黄金卷06（天津专用）-【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（天津专用） 黄金卷06 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 3．已知，那么大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 5．若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，只需要将的图象（    ）    A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 7．某校高三年级举行数学知识竞赛，并将100名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（    ） A．85 B．86 C．86.5 D．87 8．距今5000年以上的仰韶遗址表明，我们的先人们居住的是一种茅屋，如图1所示，该茅屋主体是一个正四棱锥，侧面是正三角形，且在茅屋的一侧建有一个入户甬道，甬道形似从一个直三棱柱上由茅屋一个侧面截取而得的几何体，一端与茅屋的这个侧面连在一起，另一端是一个等腰直角三角形.图2是该茅屋主体的直观图，其中正四棱锥的侧棱长为，点在正四棱锥的斜高PH上，平面ABC且.不考虑建筑材料的厚度，则这个茅屋（含甬道)的室内容积为（    ） A． B． C． D． 9．设，是双曲线：的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．记是虚数单位，复数满足，则= 11．已知，则 12．已知双曲线与抛物线的一个交点为为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为 ． 13．甲､乙两个箱子中各装有8个球，其中甲箱中有4个红球，4个白球，乙箱中有6个红球，2个白球.A同学从乙箱子中随机摸出3个球，则3个球颜色不全相同的概率是 .同学掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱子中随机摸出1个球，如果点数为，则从乙箱子中随机摸出1个球，那么B同学摸到红球的概率为 . 14．在平行四边形中，，，，若，设，，则可用，表示为 ；若点F为AD的中点，点P为线段BC上的动点，则的最小值为 ． 15．若函数有四个零点，则实数的取值范围为 . 三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（14分）已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的值和的面积． 17．（15分）如图，在四棱柱中，已知侧棱底面，侧面是正方形，与交于点，，，，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．（15分）已知椭圆C：的焦距是短轴长的倍，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆C交于A、B两点，与y轴交于点P，线段AB的垂直平分线与AB交于点M，与y轴交于点N，O为坐标原点，如果，求k的值. 19．（15分）已知数列中，，（）. (1)求数列的通项； (2)求数列的前n项和； (3)若对于，使得恒成立，求实数的取值范围. 20．（16分）已知函数， (1)讨论函数的单调性; (2)若函数有两个零点，且，曲线在这两个零点处的切线交于点，求证：小于和的等差中项; (3)证明: 试卷第2页，共22页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（天津专用） 黄金卷06 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 【答案】(1) (2)分类讨论，答案见解析. (3) 【分析】（1）当时，对求导，求出，由点斜式方程即可得出答案； （2）对求导，分类讨论，和，讨论与的大小，即可求出函数的单调性； （3）将不等式变形为，令，即在上单调递增，分类讨论和，使得在恒成立，求解即可. 【详解】（1）当时，，， 故，则， 故函数在处的切线方程为，即； （2）因为，， 则， 时，在，上为正，上为负， 所以的单增区间为，，单减区间为， 时，在上恒，所以在上单调递增， 时，在，上为正，上为负， 所以的单增区间为，，单减区间为， 综上：时，的单增区间为，，单减区间为， 时，在上单调递增， 时，的单增区间为，，单减区间为. （3）由，，变形为， 令，则在上单调递增， 其中，， 则， 若，此时在上恒成立， 则在上单调递增，满足要求， 若，此时要满足在恒成立， 令，对称轴为， 故要满足，解得， 综上：，即的取值范围是． 【点睛】关键点睛：本题第三问的关键点是将不等式变形为，令，将题意转化为在上单调递增，分类讨论和，使得在恒成立，求解即可. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．记是虚数单位，复数满足，则= 【答案】 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】利用复数除法求出复数，再利用共轭复数的定义求解即得. 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 11．已知，则 【答案】 【知识点】奇次项与偶次项的系数和 【分析】根据给定等式，利用赋值法列式计算即得. 【详解】令， 则，， 所以. 故答案为： 12．已知双曲线与抛物线的一个交点为为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、抛物线的焦半径公式 【分析】设，根据条件，利用抛物线的定义得到，进而得到，代入双曲线方程中，可得，即可求出结果. 【详解】因为抛物线的准线方程为，设， 因为，所以，得到，所以， 又在双曲线上，所以，得到， 故双曲线为，其渐近线方程为. 故答案为：. 13．甲､乙两个箱子中各装有8个球，其中甲箱中有4个红球，4个白球，乙箱中有6个红球，2个白球.A同学从乙箱子中随机摸出3个球，则3个球颜色不全相同的概率是 .