特训13 相似三角形 单元综合复习（十四大题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

特训13 相似三角形 单元综合复习（十四大题型） 目录： 题型1：成比例线段、比例的基本性质 题型2：比例尺及其应用 题型3：比例中项 题型4：黄金分割 题型5：平行线分线段成比例 题型6：相似多边形 题型7：相似三角形的性质 题型8：相似三角形的判定 题型9：相似三角形的判定与性质 题型10：重心的性质 题型11：图形的位似 题型12：相似三角形的实际应用 题型13：相似三角形的综合应用 题型14：解答题 题型1：成比例线段、比例的基本性质 1．下列各组线段中，成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．若，则= ． 3．已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 4．如果，那么 ． 题型2：比例尺及其应用 5．已知甲乙两地的距离为500米，画在地图上的距离为，那么在地图上距离为的A，B两地的实际距离为 千米． 6．在比例尺为的长春市地图上，A中学和B中学的图上距离是，则这两所学校的实际距离是 ． 7．A城市的新区建设规划图上，新城区的南北长为120cm，而该新城区的实际南北长为6km，则新区建设规划图所采用的比例尺是 . 题型3：比例中项 8．已知b是a、c的比例中项，且a＝3cm，c＝6cm，则b＝ cm． 9．线段是线段、的比例中项，且，，则长为 ． 10．已知，那么a、b的比例中项等于 ． 题型4：黄金分割 11．已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，若AB=1，则AP的长为 ． 12．线段，为的黄金分割点，且，则 ． 13．已知：点是线段的黄金分割点，且，那么下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型5：平行线分线段成比例 14．如图，DE∥BC，那么= . 15．如图，已知，如果，，那么的长等于 ． 16．如图，已知，，，，那么线段的长度等于 ．    17．如图，CD＝3BD，AF＝FD，则AE：AC＝ ． 18．如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则 ． 题型6：相似多边形 19．若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为 20．如图，四边形四边形，若，，则的度数为 ．    21．如图，把一张矩形纸片平均分成3个矩形，若每个小矩形都与原矩形相似，则原矩形纸片的宽与长之比为 ． 题型7：相似三角形的性质 22．若两个相似三角形的相似比是2：3，则它们的对应高线的比是 ． 23．如图，在中，，，，则与的面积之比为 ．    24．若，与的相似比为，则为（ ） A．2:3 B．9:4 C．4:9 D．3:2 25．如图，在中，D、E分别是上的点，且，如果，那么（    ）    A． B． C． D． 题型8：相似三角形的判定 26．以下命题属于假命题的是（　　） A．有一个角是的两个等腰三角形相似 B．有一个角是的两个等腰三角形相似 C．有一个角是的两个等腰三角形相似 D．三边对应成比例的两个等腰三角形相似 27．以下条件不可以判定与相似的是（ ） A． B．，且’ C．’，’ D．，且’ 28．如图，不能使得成立的条件是（   ）    A． B． C． D． 29．如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个． 题型9：相似三角形的判定与性质 30．△中，，，，点D、E分别在边、上，如果，，那么的长是（   ） A． B． C． D． 31．如图，中，为上一点，，，，则 ． 32．如图，已知，，，，则 ． 33．如图，在中，的平分线分别交于，那么 ． 34．如图，在平行四边形中，E是边延长线上一点，与边相交于点，如果，那么 ． 题型10：重心的性质 35．，，，为重心，则 ． 36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足是H，则GH的长为 ． 37．在中，是重心，点是的中点，若的面积为，则的面积 ． 38．如图，点G是的重心，，交于点F，则 ，等于 ． 39．如图，在平面直角坐标系中，点 A（-2，3），点 B 在 x 轴负半轴，AO=AB，点 M 为△OAB的重心，若将△OAB绕着点 O 顺时针旋转 90°，则旋转后三角形的重心的坐标为 ． 题型11：图形的位似 40．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角是等腰直角以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，C在上，则点坐标为（　　） A． B． C． D． 41．如图，与位似，点为位似中心，已知，且的面积为4，则的面积为（    ） A．8 B．10 C．16 D．36 42．如图，中，直角边落在x轴的负半轴上，点A的坐标是，以O为位似中心，按比例尺把缩小，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 43．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在点的同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为，则点的坐标为 ． 题型12：相似三角形的实际应用 44．如图，在A时测得某树的影长为4米，在B时测得该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为 米. 45．《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西五里，南北九里，各开中门，出东门十里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形，东边城墙长9里，南边城墙长5里，东门点，南门点分别位于的中点，里，经过点，则的长为 里． 46．某数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．求宝塔的高度为 米． 题型13：相似三角形的综合应用 47．如图，是的直径，点为圆上一点，，是的中点，与交于点，若，则的长为 ． 