特训12 相似三角形解答压轴题（十二大题型，含在第1、3章的应用）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

特训012 相似三角形解答压轴题（十一大题型，含在第1、3章的应用） 目录： 题型1：传统解答证明题 题型2：旋转问题 题型3：翻折问题 题型4：相似三角形与二次函数—存在性问题 题型5：相似三角形与二次函数—动点问题 题型6：相似三角形与二次函数、圆 题型7：相似三角形在平面直角坐标系中的应用 题型8：相似三角形与圆 题型9：相似三角形与特殊平行四边形、圆 题型10：在坐标系解圆与相似三角形 题型11：情景探究题 题型12：图表素材题 题型1：传统解答证明题 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，点E，F分别为对边，的中点，线段交于点O，延长于点G，连结并延长交于点Q，连结交于点P，连结．    (1)若． ①求证：点Q为的中点； ②若，，求的长； (2)求证：平分； (3)若，求．（结果用含m的代数式表示） 【答案】(1)①见解析；② (2)见解析 (3) 【分析】 （1）①证明，求得，即可证明点Q为的中点； ②作于点，由平行线分线段成比例得到，求得，根据直角三角形的性质即可求解； （2）延长与的延长线交于点．证明，，由相似三角形的性质证明．再证明，据此即可证明结论成立； （3）证明，推出．作于点，于点，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【解析】（1）证明：①由题意，得与互相平分，平行且等于， 则， ∴， 又∵，． ∴，则， 即点为的中点； ②如图，作于点，    由题意，得， ∴， 由①得， ∴， ∵， 则，， ∴， ∴； （2）证明：如图，延长与的延长线交于点．    ∵， ∴，； 且，， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，则． （3）解：因为， 由，得， ∴， 同理， ∴． 作于点，于点，    ∴， 又由（2），得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，作出合适的辅助线构建全等三角形与等腰直角三角形是解本题的关键. 题型2：旋转问题 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）在中，，，是中线，一个以点D为顶点的角绕点D旋转，使角的两边分别与的延长线相交，交点分别为点E、F，与交于点M，与交于点N． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，邻补角的定义得到，于是得到，证明，根据全等三角形的性质即可的结论； （2）证得，根据相似三角形的性质得到，即； （3）过点D，E分别作，垂足分别为H，G，利用含30度的直角三角形及勾股定理求出，进而得到，证明，得到，即可求出，进而得出结果． 【解析】（1）证明：，，是中线， 是的角平分线， ， ， ， ， 在与中， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：如图，过点D，E分别作，垂足分别为H，G， ，，由（2）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 3．（23-24九年级下·浙江台州·期中）如图，在正方形中，是对角线上的动点(点不与点，重合)，线段绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在边上，线段与对角线交于点 (1)______；与的数量关系是______； (2)求证：； (3)令， ①求时的值； ②若正方形边长为，直接写出的最小值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①；② 【分析】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，确定圆的条件，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是添加辅助线，构造全等三角形． （1）由“”可证，可得，，通过证明是等腰直角三角形，可得，，由“”可证，可得，即可求解； （2）通过证明，可得，通过证明，可得 ，即可求解； （3）①先表示出，和，在证明基础上，代入求得结果； ②作于，作的外接圆，连接，，，作 于，设的半径为，求得，表示出，，根据列出，进一步得出结果． 【解析】（1）过点作于，交于；如图， ，四边形是正方形， ，， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，，， ，，， ， ， 线段绕点逆时针旋转， ， ， 又， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2），， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）将绕点逆时针旋转至，如图2， ，，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ①设，则，，，， 由（1）知：， ， ， ， ，舍去； ②作于，作的外接圆，连接，，，作 于，设的半径为，如图3， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值是． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图1所示，正方形绕正方形的顶点B逆时针旋转α度，与交于点H． (1)当，时，求的长； (2)如图2，连接，，； ①判断与的数量关系，并证明； ②当G，F，D三点共线时，延长交于点M，时，求的长． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）根据旋转的性质得出，设，则， 根据勾股定理可得：，列出方程求解即可； （2）①连接，通过证明，即可求解；②先证明，得出，设，则，推出，则，进而得出，在中，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可． 【解析】（1）解：∵正方形绕正方形的顶点B逆时针旋转α度，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：（舍）， ∴； （2）解：①连接， ∵四边形，四边形均为正方形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴，即； ②∵四边形，四边形均为正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 整理得：， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 令，则， 解得：（舍去）， ∴， 解得：（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确画出辅助线，构造相似三角形，掌握相似三角形的判定方法，以及相似三角形对应边成比例是解题的关键． 题型3：翻折问题 5．（2023·浙江衢州·中考真题）如图1，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连接并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)令，． ①求证：； ②如图2，连接，，分别交，于点，.记四边形的面积为，的面积为.当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）根据轴对称和矩形的性质，证明，即可解答； （2）过点作于，设，则，求得，再利用勾股定理，列方程即可解答； （3）①过点作于，连接，证明，可得，得到，即可解答； ②连接，证明，进而证明，进而证明，可得，再证明，得到，再得到，最后根据①中结论，即可解答． 【解析】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 四边形与关于所在直线成轴对称， ， ， ； （2）解：如图，过点作于， 设设，则， ， ， 四边形为矩形， ， 点为矩形的对称中心， ， ， 在中，， 可得方程， 解得（此时，故舍去0）， ；    （3）解：①证明：过点作于，连接， 点为矩形的对称中心， ，， ， ， ， ， ， ，即， ，， ；    ②如图，连接， 由题意可得, 点为矩形的对称中心， ， 同理可得， 由（1）知， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，由①可得， 解得， ， ， ．    【点睛】本题考查了四边形综合应用，涉及轴对称变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 题型4：相似三角形与二次函数—存在性问题 6．（23-24九年级上·山东济南·期末）综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，M是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)P为线段上的一个动点，过点P作轴于点D，D点坐标为，的面积为S． ①求的面积S的最大值． ②在上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①5；②存在，点P的坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）①利用待定系数法可得直线的解析式为，由题意得，运用二次函数的性质可求得答案； ②由于，不可能为直角，故分两种情况：当时，当时，分别求出点P的坐标即可． 【解析】（1）解：∵抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：①∵， ∴抛物线的顶点为 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为 由题意得，，其中， ∴，， ∵， ∴当时，S取得最大值为5； ②存在，理由如下： ∵， ∴，不可能为直角； 当时，则， ∴轴， ∴ 解得：， ∴点P的坐标为； 当时，过点P作轴于K，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴ 综上所述，当为直角三角形时，点P的坐标为或 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，直角三角形性质，三角形面积公式，相似三角形的判定和性质等；运用分类讨论的思想解决数学问题是解题关键． 7．（2024·浙江·模拟预测）如图所示，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最大值． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标． (3)若直线与（1）中所求的抛物线分别交于点M、N．问： ①是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． ②当时，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 (3)①存在值，使得，其值为或； ②当时，的取值范围是 【分析】（1）先根据抛物线，当时，取最大值，得到抛物线的顶点坐标为，可写出抛物线的顶点式，再根据抛物线的解析式求出的坐标，然后将的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是，即，可先求出的长，然后分情况讨论： ①当在线段上时，过点作轴，点为垂足．