同学掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱子中随机摸出1个球，如果点数为，则从乙箱子中随机摸出1个球，那么B同学摸到红球的概率为 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率 【分析】分析可知3个球颜色不全相同，则有2红1白或1红2白两种情况，根据古典概型分析求解；设相应事件，根据题意可知相应的概率，利用全概率公式运算求解. 【详解】若A同学从乙箱子中随机摸出3个球，则3个球颜色不全相同，则有2红1白或1红2白两种情况， 所以3个球颜色不全相同的概率为； 记“一枚质地均匀的骰子，点数为1或2”为事件，“B同学摸到红球”为事件， 则， 所以. 故答案为：；. 14．在平行四边形中，，，，若，设，，则可用，表示为 ；若点F为AD的中点，点P为线段BC上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 ； / 【知识点】用基底表示向量、数量积的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算求出；建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示列式，再利用增函数求出最小值. 【详解】在中，由，得； 由，得是矩形，以点为原点，直线分别为轴建立坐标系， 则，设，， 于是，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：； 15．若函数有四个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点、函数对称性的应用 【分析】分析可知关于直线对称，由对称性可知当时，有2个零点，令，化简整理可得：与在内只有一个交点，利用导数分析的单调性和极值，结合图象分析求解. 【详解】由题意可知：的定义域为， 且， 可知关于直线对称， 原题意等价于：当时，有2个零点，且，即， 若，则， 显然， 若时，令，可得， 令，可知与在内只有一个交点， 则，令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 且，又， 可得的图象如图所示， 由图象可知：或或，解得或或， 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是关于直线对称，根据对称性可得当时，有2个零点，这样可以去绝对值，把问题转化为常规问题. 三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（14分）已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的值和的面积． 【答案】(1) (2)， 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）利用平行向量的坐标关系得，结合正弦定理与角度关系，即可得角； （2）根据余弦定理求得边长，再利用面积公式求解即可. 【详解】（1）因为向量，，且 所以，由正弦定理得， 又，则，显然， 则，又，所以. （2）由余弦定理得， 整理得，解得或（舍）， 所以的面积. 17．（15分）如图，在四棱柱中，已知侧棱底面，侧面是正方形，与交于点，，，，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1） 根据空间向量法结合线面平行判定定理证明； （2）应用空间向量法求出线面角正弦值. 【详解】（1）    依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图）， 可得，，，，，，. 因为，，， 设为平面的法向量， 则即， 不妨令，可得为平面的一个法向量， ，则，又平面， 则平面； （2）因为，，， 设为平面的法向量， 则即， 不妨令，可得为平面的一个法向量， 则， 则直线与平面所成角的正弦值为. 18．（15分）已知椭圆C：的焦距是短轴长的倍，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆C交于A、B两点，与y轴交于点P，线段AB的垂直平分线与AB交于点M，与y轴交于点N，O为坐标原点，如果，求k的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由题意可得出关于的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆的方程； （2）由题可知，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，求出线段的垂直平分线的方程，可求得点的坐标，由可得，利用两点间的距离公式可求得的值. 【详解】（1）由题设得，解得，，， 所以椭圆的方程为. （2） 由，得， 由，得， 设、，则，， 所以点的横坐标，纵坐标， 所以直线的方程为， 令，则点的纵坐标，则， 因为，所以点、点在原点两侧， 因为，所以，所以， 又因为，， 所以，解得，所以. 19．（15分）已知数列中，，（）. (1)求数列的通项； (2)求数列的前n项和； (3)若对于，使得恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】错位相减法求和、根据数列的单调性求参数、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据条件得到，从而得出数列从第二项起，是以为首项，以为公比的等比数列，即可求出结果； （2）根据（1）中结果，得出时，，再利用错位相减法，即可求出时，，进而可求出结果； （3）将问题转化成，当时，，当时，通过构造，利用数列的单调性，得出，进而可求出结果. 