48．如图，在中，，为的角平分线，点在的延长线上，于点，点在上，，连接交于点．若点是的中点，则的值为 ． 49．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，点C为平面内一动点，，连接，点M是线段上的一点，且满足，则的最大值为 ． 50．如图是一边长为6的菱形纸片，将纸片沿折叠，使点落在边上，点A，的对应点分别为点，，交于点．若，，则与相等的角是 （写出一个即可），的长为 ． 51．如图，四边形是正方形，点在边上，是以为直角顶点的等腰直角三角形，，分别交于点，，过点作的垂线交的延长线于点．连接，若，，则 ． 题型14：解答题 52．已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 53．如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长． 54．如图，在中，，，的平分线交于点． (1)求证：； (2)若，①求的长；②求的长． 55．如图，，，三点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图． (1)在图1中以点为位似中心，作线段的位似图形，使其长度为的2倍． (2)已知的三边比为，在图2中画格点，使与相似． 56．如图， 已知正方形 的边长为4， 点 M， N分别是 ， 上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直． (1)求证：； (2)当M为中点时， 求的面积． 57．如图，在锐角中，是最短边．以为直径的，交于D，过O作，交于E，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的度数； (3)若，，求的长． 58．如图所示，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最大值． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标． (3)若直线与（1）中所求的抛物线分别交于点M、N．问： ①是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． ②当时，直接写出a的取值范围． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训13 相似三角形 单元综合复习（十四大题型） 目录： 题型1：成比例线段、比例的基本性质 题型2：比例尺及其应用 题型3：比例中项 题型4：黄金分割 题型5：平行线分线段成比例 题型6：相似多边形 题型7：相似三角形的性质 题型8：相似三角形的判定 题型9：相似三角形的判定与性质 题型10：重心的性质 题型11：图形的位似 题型12：相似三角形的实际应用 题型13：相似三角形的综合应用 题型14：解答题 题型1：成比例线段、比例的基本性质 1．下列各组线段中，成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段，熟练掌握比例线段的定义是解答本题的关键． 根据比例线段的定义：对四条线段，，，，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，则这四条线段是成比例线段，简称比例线段．选项中只有是比例线段，由此选出答案． 【解析】解：选项中，，所以，，，成比例线段，故此选项符合题意； 选项中，，所以，，，不成比例线段，故此选项不符合题意； 选项中，，所以，，，不成比例线段，故此选项不符合题意； 选项中，，所以，，，不成比例线段，故此选项不符合题意； 故选：． 2．若，则= ． 【答案】/0.75 【分析】根据设，，把，代入，即可求出答案． 【解析】解：设，， 所以 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质和求分式的值，解题的关键是能选择适当的方法求解． 3．已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入即可求解． 【解析】解：设， , 故选：A． 4．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据可得，再通过移项得到的值，熟知比例的性质是解题的关键． 【解析】解：根据， 可得， ， 即， 故答案为：． 题型2：比例尺及其应用 5．已知甲乙两地的距离为500米，画在地图上的距离为，那么在地图上距离为的A，B两地的实际距离为 千米． 【答案】 【分析】本题主要考查了地图上距离的比值等于实际距离的比值．根据地图上距离的比值等于实际距离的比值即可求解． 【解析】解：设、两地的实际距离为千米． 根据题意得到：， 解得：千米． 故答案为：． 6．在比例尺为的长春市地图上，A中学和B中学的图上距离是，则这两所学校的实际距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的定义．根据比例尺=图上距离：实际距离，列出比例式直接求解即可． 【解析】解：设A中学和B中学的实际距离是，则： ， ∴， ∵， ∴两所学校的实际距离是， 故答案为：． 7．A城市的新区建设规划图上，新城区的南北长为120cm，而该新城区的实际南北长为6km，则新区建设规划图所采用的比例尺是 . 【答案】1:5000 【分析】根据比例尺是图上距离与实际距离的比值即可求解． 【解析】∵图上距离为120cm，实际距离为6km=600000cm， ∴新区建设规划图所采用的比例尺=120：600000=1：5000． 故答案为1：5000． 【点睛】本题考查了比例尺的定义，熟知比例尺是图上距离与实际距离的比值是解题的关键. 题型3：比例中项 8．已知b是a、c的比例中项，且a＝3cm，c＝6cm，则b＝ cm． 【答案】3 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解． 【解析】解：∵b是a、c的比例中项， ∴b2＝ac，即b2＝3×6， 解得b＝±3（线段是正数，负值舍去）， ∴a和c的比例中项b＝3cm． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了比例线段，理解比例中项的概念是本题的关键，注意线段不能是负数．如果b是a、c的比例中项，那么b2＝ac. 9．