由，根据相似三角形性质求出的长，进而求出点的坐标； ②当在的延长线上时，由，根据相似三角形性质求出的长，进而求出点的坐标； （3）联立两函数的解析式，设直线与抛物线的交点为(在左侧)，则是方程的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，，进而求出． ①由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的方程，解方程即可求出的值； ②由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的不等式，解不等式即可求出的范围． 【解析】（1）解：∵抛物线， 当时，取最大值， ∴抛物线的解析式是：， 即； 当时，， 即点坐标是， 当时，，解得：或， 即点坐标是，点坐标是(2，． 将代入直线的解析式， 得， 解得：， 则直线的解析式是：； （2）过点作为垂足， ∵， ， ， 由勾股定理，得， ①当点为线段上一点时，过点作轴，点为垂足． ， ， ， ， ， ， ； ②当点在延长线时，作轴，点为垂足． ． ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 综上所述，点的坐标为或． （3）设直线与抛物线的交点为在左侧)． 则为方程组的解， 由方程组消去整理，得：， ∴是方程的两个根， ， ， ①存在的值，使得．理由如下： ， ， 即， 化简得， ， 整理，得， 解得， ∴存在值，使得，其值为或； ②∵， 即， 化简得， ， 整理，得， 解得， ∴当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，相似三角形的性质和判定，函数与方程的关系，勾股定理，钝角三角形三边的关系等知识，综合性较强，难度较大．运用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键． 题型5：相似三角形与二次函数—动点问题 8．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，已知抛物线与直线交于点，，点是抛物线上，A之间的一个动点，矩形的两个顶点、在直线上，点在点右侧． (1)求抛物线的解析式； (2)当轴时，设点的坐标为，求关于的函数关系式； (3)当点与点重合时，若矩形的邻边之比为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式求得的值；然后把点A的坐标代入二次函数解析式求出的值，即可得到答案； （2）根据点的坐标，表示出点的坐标，点的坐标，从而可表示点的坐标，将点的坐标代入抛物线解析式可求出，之间的关系式； （3）设，当时，过作轴交轴于，过作轴交轴于，交于，由∽，可求出，，故，又在直线上，有，可解得； 当时，过作轴交轴于，过作轴于，交于，同理可得． 【解析】（1）解：∵点在直线上， ， 解得：， ， 点是抛物线上的一点， ， 解得：， 抛物线解析式为； （2）解：如图， 直线的解析式为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为， 把点代入得： ， 、之间的关系式为； （3）解：设， 当时，过作轴交轴于，过作轴交轴于，交于，如图： ，， ，， ， ， ， ，， ，， ， 在直线上， ， 解得此时与重合，舍去或， ； 当时，过作轴交轴于，过作轴于，交于，如图： 同可得， 代入得：， 解得舍去或， ； 综上所述，点在点右侧，点与点重合时，若矩形的邻边之比为，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，动点问题，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 题型6：相似三角形与二次函数、圆 9．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标． (3)如图3，连结，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连结，在点P运动过程中，中是否存在一个内角，使其等于，若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，P的横坐标为：或3或或或5 【分析】（1）点A坐标为代入，得，即可作答． （2）令，得或，再令，则，根据，利用两点距离公式列式计算，即可作答． （3）分类讨论：、和，注意结合图象性质以及灵活作出正确的辅助线，勾股定理、相似三角形、全等三角形的性质与判定等，即可作答． 【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，且点A坐标为， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为： （2）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ∴令，即 解得或， 令，则， ∴， 设点D的坐标为，由题可知，， ∴ 解得， ∴ （3）解：存在，理由如下：在中，， 根据题意，中是否存在一个内角，使其等于，需要分以下三种情况： ①当时，如图3-1，过点C作于点E，过点E作轴于点F，过点B作轴交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ 设，则， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵ 设直线的解析式为 把点和点的坐标代入， 得 解得， ∴直线的解析式为：， 令 解得（舍）或； ②当时， 当点P在上方时，如图3-2，此时轴， ∴令 解得； 当点P在x轴下方时，如图3-3，设与x轴交于点H， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得，， 即， 解得 ∴ 设直线的解析式为 把点和点的坐标代入， 得 解得 ∴直线的解析式为： 令 解得（舍）或 ③当时，如图3-4，过点B作交的延长线于点M，过点B作轴，分别过点M，P作x轴的平行线，交于点N，G， ∴ ∴ ∴， ∴ 设点P的横坐标为，则 ∴，， ∴ ∴ 设直线的解析式为 把点和点的坐标代入， 得 解得 ∴直线的解析式为： 将点M的坐标代入上述解析式，可得 整理得， 即， ∴或（因为，舍去）或 综上，符合题意，P的横坐标为：或3或或或5 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合：涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的性质与判定、勾股定理，全等三角形的性质与判定等内容，难度大，综合性强，学会正确作辅助线以及分类讨论是解决（3）的关键． 