）的几何意义是______． （2）如果点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，那么______（用含的代数式表示）． 【关联运用】 （1）运用一：代数式的最小值为______． （2）运用二：代数式的最大值为______． （3）运用三：已知，则的值为______． （4）运用四：如图所示，点，，是数轴上的三点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．秒后，若的值是一个定值，试确定的值． 22．数轴上点A对应的数是，B点对应的数是1，一只小虫甲从点B出发沿着数轴的正方向以每秒4个单位的速度爬行至C点，再立即返回到A点，共用了4秒钟． (1)求点C对应的数； (2)若小虫甲返回到A点后再作如下运动∶第1次向右爬行2个单位，第2次向左爬行4个单位，第3次向右爬行6个单位，第4次向左爬行8个单位，依次规律爬下去，求它第10次爬行所停在点所对应的数； (3)若小虫甲返回到A后继续沿着数轴的负方向以每秒4个单位的速度爬行，这时另一小虫乙从点C出发沿着数轴的负方向以每秒7个单位的速度爬行，设甲小虫对应的点为E点，乙小虫对应的点为F点，设点A、E、F、B所对应的数分别是，当运动时间t不超过1秒时，则下列结论∶①不变；②不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值． 23．数轴上，把点表示的数记为，点表示的数记为．在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义：数轴上点之间的距离记作或．例如：当，时，点之间的距离|；当，时，点之间的距离；当，时，点之间的距离；由此我们知道，一般情况下，点A，B之间的距离或．如图，数轴上点分别表示数，2． (1)填空：______； (2)若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时点 从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动，设移动的时间为秒． ①移动中，点表示的数是______，点表示的数是______，点，之间的距离______（用含有的代数式表示）； ②移动中，若点，之间相距4个单位长度，求t的值； ③在点，出发的同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动，在三个点移动的过程中，或在某种条件下是否会为定值？请分析并说明理由． 24．如果A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b，那么它们之间的距离AB＝|a﹣b|．如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣3和8，数轴上另有一个点P对应的数为x （1）点P、B之间的距离PB＝　 　． （2）若点P在A、B之间，则|x+3|+|x﹣8|＝　 　． （3）①如图2，若点P在点B右侧，且x＝12，取BP的中点M，试求2AM﹣AP的值． ②若点P为点B右侧的一个动点，取BP的中点M，那么2AM﹣AP是定值吗？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 25．已知：b是最小的正整数，且a、b满足． (1)请求出a、b、c的值； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：；（写出化简过程） (3)在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 26．如图，在数轴上A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1)a＝ ，b＝ ； (2)点C在线段上一个动点其对应的数为x，请化简式子：．（写出化简过程） (3)点A、B分别以2个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点M从原点O以5个单位/秒的速度同时向右运动，请问的值是否随着运动时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 27．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．    请用上面的知识解答下面的问题： 如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，满足，．    (1)______，______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数______表示的点重合； (3)点，，开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． 则______，______，______．（用含的代数式表示） (4)请问，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 28．已知是最小的正整数，且、满足，请回答：    (1)则______，______，______． (2)若点为一动点，其对应的数为，则的最小值为______． (3)、、分别对应的点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由，若不变，请求其值． 29．已知点在数轴上对应的数为、点对应的数为，且．、之间的距离记作，定义：． (1)求线段的长； (2)设点在数轴上对应的数为，当，求的值； (3)若点在的左侧，、分别是、的中点，当在的左侧移动时，下列两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断出正确结论，并求其值． 30．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c．b是最小的正整数，且a、c满足； (1)填空： __________， ___________， ___________； (2)点B静止不动，点A以每秒1个单位长度的速度在数轴上向左运动，同时点C以每秒3个单位长度的速度在数轴上向右运动．设t秒后，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①求BC的长．（用含t的代数式表示） ②问的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由；若不变，求出其值． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 第1和2章合集绝对值相关压轴题分类训练 （3种类型30道） 目录 【题型1 绝对值压轴题求取值范围】 1 【题型2 绝对值压轴题最值类】 15 【题型3 绝对值压轴题定值类】 28 【题型1 绝对值压轴题求取值范围】 1．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3． 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． (2)已知，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程． 【答案】(1)，8 (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值以及数轴的应用，熟练掌握绝对值的定义、数轴以及分类讨论是解题关键． （1）根据四个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案； （2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案． 