线段是线段、的比例中项，且，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，列出方程是解决问题的关键． 【解析】解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， ∴， 故答案为：． 10．已知，那么a、b的比例中项等于 ． 【答案】 【分析】设，的比例中项是，则，代入进行计算即可求解． 【解析】解：设，的比例中项是，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，根据题意列出式子是解题的关键． 题型4：黄金分割 11．已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，若AB=1，则AP的长为 ． 【答案】/ 【分析】根据P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，可得，即可求解． 【解析】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，根据题意得到是解题的关键． 12．线段，为的黄金分割点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段与较短线段的比等于整个线段与较长线段的比，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，再求出的长即可． 【解析】解：如图， 线段，为的黄金分割点且， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．已知：点是线段的黄金分割点，且，那么下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．由黄金分割点的定义得，即可得出结论． 【解析】解：∵点C为线段的黄金分割点，且， ∴， 故选项D符合题意， 故选：D． 题型5：平行线分线段成比例 14．如图，DE∥BC，那么= . 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理及推论分别得出等式求出即可． 【解析】 DE∥BC， ∴= 故答案为. 【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理及推论，熟练掌握其推论是解题关键． 15．如图，已知，如果，，那么的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，进而即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，已知，，，，那么线段的长度等于 ．    【答案】 【分析】由平行可得到，代入可求得，再根据线段的和可求得． 【解析】解：， ，即， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 17．如图，CD＝3BD，AF＝FD，则AE：AC＝ ． 【答案】1：5 【分析】作DH∥BE，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，得到AE＝EH，CH＝3EH，得到答案． 【解析】过点D作DH∥BE交AC于H， ∵DH∥BE， ∴，， ∴AE＝EH，CH＝3EH， ∴AE：AC＝1：5， 故答案为：1：5． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 18．如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则 ． 【答案】3 【分析】根据直角三角形的性质得到AB=10，利用勾股定理求出AC，再说明DE∥AC，得到，即可求出DE． 【解析】解：∵∠ACB=90°，点D为AB中点， ∴AB=2CD=10， ∵BC=8， ∴AC==6， ∵DE⊥BC，AC⊥BC， ∴DE∥AC， ∴，即， ∴DE=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解题的关键是通过平行得到比例式． 题型6：相似多边形 19．若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为 【答案】 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算． 【解析】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴两个相似多边形的相似比为， ∴两个相似多边形的周长比两个相似多边形的相似比为. 故答案为：． 20．如图，四边形四边形，若，，则的度数为 ．    【答案】100 【分析】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可． 【解析】∵四边形四边形， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】考查了相似多边形的性质，解题的关舞是了解相似多边形的对应角相等，难度不大． 21．如图，把一张矩形纸片平均分成3个矩形，若每个小矩形都与原矩形相似，则原矩形纸片的宽与长之比为 ． 【答案】 【分析】根据相似图形的对应边对应成比例进行计算即可． 【解析】解：设原矩形的长为，宽为，则小矩形的长为：，宽为， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， 即：原矩形纸片的宽与长之比为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查相似图形的性质．熟练掌握相似图形的对应边对应成比例是解题的关键． 题型7：相似三角形的性质 22．若两个相似三角形的相似比是2：3，则它们的对应高线的比是 ． 【答案】2:3 【解析】试题解析：由于相似三角形的相似比是2：3， 则其对应高的比等于其相似比， 即2：3， 故答案为2:3. 23．如图，在中，，，，则与的面积之比为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先判定,然后求得相似比，最后根据相似三角形的性质即可解答；掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， ∴, ∴． 故答案为． 24．若，与的相似比为，则为（ ） A．