题型7：相似三角形在平面直角坐标系中的应用 10．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图1，平面直角坐标系中，，且、满足 ． (1)求、两点的坐标； (2)如图2，点在线段上（不与端点、重合），点在线段上（不与端点、重合），连，过作的垂线交于，若 ，设点横坐标为，求点横坐标（用含的代数式表示）． (3)如图3，在（2）的条件下，连，点是中点，，交于点，连，若 ，求的长． 【答案】(1)， (2)点的横坐标为 (3) 【分析】（1）由条件可得，求出，的值，则，两点的坐标可求出； （2）过点作于点，证明，设，则，得出方程可求出，则点的横坐标可求出； （3）求出直线的解析式，由（2）可知，由可求出，则，则的长可求出． 【解析】（1）解：， ， ，， ，， ，； （2）解：过点作于点， 点横坐标为，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， 即点的横坐标为； （3）解：，， 设直线的解析式为， ， 解得． 直线的解析式为， 由（2）可得， ，， ，， ， ， ， 解得（负值舍去）， 点是中点，， 是的中点， ，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了非负数的性质、相似三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、待定系数法、两点间的距离等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 题型8：相似三角形与圆 11．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，为半圆的直径，点为半圆弧上一点，于点，在上截取，连结，，与相交于点．    (1)求证：； (2)若，， ①求的长； ②如图2，连结，与相交于点，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据圆周角定理求出，，根据直角三角形两锐角互余的性质求出，等量代换得出，根据等腰三角形的判定即可求出； （2）根据垂径定理求出，，利用证明≌，根据全等三角形的性质得出，根据线段的和差求出，设，则，根据勾股定理求解即可； 连结，，与相交于点根据垂径定理求出，，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，根据等腰三角形的判定与性质求出，进而推出是的中位线，根据三角形中位线的性质得出，，即可判定∽，根据相似三角形的性质求解即可． 【解析】（1）证明：如图，连结．    ， ， 为半圆的直径， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连结，交于点．    ，， ，， ，， ≌， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 即， 如图，连结，，与相交于点．    ， ， 由可知，，， 设，则， 在中，， ， 解得， ， 为半圆的直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ∽， ， ． 【点睛】此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的判定与性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 12．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，为的直径，点为上一点，连结，，，过点作，交于点． (1)如图①，已知，求的度数． (2)如图①，已知，，求的长． (3)如图③，延长交于点，连结． ①探索并用等式表示线段，，之间的数量关系，说明理由； ②若，．求的半径． 【答案】(1) (2) (3)①，见解析；②或 【分析】（1）根据垂直，平角的性质可得，因为，可得，所以，根据三角形内角和定理即可求解； （2）如图所示，延长交于，连结，，可证，在中由勾股定理可得，根据，，可得，由此即可求解； （3）①根据圆周角定理可得，如图所示，连结并延长交的延长线于点，根据内接四边形的性质，三角形内角和定理可得， ，根据等角对等边可得，，由等腰直角三角形的性质可得，由此即可求解；②设，由①知，根据题意可证，可得，在中，根据勾股定理解得：或，当时，当时，由勾股定理可得的值，由此即可求解． 【解析】（1）解：，，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图所示，延长交于，连结，， 是的直径， ， ∵， ∴， ， ， ， ，， ； （3）解：①， ， 如图所示，连结并延长交的延长线于点， 为的直径， ， ∴， 在中，， ， ，， ，即； ②设， ，， 由①知， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ，整理得，， ∴， 解得：或， 当时，， ∴， ∴的半径为； 当时，， ∴， ∴的半径为； 的半径为或． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角，直径所对圆周角等于90度，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合是解题的关键． 