【详解】（1）解： 当时，，时，最小值， 当时，， 时，最小值， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是8． 故答案为：，8； （2）解：当时，，当时，最大， 当时，，无最大值， 当时，，当时，最大， 所以时，有最大值． 2．阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】理解：（）；（）或；（）或；（），；应用：种调配方案，调出的最少车辆数为辆． 【分析】理解：（）根据题意即可求解； （）根据绝对值的意义即可求解； （）分、和三种情况，根据绝对值的性质解答即可求解； （）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 【详解】解：理解：（）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （）∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （）当时，， 解得； 当时，， 此时方程无解； 当时，， 解得； 综上，的值为或， 故答案为：或； （）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 由图可得，调出的最少车辆数为辆． 3．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】(1)， (2)当最大值为；当最小值为 (3)，最小值为 【分析】本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，分类讨论是解题关键． （1）根据绝对值分类讨论求解即可； （2）根据绝对值分类讨论求解即可； （3）根据绝对值的几何意义即可求解； 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是． 故答案为；． （2）解：当时，； 当时，此时； 当时，； ∴当最大值为；当最小值为； （3）解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时， 有最小值，最小值为 ． 4．大家知道，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离，即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：，根据以上信息，回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______；数轴上表示和的两点之间的距离是______； (2)点A、B在数轴上分别表示实数x和． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果，求x的值； (3)直接写出代数式的最小值及相应的x的取值范围． 【答案】(1)3，3 (2)①；②或 (3)5， 【分析】（1）根据题意，可得数轴上表示2和5的两点之间的距离是：；数轴上表示和的两点之间的距离是：． （2）①根据点、在数轴上分别表示实数和，可得表示、两点之间的距离是．②如果，则，据此求出的值是多少即可． （3）根据题意，可得代数式表示数轴上有理数所对应的点到4和所对应的两点距离之和，所以当时，代数式的最小值是表示4的点与表示的点之间的距离，即代数式的最小值是5． 【详解】（1）解：根据分析，可得 数轴上表示2和5的两点之间的距离是：； 数轴上表示和的两点之间的距离是： ． （2）①． ②如果， 则， 或， 解得或． （3）代数式表示数轴上有理数所对应的点到4和所对应的两点距离之和， 当时，代数式的最小值是：， 即代数式的最小值是5，的取值范围是． 【点睛】此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当是正有理数时，的绝对值是它本身；②当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；③当是零时，的绝对值是零．解答此题的关键是要明确：既可以理解为与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 5．【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】 为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ； (4)的最小值为 ； (5)如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是 ． 【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3 (2)2；2 (3)6 (4)1021110 (5) 【分析】（1）由的几何意义以及有最小值1即可直接求得结果； （2）当a取中间值即a＝2时，求得最小值； （3）由题意可得出，取中间数即a=3时，绝对值最小； （4）由题意可得出，取中间值a＝ 1011时，求得最小值； （5）由已知得：，解出绝对值不等式即为a的取值范围． 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和 当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3 故答案为：a在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3 （2）当a取中间数2时，绝对值最小 的最小值是1＋0＋1＝2 故答案为：2；2 （3）当a取最中间数时，绝对值最小 的最小值是 ； （4）当a取中间数1011时，绝对值最小， 的最小值为： 故答案为：1021110 （5）a使它到－1，2的距离之和小于4 ①当时，则有 解得： ； ②当时，则有 ③当时，则有 解得： 综上，a的取值范围为： 故答案为： 【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可． 6．（1）阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值；从几何角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度．例如：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离可表示为．（完成下面填空） Ⅰ．数轴上有三点A、B、P，分别对应的数为、2、x， 如图①，当时，； 如图②，当 时， _____ ； 如图③，当时，_______； Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，， ∴，， ∴在时有最小值为_______． （2）直接应用：求的最小值． （3）应用拓展：若，当时，直接写出S的取值范围_______． 【答案】（1）I、，；II 、5；（2）9；（3）． 【分析】（1）I根据绝对值的意义即可得到答案；II根据I比较三种情况即可得到答案； （2）根据（1）可得到当x在两点之间时最短即可得到答案； （3）根据，当时，进而得出，再求出其取值范围即可． 【详解】（1）I．解：由题意可得， 当 时， ， 当时， 故答案为，； II．