2:3 B．9:4 C．4:9 D．3:2 【答案】B 【分析】因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，根据两个三角形的相似比即可求出面积比. 【解析】且与的相似比为， 则等于 9:4. 故选B 【点睛】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解决问题的关键. 25．如图，在中，D、E分别是上的点，且，如果，那么（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ， ， ， ， 设的高为h， ， 设为，则为，为， ， ∴ ， 故选：B． 题型8：相似三角形的判定 26．以下命题属于假命题的是（　　） A．有一个角是的两个等腰三角形相似 B．有一个角是的两个等腰三角形相似 C．有一个角是的两个等腰三角形相似 D．三边对应成比例的两个等腰三角形相似 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的判定与性质先确定等腰三角形的内角的大小，再根据两个角对应相等的两个三角形相似可判定A，B，C，再根据三边分别对应成比例可判断D，从而可得答案． 【解析】解：∵有一个角是的等腰三角形是等边三角形， ∴有一个角是的两个等腰三角形相似，是真命题，故A不符合题意； 如图， ∴有一个角是的两个等腰三角形不一定相似，是假命题，故B符合题意； 当有一个角是的等腰三角形时，则另外两个角是 ∴有一个角是的两个等腰三角形相似，是真命题，故C不符合题意； 三边对应成比例的两个等腰三角形相似，是真命题，故D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握“相似三角形的判定方法”是解本题的关键． 27．以下条件不可以判定与相似的是（ ） A． B．，且’ C．’，’ D．，且’ 【答案】D 【分析】根据三组对应边的比相等的两个三角形相似可对进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对、进行判断；根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判断. 【解析】、因为，所以，即选项可以判断与相似； 、因为，，所以，即选项可以判断与相似； 、因为，，所以，即选项可以判断与相似； 、因为，，所以，即选项不可以判断与相似. 故选：. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似. 28．如图，不能使得成立的条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴， A、∵，，∴，故不符合题意； B、∵，，∴，故不符合题意； C、不能推出，故符合题意； D、∵，∴，∵，∴，故不符合题意； 故选：C． 29．如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 分3种情况求解即可：①当点P在线段上运动时，②当点P在B的左侧运动时，③当点P在点C的右侧运动时． 【解析】解：∵， ∴，设， ①当点P在线段上运动时， 当时，， ∴ ， ∴，； 当时，， ∴， 解得：； ②当点P在B的左侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：； ③当点P在点C的右侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：（舍去）； 综上可知，符合题意的x的值有6个，即这样的点有6个． 故答案为：6． 题型9：相似三角形的判定与性质 30．△中，，，，点D、E分别在边、上，如果，，那么的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，得出，即可求解． 【解析】解：如图，∵，，，， ∴，, ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D．    【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 31．如图，中，为上一点，，，，则 ． 【答案】 【分析】题考查了相似三角形的判定与性质，由已知条件中，为公共角，可证，得，据此可求的长． 【解析】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去） 故答案为： 32．如图，已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先得到，然后根据对应边成比例解题即可． 【解析】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 33．如图，在中，的平分线分别交于，那么 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义得到，再证明，得到即可得出结果． 【解析】解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 34．如图，在平行四边形中，E是边延长线上一点，与边相交于点，如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由四边形是平行四边形，可得，即可证得，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【解析】解：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型10：重心的性质 35．，，，为重心，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点； 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为. 也考查了直角三角形斜边上的中线性质．根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据重心的性质求出的长即可. 【解析】解：如图， ∵为的重心，    ∴是的中线，， ， ， ， 故答案为：. 36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足是H，则GH的长为 ． 