题型9：相似三角形与特殊平行四边形、圆 13．（2024·浙江台州·二模）如图1，在正方形中，点E在上（不与点B，C重合），点F在边上，，连接交于点M． (1)求证：； (2)如图2，连接与交于点G，连接交于点H． ①求证：； ②当时，求的值； (3)如图3，若E是的中点，以点B为圆心，为半径作，P是上的一个动点，连接交于点N，则的最大值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② (3)2 【分析】（1）证明，则，利用互余关系即可证明； （2）①证明，则，再由（1）的证明即可证明； ②分别过G、H作的垂线，垂足分别为K、Q；设，则可得，则可得，由相似三角形的性质得，进而得，则由勾股定理可分别求得，从而求得结果； （3）延长交于点W，过P作于Y，过P作交射线于点J；易证，则，从而，当最大时，最大；证明，则可得，当最大时，最大，此时点P与点W重合，Y与M重合；由面积关系求出，则可得的值，最后求得结果； 【解析】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 即， ； （2）①证明：四边形是正方形， ， ， ， ， 再由（1）的证明知：， ， 即； ②解：如图，分别过G、H作的垂线，垂足分别为K、Q； 则； ∵四边形为正方形， ， ， ， 设， 由①知，， ， ， ； ， ， ， ， 即， ； ， ， ， 即， 由勾股定理得：，； ， ， ， 又由（1）知，， 由勾股定理得， ； （3）解：如图，延长交于点W，过P作于Y，过P作交射线于点J； ， ， ， ， 则当最大时，最大； ，， ， ； ， ， ； ∵点E是的中点，， ， 由勾股定理得， ， 即， 上式表明：当最大时，最大，从而最大； 此时点P与点W重合，Y与M重合； ， ， 则， ， 的最大值为； 故答案为：2． 【点睛】本题是正方形的综合，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，圆上点到切线的距离最大为直径等知识，综合性较强，构造适当的辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键． 题型10：在坐标系解圆与相似三角形 14．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A坐标为，点B坐标为，在射线上截取一点C， 连接， 使， 作的外接圆交x轴于点D， 连接， 作 垂直交射线于点E， 作 的外接圆交y轴于点F． (1)如图1，当B在之间时，求证：； (2)如图2，当B在延长线上时，连接，请判断的形状，并说明你的理由； (3)当 时，直接写出t的值． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 (3)或 【分析】题目主要考查圆与三角形综合问题，包括圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据等边对等角得出，再由圆周角定理及等量代换即可证明； （2）连接，根据圆周角定理确定，与（1） 中同理可得，即，再由等量代换及等角对等边即可证明； （3）分两种情况分析：当点D在点Q下方时，当点Q在点D下方时，分别利用相似三角形的判定和性质，圆周角定理及勾股定理解三角形求解即可． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：是等腰三角形，理由如下： 连接， ∴， 与（1） 中同理可得，即， ∵， ∴， ∴， ， 又, ， ∴， ∴， 即是等腰三角形； （3）解：∵，设， ∴，，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图所示，过点E作于点T， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，整理得：， ，即，整理得：， 联立①②得：， ∴； 当点Q在点D的下方时，如图所示： 同理得：，，， 设， 同理得， 如图所示，过点E作于点T， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，整理得：， ，即，整理得：， 联立①②得：， ∴； 综上可得：或 ． 题型11：情景探究题 15．（2024·浙江绍兴·二模）【特例发现】 正方形与正方形如图1所示放置，，，三点在同一直线上，点在边上，连结，．通过推理证明，我们可得到两个结论：①；②．    【旋转探究】 将正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度到图2所示的位置，则在“特例发现”中所得到的关于与的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．    【迁移拓广】 如图3，在矩形与矩形中，若，．连结，．探索线段与线段存在怎样的数量关系和位置关系？为什么？    【联想发散】如图4，与均为正三角形，连结，．则线段与线段的数量关系是______；直线与直线相交所构成的夹角中，较小锐角的度数为______．      【答案】【旋转探究】结论仍然成立．证明见解析；【迁移拓广】有结论：①；②．理由见解析；【联想发散】，． 【分析】【旋转探究】根据正方形的性质易证，得出，延长与、交于点I、H，利用角的转化得出，从而结论得证； 【迁移拓广】 根据矩形的性质及条件“，”，易证，得出，，设和的交点为M，与的交点为N，利用角的转化得出，从而得到结论； 【联想发散】 延长交的延长线于点，交于点．证明，推出，，利用角的转化得出，可得结论． 【解析】【旋转探究】 结论仍然成立． 证明：如图，延长与、交于点I、H，   ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， 且； 【迁移拓广】 解：，．