由题意可得， 在时有最小值为5， 故答案为5； （2）解：由（1）可得， 当x在 ，4两点之间时最短， 即当时，的最小值， 最小值为， 故的最小值为9； （3）由（1）可得，表示到1，6， 三点的距离之和，当时，， ∴可得到当时最小值，最小值为， 当时，最大值为 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值的意义，解题的关键是根据题意找到最小距离的点在最小与最大两点之间． 7．数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程） （1）若，则_______，若，则_______； （2）若，则x能取到的最小值是_______；最大值是_______； （3）若，则x能取到的最大值是_______； （4）关于x的式子的取值范围是_______． 【答案】（1）0，1；（2）-1，3；（3）-1；（4）大于或等于3 【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案； （2）|x-3|+|x+1|=4表示的意义，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值； （3）若|x-3|-|x+1|=4，所表示的意义，确定x的取值范围，进而求出最大值； （4）根据|x-2|+|x+1|的意义，求出|x-2|+|x+1|的最小值为3，从而确定取值范围． 【详解】解：（1）|x-2|=|x+2|表示数轴上表示x的点到表示2和-2的距离相等，因此到2和-2距离相等的点表示的数为， |x-3|=|x+1|表示数轴上表示x的点到表示3和-1的距离相等， 因此到3和-1距离相等的点表示的数为=1， 故答案为：0，1； （2）|x-3|+|x+1|=4表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和-1两点的距离之和为4，可得-1≤x≤3， 因此x的最大值为3，最小值为-1； 故答案为：-1，3； （3）|x-3|-|x+1|=4表示的意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点距离比它到表示-1的点的距离大4，根据数轴直观可得， x≤-1，即x的最大值为-1， 故答案为：-1； （4）式子|x-2|+|x+1|表示的意义是数轴上表示x的点到表示2和-1两点的距离之和，由数轴直观可得，|x-2|+|x+1|最小值为3， 因此|x-2|+|x+1|≥3， 故答案为：大于或等于3． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键． 8．如图，数轴上每相邻两点相距一个单位长度，点A、B、C、D是这些点中的四个，且对应的位置如图所示，它们对应的数分别是a、b、c、d． （1）若c与d互为相反数，则a________； （2）若d2b8，那么点C对应的数是________； （3）若abcd0，ab0求的取值范围． 【答案】（1）；（2）2；（3）20＜＜23． 【分析】（1）由c与d互为相反数，CD之间的距离为4，所以CD的中点为原点，点A到原点的距离为8，位于原点的左侧，即a=-8； （2）由BD=7，d-2b=8得点B到原点的距离为1，且位于原点的左侧，点C位于原点的右侧，距离2个单位长度，即点C对应的数为2； （3）由a+b＞0得a＞0＞b，且|a|＞|b|，-1.5＜a＜0，再由abcd＜0求得d＞c＞b＞0＞a，再根据数轴上点的位置得b=a+3，c=a+6，d=a+10，最后去绝对值，合并同类项，求解不等式得． 【详解】（1）解：（1）如图所示： ∵c与d互为相反数， ∴CD=4，O为原点， ∴|OA|=8， ∴a=-8； （2）如图2所示： ∵BD=7，即，又， ∴b=-1， ∴点B向右移动一个单位长度是原点， 又∵OC=2，点C在原点的右侧， 所以 c=2 （3）∵且 ∴且 又∵ 原式 ∵ ∴． 【点睛】本题综合考查了数轴的三要素，数轴上的点与实数的对应关系，去绝对值的方法，数轴上何意两点对应两个数的和差值的正负性，求代数式的取值范围等相关知识点，难点是求代数式的取值范围． 9．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|． （1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_____（用含绝对值的式子表示）． （2）利用数轴探究：①找出满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是_____，②设|x﹣3|+|x+1|=p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是_____；当x的值取在_____的范围时，|x|+|x﹣2|取得最小值，这个最小值是_____． （3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值为_____，此时x的值为_____． （4）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|的最小值，求此时x的取值范围． 【答案】 |x+2|+|x﹣1| ﹣2 4 4 不小于0且不大于2 2 4 【详解】分析：（1）根据两点间的距离公式，可得答案； （2）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值； （3）|x-3|+|x-2|+|x+1|=（|x-3|+|x+1|）+|x-2|，根据问题（2）中的探究②可知，要使|x-3|+|x+1|的值最小，x的值只要取-1到3之间（包括-1、3）的任意一个数，要使|x-2|的值最小，x应取2，显然当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式计算即可； （4）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得答案． 详解：（1）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x-1|； （2）①满足|x-3|+|x+1|=6的x的所有值是-2、4， ②这个最小值是4；当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，|x|+|x-2|取得最小值，这个最小值是2； （3）由分析可知， 当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式=1+0+3=4； （4）|x-3|+|x-2|+|x+1|+|x+2|=（|x-3|+|x+2|）+（|x-2|+|x+1|） 要使|x-3|+|x+2|的值最小，x的值取-2到3之间（包括-2、3）的任意一个数，要使|x-2|+|x+1|的值最小，x取-1到2之间（包括-1、2）的任意一个数，显然当x取-1到2之间（包括-1、2）的任意一个数能同时满足要求，不妨取x=0代入原式，得|x-3|+|x-2|+|x+1|+|x+2|=3+2+1+2=8. 点睛：本题考查了绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． 10．同学们都知道,|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值,实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离.试探索： (1)求|5－(－2)|=___________． (2)数轴上表示x和-1的两点之间的距离表示为___________． (3)找出所有符合条件的整数x，使|x+5|+|x-2|=7,这样的整数有___________个． (4)若x表示一个有理数，且|x-2|+|x+4|＞6，则有理数x的取值范围是_________． 