【答案】2 【分析】如图，连接AG并延长AG交BC于D，由重心的性质可知，可得，由GH⊥BC，∠ACB=90°可得GH//BC，根据平行线分线段成比例定理即可得答案． 【解析】如图，连接AG并延长AG交BC于D， ∵点G是△ABC的重心， ∴AG=2GD，即， ∴， ∵由GH⊥BC，∠ACB=90°， ∴GH//BC， ∴， ∵AC=6， ∴GH=AC·=6×=2， 故答案为：2 【点睛】此题考查的是重心的性质和平行线分线段成比例定理，掌握重心的性质，根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键． 37．在中，是重心，点是的中点，若的面积为，则的面积 ． 【答案】/6平方厘米 【分析】本题考查了三角形重心的性质及三角形中位线的性质，根据点是的中点，得到的面积为，再由是重心，求出，即可求解． 【解析】解：点是的中点，的面积为， 的面积为， 是重心， ， 的面积为：， 故答案为：． 38．如图，点G是的重心，，交于点F，则 ，等于 ． 【答案】 2：1 3：1：2 【分析】根据重心的性质得到E是AC的中点，D是BC的中点，再根据平行线分线段成比例得到，再根据重心的性质得到AF=3FG，从而可得结论． 【解析】解：∵点G为△ABC的重心， ∴E是AC的中点，D是BC的中点， 又∵EF∥BC， ∴， ∴， ∴DG=2FG， ∵G为重心， ∴AG=2DG=4FG， ∴AF=3FG， ∴AF：FG：GD=3：1：2， 故答案为：2：1，3：1：2． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形的重心定理；熟练掌握三角形的重心定理，由平行线分线段成比例定理得出BG：EG=2：1是解决问题的关键． 39．如图，在平面直角坐标系中，点 A（-2，3），点 B 在 x 轴负半轴，AO=AB，点 M 为△OAB的重心，若将△OAB绕着点 O 顺时针旋转 90°，则旋转后三角形的重心的坐标为 ． 【答案】（1，2） 【分析】要求旋转后的M的坐标，首先求出原M点的坐标；先求出B点坐标，然后求出AB的中点C的坐标，利用待定系数法得出直线OM的解析式即可求出M 的坐标，进而解决问题． 【解析】如图，取AB点的中点坐标为C，故M为△AOB的重心 ∵AO=AB，A（-2，3） ∴B点坐标（-4，0） ∴C点坐标（-3，） 设OC的解析式为y=kx过点C 得=-3k ∴y= 当x=-2时，y=1 ∴M（-2，1） ∵△OAB顺时针旋转90° ∴点M绕点O顺时针旋转90° 如图，过作轴于 在△OME和△OM'F中 ∴ ∴， ∴旋转后的坐标为（1，2） 【点睛】本题主要考查了图形的旋转变化，知道重心是三条中线的交点，学生要看清是顺时针还是逆时针旋转，然后画出图形，利用图形的旋转特点就可以解决问题． 题型11：图形的位似 40．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角是等腰直角以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，C在上，则点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换的性质、等腰直角三角形的性质，根据等腰直角三角形的性质求出点C的坐标，根据位似变换的性质计算即可． 【解析】解：∵点，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴点C的坐标为， ∵与位似，位似比为， ∴点坐标为，即点坐标为， 故选：C． 41．如图，与位似，点为位似中心，已知，且的面积为4，则的面积为（    ） A．8 B．10 C．16 D．36 【答案】D 【分析】利用位似的性质得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，所以，然后根据相似三角形的性质求解． 【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心， ∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴ ∵△ABC∽△DEF ∴， ∴S△DEF=9S△ABC=9×4=36， 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）． 42．如图，中，直角边落在x轴的负半轴上，点A的坐标是，以O为位似中心，按比例尺把缩小，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据位似变换的性质：如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比为或，即可求得答案． 【解析】解：如图所示， ， ， 以O为位似中心，按比例尺把缩小， ，且相似比为2， ， 或； 故选：D． 【点睛】此题考查了位似变换的性质，熟练掌握位似变换的性质与分类讨论的思想方法是解答此题的关键． 43．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在点的同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了图形的位似变换，相似三角形的判定以及性质，由正方性的性质和位似图形的性质可得出，，进而得出， 由相似三角形的性质可得出，进而可求出，进一步即可得出答案． 【解析】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，， ∴，， ∴， ，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 题型12：相似三角形的实际应用 44．如图，在A时测得某树的影长为4米，在B时测得该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为 米. 【答案】6 【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得，代入数据可得答案． 【解析】如图，在中，米，米，易得， ，即， 米. 故答案为6. 【点睛】本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小，是平行投影性质在实际生活中的应用． 45．