理由如下： 四边形与四边形都为矩形， ， ， ，， ， ， ，， ， 如图，设和的交点为M，与的交点为N，   ，，， ， ， ． 【联想发散】 解：如图，延长交的延长线于点，交于点．   ，都是等边三角形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ，直线与直线相交所成较小角的度数是． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，旋转的性质等，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． 题型12：图表素材题 16．（23-24九年级上·浙江金华·期中）探究解决以下问题： 探究1 如图1，该兴趣小组在纸上画了一个圆，随机在圆上取5个点A，B，C，D，E，连结得到一个五角星，小组同学经过讨论，提出猜想：认为五角星的五个角之和为，即．                  探究2 如图2，兴趣小组继续探讨，在边长为4的正六边形中取五个顶点A，B，C，D，E，连结得到一个五角星，发现这个五角星的形状大小是唯一确定的，因此可求出这个五角星的面积．                  探究3 如图3，兴趣小组深入探讨，连结边长为4的正五边形的顶点A，B，C，D，E，得到一个5个角都相等的正五角星，小组同学想尝试探究正五角星和正五边形之间的联系．                  问题解决 任务1 如图1，求证：． 任务2 如图2，求五角星的面积． 任务3 如图3，求：①的长；②正五角星与正五边形的面积之比． 【答案】任务1：证明见解析；任务2：；任务3：①；② 【分析】（1）设与分别相交于点G、F，利用三角形外角的性质得及，在中由三角形内角和即可证明； （2）作正六边形的外接圆，连接、，易得对角线都经过圆心O；设分别交于点K、L，分别交于点G、I，证明四边形是菱形，则可得的长，从而求得，进而求得的长，这样可分别求得的面积，其和便是所求五角星的面积； （3）①作正五边形的外接圆，证明，由相似三角形的性质得，进而求得的长； ②设，由①知，则可得，从而求得 ；利用全等三角形面积相等可求得，因此可求得正五边形的面积及正五角星的面积，最后可求得其比值． 【解析】任务1：证明：如图1，设与分别相交于点G、F， ∵， ∴， ∵， ∴． 任务2：解：如图2，作正六边形的外接圆，连接、， ∵， ∴，， ∴对角线都经过圆心O， 设分别交于点K、L，分别交于点G、I， ∵都是等边三角， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理求得， ∴ ， ∴五角星的面积为． 任务3：解：①如图3，作正五边形的外接圆， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴的长是． ∴②设， ∵由①知， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正五角星与正五边形的面积之比是． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，多边形的内角和、三角形外角的性质等知识，有较强的综合性，灵活运用这些知识是关键． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训012 相似三角形解答压轴题（十二大题型，含在第1、3章的应用） 目录： 题型1：传统解答证明题 题型2：旋转问题 题型3：翻折问题 题型4：相似三角形与二次函数—存在性问题 题型5：相似三角形与二次函数—动点问题 题型6：相似三角形与二次函数、圆 题型7：相似三角形在平面直角坐标系中的应用 题型8：相似三角形与圆 题型9：相似三角形与特殊平行四边形、圆 题型10：在坐标系解圆与相似三角形 题型11：情景探究题 题型12：图表素材题 题型1：传统解答证明题 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，点E，F分别为对边，的中点，线段交于点O，延长于点G，连结并延长交于点Q，连结交于点P，连结．    (1)若． ①求证：点Q为的中点； ②若，，求的长； (2)求证：平分； (3)若，求．（结果用含m的代数式表示） 题型2：旋转问题 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）在中，，，是中线，一个以点D为顶点的角绕点D旋转，使角的两边分别与的延长线相交，交点分别为点E、F，与交于点M，与交于点N． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立； (3)若，，求的长． 3．（23-24九年级下·浙江台州·期中）如图，在正方形中，是对角线上的动点(点不与点，重合)，线段绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在边上，线段与对角线交于点 (1)______；与的数量关系是______； (2)求证：； (3)令， ①求时的值； ②若正方形边长为，直接写出的最小值． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图1所示，正方形绕正方形的顶点B逆时针旋转α度，与交于点H． (1)当，时，求的长； (2)如图2，连接，，； ①判断与的数量关系，并证明； ②当G，F，D三点共线时，延长交于点M，时，求的长． 题型3：翻折问题 5．（2023·浙江衢州·中考真题）如图1，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连接并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)令，． ①求证：； ②如图2，连接，，分别交，于点，.记四边形的面积为，的面积为.当时，求的值． 题型4：相似三角形与二次函数—存在性问题 6．