【答案】 7 |x+1| 8 x＞2或x＜-4 【分析】（1）结合绝对值的概念计算即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式得答案； （3）对x的取值进行分段讨论，令x+5=0或x-2=0，可分为三段，再根据绝对值的性质去掉绝对值，最后找到符合题意的整数解的个数； （4）同样，对x的值进行分段讨论，判断绝对值内的符号，去绝对值，求解. 【详解】（1）原式=|5+2|=7， 故答案为7； （2）数轴上x和-1两点之间的距离表示为|x-(-1)|= |x+1| . 故答案为 |x+1|； （3）令x+5=0或x-2=0时，则x=-5或x=2， 当x≤-5时， |x+5|+|x-2|=-（x+5）-（x-2）=7，-x-5-x+2=7，得x=-5（范围内成立）. 当-5＜x≤2时， |x+5|+|x-2|=（x+5）-（x-2）=7，x+5-x+2=7，7=7， ∴-5＜x≤2都成立. ∴ x可取-4，-3，-2，-1，0，1，2； 当x＞2时， |x+5|+|x-2|=（x+5）+（x-2）=7， x+5+x-2=7，2x=4，得x=2， ∴在范围内不成立， ∴综上所述，符合条件的数x有-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2共8个； 故答案为8； （4）令x+4=0或x-2=0时，则x=-4或x=2. 当x＜-4时，|x-2|+|x+4|=2-x-x-4=-2x-2＞8-2=6，成立； 当-4≤x≤2时，|x-2|+|x+4|=2-x+x+4=6＜6，∴不成立； 当x＞2时，x-2+x+4=2x+2＞6，成立； ∴x的取值范围是x＞2或x＜-4. 故答案为x＞2或x＜-4​. 【点睛】本题主要考查绝对值的含义与求法，难度较大.（1）直接求解即可；（2）利用绝对值定义很容易写出；（3）（4）两问才是难点，关键在于对x的取值进行分段讨论，再根据绝对值的代数定义（非负数的绝对值等于它本身，非正数的绝对值等于它的相反数）化简求解即可. 【题型2 绝对值压轴题最值类】 11．阅读下面材料，回答问题： 已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． （1）当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，． （2）当、两点都不在原点时， ①如图2，点、都在原点的右边，； ②如图3，点、都在原点的左边，； ③如图4，点、在原点的两边，． 综上，数轴上、两点的距离，如数轴上表示4和的两点之间的距离是5． 利用上述结论，回答以下问题： （1）若表示数和的两点之间的距离是5，那么______； （2）若数轴上表示数的点位于与8之间，则的值为______； （3）若表示一个有理数，且，求有理数的取值范围； （4）若未知数，满足，求代数式的最小值和最大值． 【答案】（1）2或﹣8；（2）9；（3）x＞2或x＜﹣4；（4）最大值为6，最小值为﹣5 【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式列出绝对值方程求解即可； （2）根据题意得出a+1＞0，a﹣8＜0，再化简绝对值即可； （3）根据题意，分x≥2、﹣4≤x＜2、x＜﹣4三种情况进行讨论求解即可； （4）分别求出和的最小值，进而求出x、y的取值范围即可求解． 【详解】解：（1）由题意，∣a﹣（﹣3）∣=5， ∴a+3=5或a+3=﹣5， 解得：a=2，a=﹣8， 故答案为：2或﹣8； （2）∵数轴上表示数的点位于与8之间， ∴a+1＞0，a﹣8＜0， ∴=（a+1）﹣（a﹣8）=9， 故答案为：9； （3）由题意，分三种情况： 当x≥2时，则数轴上，表示x的点到﹣4与2的距离之和大于﹣4与2的距离∣﹣4﹣2∣=6， 当﹣4≤x＜2时，则数轴上，表示x的点到﹣4与2的距离之和等于﹣4与2的距离6，舍去； 当x＜﹣4时，则数轴上，表示x的点到﹣4与2的距离之和大于﹣4与2的距离6， 综上，有理数的取值范围为x＞2或x＜﹣4； （4）根据题意， 对于代数式，数轴上，当x在﹣3和4之间时，表示x的点到﹣3与4的距离和最小，最小值为∣﹣3﹣4∣=7， 同理，对于，数轴上，当y在﹣2和2之间时，x到﹣2和2的距离和最小，最小值为∣﹣2﹣2∣=4， 又， ∴﹣3≤x≤4，﹣2≤y≤2， ∴x+y的最大值为4+2=6，最小值为﹣3+（﹣2）=﹣5． 【点睛】本题考查数轴的应用、绝对值的性质、绝对值方程，理解题意，掌握数轴上点与点之间的距离公式和代数式的最值问题，以及绝对值的性质是解答的关键． 12．我们知道，可以理解为，它表示数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点分别表示数，那么两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． 若数轴上点A表示数a，请回答下列问题： (1)如果，那么a的值是______． (2)如果，则整数a的值有几个？ (3)求的最小值． 【答案】(1)1或3 (2)整数a的值有6个 (3)最小值为 【分析】本题考查绝对值的性质、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． （1）利用绝对值的意义知，然后分别求解可得； （2）由表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到距离之和，再由是整数，得出符合条件的值即可； （3）由表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到和表示数的点到的距离之和，根据两点间线段最短即可求解． 【详解】（1）， 或， 解得或． （2） 表示数轴上表示数a的点到1的距离， 和到的距离的和为5，且， ， a是整数， a的值有，，，，， 整数a的值有6个； （3） 表示， 数轴上表示数a的点到的距离，到5的距离，到的距离的和， 为了使距离之和最小， 应该位于在到5之间，此时， 当时， 为最小值， 当时，有最小值， 最小值为． 13．“数形结合”是重要的数学思想．如：表示2与差的绝对值，实际上也可以理解为2与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，，所对应的数分别用，表示，那么A，两点之间的距离表示为．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示和2两点之间的距离是_____； (2)若，则_____； (3)若表示一个有理数，的最小值为_____． 【答案】(1)5 (2)或0 (3)3 【分析】题考查数轴上的点之间的距离，绝对值的意义，解题的关键是掌握数轴上表示、的点之间的距离为． （1）由已知直接可得答案； （2）表示的点与表示的点之间的距离是2，即可得答案； （3）是表示的点到表示和2的点的距离之和，数形结合即可得最小值． 【详解】（1）解：数轴上表示和2两点之间的距离是5， 故答案为：5； （2），则表示的点与表示的点之间的距离是2， 或0， 故答案为：或0； （3）是表示的点到表示和2的点的距离之和， 时，最小为3； 故答案为：3． 14．数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系．我们知，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，在数轴上，点、表示的数分别为，，那么点与点的距离表示为，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是________，数轴上表示和的两点之间的距离是________； (2)数轴上表示和的两点、之间的距离表示为________，如果，那么的值为________； (3)因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：的最小值是多少？ 