《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西五里，南北九里，各开中门，出东门十里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形，东边城墙长9里，南边城墙长5里，东门点，南门点分别位于的中点，里，经过点，则的长为 里． 【答案】1.125 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出数学问题中的相似，运用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵， ∴ ∴（垂直于同一直线的两直线平行） ∴（两直线平行同位角相等） ∴ ∴ ∴． 故答案为：1.125． 46．某数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．求宝塔的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．证明出，相似，再根据相似三角形的性质定理建立等式求解，即可得到结论． 【解析】解：由题意知，， ， ， 由题知，， ， ， ， ， 米，米，米， ， 米． ， 米， 故答案为：． 题型13：相似三角形的综合应用 47．如图，是的直径，点为圆上一点，，是的中点，与交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接交于点，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据可得，推出，根据直径所对的圆周角为90度可得，通过证明可得，设，则，通过证明可得，进而可得，由垂径定理得，最后用勾股定理解即可． 【解析】解：如图，连接交于点， ，点为圆心，为弦， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 即， ， ，， ， ， 设，则， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得或（负值舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等．涉及知识点较多，有一定难度，通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 48．如图，在中，，为的角平分线，点在的延长线上，于点，点在上，，连接交于点．若点是的中点，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 先证明，可得，进而得到，从而证得，可得，进而即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵H是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴＝． 故答案是：． 49．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，点C为平面内一动点，，连接，点M是线段上的一点，且满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念、坐标与图形等知识点，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 在x轴的负半轴上取点，连接，利用相似三角形将的最大值进行转化即可解答． 【解析】解：由题知，点C为平面内一动点，，即点C在以点B为圆心，以为半径的圆上， ∴在x轴的负半轴上取点，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则当取得最大值时，取得最大值， 如图：连接并延长，交于点，此时取得最大值， 在中，， ∴， ∴的最大值为：． 故答案为． 50．如图是一边长为6的菱形纸片，将纸片沿折叠，使点落在边上，点A，的对应点分别为点，，交于点．若，，则与相等的角是 （写出一个即可），的长为 ． 【答案】 2.8 【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 延长、交于点，由菱形的性质得，，，则，，由折叠得，，，所以，由，得，所以，即可证明，根据相似三角形的性质得到，对应边成比例求得． 【解析】解：延长、交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ． ∴． ∵， ∴． ∴． 由折叠知， ， ∴． ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：；2.8 51．如图，四边形是正方形，点在边上，是以为直角顶点的等腰直角三角形，，分别交于点，，过点作的垂线交的延长线于点．连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】延长交延长线于，由是等腰直角三角形，得，，再由正方形的性质得，，由同角的余角相等得，证明，从而有，，得是等腰直角三角形，通过勾股定理求出，再证明，，最后由相似三角形的性质和线段和差即可求解． 【解析】解：如图，延长交延长线于， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质及判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键． 题型14：解答题 52．已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质求解即可： （1）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解，即可得到c的长； （2）设然后用表示a，b，c，再代入，求解得到，即可得到a，b，c的值 【解析】（1）解：∵c是a，b的比例中项线段， ∴， ∴（负值舍去） 即c的长为； （2）解：设 ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ 53．如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，注意对应线段是解答的关键．利用平行线分线段成比例得到，，进而求解即可． 【解析】解：∵，，， ∴，即， 解得：， ∴． ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴，． 54．