【详解】（1）因为①， 当时，②， 由①②得，整理得到， 又由，当时，得到，即， 故数列从第二项起，是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即，又时，， 所以. （2）由（1）知，当时，， 当时，③， ④， 由③④得到， 整理得，又时，， 所以. （3）因为，等价于，当时，， 由（1）知，当时，， 设，则对恒成立， 所以，故当时，，又， 所以. 20．（16分）已知函数， (1)讨论函数的单调性; (2)若函数有两个零点，且，曲线在这两个零点处的切线交于点，求证：小于和的等差中项; (3)证明: 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导，结合函数定义域为，分参数，来讨论导函数的符号即可； （2）先根据导数的几何意义写出两条切线，联立切线得到的表达式，为证明题干只需证明，然后转化成双变量问题的不等式处理，接着通过换元：，把双变量问题转化成单变量问题解决； （3）利用（1）的结论进行辅助证明. 【详解】（1）的定义域为， 当时，，在上单调递减； 当时，令，又因为，可解得 单调递增， 单调递减； （2）因为函数有两个零点,而单调函数至多只有一个零点，根据（1）可知. ， 所以曲线在和处的切线分别是： . 联立两条切线解得：. 要证小于和的等差中项，即证，整理得： 由题意得 即证   令，即证. 令. 所以在单调递减，所以 所以得证，故小于和的等差中项得证. （3）由（1）知当时，所以，即  . 即当时，，将不等式累加后，得到： ， 即. 试卷第2页，共22页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（天津专用） 黄金卷06·参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B D B B D D. B B B 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 10． 11． 12． 13． 14. ； / 15. 三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（14分） 【答案】(1) (2)， 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）利用平行向量的坐标关系得，结合正弦定理与角度关系，即可得角； （2）根据余弦定理求得边长，再利用面积公式求解即可. 【详解】（1）因为向量，，且 所以，由正弦定理得， 又，则，显然， 则，又，所以. （2）由余弦定理得， 整理得，解得或（舍）， 所以的面积. 17．（15分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1） 根据空间向量法结合线面平行判定定理证明； （2）应用空间向量法求出线面角正弦值. 【详解】（1）    依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图）， 可得，，，，，，. 因为，，， 设为平面的法向量， 则即， 不妨令，可得为平面的一个法向量， ，则，又平面， 则平面； （2）因为，，， 设为平面的法向量， 则即， 不妨令，可得为平面的一个法向量， 则， 则直线与平面所成角的正弦值为. 18．（15分） 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由题意可得出关于的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆的方程； （2）由题可知，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，求出线段的垂直平分线的方程，可求得点的坐标，由可得，利用两点间的距离公式可求得的值. 【详解】（1）由题设得，解得，，， 所以椭圆的方程为. （2） 由，得， 由，得， 设、，则，， 所以点的横坐标，纵坐标， 所以直线的方程为， 令，则点的纵坐标，则， 因为，所以点、点在原点两侧， 因为，所以，所以， 又因为，， 所以，解得，所以. 19．（15分） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】错位相减法求和、根据数列的单调性求参数、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据条件得到，从而得出数列从第二项起，是以为首项，以为公比的等比数列，即可求出结果； （2）根据（1）中结果，得出时，，再利用错位相减法，即可求出时，，进而可求出结果； （3）将问题转化成，当时，，当时，通过构造，利用数列的单调性，得出，进而可求出结果. 【详解】（1）因为①， 当时，②， 由①②得，整理得到， 又由，当时，得到，即， 故数列从第二项起，是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即，又时，， 所以. （2）由（1）知，当时，， 当时，③， ④， 由③④得到， 整理得，又时，， 所以. （3）因为，等价于，当时，， 由（1）知，当时，， 设，则对恒成立， 所以，故当时，，又， 所以. 20．（16分） 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导，结合函数定义域为，分参数，来讨论导函数的符号即可； （2）先根据导数的几何意义写出两条切线，联立切线得到的表达式，为证明题干只需证明，然后转化成双变量问题的不等式处理，接着通过换元：，把双变量问题转化成单变量问题解决； （3）利用（1）的结论进行辅助证明. 【详解】（1）的定义域为， 当时，，在上单调递减； 当时，令，又因为，可解得 单调递增， 单调递减； （2）因为函数有两个零点,而单调函数至多只有一个零点，根据（1）可知. ， 所以曲线在和处的切线分别是： . 联立两条切线解得：. 要证小于和的等差中项，即证，整理得： 由题意得 即证   令，即证. 令. 所以在单调递减，所以 所以得证，故小于和的等差中项得证. （3）由（1）知当时，所以，即  . 即当时，，将不等式累加后，得到： ， 即. 试卷第2页，共22页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$