探究问题：若点，，分别表示数，，，则． 因为的几何意义是线段与的长度之和，所以当点在线段上时（如图），；当点在点的左侧或点的右侧时，．所以的最小值是． 解决问题： 的最小值是________． 【答案】(1)，； (2)，或； (3)6 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，正确利用数形相结合是解题的关键． （1）根据两点间距离公式求解即可； （2）根据两点间距离公式求解即可； （3）把原式转化为看作是数轴上表示的点与表示和的点之间的距离最小值，即可求解 【详解】（1）解：，， 数轴上表示和的两点之间的距离是，轴上表示和的两点之间的距离是 故答案为：，； （2）解：数轴上表示和的两点、之间的距离表示为， ∵， ∴， ∴或， ∴为或 故答案为：，或； （3）解：∵， ∴如图，表示点到点的距离与点到点的距离之和 当点在线段上时，， 当点在点的左侧或点的右侧时，， 所以的最小值是； 15．我们知道，点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离，所以的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离．根据上述材料，请借助数轴解答下列问题： (1)若，则_______； (2)若，则_______． (3)①若，则的值是_______； ②当为_______时，代数式的最小值是． 【答案】(1)或 (2) (3)①或；②或 【分析】（）根据绝对值的几何意义可得表示的点到表示的点的距离为，进而由数轴上两点间距离公式即可求解； （）由绝对值的几何意义可得表示的点到表示的点的距离等于表示的点到表示的点的距离，即得在和之间，得到，据此即可求解； （）①根据绝对值的几何意义可得表示的点到表示的点的距离与到表示的点的距离之和等于，得到在的右边或的左边，不可能在和之间，再利用两点间距离公式解答即可求解； ②根据绝对值的几何意义可得式子表示表示的点到表示的点的距离与到表示的点的距离之和，当在与之间时，距离之和最小，最小值为，据此即可求解； 本题考查了绝对值的几何意义，两点间距离公式，理解绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴表示的点到表示的点的距离为， ∴或， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴， 即表示的点到表示的点的距离等于表示的点到表示的点的距离， ∴在和之间， ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：①∵， ∴， ∴等式表示表示的点到表示的点的距离与到表示的点的距离之和等于， ∴在的右边或的左边，不可能在和之间， 当在的右边时，， 解得， 当在的左边时，， 解得， ∴的值是或， 故答案为：或； ②∵， ∴式子表示表示的点到表示的点的距离与到表示的点的距离之和， 当在与之间时，距离之和最小，最小值为， ∴或， 故答案为：或． 16．可理解为数轴上表示a所对应的点与b所对应的点之间的距离； 如可理解为数轴上表示6所对应的点与2所对应的点之间的距离； 可以看作，可理解为数轴上表示6所对应的点与所对应的点之间的距离； 【探索】 回答下列问题： (1)可理解为数轴上表示x所对应的点与______所对应的点之间的距离． (2)若，则数______． (3)式子有最小值吗？若有，直接写出最小值及符合条件的整数x；如果没有，说明理由． (4)当______时，式子有最小值，最小值为______． 【答案】(1) (2)或 (3)，； (4)， 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是：根据绝对值的几何意义，确定的范围． （1）根据绝对值的几何意义，即可求解， （2）根据绝对值的几何意义，表示到2的距离与到的距离之和等于，分两种情况进行解答即可； （3）根据绝对值的几何意义，的最小值表示到的距离与到的距离之和最小，则在和之间的线段上，据此进行解答即可； （4）根据绝对值的几何意义，表示数轴上有理数x所对应的点到6、和所对应的点的距离之和，据此进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，可理解为数轴上表示x所对应的点与所对应的点之间的距离． 故答案为：； （2）解：根据绝对值的几何意义，表示到2的距离与到的距离之和等于， 当在左侧时，，，解得：， 当在2右侧时，，，解得：， 故答案为：或； （3）解：根据绝对值的几何意义，的最小值表示到的距离与到的距离之和最小， 在和之间的线段上， ∴的最小值是，符合条件的整数x为； （4）表示数轴上有理数x所对应的点到6、和所对应的点的距离之和， 当时，有最小值为． 故答案为：， 17．我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为．如可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点A和点B之间（包含点A和点B）时，点与点A的距离跟点与点B的距离之和最小，且最小值为3，即的最小值是3，且此时的的取值范围为．请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示3的点与的点之间的距离表示为 ； (2)的最小值是 ，此时的值为 ； (3)当的最小值是4.5时，求出的值及的值． 【答案】(1)4 (2)3，0 (3)或 【分析】本题考查了绝对值的应用． （1）根据绝对值的几何意义，得出3的点与的点之间的距离为4． （2）根据绝对值的几何意义，得出的最小值； （3）画出数轴，分两种情况进行讨论：当或时，的最小值是4.5． 【详解】（1）解：根据绝对值的几何意义，得出3的点与的点之间的距离为． （2）解：根据绝对值的几何意义可得，当时，的最小值是3， 故答案为：3，． （3）解：由图可得， 只有当或时，的最小值是4.5， ∴当的最小值是4.5时，或． 18．阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道：，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时， 可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：①；②；③． 从而化简代数式可分以下种情况： ①当时，原式； ②当时， 原式； ③当时， 原式； 综上讨论， 原式 通过以上阅读， 请你解决以下问题： (1)当时， ； (2)化简代数式；（写出解答过程） (3)直接写出的最大值 ． 【答案】(1) (2)原式 (3) 【分析】本题考查含绝对值的代数式化简问题， （1）根据绝对值的意义可得结论； （2）零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：、和，分三种情况找出的值即可； （3）分、、分别化简，结合的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值； 注意读懂题目的解答以及分类思想的运用是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）令和，分别求得，， 可分以下种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； 综上讨论，原式； （3）令和，分别求得，， 当时，原式； 当时，原式， ∴； 当时，原式， ∴的最大值为． 