如图，在中，，，的平分线交于点． (1)求证：； (2)若，①求的长；②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①2；② 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线与三角形内角和问题，相似三角形的判定与性质． （1）根据等边对等角，角平分线的定义，推出，，即可得证； （2）①根据等腰三角形等角对等边即可求解；②根据相似三角形的性质得到，进而得到代入数据计算即可． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴． ∵，， ∴； （2）解：①， ， ， ， ； ②∵，，， ∴，即， ∴（负值舍去）． 55．如图，，，三点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图． (1)在图1中以点为位似中心，作线段的位似图形，使其长度为的2倍． (2)已知的三边比为，在图2中画格点，使与相似． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了位似图形的作图以及勾股定理的运算，掌握分类讨论的数学思想是解决第二问的关键． （1）连接并等倍延长即可完成作图； （2）由题意得是直角三角形，所以也是直角三角形；根据图示得，可得的三边长为：或或（舍）． 【解析】（1）解：如图所示： （2）解：∵的三边比为， 且， ∴是直角三角形， ∴也是直角三角形， 由图可知： ∴的三边长为：或或（舍） 如图所示： 56．如图， 已知正方形 的边长为4， 点 M， N分别是 ， 上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直． (1)求证：； (2)当M为中点时， 求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)的面积为． 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定： （1）由正方形的性质得出，根据得出，根据直角三角形两锐角互余得出进而得出，从而得出三角形相似； （2）由M为中点时，可得，由相似三角形的性质可得：，可得，，再进一步求解即可． 【解析】（1）证明：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：∵正方形 的边长为4， ∴，， ∵M为中点时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 57．如图，在锐角中，是最短边．以为直径的，交于D，过O作，交于E，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的度数； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由知，由知，从而可知，即； （2）延长交于点G，易证，由于，所以，所以； （3）易证，由于，所以，由圆周角定理可知，从而可证明，利用三角形相似的性质即可求出答案． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， （2）解：延长交于点G，    ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵O是中点 ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质等知识,需要灵活运用所学知识． 58．如图所示，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最大值． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标． (3)若直线与（1）中所求的抛物线分别交于点M、N．问： ①是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． ②当时，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 (3)①存在值，使得，其值为或； ②当时，的取值范围是 【分析】（1）先根据抛物线，当时，取最大值，得到抛物线的顶点坐标为，可写出抛物线的顶点式，再根据抛物线的解析式求出的坐标，然后将的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是，即，可先求出的长，然后分情况讨论： ①当在线段上时，过点作轴，点为垂足．由，根据相似三角形性质求出的长，进而求出点的坐标； ②当在的延长线上时，由，根据相似三角形性质求出的长，进而求出点的坐标； （3）联立两函数的解析式，设直线与抛物线的交点为(在左侧)，则是方程的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，，进而求出． ①由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的方程，解方程即可求出的值； ②由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的不等式，解不等式即可求出的范围． 【解析】（1）解：∵抛物线， 当时，取最大值， ∴抛物线的解析式是：， 即； 当时，， 即点坐标是， 当时，，解得：或， 即点坐标是，点坐标是(2，． 将代入直线的解析式， 得， 解得：， 则直线的解析式是：； （2）过点作为垂足， ∵， ， ， 由勾股定理，得， ①当点为线段上一点时，过点作轴，点为垂足． ， ， ， ， ， ， ； ②当点在延长线时，作轴，点为垂足． ． ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 综上所述，点的坐标为或． （3）设直线与抛物线的交点为在左侧)． 则为方程组的解， 由方程组消去整理，得：， ∴是方程的两个根， ， ， ①存在的值，使得．理由如下： ， ， 即， 化简得， ， 整理，得， 解得， ∴存在值，使得，其值为或； ②∵， 即， 化简得， ， 整理，得， 解得， ∴当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，相似三角形的性质和判定，函数与方程的关系，勾股定理，钝角三角形三边的关系等知识，综合性较强，难度较大．运用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$