（23-24九年级上·山东济南·期末）综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，M是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)P为线段上的一个动点，过点P作轴于点D，D点坐标为，的面积为S． ①求的面积S的最大值． ②在上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 7．（2024·浙江·模拟预测）如图所示，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最大值． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标． (3)若直线与（1）中所求的抛物线分别交于点M、N．问： ①是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． ②当时，直接写出a的取值范围． 题型5：相似三角形与二次函数—动点问题 8．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，已知抛物线与直线交于点，，点是抛物线上，A之间的一个动点，矩形的两个顶点、在直线上，点在点右侧． (1)求抛物线的解析式； (2)当轴时，设点的坐标为，求关于的函数关系式； (3)当点与点重合时，若矩形的邻边之比为，求点的坐标． 题型6：相似三角形与二次函数、圆 9．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标． (3)如图3，连结，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连结，在点P运动过程中，中是否存在一个内角，使其等于，若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 题型7：相似三角形在平面直角坐标系中的应用 10．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图1，平面直角坐标系中，，且、满足 ． (1)求、两点的坐标； (2)如图2，点在线段上（不与端点、重合），点在线段上（不与端点、重合），连，过作的垂线交于，若 ，设点横坐标为，求点横坐标（用含的代数式表示）． (3)如图3，在（2）的条件下，连，点是中点，，交于点，连，若 ，求的长． 题型8：相似三角形与圆 11．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，为半圆的直径，点为半圆弧上一点，于点，在上截取，连结，，与相交于点．    (1)求证：； (2)若，， ①求的长； ②如图2，连结，与相交于点，求的面积． 12．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，为的直径，点为上一点，连结，，，过点作，交于点． (1)如图①，已知，求的度数． (2)如图①，已知，，求的长． (3)如图③，延长交于点，连结． ①探索并用等式表示线段，，之间的数量关系，说明理由； ②若，．求的半径． 题型9：相似三角形与特殊平行四边形、圆 13．（2024·浙江台州·二模）如图1，在正方形中，点E在上（不与点B，C重合），点F在边上，，连接交于点M． (1)求证：； (2)如图2，连接与交于点G，连接交于点H． ①求证：； ②当时，求的值； (3)如图3，若E是的中点，以点B为圆心，为半径作，P是上的一个动点，连接交于点N，则的最大值为 ． 题型10：在坐标系解圆与相似三角形 14．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A坐标为，点B坐标为，在射线上截取一点C， 连接， 使， 作的外接圆交x轴于点D， 连接， 作 垂直交射线于点E， 作 的外接圆交y轴于点F． (1)如图1，当B在之间时，求证：； (2)如图2，当B在延长线上时，连接，请判断的形状，并说明你的理由； (3)当 时，直接写出t的值． 题型11：情景探究题 15．（2024·浙江绍兴·二模）【特例发现】 正方形与正方形如图1所示放置，，，三点在同一直线上，点在边上，连结，．通过推理证明，我们可得到两个结论：①；②．    【旋转探究】 将正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度到图2所示的位置，则在“特例发现”中所得到的关于与的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．    【迁移拓广】 如图3，在矩形与矩形中，若，．连结，．探索线段与线段存在怎样的数量关系和位置关系？为什么？    【联想发散】如图4，与均为正三角形，连结，．则线段与线段的数量关系是______；直线与直线相交所构成的夹角中，较小锐角的度数为______．      题型12：图表素材题 16．（23-24九年级上·浙江金华·期中）探究解决以下问题： 探究1 如图1，该兴趣小组在纸上画了一个圆，随机在圆上取5个点A，B，C，D，E，连结得到一个五角星，小组同学经过讨论，提出猜想：认为五角星的五个角之和为，即．                  探究2 如图2，兴趣小组继续探讨，在边长为4的正六边形中取五个顶点A，B，C，D，E，连结得到一个五角星，发现这个五角星的形状大小是唯一确定的，因此可求出这个五角星的面积．                  探究3 如图3，兴趣小组深入探讨，连结边长为4的正五边形的顶点A，B，C，D，E，得到一个5个角都相等的正五角星，小组同学想尝试探究正五角星和正五边形之间的联系．                  问题解决 任务1 如图1，求证：． 任务2 如图2，求五角星的面积． 任务3 如图3，求：①的长；②正五角星与正五边形的面积之比． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$