故答案为：． 19．阅读：表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示5与两点之间的距离是______． (2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为______． (3)请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是______． (4)由以上探索猜想的最小值是______，此时x的值为______． (5)借助继续探索的最大值为______． 【答案】(1) (2) (3)，，，， (4)， (5) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可得解； （2）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可得解； （3）由绝对值的意义可得表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，利用数轴并结合即可得解； （4）由绝对值的意义可得表示数轴上有理数所对应的点到、和所对应的点的距离之和，再结合数轴即可得解； （5）分情况讨论：当时，当时，当时，结合绝对值的意义计算即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示5与两点之间的距离是； （2）解：数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为； （3）解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，且， ∴ 结合数轴可得，这样的整数有，，，，； （4）解：∵表示数轴上数所对应的点到、和所对应的点的距离之和， ∴结合数轴可得，当时，由最小值，最小值为； （5）解：当时，，，故； 当时，，，故，此时当时，的值最大，为； 当时，，，故； 综上所述，的最大值为． 20．若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，且．则 ； (4)若表示一个有理数，且，则有理数的取值范围是 ； (5)若表示一个有理数，则有最小值为 ，此时 ； (6)当时，则的最大值为 ． 【答案】(1)3 (2) (3)4 (4)或 (5)5， (6)3 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）根据数轴上两点之间距离公式求解即可； （2）根据数轴上两点之间距离公式求解即可； （3）根据题意化简绝对值，即可获得答案； （4）根据数轴上两点之间距离公式可知所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数，1两点的距离之和，且当时，的最小值为，据此即可获得答案； （5）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数3，，三个点的距离之和，结合数轴及绝对值的性质，即可获得答案； （6）将原式整理为时，结合数轴确定、的取值范围，即可获得答案． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5两点之间的距离是． 故答案为：3； （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为． 故答案为：； （3）当时，则． 故答案为：4； （4）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数，1两点的距离之和， 当时，的最小值为， 所以时，有理数的取值范围是或． 故答案为：或； （5）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数3，，三个点的距离之和， 当时， ， 则时，存在最小值，为； 当时， ， 则时，存在最小值，为； 当时， ， 则时，存在最小值，为； 当时， ， 则时，存在最小值，为， 综上所述，当时，有最小值为5． 故答案为：5，； （6）由（5）可知，当时，的最小值为， 当时，的最小值为， 而， 即时，，， 所以的最大值为3． 故答案为：3． 【题型3 绝对值压轴题定值类】 21．【问题背景】 我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．在数轴上，点，的位置如图所示，． 【问题解决】 （1）的几何意义是______． （2）如果点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，那么______（用含的代数式表示）． 【关联运用】 （1）运用一：代数式的最小值为______． （2）运用二：代数式的最大值为______． （3）运用三：已知，则的值为______． （4）运用四：如图所示，点，，是数轴上的三点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．秒后，若的值是一个定值，试确定的值． 【答案】问题解决：（1）点与点之间的距离；（2）；关联运用：（1）；（2）；（3）或；（4）的值是一个定值时，的值为． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解答本题的关键． 问题解决：（1）的几何意义是点与点之间的距离； （2）根据距离公式可得； 关联运用：（1）运用一：代数式表示点与的距离与点与点距离的和，然后分三种情况讨论，得到答案； （2）运用二：表示点与的距离与点与点距离的差，然后分两种情况讨论，得到答案； （3）运用三：由（1）知当时|取最小值，已知，然后分三种情况讨论，得到答案； （4）运用四：时，点表示数是，点表示数是，点表示数是，则，，根据已知条件分情况讨论，得到答案． 【详解】问题解决： 解：（1）的几何意义是点与点之间的距离， 故答案为：点与点之间的距离； （2）由题意得： 表示的数为，点在数轴上表示的数为， 则与之间的距离， 故答案为：； 关联运用： （1）运用一：代数式表示点与的距离与点与点距离的和， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：当时，取最小值为， 故答案为：； （2）运用二：表示点与的距离与点与点距离的差， 当时，； 当时， 此时； 当时，； 综上所述：当时，代数式取最大值为； 故答案为：； （3）运用三：由（1）知当时|取最小值， 时，或， 故当时，则， 解得：， 当时，， 解得：， 故答案为：或； （4）运用四： 点表示数是，点表示数是，点表示数是， 根据题意可得： 时，点表示数是，点表示数是，点表示数是， 由已知可知点始终在点右侧，故 而， 当的值是一个定值时， 则为定值， 当时，即时， ， ， 解得， 此时定值为； 当时，即时， ， ， 解得：， 此时定值为； 综上所述：的值是一个定值时，的值为． 22．数轴上点A对应的数是，B点对应的数是1，一只小虫甲从点B出发沿着数轴的正方向以每秒4个单位的速度爬行至C点，再立即返回到A点，共用了4秒钟． (1)求点C对应的数； (2)若小虫甲返回到A点后再作如下运动∶第1次向右爬行2个单位，第2次向左爬行4个单位，第3次向右爬行6个单位，第4次向左爬行8个单位，依次规律爬下去，求它第10次爬行所停在点所对应的数； (3)若小虫甲返回到A后继续沿着数轴的负方向以每秒4个单位的速度爬行，这时另一小虫乙从点C出发沿着数轴的负方向以每秒7个单位的速度爬行，设甲小虫对应的点为E点，乙小虫对应的点为F点，设点A、E、F、B所对应的数分别是，当运动时间t不超过1秒时，则下列结论∶①不变；②不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值． 【答案】(1)C点对应的点数为8 (2)第十次爬行所停在点所对应的数为 (3)②不变；恒等于 【分析】（1）往返中路程相等，速度不变，，由于A点对应的数值为，故C点对应的数应该为7． （2）根据题意，我可以知道小虫每往返一次的路程差为，共10次爬行，即5次往返，且A点对应的数为，故它第10次爬行所停在点所对应的数． （3）先比较各点的大小，去掉绝对值符号进行化简，可得到最简形式，代入点对应数即可得出答案； 【详解】（1）∵往返中路程相等，速度不变， ∴总路程为， 根据题意得，即C点对应的点数为8； （2）根据题意∶，即第十次爬行所停在点所对应的数为； （3）②不变；恒等于； 证明∶∵， ∴． 【点睛】此题主要考查学生对运动问题的处理和分析，具有一定的开放性，解题时要充分运用抽象概括能力． 23．数轴上，把点表示的数记为，点表示的数记为．在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义：数轴上点之间的距离记作或．例如：当，时，点之间的距离|；当，时，点之间的距离；当，时，点之间的距离；由此我们知道，一般情况下，点A，B之间的距离或．如图，数轴上点分别表示数，2． (1)填空：______； (2)若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时点 从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动，设移动的时间为秒． ①移动中，点表示的数是______，点表示的数是______，点，之间的距离______（用含有的代数式表示）； ②移动中，若点，之间相距4个单位长度，求t的值； ③在点，出发的同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动，在三个点移动的过程中，或在某种条件下是否会为定值？请分析并说明理由． 【答案】(1)8 (2)①，，②或③当时，为定值；当时，为定值 【分析】（1）直接根据|即可得出答案； （2）①移动过程中点表示的数是，点表示的数是，点，之间的距离，则答案可得；②令，求解即可；③首先求出，然后讨论和的值即可． 【详解】（1）解：根据题意， ． 故答案为：8； （2）①根据题意， 点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右移动， 故点表示的数是：， 点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动， 故点表示的数是：， 点，之间的距离． 故答案为：，，； ②根据题意，可得， ∴， ∴或； ③由题意可知，在点，出发的同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动，则点的数是：， 所以， ， ， ∵当时，． 当时，； 当时，． ∴当时，，为定值， 当时，，为定值． 综上所述，当时，为定值；当时，为定值． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、绝对值方程以及化简绝对值等知识，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解本题的关键． 24．如果A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b，那么它们之间的距离AB＝|a﹣b|．如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣3和8，数轴上另有一个点P对应的数为x （1）点P、B之间的距离PB＝　 　． （2）若点P在A、B之间，则|x+3|+|x﹣8|＝　 　． （3）①如图2，若点P在点B右侧，且x＝12，取BP的中点M，试求2AM﹣AP的值． ②若点P为点B右侧的一个动点，取BP的中点M，那么2AM﹣AP是定值吗？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）|8﹣x|；（2）11；（3）①11；②2AM﹣AP是定值，. 【分析】（1）在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，依此即可求解； （2）根据点P在A、B之间可得﹣3＜x＜8，然后去绝对值符号求解即可； （3）①根据中点坐标公式求出点M对应的数，然后列式求2AM﹣AP即可； ②根据中点坐标公式求出点M对应的数，然后列式求2AM﹣AP即可． 【详解】解：（1）点P、B之间的距离， 故答案为：； （2）∵点P在A、B之间， ∴﹣3＜x＜8， ∴， 故答案为：11； （3）①∵B对应的数为8，P对应的数为12，点M是BP的中点， ∴M对应的数为＝10， ∴2AM﹣AP＝2×（10+3）﹣（12+3）＝11； ②设点P对应的数为x， ∵点M是BP的中点， ∴M对应的数为， ∴2AM﹣AP＝2×（+3）﹣（x+3）＝11， ∴2AM﹣AP是定值，． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的意义，读懂题目意思，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意数形结合思想在解题中的运用． 25．已知：b是最小的正整数，且a、b满足． (1)请求出a、b、c的值； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：；（写出化简过程） (3)在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，5 (2)当时，；当时， (3)不变， 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，绝对值的计算，数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；以及数轴上两点之间距离的计算方法． （1）根据最小的正整数时1，即可得出b的值，根据绝对值和平方的非负性，即可得出a和c是值； （2）根据题意进行分类讨论，①当时，②当时即可求解； （3）先得出t秒后，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为，再得出和的表达式，计算即可． 【详解】（1）解：∵最小的正整数是1， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：，1，5； （2）解：①当时，， ∴ ， ②当时，， ∴ ； （3）解：∵ ，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动， ∴t秒后，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不变，恒为2． 26．如图，在数轴上A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1)a＝ ，b＝ ； (2)点C在线段上一个动点其对应的数为x，请化简式子：．（写出化简过程） (3)点A、B分别以2个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点M从原点O以5个单位/秒的速度同时向右运动，请问的值是否随着运动时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1) (2) (3)不变，值为40 【分析】（1）根据若几个非负数之和为0，则每一个加数为0计算即可； （2）由题意得出，再根据绝对值的意义化简即可； （3）设点A、B、M运动t秒时的距离分别是2t、3t、5t，分别用含t的式子表示、、，然后计算式子的值，由此判断即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）由题意得，， ∴，，， ∴| ； （3）不变，值是40，理由： 由题意得点A、B、M运动t秒时的距离分别是、、，此时点A、B、M在数轴上的位置对应的数分别是、、， 则，，， ∴ t t ， 即的值不变，总等于40． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，非负数的性质，多项式的定值问题，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 27．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．    请用上面的知识解答下面的问题： 如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，满足，．    (1)______，______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数______表示的点重合； (3)点，，开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． 则______，______，______．（用含的代数式表示） (4)请问，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)， (2) (3)，， (4)的值是定值，不随着时间的变化而改变，理由见详解 【分析】（1）根据绝对值，平方数的非负性即可求解； （2）根据折叠的性质，中点的计算方法“”即可求解； （3）根据数轴上点的运动规律和数的表示方法“点的移动规律是左减右加，两点之间的距离是用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数”即可求解； （4）根据（3）中的值进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）解：点表示数，点表示数，点表示数，折叠使得点与点重合， ∴折点为， ∴， ∴点与数表示的点重合， 故答案为：． （3）解：点表示的数为，以每秒2个单位长度的速度向左运动，点表示的数为，以每秒个单位长度向右运动，点表示的数为，以每秒个单位长度向右运动，运动时间为t秒， ∴运动后点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，，， 故答案为：，，． （4）解： ． 【点睛】本题主要考查绝对值的非负性，平方数的非负性，数轴上有理数的表示，折叠的性质，中点的计算，两点之间距离的计算方法，理解并掌握数轴的特点，中点的计算，两点之间距离的计算方法是解题的关键． 28．已知是最小的正整数，且、满足，请回答：    (1)则______，______，______． (2)若点为一动点，其对应的数为，则的最小值为______． (3)、、分别对应的点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由，若不变，请求其值． 【答案】(1)，，； (2)6； (3)不变，2． 【分析】（1）根据绝对值的非负性求解，即可得到答案； （2）根据数轴上两点间的距离公式可知，可表示点到和的距离之和，据此即可求出最小值， （3）根据题意得到秒后，点、、对应的数分别为、、，再根据数轴上两点间的距离公式，得出，，即可得到答案． 【详解】（1）解：是最小的正整数， ， ， ，， ，， 故答案为：，，； （2）解：点为一动点，其对应的数为， 可表示点到和的距离之和， 当时有最小值，此时， 故答案为：6； （3）解：不变，理由如下， 由题意可知，秒后，点、、对应的数分别为、、， ，， ， 的值不随着时间的变化而改变，其值为2． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，数轴上两点间的距离公式，数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点间的距离公式时解题关键． 29．已知点在数轴上对应的数为、点对应的数为，且．、之间的距离记作，定义：． (1)求线段的长； (2)设点在数轴上对应的数为，当，求的值； (3)若点在的左侧，、分别是、的中点，当在的左侧移动时，下列两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断出正确结论，并求其值． 【答案】(1)6 (2) (3)的值不变，值为3，理由见解析 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性可求出，，再根据数轴上两点的距离公式求解即可； （2）分类讨论：当在点左侧时、当在点右侧时和当在点、之间时求解即可； （3）根据、分别是、的中点，可分别求出点和表示的数，进而可求出和，再求出和即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：分三种情况： 情况1：当在点左侧时，如图， ∴； 情况2：当在点右侧时，如图， ， ∴上述两种情况的点不存在； 情况3：当在点、之间时，如图， ∴． ∴， 解得：， 即所求； （3）解：的值不变，值为． 如图， ∵、分别是、的中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴，． ①， ∴的值是变化的； ②， ∴的值不变，值为3． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义等知识．本题渗透了分类讨论和数形结合的思想，利用分类讨论的思想体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 30．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c．b是最小的正整数，且a、c满足； (1)填空： __________， ___________， ___________； (2)点B静止不动，点A以每秒1个单位长度的速度在数轴上向左运动，同时点C以每秒3个单位长度的速度在数轴上向右运动．设t秒后，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①求BC的长．（用含t的代数式表示） ②问的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由；若不变，求出其值． 【答案】(1)，1，6 (2)①；②的值不随时间t的变化而变化，，理由见解析 【分析】（1）根据绝对值的非负性即可求出a、c，根据b是最小的正整数即可求出b； （2）①先求出运动t秒后点C表示的数，再根据数轴上两点距离公式求解即可；②用含t的式子求出，再计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵b是最小的正整数， ∴， 故答案为：，1，6； （2）解：①由题意得，运动t秒后，点C表示的数为， ∴； ②的值不随时间t的变化而变化，理由如下： 由题意得，运动t秒后，点A表示的数为， ∴， ∴， ∴的值不随时间t的变化而变化． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，数轴上两点距离公式，正确求出a、b、c的值是解题的关键． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$